GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
MỤC LỤC
MỤC LỤC 1
I.DẠNG (1) 2
1.Ph ng pháp:ươ 2
1.Ph ng pháp:ươ 2
(1) có 2 nghi m ptrình g(x)=3m có 2 nghi m trên mi n [-2;+)1 ( cho kq)ệ ệ ề 3
2.Bài t p:ậ 3
1.Ph ng pháp:ươ 5
2.Bài t p:ậ 6
3.Bi n đ i b ng cách nhân ho c chia 2 v c a p trình cho 1 bi u th c ph r i đ t n ph :ế ổ ằ ặ ế ủ ế ứ ụ ồ ặ ẩ ụ 61
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

I.
DẠNG
( ) ( )f x g x=
(1)
1. Phương pháp:
Phương trình (1)
⇔

2
( ) 0
( ) [ ( )]

= x+1 (1)
Giải:
(1)
⇔
2 2
1
3 2 4 ( 1)
x
x x m x
≥ −


− + − = +


2
1
2 4 5
x
x x m
≥ −

⇔

− = −

Dùng bảng bthiên của hsố g(x)= 2x
2
-4x trên [-1;+
∞

2
4 3x x x m− + = −
2.
2
4 2 1x x m x− + = −

II.
DẠNG
( ) ( )f x g x=
(1)
1. Phương pháp:
Phương trình (1)
( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x
≥

⇔

=


Vd1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2
2 4 3 1 1x x m x− − + − = −
(1)
2
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh


2
2 4 3 1 2x x m x− − + − = +
Giải:
(1)
⇔
2
2
3 2 5 3
x
m x x
≥ −


= + +

; xét hàm số g(x)=2x
2
+5x+3 trên miền [-2;+
∞
)
Lập bảng biến thiên của f trên miền [-2;+
∞
)
(1) có 2 nghiệm
⇔
ptrình g(x)=3m có 2 nghiệm trên miền [-2;+
∞
)
1

1. Phương pháp:
Khi giải một phương trình dạng f(x)=g(x) (1); ta thường biến đổi (1) tương đương đến 1 phương trình
Đã biết cách giải hoặc đơn giản hơn:
Vd1: Giải phương trình:

3 2
4 6x x x− + +
= 2x.
1x +
+2x-2x
2
+(x-1)
2
5 6x x− +
(1)
Giải:
Đk: x
∈
[-1;2]
∪
[3;+
∞
) ; NX: x
3
-4x
2
+x+6=(x+1)(x
2
-5x+6)
(1)

GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
(1)
⇔
5[
4 1 3 2x x+ − −
] = (4x+1) –(3x-2)

⇔
5[
4 1 3 2x x+ − −
] = (
4 1 3 2x x+ − −
).(
4 1 3 2x x+ + −
)

⇔
(
4 1 3 2x x+ − −
=0) hoặc (
4 1 3 2x x+ + −
= 5) (cho kq)
2. Bài tập:
Giải các phương trình:
1/
6 1 2 1x x+ − +
=2 6/
5 3 2 4x x x− + + = +


Dùng phép biến đổi tương đương để đưa :
(1)
1
( ) 0
n
k
k
f x
=
⇔ =
∏

( )
1
( ) 0f x
⇔ =
∨
….
∨

( )
( ) 0
n
f x
=
với x thuộc miền xác định của (1)
Vd1: Giải phương trình:

( )
3 2

2
6 8 8x x− −
+ (x+2).
2 4x −
= x
2
+x-2 +(x-1).
3 2x +
(1)
Đk: x
≥
2; Nx:
2
6 8 8x x− −
=
2 4x −
.
3 2x +
; x
2
+x-2 = (x-1)(x+2)
Đặt u=
2 4x −
; v=
3 2x +
; t= x+2; h=x-1
(1) thành: u.v+ t.u = t.h +h.v do đó: u(t+v)=h(t+v) nên
Hoặc u=h hay t+v= 0 ( cho kq)
2. Bài tập:
Giải phương trình:

7 x−
= 2.
1x −
+
2
8 7x x− + −
+1 .
4
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
7/ x.
5 3x +
= x
2
-x-2 -
5 3x +
8/ 2.
2
9x −
=(x+5).
3
3
x
x
+
−
9/
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +
10/

15/
( )
2 3 5 4 3
2 9 3
x x x
x
− + −
+ +
+15=5
2 9x +
16/
2
2x x−
+
2
3x x+
=2x
V.
PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1. Phương pháp:
Khi giải 1 phương trình lượng giác ẩn x đôi khi ta dùng phép biến đổi tương đương để nhân
được phương trình chứa 1 ẩn là biểu thức của hàm số theo biến x, lúc này dùng ẩn số mới ta được 1
phương trình đơn giản hơn.
Vd1: Giải phương trình:
16+
4 3 2 1x x+ + +
=
2
8 10 3x x+ +
+6x (1)

2 3x −
và v=
5 2x−
thì:
2 2
2
2
. 16 4 15
u v
u v x x

+ =


= − −



Thay vào (1) cho: (2v
2
+3).u+(2u
2
+3)v = 2+8u.v =u
2
+v
2
+8u.v
⇔
2u.v(u+v)+3(u+v)=(u+v)
2


= + +


− =


− = +


Pt cho: (u
2
-v
2
)(u-2v) + u.v =1 = u
2
–2v
2

⇔
(u+v)[(u-v)(u-2v)-(u-2v)] = 0 cho kq.
5
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
Vd4: Giải phương trình:
x+
x
+
2
1x x x− + −

3 3
2 1 1
1 2 2
x
x x
+ +
+
=2
3/x+
1 1
2
2 4
x x+ + + =
4/
3 3 3
1 2 2 3x x x− + − = −

5/
2
1 4 3 4 5x x x x+ + − + − + + =
6/ 1+
2
2
1
3
x x x x− = + −

7/
2 2
4 2 3 4x x x x+ − = + −

2
2 1 2. 2x x x x+ + − + + −
=11-2x .
17/ (x+1)(x-3).
2
2 3x x− + +
=2-(x-1)
2
18/ (x-1)
2
+2(x+1).
3
1
x
x
−
+
= 12
19/
3 2x −
+
1x −
=4x-9+2.
2
3 5 2x x− +
20/ 13x+2(3x+2)
3x +
+42=0
3. Biến đổi bằng cách nhân hoặc chia 2 vế của p trình cho 1 biếu thức phụ rồi đặt ẩn phụ:
Giải các phương trình:

Đặt t=
2
6 6 5x x− +
thì t
≥
0 và t
2
+6x-5 = 6x
2
; thay vào ptrình ta có:
t
2
-4x –(4x-1).t= 0 (2); coi (2) là ptrình bậc 2 ẩn t có
∆
= (4x-1)
2
+16= (4x+1)
2
Do đó: t= 4x hoặc t = -1 ( cho kq)
Vd2: Giải phương trình:
(3x+2)
2 3x −
= 2x
2
+3x-6 (1)
Giải:
Đặt t=
2 3x −
thì t
≥

2
1x x+ +
thì t>0 (1) thành t
2
+2(x-1)t-2x+1 = 0 (1)
Coi (2) là ptrình bậc 2 ẩn t thi cho: t=1 hoặc t=1-2x
Từ đó cho ta kq.
2. Bài tập:
1/ 2(1-x)
2
2 1x x+ −
=x
2
-2x-1 2/(4x-1)
2
1x +
=2x
2
+2x+1 .
3/ (x+1).
2
2 3x x− +
=x
2
+1 4/ (x+3)
2
10 x−
=x
2
–x-12 (d99)

+3x+1=(4x-1).
2
3 4 1x x+ +
12/ x
2
+3x+1 =
2
2 3x +

13/ 4x
2
+22+
3 2x −
=21x 14/ 51.
2x −
=3x
2
-58x+110
15/ x
2
+x.
3 1x −
+2 = 6x 16/ 3.
3x +
=3x
2
+4x-1
VII.
PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP:
1. Phương pháp:

− + − +

a/ x=3 là 1 n
0
b/ 2x-5 =
2
3
3
12
(4 4) 2 4 4 4x x− + − +
(2)
Xét x>3 thì 2x-5>1 còn t=
3
4 4x −
>2 nên t
2
+2t+4>12 hay VP(2) <1 nên (2) không có n
0
>3
Xét x<3 thì 2x-5 <1 còn 0<t
2
+2t+4<1 nên VP(2) >1 ( tt trên )
Vậy: (1) chỉ có 1 n
0
x=3

Vd2: Giải phương trình:

2 33
1 2x x x− + = −

 
− +
− + − +
 
 
Ta chứng minh:
( )
(
)
2
2
2 2 23 3
3
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
+ +
+ = + <
− + − + − + +
2
3
3 9
2 5
x x
x
+ +
<
− +

gt cho: x
≥
5/3 (i)
Dùng máy tính nhận x=2 là nghiệm nên biến đổi như sau
(1)
⇔
2
12x +
- 4=3(x-2)+
2
5x +
-3
⇔
(x=2) hoặc (
2 2
2 2
12 4 5 3
x x
x x
+ +
−
+ + + +
-3 = 0)
(2) ko có nghiệm x thỏa (i)
Vd5:Giải phương trình:
8
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh

2 1x −

2 8x
+
= 3x
2
+18x-103
⇔
(
3 13x +
-5) +
18 72x
+
-12) = 3(x-4)(x+10)
⇔
3( 4)
3 13 5
x
x
−
+ +
+
18( 4)
18 72 12
x
x
−
+ +
=3(x-4)(x+10)
⇔
(x=4)
∨

6
Do đó: VP ( của (2)) <0 nên (3) không có nghiệm u
≥
-4. Vậy: (1) có nghiệm duy nhất x= 4 .
2. Bài tập
1/
3
4 1 3 2
5
x
x x
+
+ − − =
2/
3(2 2) 2 6x x x+ − = + +
.
3/
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +
4/
1 4 9x x x x− + = + − +
5/
2 2
3
2 6 3 2( )x x x x x
x
+ + + + + = +
6/
( )
2

( )
(
)
2 2
3 1 4 3x x x x x+ − + + + +
= 2x
11/
2 4x +
-2.
2 x−
=
2
6 4
4
x
x
−
+
12/x
2
+9x+20=2.
3 10x +
.
13/
2
12x +
+5=3x+
2
5x +
14/

+9x+20 = 2.
3 10x +
21/
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +
22/
3 2 2 2
3 8 2 15x x x+ + − = −

9
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
23/
2
3
5 1 9 2 3 1x x x x− + − = + −
24/
2
3
6 7 1x x x+ + = − −
VIII.
DÙNG TÍNH ĐẲNG CẤP CỦA MỘT ĐA THỨC 2 ẨN:
1. Phương pháp:
Một biểu thức có dạng: F(u;v)= a
1
.u
n
+a
2
.u

n-2
.v
2
+….+a
n
.u.v
n-1
+a
n+1
.v
n
= 0(u;v là biểu thức
chứa ẩn được gọi là phương trình đẳng cấp bậc n theo ẩn u;v
Vd1: Giải phương trình:

2 2
5 14 9 20 5. 1x x x x x+ + − − − = +
(1)
Giải: đk: x
≥
5.
(1)
⇔

2 2
5 14 9 20 5. 1x x x x x+ + = − − + +

⇔
2x
2

-4x-5= x+4 cho ta kết quả
TH2: 2u=3t ta có 4(x
2
-4x-5)=3(x+4) cho ta kết quả

Vd2: Giải phương trình:

3 2
6 7 2x x x+ + −
= - 2x
2
+2x+22
Giải:
(1)
⇔
2
( 2)( 4 1)x x x+ + −
= -2x
2
+2x+22 Đk: x
[ 5
∈ −
-2;-2]
∪
[
5
-2;+
∞
)
Ta thấy: -2x

4 1
2
x x
x
+ −
+
=2
⇔
(x=
5
)
5x
∨ = −
; so đk ta được x=
5

Với x
∈
[ 5 2; 2)
− − −
thì (1) tương ứng 2t
2
–t-10 = 0 cho ta t=-2; t=5/2 với t =
2
4 1
2
x x
x
+ −
+

−
 
 
 
 

Vd3: Giải phương trình:

1x +
.(3x
2
+x+1) =x
3
+3x
2
10
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
Giải: Đặt t=
1x +
thì t
≥
0 và x+1=t
2

(1) Cho: t(3x
2
+t
2
)=x

. Đặt t=
2
1x +
thì t
≥
1 và x
2
=t
2
-1
(1) Cho (4x-1).t = 2(t
2
-1)+2x+1
⇔
2t
2
-(4x-1).t +2x-1 = 0

( )
1
2 1
2
t x t
 
⇔ = − ∨ =
 ÷
 

Do t
≥

4/ 2x
2
+5x-1=7.
3
1x −

5/ 9.
3
8x + =
2(x
2
+8) 6/
2 2
2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + +

7/ 2x
2
+5x-1 = 7.
3
1x −
8/ x
3
-3x
2
+2.
3
( 2)x +
=6x .
9/(x
2

-6x=4(`1+
3
1x +
) 14/ -7x
2
+3x-1=4.
3 2
2 2x x x+ + +

15/ 2x
2
=26x-34+
3
2 3x x+ −
16/ 3x
2
+14x+36+5.
3 2
2 9 2 30x x x+ + −
IX.
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH:
1. Phương pháp:
Khi gặp phương trình chứa căn dạng f(x)=g(x) (1); đôi khi ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ để từ từ
trình ban đầu và ẩn phụ từ đó ta nhận được 1 hệ phương trình và việc giải hệ có thể đon giản hơn
phương trình ban đầu.
Vd1: Giải phương trình:

15
2
(30x



(đây là hệ đối xứng lọai 2)
Vd2: Giải phương trình:
4x
2
-11x+10 =(x-1).
2
2 6 2x x− +
(1)
Giải: đk: x
3 5 3 5
[ ; ]
2 2
− +
∈

(1)
⇔
(2x-3)
2
+x+1 =(x-1).
( 1)(2 3) 1x x x− − − −

Đặt u=2x-3 ; v=
( 1)(2 3) 1x x x− − − −
;
ta có:

2

5 3 8
u v
u v
+ =


+ =

( giải hệ ta được kq)
Vd4: Giải phương trình:

( )
( )
3
2 3 2
1 1 (1 ) 1 2 1x x x x+ − + − − = + −
(1)
Giải:
Đk: x
∈
[-1;1]. Đặt u=
1 x+
;v=
1 x−
thì u;v
∈
[0;2] và u
2
+v
2


⇔
( )
2 2
2
. 1. 1
u v
u v u v

+ =


+ − =


do u.v+2 > 0 ; từ đó cho u-v>0

⇔

( )
2
( ) 2 . 2
. 1. 1
u v u v
u v u v

− + =

3
+1 =2.
3
2 1x −

3/
3
2 1 1x x− = − −
4/
3
3 1x x+ − =

5/
4 4
89 8x x+ + −
=5 6/ x
2
+
2
12x +
=30
7/
3 3
34 3x x+ − −
=1 8/
2
2 5 2x x+ +
-2
2
2 5 6x x+ −

x +
=
7x
2
+7x ;x>0 16/ 2.
2 2 2
(1 ) 3. 1 (1 ) 0
n
n n
x x x+ + − + − =

17/ x
3
+3x
2
- 3.
3
3 5x +
=1-3x 18/ 2.
3
3 2x −
+3.
6 5x−
-8 = 0
19/
3 2
81x x+ −
=3 20/ 2x
2
+4x -

27/
1 8 (1 )(8 ) 3x x x x
+ + − + + − =
28/ 2
(
)
2 2
2 1 1x x+ − −
-
4
1 x−
= 3x
2
+1
29/
2 2
3 10 5x x
+ + − =
30/
2
12 12x x+ + =

31/
2 2
5 (5 )x x= − −
32/ 3 +
3 x x
+ =

33/

= -(a.y+b) ( ta dẩn đến hệ pt ; thông thườngta nhận được hệ đối xứng hoặc tựa
đối xứng)
Vd1: Giải phương trình:
x
2
-2x=2
2 1x −
Giải
(1)
⇔
(x-1)
2
= 2.
2 1x −
+1; đặt
2 1x −
= y-1
ta có:
2
2
2 1 ( 1)
2 1 ( 1)
x y
y x

+ = −


+ = −


(2 5) 2 2
y x
x x y

− = −


− = − + −


Trừ 2 ptr trên cho nhau ta nhận được
2(x-y)[ (2x-5)
2
+(2x-5)(2y-5)+(2y-5)
2
] = 2(y-x)
⇔
( y=x)
hoặc [ (2x-5)
2
+(2x-5)(2y-5)+(2y-5)
2
= -1 ]
Phương trình sau vô nghiệm. TH: y=x ( hs tự giải )
2. Bài tập:
1/ 4x
2
+
3 1x +
+5 = 13.x 2/ 32x

+3x
2
+2x 8/ x
2
-4x-3=
5x +

9/
3
2
x +
=2x
2
+4x 10/
3
9x −
=x
3
-9x
2
+27x-21
11/
4
3
x +
=3x
2
-6x-2 . 12/
3
2x −

n
j
j
Vd: Giải phương trình:

3 2
3
9 12 4 2 3 2x x x− + − −
+5x
2
-x+1-8x.
4
4 3x −
+4
4 3x −
-2(x-1)
2
x x−
+6x
2
-3x+2 =0
Giải:
Dựa vào việc xuất hiện các số hạng chứa bình phương của tổng ta có thể dể dàng biến đổi
(1)
⇔

(
)
2
2

− =


; Ph trình có nghiệm duy nhất x=1
2. Bài tập:
Giải các phương trình:
1/
4
10 61 6 10 61 2( 1) 4 1x x x x+ − + − + +
+x
2
+6x+11=0
2/ 2(2x-7).
2
6 17 8 2 1x x x− − + +
= -5x
2
+20x-49.
14
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
XII.
PHƯƠNG PHÁP DÙNG BÂT ĐẲNG THỨC:
1. Phương pháp:
Khi giải 1 phương trình dạng f(x)=0 đôi khi ta sử dụng biến đổi tương dương đưa phương trình đã
chovề phương trình có dạng h(x)=g(x) (1)
- Dùng các bất đẳng thức quen thuộc để cm:
h(x)
≥
g(x) hoặc h(x)

4 2 2 2 2 2 2
2
1
4 16 9 2 2( )x y x y y x y x
x
− + + = − + +
(2)
Từ:
4 2 2
4 16 9 5x y x y− + + ≤
;
2x∀ ≥
thì x
2
+
2
1
x
≥
5/2.Từ đó: VP(2)
≥
5
Do đó: VT(2)=5 và VP(2) =5 cho ta kq
Vd2: Giải phương trình:

2
2 2 2
3 2 2 2
3 4 4 4
x x x x x x x x x


cộng 2 vế của pt trên cho 4 rồi dùng bđt Buynhiacobski cho ta kết quả
Vd3: Giải phương trình:
x
2
-4x+6 =
2
2 5 3x x− +
+
2
3 9 5x x− + −
Giải: đk:
9 61 3 9 61
1
6 2 6
x x
− +
≤ ≤ ∨ ≤ ≤
Bđt B_C_S cho: (
2
2 5 3x x− +
+
2
3 9 5x x− + −
)
2

≤
[4-2(x-2)
2

+1+x-1+
1
x
) = x
15
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
Dâu “=” xảy ra
1
1
1
1
x
x
x
x

− =


⇔


− =


( cho kq)
Vd5: Giải phươngtrình:

4 4

4 4
4
( 2)(4 ) 2 4 6. 3x x x x x x− − + − + − +

≤
x
3
+30
Dấu “=” xảy ra
⇔
x=3
2. Bài tập:
Giải các phương trình:
1/
2
2
1 1
2 2 4x x
x x
 
− + − = − +
 ÷
 
2/
2
3 5 8 18x x x x− + − = − +
3/
2
2 4 6 11x x x x− + − = − +
4/

=3 10/ x
2
+4x+5 = 2.
2 3x +
.
11/
5 1x x− + +
+x
2
=2x+1 12/ 2.
2 2
7 10 12 20x x x x x− + = + − +
XIII.
DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:
1. Dùng mệnh đề:
a. Phương pháp:
Cho hsố y=f(x) đơn điệu và liên tục trên khỏang (a;b).Ta có:
Hệ pt
( )
( ; )
f u c
u a b
=


∈

có tối đa 1 nghiệm
Vd1: Giải phương trình:
(2x+1)

(2)
Xét h số f(x)=
4
1
2 3 6 2
2 1
x x
x
+ + − −
+
liên tục và đồng biến trên (1/2;+
∞
)
Do đó: (2) có tối đa 1 nghiệm; mà f(3) = 34/7
16
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
Vậy: (1) có đúng 1 nghiệm là x=3
Vd2: Giải phương trình:

2
43 1 1
4 17
11 2 3
1
x
x
x x
− − = + −
+

+
; f(x) liên tục và đồng biến trên [4;+
∞
)
Do đó (2) có tối đa 1 nghiệm; mà f(4)=
43
17
11
+
; nên pt (1) có nghiệm duy nhất x=4
Vd3: Giải phương trình:

2 2
3
15 3 2 8x x x+ = − + +
(1)
Giải:
(1)
⇔

2 2
3
15 8 3 2x x x+ − + = −
(2) NX: VT(2) >0 ; nên x>0
(2)
⇔

3
2 2
7

2 9 3x+ +
+(4x+2)
(
)
2
1 1x x+ + +
= 0 (1)
Giải: (1)
⇔
(2x+1).
(
)
2
2 (2 1) 3x+ + +
= (-3x).
(
)
2
2 ( 3 ) 3x+ − +

Xét hsố f(t) = t(2+
2
3t +
); mọi t thực; f(t) đồng biến trên R (i)
(1)
⇔
f(2x+1) = f(-3x)
⇔
2x+1 = -3x .Nghiệm pt là x = -1/5
Vd5: Giải phương trinh:

+
cùng đồng biến trên [-3/5;+
∞
)
Nên hsố f(x) =
4 5 10 6x x+ + +
-
7 35
3( 1)
x
x
+
+
đồng biến trên [-3/5;+
∞
)
Mà f(1)=0 nên pt (1) có nghiệm duy nhất là x=1
17
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
Vd6: Giải phương trình:

24
1x x− +
+(x
2
-3x+2)[1+
2
1
(2 1)( 1)x x x


24
1x x− +
+ (x
2
-x+1) –(2x-1) +
2
2
1 (2 1)
(2 1)( 1)
x x x
x x x
− + − −
− − +
=
4
2 1x
−

⇔
24
2
1
1
1
x x
x x
− + −
− +
+ (x

−
Giải: Đk: x
≥
7/4;với đk
(1)
⇔
2 4 7 3x
− +
+
( )
3
4 7x −
=
2
2( 3) 3x
− +
+ (x
2
-3)
2
. (2)
Xét hsố f(t) =
2 3t
+
+ t
3
;
t
∀ ≥
0; f đồng biến và liên tục trên (0;+


4 1x x− − −
= (4x-10).
4 . 1x x
− −
. x=1;x=4 ko là nghiệm của pt (1)
Xét x
∈
(1;4) ;
(1)
1 1
1 4x x
⇔ −
− −
= 2(x-1)-2(4-x)
⇔
1
1x
−
-2
( )
2
1x −
=
1
4 x
−
-2
( )
2

2
2 3x
+
+x=
2 2
2( 1) 3x + +
+x
2
+1
Dùng hàm số f(t)=
32
2
+t
+t ;
∈∀t
R
Vd10: Giải phương trình:
18
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
x
3
+x-7 =
2
5x +
(1)
Giải :
Đặt f(x) = x
3
+x-7 -

2
1 1
4 3
x
x x
− −
− +

HD: (1)
⇔
2
1 1
3( 3)
3
4 3
x
x
x x
− − =
−
− +
-3(x
2
-4x+3)
b/ x(x-1)
2
+3(2x-1) =
3 2
2
( 2)( 2 4 )

3x
+
-x.
x
-12 . 2/ x+7.
2 3x
+
=7.
1x +
+10
3/ 9x-12 = 2[
3 2 1x x
− − −
] 4/x
(
)
2
5 6 2 5x x x− + − − −
=
2
3
x
−
-1
5/
2
3
6 7 1x x x+ + = − −
6/ (5x-6)
2

3
+2x =
3
1x
−
+9 2/ x
2
+6x -53 =
8
2 6x
+

3/
3
6 4x
−
=
5 2x
−
+1 4/
2
4
4 1
1
x x
x
+ − −
−
-8 = -x -
3

= 3x
2
- 5x +9 .
2. Dùng bảng biến thiên của hàm số:
a. Phương pháp:
Một trong các cách giải 1 ptrình đôi khi ta biến đổi 1 phương trình để cho về dạng: f(x) = c (2)
với C là 1 hằng số nào đó , ta thực hiện các bước:
1/Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số trên miền xác định của phương trình
2/Bước 2: Từ bảng biến thiên ta nhận đỉnh được (2) có tối đa bao nhiêu nghiệm và dùng máy
tính để tìm được các nghiệm phương trình (2) và kết luận
Chú ý: Phương pháp trên chì thuận lợi khi các nghiệm của (2) là các trị số đặc biệt.
19
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
Vd: Giải phương trình:
3
x
+5
x
= 6x+2 (1)
Giải:
(1)
⇔
3
x
+ 5
x
- 6x-2 = 0
Xét hàm số f(x) = 3
x

(1)>0
nên
β
∃ ∈
(0;1) sao cho:f
‘
(
β
)=0
Từ bảng biến thiên của hàm số f thì pt f(x)=0 có tối đa 2 nghiệm.
mà f(0)=f(1)=0 nên (1) có đúng 2 nghiệm là x=0,x=1
b. Bài tập: Giải phương trình:
1/
3
4
3 10 8 8 2x x x
+ − = − −
2/
3
3
x
+2cosx+2x
3
= 4 -
2 4x
+
- 6x 3/
9 2x
−
+2x = 10 -

x
+ 3
x
-3x-2 = 0 8/ (1+cosx)(2+4
cosx
) = 3.4
cosx
.
3. Dùng đồng nhất thức để đưa ptrình về dạng f(u)=f(v) :
a. Phương pháp:
1/ Cho 2 đa thức P(x) và Q(x) với hệ số thực dạng : P(x) =
1
.
n
k
k
k
a x
=
∑
và Q(x) =
1
.
m
k
k
k
b x
=
∑


Vd1: Giải phương trình:
81x
3
+33x-29.
8 9x
+
=24x.
8 9x
+
+81x
2
+5
Giải: Ptrình
⇔
81x
3
-81x
2
+33x-5 = (24x+29).
8 9x
+
= [ 3(8x+9)+2).
8 9x
+

⇔
81x
3
-81x

Đồng nhất thức 2 vế ta có:
3
2
2
3
3 81
9 . 81
9 2 33
3 2 5
a
a b
ab a
b b

=

= −


+ =


+ = −

3
1
a
b
=


(do (i))
2
1/ 3
(3 1) 8 9
x
x x
≥

⇔

− = +


⇔
x=2 .
Vd2 : Giải phương trình sau trên (0;+
∞
) :
(x
3
+2x)
2
+
3
2 3
3
2
( 3 1) 2 1
1 2 1
x x

(x
3
+2x)
2
+
3
3 2 3
3
2 1 1
( 3 ) 2 1
1 2 1
x x
x x x x x
x x
+ + −
= + + + +
+ + +⇔
(x
3
+2x)
2
+
3 3 2 3
2 1 1 ( 3 ) 2 1x x x x x x x
+ + − = + + + +
u
3
-2u = (x+1)
3
-2(x+1) ; dùng đồng nhất thức ta được: x
3
+3x
2
+x-1 =(x+1)
3
-2(x+1)
đặt f(t) = t
3
-2t đồng biến trên (1;+
∞
)
Ta có: f(u)=f(x+1) ; vì x>0 nên u và x+1

>1 nên u=x+1

( cho kq)
b. Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình:
1/ 8x
3
-36x
2
+53x-25 =
3
3 5x

5/ 9x
2
-28x+21 =
1x −
.
6/ 2x
3
+3=(6x+7)
3 3x
+
-6x
2
-7x 7/ x
3
-(2x+9)
2 5x
+
-5=3x
2
-7x
8/ 2x
3
-4x
2 4x
+
=9
2 4x
+
+12x
2

1
2 1x
+

14/
3
2x
−
=8x
3
-60x
2
+151x-128 15/x
3
+3x
2
+4x+2 =(3x+2).
3 1x
+

16/ 2x
3
+7x
2
+5x+4=2(3x-1)
3 1x
−
17/(2x+3)
2
4 12 11x x+ +

3 5x
+
2/ x
2
-x-3 =(x-1)
( )
2 6 3 2x x
− − − −

21
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
3/
2
3 1 2 3 3(1 2 ) 3 9 2x x x x x
− − − = − − + −
4/
2
4 1 4 1 1x x− + − =

5/
2
2 5 1 2x x x− + + − =
5/
2 2
15 3 2 8x x x+ = − + +

4/ 2x
3
-x

3
4 4 2 2x x− + −
=3x-1
11/ (x+2).
(
)
(
)
2 2
4 7 1 1 3x x x+ + + + + +
.x =0 12/ x
3
+x-7 =
2
5x +

13/ 3
(
)
2 2 3
( ) 1 (2 1)x x x x x+ + + − −
=4x-2-5
2
1x x+ +
14/
2
91x +
= x
2
+

= + +
+ + +
-x
2
18/
1 3x x− + −
=3x
2
-4x-2
19/ x
3
+3x
2
+4x+2= (3x+2).
3 1x +
20/ x
3
-15x
2
+78x-141=5.
3
2 9x −

21/
1x −
=9x
2
-28x+21 22/ x
3
-2x+7 =

2
1x
+
) .
Bài 4: Tìm nghiệm của ptrình sau trên [4;+
∞
): -6
2
3x +
=4x
2
-16x+7 -
(
)
2
2
3x +
Bài 5: Giải phương trình
1/
2
4 1 4 1 1x x− + − =
2/
2
2 5 1 2x x x− + + − =
3/
2 2
15 3 2 8x x x+ = − + +
4/ 2x
3
-x

3
2
3
2
33
21212 xxxx
++=+++
10/ 2(x-2).
( )
3
4 4 2 2x x− + −
=3x-1
11/ (x+2).
(
)
(
)
2 2
4 7 1 1 3x x x+ + + + + +
.x =0 12/
2
91x +
= x
2
+
2x −
13/ 3
(
)
2 2 3

−
= + +
+ + +
-x
2
17/
1 3x x− + −
=3x
2
-4x-2 18/ x
3
+3x
2
+4x+2= (3x+2).
3 1x +

19/ x
3
-15x
2
+78x-141=5.
3
2 9x −
20/
1x −
=9x
2
-28x+21 .
21/ x
3



Vd1: Giải hệ:

3
2 2 3 2 2
1( 2) 2
3 4 3 4
x x x y
x y x yx x y y

+ + − = +


− + = − −


(I)
Giải:
(2)
⇔
(3y
2
+4y)(x
2
+1) =x(x
2
+1) từ đó: x=3y
2
+4y (i)

x y x y

+ + − − + = − +


− + − =


(I)
Giải:
(1)
⇔
x
3
+3x.y(x+y)+y
3
+
x y+
+x+y = 8y
3
+2y+
2y⇔
(x+y)
3
+(x+y)+
x y
+

x y z x z x z y y
x y z
x y z y
y
x xz z y x z y y
− + +


− + + + + = − −



+ + = −



− + − −
− =

+
+ + + − + + + + +



HD:
23
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
(1)
⇔

=3[
2
7 5 8x z y y
+ + − + +
]
(1) cho:
2
2
1 1
3[ 4 5 4
4
5 8
y y y
y
y y
− = + − + +
+
+ +
] ; dùng đ hàm cho y=-2
Do đó: y=-2;x+z= -5 kết hợp với (2) cho kq .
Vd4: Giải hệ phương trình:

( ) ( ) ( )
3
2 3
2 2 . 2 4
3 1 1 2 3 2 2 1 ( 7) 1 1 4
x x y x y
x y y y x x


+1) (3)
Xét hàm số g(t) = t
3
+t
2
-5t ;
∀
t
≥
1
g
‘
(t) = 3t
2
+2t-5 >0 ,
∀
t > 1 nên g liên tục và đồng biến trên (1;+
∞
) (i)
(1)
⇔
g(
1 1x − +
) = g(
2 1y +
) do (i) nên
1 2x y− =
hay x=2y+1
Vd5: Giải hệ phương trình:


2 4
2
x x y y
y x
x y
− + = −



+ + = + +


2/
(2012 3 ) 4 (6 2009) 3 2 0
3 1 5 4 7 2
x x y y
x x y x

− − + − − =


+ + + + = −



Bài 2: Giải hệ:
1/
3 3
2012 2012
3 3 0

7 5
x y y x
y x y

− = −


+ − = +


2/
2 2
2 2
91 2
91 2
x y y
y x x

+ = − +


+ = − +


Bài 4: Giải hệ:
1/
3 3
2 2
1 1
6 5 7 3 2 0

)
(
)
2 2
4 . 4 4
. 4( ) 10 ( 2). 2 1
x x y y
x y x y x y

+ + + − =



− + + = + −

2/
2
3 (9 1) ( 2 1) 2
2 3 2
y y x y x y
x x y x y

+ = − + −


+ − = + −



Bài 6: Giải hệ:

3 3 2
2 2
1 3 3 1
2 3 11
x y y y y x
x y x

+ − + − = − +


+ − =


2/
3 3 2
2 2 2
12 6 16 0
4 2 4 5 4 6 0
x x y y
x x y y

− − + − =


+ − − − + =



Bài 8: Giải hệ:
1/


+ = − − +


Bài 9: Giải hệ:
1/
3 2
3 2 3 2
2 6 4 14 0
1 ( 1) 2 6 . 5
x y x y
x y y y y x x

− + − − =


− − = + + + − +


2/
3
2 3 2
(8 3). 2 1 4 0
4 8 2 2 3 0
x x y y
x x y y y

− − − − =





3/
3
2(2 1) 2 1 (2 3) 2
4 2 2 4 6
x x y y
x y

+ + + = − −


+ + + =


4/
2 2
2 2
2 22 2 1
2 22 2 1
x x y y y
y y x x x

+ + − = + +


+ + − = + +




7/
2 2
2 2
4 12 3 6 6
4 12 3 6 6
x x y y y
y y x x x

− + − + = + −


− + − + = + −


8/
2
2 2
(4 1) ( 3) 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

+ + − − =


+ + − =


9/
3 2 2