3

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM VĂN DUY KHỬ PHÂN KỲ TRONG LÍ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ
BẰNG PHƢƠNG PHÁP PAULI - VILLARS

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012
4

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

1.2. Hàm Green và hàm đỉnh 9
1.3. Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman 11
CHƢƠNG 2: TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG BẰNG
PHƢƠNG PHÁP PAULI-VILLARS 18
2.1. Giản đồ phân cực photon 18
2.2. Giản đồ năng lƣợng riêng của electron 25
2.3. Hàm đỉnh bậc ba 29
2.4. Đồng nhất thức Ward –Takahashi 37
CHƢƠNG 3: TÁI CHUẨN HÓA ĐIỆN TÍCH VÀ KHỐI LƢỢNG
ELECTRON TRONG QED 40
3.1. Kỳ dị trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử 40
3.2. Tái chuẩn hóa điện tích 42
3.3. Tái chuẩn hóa khối lƣợng 46
a. Dịch chuyển Lamb 52
b. Moment từ dị thƣờng của electron 53
3.4. Tái chuẩn hóa giản đồ một vòng trong QED 54
KẾT LUẬN 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO 58
PHỤ LỤC A 60
PHỤ LỤC B 65
PHỤ LUC C 68
6

MỞ ĐẦU
Những thành tựu của điện động lực học lƣợng tử (Quantum Electrodynamics -
QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phƣơng pháp tái chuẩn
hóa khối lƣợng và điện tích đã cho phép tính toán các quá trình vật lý phù hợp khá
tốt với số liệu thu đƣợc từ thực nghiệm, với độ chính xác đến bậc bất kỳ của hằng
số tƣơng tác theo lý thuyết nhiễu loạn
2

Tomonaga hiện thực hóa trong QED [13,20]. Cách xây dựng chung
S - ma trận và phân loại các phân kỳ do Dyson F đề xuất [10]. Cách chứng minh
tổng quát sự triệt tiêu phân kỳ trong các số hạng đƣợc tái chuẩn hóa của chuỗi lý
thuyết nhiễu loạn do Bogoliubov – Parasyk tiến hành [8]. Trong QED sử dụng việc
tái chuẩn hóa điện tích và khối lƣợng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần
phân kỳ trong tính toán, kết quả ta thu đƣợc là hữu hạn cho các biểu thức đặc trƣng
cho tƣơng tác, bao gồm: tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của hạt.
Khi so sánh, kết quả thu đƣợc khá phù hợp với số liệu thực nghiệm. Lý thuyết
trƣờng lƣợng tử sau khi tái chuẩn hoá cho kết quả hữu hạn đối với đặc trƣng của các
quá trình vật lý, đƣợc gọi là lý thuyết tái chuẩn hoá [7, 8, 19, 15]. Các phƣơng
pháp khử phân kỳ thông dụng trong lý thuyết trƣờng hiện nay bao gồm: phƣơng
pháp cắt xung lƣợng lớn [7], phƣơng pháp Pauli – Villars, phƣơng pháp điều chỉnh
thứ nguyên và phƣơng pháp R - toán tử do N.N Bogoliubov khởi xƣớng [14].
Mục đích của bản luận văn Thạc sĩ này vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại
bằng phƣơng pháp Pauli – Villars trong gần đúng một vòng kín và minh họa quá
trình tái chuẩn hóa khối lƣợng và điện tích của electron trong QED ở bậc thấp nhất
của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho quá trình vật lý.
Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần Mở đầu, ba chƣơng, phần Kết luận, tài liệu
tham khảo và một số phụ lục.
- Chương 1: Các giản đồ phân kỳ một vòng.
Chƣơng này dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.
Trong mục 1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận và quy tắc Feynman để mô tả
các quá trình vật lý. Mục 1.2 dành cho việc trình bày các hàm Green của
photon, electron, và hàm đỉnh trong QED. Phân tích các bậc phân kỳ trong
QED ở bậc thấp nhất đƣợc trình bày ở mục 1.3.
8

- Chương 2: Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng
phương pháp Pauli – Villars.
Trong chƣơng này chúng ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ bằng

9

Chƣơng 1.
Các giản đồ phân kỳ một vòng
Trong chƣơng này chúng ta giới thiệu vắn tắt những luận điểm cơ bản của lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến. S - ma trận cho tƣơng tác điện từ, quy tắc Feynman, các
giản đồ phân kỳ thƣờng gặp trong gần đúng một vòng.
1.1. S - ma trận và giản đồ Feynman
Biên độ xác suất của các quá trình tán xạ đƣợc xác định bằng các yếu tố của S –
ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ các trạng thái đầu và các trạng thái cuối của quá
trình vật lý:
( )
4
int
exp ( )S T i L x d x=
ò
(1.1)
Trong đó
( ) ( )
int 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L x N J x A x e N x x A x
mm
mm
y g y==

là Lagrangian của tƣơng tác điện từ,
0
e
là điện tích “trần” của electron. Mỗi
đỉnh tƣơng tác sẽ có ba đƣờng vào ra, trong đó có một đƣờng photon, hai đƣờng


(1.2)
10

Yếu tố ma trận trận của các quá trình vật lý có thể biểu diễn dƣới dạng:
( )
( )
4
4
| | 2
fi f i f i
f S i i P P Md p d< > = + -
(1.3)
Ở đây
|i<
và
|f<
là các véctơ trạng thái đầu và cuối của hệ,
fi
M
là biên độ
xác suất dời chuyển, có ý nghĩa trong việc xác định tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã
hay thời gian sống của hạt. Hàm delta diễn tả định luật bảo toàn năng xung lƣợng
của quá trình vật lý. Thay công thức (1.2) vào
||f S i<>
ta có:

(0) (1) (2)
4
int

Electron ở trạng thái
đầu
( )
( )
1
2
30
2
1
2
r
m
up
p
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø11

Electron ở trạng thái

1
2
30
2
1
2
r
m
up
p
p
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èøPositron ở trạng thái
cuối
( )
( )
1
2

2
2
ek
k
l
m
pThế điện từ ngoài
( )
ext
Ak
mChuyển động của
electron từ
12®
(hay
positron theo chiều
ngƣợc lại
21®
)
( )
( )
4
4 2 2
1
()

mn
p
=Đỉnh cùng với chỉ số
lấy tổng
m

( )
( )
( )
4
4
21
2ie p p k
m
g p d
12

1.2. Hàm Green và hàm đỉnh
Trong QED các giản đồ Feynman sau đây:
- Các phần năng lƣợng riêng của photon
- Các phần năng lƣợng riêng của của electron
- Các phần đỉnh
- Phần tán xạ photon – photon diễn tả sự tƣơng tác của hạt với
chân không vật lý. Các giản đồ này liên quan đến việc tính các số hạng

Hàm Green của photon (1.5) có thể đƣợc biểu diễn bằng tổng các giản đồ sau:

Hình 1.1. Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân không
Hàm Green của electron, đƣợc xác định tƣơng tự bằng công thức sau
( )
0 | ( ) ( ) | 0G x y i T x y
ab a b
yy
éù
- = < >
êú
ëû
(1.6)
Trong đó
()x
a
y
,
()y
b
y
là các toán tử trƣờng electron – positron trong biểu diễn
Heisenberg. Hàm Green của electron có thể đƣợc biểu diễn bằng tổng các giản đồ
sau:

i



i



i



14

Giản đồ Feynman (1.7) tƣơng ứng Hình 1.3. Đỉnh riêng đầy đủ
m
G
và sơ đồ xƣơng
*
m
L

p
. 
 *

15

Ta gọi:
e
F
: số đƣờng xung lƣợng trong của electron.
e
N
: số đƣờng xung lƣợng ngoài của electron.
p
F
: số đƣờng xung lƣợng trong của photon.
p
N

F v N=-
(1.12)
16

Số biến lấy tích phân là n, nhƣng tại mỗi đỉnh các giá trị xung lƣợng vào ra phải
tuân theo định luật bảo toàn năng xung lƣợng. Định luật này đƣợc thể hiện ở dạng
của hàm delta. Theo tính chất của hàm delta:
4
00
( ) ( ) ( )f p p d p f pd =
ò
thì số biến độc
lập phải lấy tích phân sẽ giảm xuống.
Nếu có n đƣờng trong thì số hàm delta chỉ chứa biến là các đƣờng trong sẽ là
(n-1), và số biến sẽ tiếp tục giảm đi. Tổng số đƣờng trong là
()
ep
FF+
.
Vậy số các biến độc lập sẽ là:
1
( ) ( 1)
ep
K F F n= + - -
(1.13)
Do
S
~
1
p

(1.16)
Với
1
K
là số biến độc lập,
2
K
là bậc của mẫu, ta có thể viết định tính:

1
2
4
()
()
K
K
dp
J
p
=
ò
(1.17)
Đƣa vào tham số mới
17 21
4K K K=-
(1.18)

Hình 1.4. Giản đồ năng lƣợng riêng
của electron Hình 1.5. Giản đồ năng lƣợng riêng
của photon
18

Tính toán bậc phân kỳ của các giản đồ trên:
Hình 1.4: Số đƣờng phôtôn ngoài bằng 0, số đƣờng electron ngoài là 2, bậc
phân kỳ là:
1K = - Þ
Phân kỳ tuyến tính.
Hình 1.5: Số đƣờng photon ngoài bằng 2, số đƣờng electron ngoài bằng 0, bậc
phân kỳ là:
2K = - Þ
Phân kỳ bậc hai.
Hình 1.6: Số đƣờng photon ngoài bằng 1, số đƣờng electron ngoài bằng 2, bậc
phân kỳ là:


Bảng 2. Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED:
Ví dụ
Nhận xét

Giản đồ chân không . Giản đồ này có thể
không xét.

Giản đồ năng lƣợng riêng của electron. Sơ
bộ, nó phân kỳ tuyến tính, song thực tế nó phân
kỳ loga.

Đỉnh phân kỳ loga

Giản đồ năng lƣợng riêng của photon. Sơ
bộ nó phân kỳ bình phƣơng. Thực tế từ bất biến
chuẩn nó phân kỳ loga.

Nó bị triệt tiêu với giản đồ cùng với hƣớng
ngƣợc lại của electron (Định lý Furry). Giản đồ
này có thể không xét.

Gồm 4! giản đồ, khác nhau bằng việc hoán
vị của các đƣờng ngoài. Thực tế, nó hội tụ từ
bất biến chuẩn.

21

Chƣơng 2.
Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng


     



   

pd
i)kp(M
1
i)kp(m
1
.
4
2222









. (2.1)
Sử dụng công thức tham số hóa các tích phân Feynman



0
]ipM[i
22
22
e.di
ipM
1 








0
Mimi]ip[i
2222
222
ee.e.di
ipM
1
ipm
1



ˆˆ
[ ] [ ( )] 4 ( 2 ) ( 2 )Sp m p m p k g m g pk p k g p p p
        


       

.
(2.2)
Thay các biểu thức thu đƣợc ở trên vào (2.1) và tách riêng phần phụ
thuộc vào biến lấy tích phân theo xung lƣợng p:
 
 
 
 
 
2
2
2
. 2 . .
. 2 4
4
00
4
Re . . . { .
2
i p k p
ik
e
g k d d e e g m d p e

. . 2 . . }
i p k p i p k p
g d pe p d pe p p
     
  
     


(2.3)
ở đây kí hiệu :
 
  
2222
MimiMimi
ee.ee



tính các tích phân theo xung lƣợng bốn chiều theo các công thức tích
phân đã biết :
 
 
 
22
2
2
. 2 . .
4
2
.

i
i p k p
k
d p e p i e

  





   

  





;
 
 
   
 
22
2
2
2
. 2 . .
4

2
22
2
. 2 . .
42
22
22
.
k
i
i p k p
ik
d p e p e

  

  

   

  






.
Thay các tích phân này vào (2.3) và rút gọn :
 






    





22
2
22
2
22
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
v
g
ik k g ik ik k

   
  
         




  


   


  
   





    







(2.4)
Đƣa vào biến mới:
)x1(;x 
;




)x,(


   




    



(2.5)

24

Với :
  
22222
M)x1(im)x1(ixMixmik).x1(xi
ee.eee)x,(f



Nhận xét rằng :

 )x,(f:
;
2
.c~)x,(f:0 
(nó có dạng đa thức )
Nhƣ vậy , ta có thể lấy tích phân xung quanh

1
2 2 .
2
00
Re ( ) { (1 )( 2 ) ( , )
4
ed
g k dx ix x g k k k ig m e f x

    






     

.
0
(, )
}
d f x
ge




)x,(f
22222




Với (1), (2) và (3) vào công thức (2.7) ta có
25

1
2
00
Re ( ) 2 ( ) (1 ) ( , )
d
g k dx i g k k k x x e f x

   






    


2 2 2

4
e



.
Sử dụng công thức tích phân đã thu đƣợc ở trên, ta thu đƣợc :








0
222
222
ixm)mxk)(x1(
ixm)Mxk)(x1(
ln)1.(e
d












ixM)Mxk)(x1(
ixm)Mxk)(x1(
ln)4.(e
d
222
222
0















0
0
0
0
)]2()1[(.e

m)x1(x
xmk)x1(xM)x1(
ln
k)x1(xm
m)x1(x
ln









26

2
2
2
22
ln
)1(
)1(
ln}{
m
M
mxx
kxxm
M 




1
0
2
22
)x1(xm
)x1(x.km
ln).x1(x.dx
i2
)k(
(2.9)
Khi đó :
)k()k()k(gRe
div 

(2.10)
Khi
M
:
































2
2
222
222
0

2
2
0
2
( ) ( )ln . (1 )
div
iM
k k g k k dx x x
m
   


    


22
1 1 1
2
22
0 0 0
.ln (1 ) .ln( ) . ln (1 )
i M M
g m dx x dx x dx x x
mm





   







 
1
0
1
0
2
1
0
2
2
)x1ln()x1.(dx)xln(x.dxMx
m
M
ln)x1(
(2.11)
Nhờ các kết quả tích phân

6
1
)1(.
1
0



1
0
1ln. xdx
;











1
0
2
2
2
2
4
3
m
M
ln
2
1
)x1(
m

M
ln).x1.(dx4
1
)ln(.
1
0


xxdx
;


1
0
4
1
)1ln()1.( xxdx

Thay các công thức trên vào (2.11) trở thành
2
2 2 2
2
( ) ( )ln ( )
32
div
i M i
k k g k k g M m

)x1(xln)x1(x.
m
k
1ln).x1(x.dx
i2
)k(     
1
2 2 2
22
0
1 1 4 2
. 1 ln 1 1 1 cotan
2 9 3
k m k
dx x x x x
mk

   

     
   
   

