ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
====== ======

TRẦN VĂN QUANG

KHỬ PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI

TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội -2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

MỞ ĐẦU:……………………….…………………………….…… … Trang 2
CHƢƠNG 1: QUÁ TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƢỜNG ĐIỆN TỪ
NGOÀI…………………………………………………………………….…….7
1.1. Tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài ở gần đúng bậc nhất….……9
1.2. Bổ chính photon ảo cho biên độ tán xạ gần đúng bậc nhất……………… 18
CHƢƠNG 2: TIẾT DIỆN TÁN XẠ ĐỘC LẬP VỚI PHÂN KỲ HỒNG
NGOẠI…………………………………………………………… … ….… 28
2.1. Bổ chính photon thực cho biên độ tán xạ gần đúng bậc nhất………………28
2.2. Phương pháp
min

……………………………… …….………………… 33
2.3. Tiết diện tán xạ vi phân 43
KẾT LUẬN…………………………………………………………………….45
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………… …………………… …47
PHỤ LỤC A: KHỬ PHÂN KỲ BẰNG ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN…… 48
PHỤ LỤC B: CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƯỜNG
NGOÀI……………………………………………………………………… 54

- 2 -
MỞ ĐẦU
Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến và sự tái chuẩn hoá khối lượng điện tích
của electron trong điện động lực học lượng tử (QED) kết hợp lại đã cho phép ta
tính toán các quá trình tương tác điện từ với kết quả phù hợp khá tốt với số liệu
thực nghiệm /1-4/. Sự tái chuẩn hoá các đại lượng vật lý (ví dụ: Trong QED là sự
tái chuẩn hoá khối lượng và điện tích của electron) đòi hỏi để loại bỏ các tích
phân phân kỳ trong các giản đồ Feynman ở vùng các xung lượng của các hạt ảo
lớn thuộc đường trong /1-4/. Các phân kỳ loại này được gọi là các phân kỳ tử
ngoại. Để giải quyết khó khăn này đến nay tồn tại ba phương pháp khử phân kỳ
chủ yếu trong lý thuyết trường lượng tử /2/: Phương pháp Pauli-Vallars,

0
m m m


vaät lyù
,
0
e e e


vaät lyù
chúng ta đồng nhất với khối lượng vật lý và
điện tích vật lý, mà người ta có thể đo được trên thực nghiệm. Việc gộp các giá
trị “trần” với các phần phân kỳ trong tính toán các giản đồ Feynman, được gọi là
quá trình tái chuẩn hoá /1,2,3/.
Ngoài phân kỳ tử ngoại trong lý thuyết trường nói chung còn tồn tại một
loại phân kỳ khác, đó là phân kỳ hồng ngoại ở vùng các hạt thực cũng như hạt
ảo nhỏ so với xung lượng của hạt và xung lượng truyền giữa các hạt /3/.

- 3 -
Photon như vậy người ta còn gọi là photon “mềm”. Phân kỳ này liên quan đến
các trường mà lượng tử của nó có khối lượng nghỉ bằng không, ví dụ như photon
trong QED, graviton trong trường hấp dẫn lượng tử…Các đặc trưng cho kỳ dị
hồng ngoại xuất hiện không chỉ cho hàm Green, mà còn ở các yếu tố ma trận nếu
chúng được xác định bằng các phương trình của lý thuyết trường. Những khó
khăn phân kỳ hồng ngoại, mà chúng ta gặp phải ngay cả khi nghiên cứu các bài
toán bức xạ hấp thụ các photon với năng lượng nhỏ trong điện động lực học cổ
điển /3/.
Ví dụ, xác xuất bức xạ của photon ở vùng năng lượng thấp tỷ lệ nghịch
với tần số

trình bức xạ hãm. Đáng chú ý, đóng góp của cả hai loại photon ảo và photon
thực sau khi lấy tổng cho chúng ta kết quả, trong đó các kỳ dị hồng ngoại bị triệt

- 4 -
tiêu lẫn nhau đối với bất cứ bậc nào của lý thuyết nhiễu loạn, tham số điều chỉnh
đã được đưa vào chúng ta có thể đặt bằng không trong biểu thức cuối cùng.
Sự giải thích vật lý và những lập luận sự loại trừ các kỳ dị hồng ngoại lẫn
nhau có thể tìm thấy ở nhiều tài liệu tham khảo hiện đại /1,2,3,4/. Vấn đề ở đây
là các kỳ dị hồng ngoại có thể tách ra khỏi khai triển nhiễu loạn thông thường và
viết dưới dạng nhân tử hàm mũ. Sự loại trừ lẫn nhau các kỳ dị hồng ngoại của
bậc thấp nhất có thể đảm bảo cho sự loại trừ lẫn nhau ở tất cả các bậc khác tiếp
theo, và sự tương đương của hai phương pháp khác nhau khử phân kỳ hồng
ngoại ở bậc thấp nhất vẫn còn có ý nghĩa tương đương đối với mọi bậc tiếp theo
của khai triển nhiễu loạn /5,6/.
Vấn đề đặt ra ở đây là sự liên hệ giữa phân kỳ hồng ngoại và phân kỳ tử
ngoại như thế nào? Liệu có thể sử dụng các phương pháp điều chỉnh của phân
kỳ tử ngoại, áp dụng tiếp tục cho phân kỳ hồng ngoại được không? Vấn đề
này có ý nghĩa cho nghiên cứu các lý thuyết chuẩn, lý thuyết điện yếu Glashow-
Salam-Weinberg, lý thuyết thống nhất tương tác kể cả tương tác hấp dẫn /4/.
Muc đích của Bản Luận văn Thạc sĩ khoa học này là nghiên cứu khử
phân kỳ hồng ngoại trong lý thuyết trường lượng tử cho bài toán tán xạ ở
trường điện từ ngoài .
Bản Luận văn gồm: phần mở đầu, hai chương và phần kết luận. Phần mở
đầu chúng tôi vắn tắt nêu tổng quan các vấn đề liên quan đến các loại phân kỳ
thường gặp trong lý thuyết trường lượng tử, các giải pháp và nhiệm vụ của Luận
văn cần thực hiện.
Trong Chương I chúng tôi xem xét bài toán tán xạ electron ở trường
điện từ ngoài. Lagrangian tương tác điện từ
int
L ie A

Trong Phụ lục A chúng tôi nêu vắn tắt những luận điểm cơ bản của
phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên, dẫn các công thức tích
phân cần thiết cho tính toán các hiệu ứng vật lý sau này. Ở đây ta xét mô hình
trường vô hướng tự tương tác
3
int
Lg


(

là trường vô hướng) ở mục 1.1, và
tiến hành phép chia tách các phần hữu hạn, các phần phân kỳ tử ngoại cho giản
đồ năng lượng riêng của hạt thực vô hướng ở mục 1.2. Mô hình tương tác đơn
giản
3
int
Lg


cho phép chúng ta thực hiện các tính toán cụ thể và chi tiết, và dễ
hiểu được bản chất của vấn đề. Để nghiên cứu các quá trình tương tác điện từ
thực trong QED chúng tôi phải dẫn thêm sự tổng quát hoá một số công thức
thông dụng bao gồm các ma trận Dirac


cho các hạt có spin.

- 6 -
Phụ lục B xem xét bài toán tổng quát khử phân kỳ hồng ngoại theo lý









Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 1 đến 4.

- 7 -
CHƢƠNG 1.
QUÁ TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƢỜNG ĐIỆN TỪ NGOÀI

Điện động lực học lượng tử ngày nay là một trong số các lý thuyết đầu
tiên khá hoàn chỉnh của lý thuyết trường lượng tử /9/. Chỉ dựa vào các quy luật
của nó người ta mới giải thích được nhiều hiện tượng khó hiểu trước đây, ví dụ
như sự dịch chuyển bổ chính các mức năng lượng nguyên tử, mômen từ dị
thường của electron ở trường ngoài và một loạt các kết quả quan trọng về những
tính chất của chất và trường. Những thành tựu rực rỡ này đã chứng minh sự tồn
tại một dạng mới của vật chất mà ta vẫn chưa biết: đó là chân không của trường
điện từ và chân không của trường electron-positron. Chân không trong lý thuyết
trường lượng tử là trạng thái có mức năng lượng cơ bản thấp nhất của trường hay
hệ các trường, mà trong đó không tồn tại hạt thực. Trong trạng thái chân không
của trường điện từ không có các photon thực, nhưng vẫn tồn tại những dao động
không của chân không mà chúng thể hiện trong một loạt các hiệu ứng vật lý. Sự
tồn tại các dao động không cũng đặc trưng với chân không của trường electron-
positron, mà trong đó không tồn tại các hạt thực là electron và positron.
Tất cả các hiện tượng trên đã chứng minh rằng chân không đã có những
tính chất vật lý phức tạp, chứ không thể coi nó như không gian “trống rỗng”

trận:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
ex
int int
01
int
4
44
exp ; ;
1; ;
t
ext
S T L x d x L x ieN A
S S T L x d x T ie N A x d x


 
 


  







: là thế điện từ;

'
,pp
: xung lượng của electron ở trạng thái đầu và cuối ;

'
,rr
: hình chiếu spin của electron ở trạng thái đầu và cuối lên phương của
xung lượng; - 10 -
Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến và tương ứng với công thức (1.2) . Giản đồ Feynman
trong gần đúng bậc thấp nhất (a) theo điện tích e, và các giản đồ Feynman tiếp theo
mô tả các bậc cao (bổ chính) cho quá trình tán xạ này (xem Hình 1.1).


c
 
d

 
e
 
f
 
g
 
h
 
m





- 11 -
Giải thích hình vẽ 1.1: Giản đồ (1.1a) electron có xung lượng p bay vào
vùng có trường điện từ bị tán xạ bay ra với xung lượng p’ ở gần đúng bậc thấp
nhất . Giản đồ(1.1b) là giản đồ diễn tả quá trình electron tương tác với trường
điện từ ngoài ở gần đúng bậc bậc 3 (bổ chính bậc 3). Electron xung lươ
̣
ng p bay
vào vùng có trường điện từ bức xạ một photon ảo xung lượng k lệch hướng bay ,

với giản đồ (1.1a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:
 
4
1
''
|| , | ( ) ( ) ( )| ,
ext
p r S pr e d x p r N x x A x p r

  






. (1.3)
Vì
()
ext
Ax

là hàm số nên ta có thể bỏ ra ngoài
''
| |p r pr
, đồng thời
khai triển các toán tử
()x

và


;

 
()
x


:toán tử sinh
e

;
 
()
x


:toán tử sinh
e

.
Vì

   


 
 
 


              
           
       
       

   

   

Xét yếu tố ma trận:
   
'
||, | , 0 ( ') ( )|0
r r
N c Np r p r p c p

   


  

'
| , ( )|0 ;| ', ' ( ')|0
r
r
p r c p p r c p


    
     
(1.4)
Khi chuyển các toán tử sinh electron
()
r
cp

từ phải sang trái và chuyển các
toán tử hủy electron
'
( ')
r
c p
từ trái sang phải thì các số hạng thứ nhất, thứ ba và
thứ tư của (1.4) bị triệt tiêu chỉ còn số hạng thứ hai cho đóng góp vào yếu tố ma
trận.
 
( ) ( )
'
||, | , 0 ( ') ( )|0
r
r
Ncp r p r p c p

    


  


1
'
2
2
'
0
0
'
'
11
2
2
r
r
ip x ipx
mm
u p u p
p
p
ee
















(1.5)

- 13 -
Thay (1.5) vào (1.3) ta được yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của
electron ở trường điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :



 
 
 
1
'
2
ex
'
00
2
1
' ' ' '
||
r
tr
m
p r S pr e u p u p A p p



(1.7)
trong đó
fi
R
được xác định bằng công thức:

12
2
00
2
/
r' r ext
fi
m
R e. u ( p') u ( p)A ( p' p)
p p'



  


, (1.8)
và được gọi là biên độ tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài tĩnh
(trường thế Coulomb) trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo
electron.
Giữa
fi



 
vì
   
43
00
p' p p' p ( p' p )
  
   
 
.

- 14 -
Vậy dạng của yếu tố ma trận hạt tán xạ trên trường ngoài (1.7) có thể được
coi như là tổng quát.
Trong trường hợp tán xạ của electron trên thế Coulomb, thì
fi
M
có dạng:

2
r'
r ext
fi
me
M u ( p') u ( p)A ( p' p)




r r'
m e d p'
d u ( p') u ( p)A ( p' p ) p' p
p
p
.

  

  







(1.10)
Lưu ý
ext
A

là thực khi
1 2 3,,


và là ảo khi
4



4 4 4 4
*
*
r
r * r' r'
u ( p) u ( p') u ( p) u ( p')
   

     



44
rr
r' r'
u ( p) u ( p') u ( p )O u ( p')


  

,
trong đó
44
4
khi =k=1,2,3
O
khi =4



   
. (1.12)

- 15 -
Chú ý hệ thức /9/

2
r
r
r
p im
u ( p )u ( p ) ( p)
im




  




, (1.13)
 

 

 

Theo định luật bảo toàn năng lượng
00
p' p
suy ra
p' p
 
, trong toạ độ cầu,
chúng ta tính tích phân:
 
 
2
2
00
00
p' d p' d
dp'
p' p d p' p' d p' d d
p' p' p' p'


      

 
  
 
, (1.15)
trong phép biến đổi trên, chú ý rằng:
2
2 2 2 2
0

Sp p im p' im A ( p' p )A ( p' p )
d





    


   
. (1.16)
- 16 -
Bây giờ ta tính vết ở công thức (1.16)

 

 
 
 
v v v
Sp p im p im Sp p i m p' i m
      
       


    


  

,
 
 
 
4
v v v v
Sp p p' p p' p p' pp'
       
    
  
, (1.18)
ta thu được kết quả:

 

 
 
 
2
44
v v v v
Sp p im p' im pp' m p p' p p'
   
  

      





, (1.20)
trong đó
q

là xung lượng truyền và
q p' p
  
và ta có thể biểu diễn nó qua góc
tán xạ và độ lớn của xung lượng :

p' p p
  
 
2
2
2 2 2
2 1 4
2
q p' p p cos p sin


    
  
(1.21)





. (1.22)
Trong phép gần đúng phi tương đối tính
22
pm
và động năng được ký hiệu
2
2
p
E
m

ta có:

2
0
2
2
16
2
d Ze
d
E sin





liên quan đến các photon ảo và loại thứ hai liên quan đến photon thực. Giản đồ
Feynman cho bổ chính photon ảo được đưa ra trong hình 1.2. Trong vùng hồng
ngoại chúng ta chỉ cần tính đối với giản đồ (1.2b) bởi vì tất cả các giản đồ còn lại
đều hội tụ /3/, không chứa phân kỳ. Hình vẽ 1.2: Giản đồ Feynman cho bổ chính cho tán xạ đàn tính
của electron trong trường điện từ ngoài
Giải thích hình 1.2: Giản đồ (1.2a) diễn tả quá trình tán xạ của electron
trong trường điện từ ngoài gần đúng bậc nhất. Electron xung lượng p bay vào
vùng có trường điện từ và lệch hướng bay ra có xung lượng p’. Giản đồ (1.2b)
electron khi bay vào vùng có trường điện từ đã bức xạ ra một photon và lệch
hướng bay đồng thời hấp thụ photon đã bức xạ trước rồi ra khỏi vùng có trường
điện từ. Giản đồ (1.2c) diễn tả quá trình electron tương tác với trường điện từ
ngoài, sau quá tình tạo cặp và huỷ cặp electron và positron thành hai photon
ee


  
. Giản đồ này giúp chúng ta tái chuẩn hoá điện tích của electron
 
a
 
b
 
c
 

2
v
v
p' k im p k im
dk
p', p ie
k k p' k k pk


  

   
  


, (1.24)
trong đó p và p’ là xung lượng của electron vào và ra. Ở đây chúng ta lấy tích
phân n chiều và sử dụng các công thức đối với ma trận

:

 
2a n a




;

 

k k p' k k pk


  

   
       



(1.26)
- Xét giá trị mẫu thức của (1.26). Sử dụng các công thức tham số hoá theo
Feynman:
   
11
3
1 2 3
00
1 2 3
11
2
11
! dx ydy
a a a
a xy a y x a x

     


, (1.27)

v
v
N p k im p k im'

  
                   
v v v v
v v v v
p im p im p im k k p im k k''
   
           
       

A B C  Tính A:
   
v
v
A p im p im'

  
  v v v v

   
2
4 2 4 2n imp' im p p n im p n m
    
    
       - 21 -
     
2 2 2 2 4 4 4p' p q p p' q q q n p p' n q p' n p q
      
      
           
 
 
 
4 2 4 2n q q im p' p' n imp' im p p
     
     
        
4n im p




   

       
2 2 2
2 2 2 2 4 4m im q p im p' q q q n m n m
     
     
                  
22
4 4 4 2 2n im p' q n im p q n q q m m
    
    
          
22
22n m m




 
2
42m n q q


   
           
   

     
2 4 4 4 2 4 4k p' n p' k im k n im k p k n k p imk
      
      
           
4n im


- 22 -
        
2 4 4 4 2k p q n p q k im k n im k p' q k
    
    
               
4 4 4n k p' q imk n k
  
  

 
 
 
2 4 2 4im k k n imk q k k q n q k k q
      
      
        

 
 
 
26B im k k n q k k q
   
   
     
. (1.30)
Tính C:
   
2 4 2
v
v
C (k ) (k ) k k n k k n k k
   
     
      
. (1.31)

Vậy ta có:
 
 

3
2
2
2
n
n
nn
n
d k i
IC
k qx p y













. (1.33)
 
 
 
 
 

  





. (1.34)
 
 
 
 
   
1
3
2
3
3
2
11
3
32
2
2
2
n
n
v
nn
v
kk


 




. (1.35)
Sử dụng các biểu thức
 
1 29 1 31 
và tích phân
 
1 33 1 35 
ta có:
 
 
 
 
1
3
22
2
1
1
3
2
42
3
2
n

3
2
n
n
v
n
i
B I im k k n q k k q C y qx p
   
   







      



   
2 2 2 2 6 6imxy q imy p imxyq imyp n xyq q n yq p
     
     

       
