MỤC LỤC
MỞ ĐẦU:……………………….…………………………….……..…...Trang 2
CHƯƠNG 1: QUÁ TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
NGOÀI…………………………………………………………………….…….7
1.1. Tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài ở gần đúng bậc nhất….……9
1.2. Bổ chính photon ảo cho biên độ tán xạ gần đúng bậc nhất………………...18
CHƯƠNG 2: TIẾT DIỆN TÁN XẠ ĐỘC LẬP VỚI PHÂN KỲ HỒNG
NGOẠI……………………………………………………………...…..….…..28
2.1. Bổ chính photon thực cho biên độ tán xạ gần đúng bậc nhất………………28
2.2. Phương pháp λmin ………………………………...…….…………………..33
2.3. Tiết diện tán xạ vi phân.................................................................................43
KẾT LUẬN…………………………………………………………………….45
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………..……………………...…47
PHỤ LỤC A: KHỬ PHÂN KỲ BẰNG ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN……..48
PHỤ LỤC B: CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƯỜNG
NGOÀI……………………………………………………………………….....54

1


MỞ ĐẦU
Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến và sự tái chuẩn hoá khối lượng điện tích
của electron trong điện động lực học lượng tử (QED) kết hợp lại đã cho phép ta
tính toán các quá trình tương tác điện từ với kết quả phù hợp khá tốt với số liệu
thực nghiệm /1-4/. Sự tái chuẩn hoá các đại lượng vật lý (ví dụ: Trong QED là sự
tái chuẩn hoá khối lượng và điện tích của electron) đòi hỏi để loại bỏ các tích
phân phân kỳ trong các giản đồ Feynman ở vùng các xung lượng của các hạt
ảo lớn thuộc đường trong /1-4/. Các phân kỳ loại này được gọi là các phân kỳ
tử ngoại. Để giải quyết khó khăn này đến nay tồn tại ba phương pháp khử phân
kỳ chủ yếu trong lý thuyết trường lượng tử /2/: Phương pháp Pauli-Vallars,
phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, phương pháp cắt xung lượng lớn. Các

dω
, tổng xác xuất bức xạ photon sẽ phân kỳ dạng loga khi
ω

ω → 0 /3/. Nguyên nhân của phân kỳ hồng ngoại xuất hiện là do: việc sử dụng
lý thuyết nhiễu loạn thông thường dựa vào khái niệm S- ma trận theo chuỗi luỹ
thừa theo điện tích e là không hợp lý cho các quá trình vật lý có các photon với
bước sóng dài hay các photon mềm tham gia. Sự không hợp lý của việc áp
dụng lý thuyết nhiễu loạn được lý giải như sau: Số lượng các photon được
các electron bức xạ trong một khoảng đơn vị năng lượng khi ω → 0 tiến tới vô
cùng. Khi đó, trong lý thuyết nhiễu loạn người ta lại giả thiết rằng: sự bức xạ
một photon có xác xuất lớn hơn sự bức xạ của hai hay một lượng lớn các
photon /3/.
Trong QED phân kỳ hồng ngoại xuất hiện khi chúng ta tính các lượng bổ
chính bậc cao cho các quá trình vật lý dựa vào lý thuyết nhiễu loạn. Thông
thường để vượt qua trở ngại này, người ta phải điều chỉnh lại các kỳ dị hồng
ngoại cho các S-ma trận bằng cách cho photon một khối lượng nhỏ λmin /3/. Các
kỳ di hồng ngoại ở đây xuất hiện cho cả các photon ảo và photon thực do quá
trình bức xạ hãm. Đáng chú ý, đóng góp của cả hai loại photon ảo và photon
3


thực sau khi lấy tổng cho chúng ta kết quả, trong đó các kỳ dị hồng ngoại bị triệt
tiêu lẫn nhau đối với bất cứ bậc nào của lý thuyết nhiễu loạn, tham số điều chỉnh
đã được đưa vào chúng ta có thể đặt bằng không trong biểu thức cuối cùng.
Sự giải thích vật lý và những lập luận sự loại trừ các kỳ dị hồng ngoại lẫn
nhau có thể tìm thấy ở nhiều tài liệu tham khảo hiện đại /1,2,3,4/. Vấn đề ở đây
là các kỳ dị hồng ngoại có thể tách ra khỏi khai triển nhiễu loạn thông thường và
viết dưới dạng nhân tử hàm mũ. Sự loại trừ lẫn nhau các kỳ dị hồng ngoại của
bậc thấp nhất có thể đảm bảo cho sự loại trừ lẫn nhau ở tất cả các bậc khác tiếp

đóng góp của các photon thực và photon ảo, kết quả cuối cùng là tiết diện tán xạ
độc lập với phần kỳ hồng ngoại.
Phần kết luận tóm tắt kết quả nhận được trong luận văn, và thảo luận vai
trò, triển vọng của phương pháp khử phân kỳ đối với việc nghiên cứu các lý
thuyết trường hiện đại ngày nay.
Trong Phụ lục A chúng tôi nêu vắn tắt những luận điểm cơ bản của
phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên, dẫn các công thức tích
phân cần thiết cho tính toán các hiệu ứng vật lý sau này. Ở đây ta xét mô hình
trường vô hướng tự tương tác Lint = gϕ 3 ( ϕ là trường vô hướng) ở mục 1.1, và
tiến hành phép chia tách các phần hữu hạn, các phần phân kỳ tử ngoại cho giản
đồ năng lượng riêng của hạt thực vô hướng ở mục 1.2. Mô hình tương tác đơn
giản Lint = gϕ 3 cho phép chúng ta thực hiện các tính toán cụ thể và chi tiết, và dễ
hiểu được bản chất của vấn đề. Để nghiên cứu các quá trình tương tác điện từ

5


thực trong QED chúng tôi phải dẫn thêm sự tổng quát hoá một số công thức
thông dụng bao gồm các ma trận Dirac γ µ cho các hạt có spin.
Phụ lục B xem xét bài toán tổng quát khử phân kỳ hồng ngoại theo lý
thuyết nhiễu loạn cho bài toán tán xạ hạt ở trường ngoài. Các kỳ dị hồng ngoại ở
đây xuất hiện cho cả các photon ảo và photon thực, sau khi lấy tổng cho chúng ta
kết quả tiết diện tán xạ vi phân là hữu hạn và độc lập với các kỳ dị đó.
Trong Luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = 1 và
metric Pauli
xµ = ( x1 = x, x2 = y , x3 = z , x4 = ict = it ) = x µ ;
rr
rr
ab = aµ bµ = ab − a0b0 = ab + a4b4 = ak bk + a4b4 ;


6


CHƯƠNG 1.
QUÁ TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƯỜNG ĐIỆN TỪ NGOÀI

Điện động lực học lượng tử ngày nay là một trong số các lý thuyết đầu
tiên khá hoàn chỉnh của lý thuyết trường lượng tử /9/. Chỉ dựa vào các quy luật
của nó người ta mới giải thích được nhiều hiện tượng khó hiểu trước đây, ví dụ
như sự dịch chuyển bổ chính các mức năng lượng nguyên tử, mômen từ dị
thường của electron ở trường ngoài và một loạt các kết quả quan trọng về những
tính chất của chất và trường. Những thành tựu rực rỡ này đã chứng minh sự tồn
tại một dạng mới của vật chất mà ta vẫn chưa biết: đó là chân không của trường
điện từ và chân không của trường electron-positron. Chân không trong lý thuyết
trường lượng tử là trạng thái có mức năng lượng cơ bản thấp nhất của trường hay
hệ các trường, mà trong đó không tồn tại hạt thực. Trong trạng thái chân không
của trường điện từ không có các photon thực, nhưng vẫn tồn tại những dao động
không của chân không mà chúng thể hiện trong một loạt các hiệu ứng vật lý. Sự
tồn tại các dao động không cũng đặc trưng với chân không của trường electronpositron, mà trong đó không tồn tại các hạt thực là electron và positron.
Tất cả các hiện tượng trên đã chứng minh rằng chân không đã có những
tính chất vật lý phức tạp, chứ không thể coi nó như không gian “trống rỗng”
nguyên thuỷ. Khái niệm chân không vật lý là một đặc trưng vô cùng quan trọng
trong giai đoạn phát triển hiện đại về lý thuyết trường lượng tử. Nhờ có khái
niệm chân không vật lý mà sự tương tác giữa các hạt trong lý thuyết trường
lượng tử được coi là kết quả của việc trao đổi các lượng tử của các trường tương
ứng. Tương tác điện từ là kết quả của việc trao đổi photon ảo; tương tác mạnh –
các pimeson ảo.
7




(

(

)

Lint ( x ) = ieN ψγ µψ Aµext ;

)

(

(

)

)

S0 = 1; S1 = T ∫ Lint ( x ) d 4 x = T ie ∫ N ψγ µψ Aµext ( x ) d 4 x ;

(1.1)

trong đó T là T-tích, N là N-tích.
Yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu
loạn hiệp biến có thể viết :

(

)

mô tả các bậc cao (bổ chính) cho quá trình tán xạ này (xem Hình 1.1).
Aµext

=
p

+

+

+

p'

( a)

+

+

( e)

( b)

+

( c)

+


(1.1e,1.1f,1.1g,1.1h,1.1m…) mô tả các bổ chính bậc cao cho tương tác của
electron với trường điện từ ngoài .
Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng
với giản đồ (1.1a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:
∞

(

)

p 'r ' | S1 | pr = −e ∫ d 4 x < p′, r ′ | N ψ ( x)γ µψ ( x) Aµext ( x ) | p, r > . (1.3)
−∞

Vì

Aµext ( x) là hàm số nên ta có thể bỏ ra ngoài

p 'r ' | ... | pr , đồng thời

khai triển các toán tử ψ ( x) và ψ ( x) thành các toán tử sinh hủy hạt.

N ( ψ ( x)γ µψ ( x) ) = N ψ ( + )γ µψ ( + ) + ψ ( − )γ µψ ( + ) + ψ ( − )γ µψ ( − ) + ψ ( + )γ µψ ( − )  ,
(+)
(+ )
với: ψ ( x ) :toán tử hủy e + ; ψ ( x ) :toán tử hủy e − ;

ψ ( − ) ( x ) :toán tử sinh e − ;

ψ ( − ) ( x ) :toán tử sinh e + .


Khi chuyển các toán tử sinh electron

toán tử hủy electron cr ' ( p ') từ trái sang phải thì các số hạng thứ nhất, thứ ba và
thứ tư của (1.4) bị triệt tiêu chỉ còn số hạng thứ hai cho đóng góp vào yếu tố ma
trận.

< p′, r ′ | N ( ψγ µψ ) | p, r >=< 0 | cr ' ( p ')ψ ( − )γ µψ ( + ) cr+ ( p) | 0 >
=< p′, r ′ |ψ ( − )γ µψ ( + ) | p, r >
=< p′, r ′ |ψ ( − ) ( x ) | 0 > γ µ < 0 |ψ ( + ) ( x ) | p, r >

( ) ( )

= 1 3 m
p0'
 2π  2

÷



1
2

u

r'

p ' e −ip ' xγ µ

( )


1
2

− i( p '− p ) x

12

u r ( p ) eipx

.

(1.5)


Thay (1.5) vào (1.3) ta được yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của
electron ở trường điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :

( ) ( p' ) γ u ( p ) A ( p' − p ) ,

2
p 'r ' | S1 | pr = −e pmp'
0 0

trong đó: u

r

( p) :



Chú ý có thể viết yếu tố ma trận (1.6) dưới dạng tương tự:
p' r' S1 pr = δ ( p'0 − p0 )R fi

(1.7)

trong đó R fi được xác định bằng công thức:
1/ 2

 m2 
r'
r
ext
R fi = −2π e.
÷ u ( p')γ µ u ( p )Aµ ( p' − p ) ,
 p0 p'0 

(1.8)

và được gọi là biên độ tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài tĩnh
(trường thế Coulomb) trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo
electron.
Giữa R fi và xác xuất của phép dời chuyển từ trạng thái ban đầu đến trạng thái
cuối do tương tác M fi có mối liên hệ như sau:
R fi = δ ( Pf − Pi )M fi
trong đó Pi và Pf là xung lượng của trạng thái đầu và trạng thái cuối.
Vì hạt ở trong trường ngoài không đổi, nên xung lượng của hạt không bảo toàn,
mà chỉ có năng lượng bảo toàn nên công thức (1.7) khác công thức
uur ur
uur ur


ta có:

ur
2
r'
e2
1
d p'
r
ext
ur
∑ u ( p')γ µ u ( p )Aµ ( p' − p ) δ ( p'0 − p0 ) p '
p 1. 1 + 1  ra r'a
0

÷
2



(1.10)

ext
Lưu ý Aµ là thực khi µ = 1, 2,3 và là ảo khi µ = 4 , đồng thời γ k (k=1,2,3) phản

giao hoán với γ 4 nên:
*

*

Song A4 A4 = V ;γ µ = γ µ vậy:

14

(1.11)


2
ur ur
ur ur
u r' ( p')γ u r ( p ) = −u r' ( p')γ u r ( p )* γ u r ( p')Aext ( p' − p )Aext ( p' − p ) .
µ
µ
v
µ
v



(1.12)

Chú ý hệ thức /9/
 µp + im 
r
r
u
(
p
)u
(

ur ur
ur ur
e2
ur 2 Sp γ µ µp + im γ v µp' + im  Aµext ( p' − p )Avext ( p' − p ) ×


2 p 4m
ur
d p'
×δ ( p'0 − p0 )
. (1.14)
p'0

uur ur
p'
=
p
Theo định luật bảo toàn năng lượng 0
0 suy ra p' = p , trong toạ độ cầu,

chúng ta tính tích phân:

∫

uur 2 uur
p' d p' d Ω
uu
r
uu
r


)

ur ur
ur ur
dσ
e2
γ µp + im γ µp' + im  Aext ( p' − p )Aext ( p' − p )
=
Sp
µ
v
v
. (1.16)
 µ
d Ω 8 ( 2π ) 2 

15


Bây giờ ta tính vết ở công thức (1.16)

(

) (

)

Sp γ µ µp + im γ v µp + im  = Sp ( γ µ γ ρ pρ + iγ µ m ) ( γ vγ σ p'σ + iγ v m ) 


÷ = 2 r2 2 δ µ 4δ v 4  pµ p'v + pv p'µ − δ µ v ( pp' + m )  ,
 d Ω  8π q
2

0

( )

r

r ur ur

(1.20)

trong đó q là xung lượng truyền và q = p' − p và ta có thể biểu diễn nó qua góc
tán xạ và độ lớn của xung lượng :
ur
ur
p' = p = p
16


r2
ur ur 2
θ
q = p' − p = 2 p 2 ( 1 − cos θ ) = 4 p 2 sin 2
2

(



p2
ta có:
2m
2



÷
Ze 2
 dσ  
÷.

÷ =
 d Ω   16π E sin 2 θ ÷

2
0

(1.23)

Công thức (1.23) khác công thức Rutherford bởi bổ chính

p2
θ
cos 2 , nó được
2
m
2



(h)

Hình vẽ 1.2: Giản đồ Feynman cho bổ chính cho tán xạ đàn tính
của electron trong trường điện từ ngoài

Giải thích hình 1.2: Giản đồ (1.2a) diễn tả quá trình tán xạ của electron
trong trường điện từ ngoài gần đúng bậc nhất. Electron xung lượng p bay vào
vùng có trường điện từ và lệch hướng bay ra có xung lượng p’. Giản đồ (1.2b)
electron khi bay vào vùng có trường điện từ đã bức xạ ra một photon và lệch
hướng bay đồng thời hấp thụ photon đã bức xạ trước rồi ra khỏi vùng có trường
điện từ. Giản đồ (1.2c) diễn tả quá trình electron tương tác với trường điện từ
ngoài, sau quá tình tạo cặp và huỷ cặp electron và positron thành hai photon
e + + e − ↔ γ + γ . Giản đồ này giúp chúng ta tái chuẩn hoá điện tích của electron
18


trong quá trình tán xạ. Giản đồ (1.2d, 1.2e) trong quá trình tương tác với trường
điện từ ngoài electron bức xạ và hấp thụ các photon, quá trình này xảy ra có thể
trước hoặc sau tương tác với trường ngoài. Giản đồ (1.2f, 1.2h) xuất hiện do việc
kể thêm các phản thành phần có chứa thừa số δ m trong Lagrangian tương tác để
tái chuẩn hoá khối lượng electron trong quá trình tán xạ.
Theo quy tắc Feynman ta có bổ chính cho giản đồ đỉnh (1.2b):
Λµ (

v
d 4 k γ v ( p' − k + im ) γ µ ( p − k − im ) γ
p', p ) = −ie ∫
,
4


1

1
1
= 2! ∫ dx ∫ ydy
3 ,
a1a2 a3
 a1 xy + a2 y ( 1 − x ) + a3 ( 1 − x ) 
0
0
19

(1.27)


ta đặt: a1 = k 2 − 2 p' k ; a2 = k 2 − 2 pk ; a3 = k 2
thì biểu thức ở mẫu số (1.27) có thể viết lại:
a1 xy + a2 y ( 1 − x ) + a3 ( 1 − x ) = ( k 2 − 2 p' k ) xy + ( k 2 − 2 pk ) y ( 1 − x ) + k 2 ( 1 − x )
= k 2 − 2 ( qx + p ) ky

(1.28)

- Giá trị của (1.26) có thể viết lại:
N = γ v ( p' − k + im ) γ µ ( p − k − im ) γ v

= γ v ( p' + im ) γ µ ( p + im ) γ v − γ v ( p' + im ) γ µ ( k ) γ v − γ v ( k ) γ µ ( p + im ) γ v + γ v ( k ) γ µ ( k ) γ v
≡ A−B+C

Tính A:

= γ v p' γ µ kγ v + γ vimγ µ kγ v + γ v kγ µ pγ v + γ v kγ µ imγ v
= −2kγ µ p' + ( 4 − n ) p' γ µ k + 4imγ µ k + ( n − 4 ) imγ µ k − 2 pγ µ k + ( 4 − n ) k γ µ p + 4imk γ µ

+ ( n − 4 ) imγ µ
21


= −2kγ µ ( p + q ) + ( 4 − n ) ( p + q ) γ µ k + 4imγ µ k + ( n − 4 ) imγ µ k − 2 ( p' − q ) γ µ k

+ ( 4 − n ) kγ µ ( p' − q ) + 4imk γ µ + ( n − 4 ) kγ µ
= 2kγ µ p − 2kγ µ q + ( 4 − n ) pγ µ k + ( 4 − n ) qγ µ k + 2im ( γ µ k + k γ µ ) + ( n − 4 ) imγ µ k
−2 p' γ µ k + 2qγ µ k + ( 4 − n ) kγ µ p' − ( 4 − n ) kγ µ q + 2im ( γ µ k + k γ µ ) + ( n − 4 ) imk γ µ
= −2imkγ µ + ( 4 − n ) imkγ µ + 2im ( γ µ k + kγ µ ) + ( n − 4 ) imγ µ k − 2imγ µ k + ( n − 4 ) imγ µ k
+2im ( γ µ k + kγ µ ) + ( n − 4 ) imkγ µ + 2 ( qγ µ k − kγ µ q ) + ( 4 − n ) ( qγ µ k − kγ µ q )
⇒ B = 2im ( γ µ k + k γ µ ) + ( 6 − n ) ( qγ µ k − k γ µ q ) .

(1.30)

Tính C:
C = γ v ( k )γ µ ( k )γ v = −2kγ µ k + ( 4 − n ) kγ µ k = ( 2 − n ) kγ µ k .

(1.31)

Vậy ta có:
N = −4m 2γ µ + ( 2 − n ) q 2γ µ − 2im ( γ µ k + k γ µ ) − ( 6 − n ) ( qγ µ k − k γ µ q ) + ( 2 − n ) k γ µ k

(1.32)

Tính các tích phân (1.26) với A, B, C được xác định bởi các công thức tương
ứng (1.29), (1.30), (1.31) dựa và các tích phân (A.3) và (A.9) ở phần phụ lục ta

3

d nk

i

n

( 2π )

n

kσ kv

 k 2 − 2 ( qx + p ) y 

3

=

i

=

(2 π)

=

(2 π )



1 12 n − 3   1 
C  Γ  3 − n ÷ y ( qx + p ) σ y ( qx + p ) v +
Γ ( 3)
  2 

1 1


+Γ  2 − n ÷ δσ vC  .
2 2



(1.35)

Sử dụng các biểu thức ( 1.29 ÷ 1.31) và tích phân ( 1.33 ÷ 1.35 ) ta có:

A × I1 = ( −4m 2γ µ − ( 2 − n ) q 2γ µ )

i

(2 π )

n

1 

Γ3 − n÷ 1
2  2 n −3


(2 π )

n

1 

Γ3 − n÷ 1
2  2 n −3

C
Γ ( 3)


=  2imxy ( γ µ q + qγ µ ) − 4m 2 yγ µ − 2 ( 6 − n ) q 2γ µ xy + ( 6 − n ) imy ( γ µ q + qγ µ )  ×

(

i
2 π

=  2im 2δ µ v qv ( 2 xy + ( 6 − n ) y ) − 4m 2 yγ µ − 2 ( 6 − n ) q 2γ µ xy 

(

)

n

1 


1
n −3  
1
1 
C 2 Γ  3 − n ÷ y ( qx + p ) σ y ( qx + p ) v +
Γ ( 3)
2 
 

1 1


+Γ  2 − n ÷ δσ vC 
2 2



= ( 2 − n ) γ σ γ µ γ v ( qx + p ) σ ( qx + p ) v

1 
1 


Γ3− n÷
Γ2 − n÷
2 
2
2 
y2 

Γ ( 3)
Γ ( 3)

24


1 
1 


Γ3 − n÷
Γ2 − n÷
2 
2
2 

= ( 2 − n )  − x 2 q 2 γ µ + ximqγ µ + ximγ µ q − m 2γ µ  
+ ( 2 − n)
Γ ( 3)
Γ ( 3)

(1.38)
Thay ( 1.36 ÷ 1.38 ) vào (1.26) ta được:
Λ µ ( p', p ) =

(2 π )

1
n −3


⇒ Λ µ ( p', p ) =

(

e2
2 π

1
1
 1
1  2 n −3
1 
1  2 n −3
2

∫0 dxdyy γ µ 2 ( 2 − n ) Γ  2 − 2 n ÷ C −γ µ 2 Γ  3 − 2 n ÷ C
1

)

n

(

)

×  m2 ( 4 + 2 y − 12 xy − 4 xy 2 + ( 4 − n ) 2 xy 2 ) + q 2 −2 + 2 y − 2 xy 2 + 2 x 2 y 2 + ( 4 − n ) ( xy 2 − x 2 y 2 ) 


1