ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
…………………… …………………..

Nguyễn Thị Thu

KHỬ PHÂN KỲ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CẮT XUNG LƯỢNG LỚN
TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60.44.01

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:
GS.TSKH.TOÁN LÝ. NGUYỄN XUÂN HÃN

Hà Nội

1


MỞ ĐẦU
Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp của lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín)
ta không gặp các tích phân phân kỳ, nhưng tính các bổ chính lượng tử bậc cao
cho kết quả thu được, ta gặp phải các tích phân kỳ ở vùng xung lượng lớn của
các hạt ảo, tương ứng với các giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo.
Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân phân kỳ phải
tiến hành theo cách tính toán như thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ
được giải thích vật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu được

CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÒNG

1.1. S - ma trận và giản đồ Feynman

Biên độ xác suất của các quá trình tán xạ được xác định bằng các yếu tố

của S – ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ các trạng đầu và các trạng thái cuối
của quá trình vật lý:
S =S

( 0)

(1.1)

( 1)

+S +S

( 2)

+ ... =

2

= 1+ iT ò L int

ﾧ

(i)
(x)d x + T


(i)
+

2

2!

T < f | ò L int(x)L int(y)d4xd4y | i > +....

(1.4)

4


1.2. Hàm Green và hàm đỉnh
Hàm Green hai điểm là tổng các giản đồ liên kết yếu mà mỗi thành

phần của nó là giản đồ liên kết mạnh1 của một hạt.
Hàm Green của photon, được xác định bằng công thức:

Gmn(
(1.5)

5


|A0>
(
y

giản đồ sau:

7


G
J m*=
m
m
ab
LG
Hình 1.2. Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron và phần
năng lượng riêng

Hàm đỉnh được cũng được xác định bằng:
(1.7)

Giản đồ Feynman (1.7) tương ứng :

1.3. Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman

Tất cả các tích phân này đều có dạng:
(1.8)

8


v
=
F


sẽ là (n-1), và số biến sẽ tiếp tục giảm đi. Tổng số đường trong là .
Vậy số các biến độc lập sẽ là:

(1.13)

10


1
D
S
K 22 =
p
Do ~

và ~, bậc
luỹ

thừa

của

mẫu

sẽ là:

(1.14)

Thay

vào biểu thức của (1.18) ta

13


thu được:

ﾧ

(1.19)
Từ tham số này ta có thể đưa ra bậc hội tụ hay phân kỳ của biểu thức
(1.17):
Khi phân tích các giản đồ Feynman trong QED, các giản đồ Feynman tiêu
biểu chứa phân kỳ có dạng cho dưới đây:

Hình 1.4. Giản đồ năng lượng

Hình 1.5. Giản đồ năng lượng

riêng của electron

riêng của photon

:
Hình 1.7. Quá trình tán xạ

Hình 1.6. Giản đồ đỉnh bậc 3

ánh sáng – ánh sáng


(2)

Bây giờ ta biểu diễn tenxo qua hàm vô hướng :
(2.2)

Trong đó:

(2.3)

(2.4)

k k 
1
Π (2) (k 2 ) =  g µν − µ 2ν ÷Π (2)
µν ( k )
3
k 

Từ đây suy ra:

Nhân hai vế của

(2.2) với ta nhận được công thức (2.4)

k µ kν
k2

Π

2


( )

Để chứng minh

mối liên hệ này ta

chỉ cần thay (2.3) và (2.4) vào (2.2), với chú ý các hệ thức liên hệ : và ;

16

( )

k µ kν
k2


22))
Π ((µν
(( k ))

(

)

pˆ − kˆ − m
( pˆ − m )
e2
Π µν ( k ) =
Sp γ µ

Π µν (
2
( )
= 8  2m 2

2

2

}

)

− 2 pk + k 2 + m 2 + m 2 − k 2 + pk 


(2.5)

Lấy vết của tử thức (2.5):
( 2)

Π µν =

ﾧ

8e 2

( 2π )

 I1 + kσ I 2 + (m − k ) I 3  (2.6)


1

theo xung lượng




Λ 
k
I 3 = −iπ 2 ∫ dx 1 − ln 2 ÷+ ln 1 + 2 x (1 − x) ÷ 4 chiều:
m 
 m

0

1

2

(2.8)

ﾧ

(2.9)

ﾧ

(2.10)



4

k

2

Sp ∫ γ µ

( pˆ − m ) γ
p +m
2

2 ν

( pˆ − kˆ ) − m

( p−k)

2

+m

2

d4p

kµ kν
iπΠ
= −2

{

(

} {

)

2
Sp kˆ ( pˆ − m ) kˆ i pˆ − kˆ − m  = 4 ( p − k ) + m 2 − k 2 + 3 pk  k 2 − 2 ( pk ) µ ( pk ) ν





}

Vết của tử thức (2.12):
(2.13)

k µ kν
k2

Π (µν2) ( k ) =

4e 2

( 2π )

4

2
2
2
2


k
( p + m )  ( p − k ) + m 


(2.14)

Ba tích phân đầu chính là I1, I2, I3 chúng ta đã tính ở trên theo biểu thức

(2.8 – 2.10), ta chỉ còn phải tính tích phân thứ tư:
I4 = ∫

ﾧ

(

pµ pν d 4 p

)

ﾧ

2
p + m ( p − k ) + m 2  1



2

1


8iπ 2 e 2  2
k2
k 2  Λ2 5 
=
k x ( 1 − x ) ln 1 + 2 x ( 1 − x ) ÷dx −  ln 2 − ÷
4 
6  m 6 
( 2π )  ∫0
 m


(2.17)
Khai triển Taylor theo ta thu Π ( 2k) 2( k ) được:
Π

( 2)

( k) = Π

( 2)

 ∂Π ( 2 ) ( k )
( 0 ) + 
2

−
ln
+ 1 + ln1÷dx  =

4 
2
2
∫
m
m
3 ( 2π ) 
  ﾧ
0

=

8iπ 2 e 2
3 ( 2π )

4

(Λ

2

− m2

ﾧ

)

−
x
dx
−
) 
( ) ÷   ln 2 − ÷
 (
2
∂k 2  ∫0
 m
  6 m 6ﾧ

ﾧ

( )

 ∂Π ( 2 ) ( k )

 ∂ k2


( )

( 2)

( ) = Π ( k) −Π

ΠR k

ﾧ


 
8iπ 2ek 2=0 2
k2
=
k
x
1
−
x
ln
1
+
x ( 1 − x ) ÷dx 
(
)

4 
2
∫
( 2π )  0
 m
 

1

1

0


0
1 − + 1

a


1

(

i
(( γ2))
Π
=
−
GRR (
k
1
1
1
z−
1
4
V0 ( a ) = ∫ ln 1 + ax ( 1 − ax ) dx = −2 +
1 + ln
, z± = 1 ± 1 + ÷
2
a 1+ 1
2
a÷

2
 4m

(

)

ﾧ

(2.24)
Ta
thu

(2.25)

 1 k2

4 4
2
2
η
ln
∫−1 1 + 4 m2 1 −η dη  = − 9 + 3 ( 1 − θ cot gθ ) cot g θ 2.2. Giản đồ
1

(

2

)