ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
*************** CHU MINH TÁI CHUẨN HÓA BẰNG PHƢƠNG PHÁP
ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG
LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC


Hà Nội – 2011
1
MỤC LỤC
Mở đầu ………………………………………………………………
1
Chương 1. Các giản đồ phân kỳ một vòng 1.1. S-matrận và giản đồ Feynman
4

1.2. Hàm Green và hàm đỉnh
7

1.3. Bậc hội tụ của giản đồ Feynman ……………………
9
Chương 2. Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp
điều chỉnh thứ nguyên 2.1. Giản đồ phân cực photon ………… ………
15

2.2. Giản đồ năng lượng riêng của electron …….…
22

2.3. Hàm đỉnh bậc ba .………………… ……… …
27


int
Lgf=

65
2
MỞ ĐẦU
Những thành tựu của điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics -
QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn
hóa khối lượng và điện tích đã cho phép tính toán các quá trình vật lý phù hợp khá
tốt với số liệu thu được từ thực nghiệm, với độ chính xác đến bậc bất kỳ của hằng
số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn
2
1
4 137
e
a
p
==
. Trong các lý thuyết trường
tương tác thì QED là lý thuyết được xây dựng hoàn chỉnh nhất. Mô phỏng các
phương pháp tính toán của các quá trình vật lý trong QED người ta có thể xây dựng
công cụ tính toán cho Sắc động học lượng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) –
lý thuyết tương tác giữa các hạt quark - gluon, tương tác yếu hay các lý thuyết thống
nhất các dạng tương tác như lý thuyết điện yếu và tương tác mạnh và được gọi là
mô hình chuẩn [6, 7, 13, 18].
Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn ở bậc thấp của lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín) ta không gặp
các tích phân phân kỳ, nhưng tính các bổ chính lượng tử bậc cao cho kết quả thu
được, ta gặp phải các tích phân kỳ ở vùng xung lượng lớn của các hạt ảo, tương ứng
với các giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo. Các giản đồ này diễn tả sự tương

- Chương I: Các giản đồ phân kỳ một vòng.
Chương này dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến. Trong
mục 1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận và quy tắc Feynman để mô tả các quá
trình vật lý. Mục 1.2 dành cho việc trình bày các hàm Green của photon,
electron, và hàm đỉnh trong QED. Phân tích các bậc phân kỳ trong QED ở
bậc thấp nhất được trình bày ở mục 1.3.
4
- Chương II: Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp điều
chỉnh thứ nguyên.
Trong chương này chúng ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ bằng
phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong QED. Mục 2.1 xem xét toán tử
phân cực bậc hai của photon – giản đồ năng lượng riêng của photon. Trong
mục 2.2 xem xét giản đồ năng lượng riêng của electron. Trong mục 2.3 xem
xét hàm đỉnh ở bậc thấp nhất. Đồng nhất thức Ward –Takahashi được được
chứng minh bằng đồ thị ở mục 2.4.
- Chương III: Tái chuẩn hóa trong QED.
Trong chương này ta tái chuẩn hóa cho giản đồ một vòng trong QED. Mục
3.1 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron. Mục 3.2 dành cho việc
tái chuẩn hóa khối lượng. Mục 3.3 tái chuẩn hóa hàm đỉnh. Chứng minh
một cách định tính: trong việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của
electron, các tích phân phân kỳ “biến mất” vào điện tích vật lý và khối
lượng vật lý của electron. Mục 3.4 trình bày việc chứng minh việc tái chuẩn
hóa QED trong gần đúng một vòng.
- Phần kết luận tóm tắt các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận khả
năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trường tương
tự.
Trong bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử
1c==h
và
metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [7]) tất cả bốn thành

int 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L x N J x A x e N x x A x
mm
mm
y g y==

là Lagrangian của tương tác điện từ,
0
e
là điện tích “trần” của electron. Mỗi đỉnh
tương tác sẽ có ba đường vào ra, trong đó có một đường photon, hai đường electron
hay positron. Sử dụng phép khai triển hàm mũ
2
0
1
! 2!
n
z
n
zz
ez
n
¥
=
= = + + +
å
ta có
thể viết biểu thức S – ma trận (1.1) dưới dạng:
(0) (1) (2)
2

M
là biên độ
xác suất dời chuyển, có ý nghĩa trong việc xác định tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã
hay thời gian sống của hạt. Hàm delta diễn tả định luật bảo toàn năng xung lượng
của quá trình vật lý. Thay công thức (1.2) vào
||f S i<>
ta có:

(0) (1) (2)
4
int
2
44
int int
| | | | | | | |
| 1 | | ( ) |
()
| ( ) ( ) |
2!
f S i f S i f S i f S i
f i iT f L x d x i
i
T f L x L y d xd y i
< > = < > + < > + < > +
= < > + < > +
+ < > +
ò
ò
(1.4)
Sử dung khai triển (1.4), cụ thể các hạt ở trạng thái đầu và trạng thái cuối ta có

÷
ç
èøElectron ở trạng thái
cuối
( )
( )
1
2
30
2
1
2
r
m
up
p
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø

Positron ở trạng thái
cuối
( )
( )
1
2
30
2
1
2
r
m
up
p
p
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èøPhoton ở trạng thái đầu
hay ở trạng thái cuối

( )
( )
4
4 2 2
1
()
ˆ
2
ˆ
2
i
Sp
pm
i p m
pm
p
p
==
-
+
=
-Chuyển động photon
giữa hai đỉnh

( )
42
1

- Các phần năng lượng riêng của photon
- Các phần năng lượng riêng của của electron
- Các phần đỉnh
- Phần tán xạ photon – photon diễn tả sự tương tác của hạt với chân không
vật lý. Các giản đồ này liên quan đến việc tính các số hạng bổ chính bậc
cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, hay cụ thể hơn là tính hàm Green
của photon, hàm Green của electron và hàm đỉnh trong lý thuyết tương
tác giữa trường electron – positron với trường điện từ.
Hàm Green hai điểm là tổng các giản đồ liên kết yếu mà mỗi thành phần của nó
là giản đồ liên kết mạnh
1
của một hạt.
Hàm Green của photon, được xác định bằng công thức:
( ) 0 ( ) ( ) 0G x y i T A x A y
mn m n
éù
- = < >
êú
ëû
(1.5)
trong đó
|0>
là véctơ trạng thái chân không của các trường tương tác, còn
()Ax
m

và
()Ay
n
là các toán tử trường điện từ trong biểu diễn Heisenberg.

là các toán tử trường electron – positron trong biểu diễn
Heisenberg. Hàm Green của electron có thể được biểu diễn bằng tổng các giản đồ
sau:

Hình 1.2. Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron
và phần năng lượng riêng
Hàm đỉnh được cũng được xác định bằng
( ) ( ) ( )
( )
, , 0 ( ) 0z x y T A z x y
mab m a b
yyG = < >
(1.7) i
i

i

i




m
G
và sơ đồ xương
*
m
L
.Các đường ngoài bị bỏ
1.3. Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman
Khi tính toán các giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lượng), theo qui tắc
chung chúng ta phải lấy tích phân theo tất cả các đường xung lượng trong của giản
đồ. Tất cả các tích phân này đều có dạng:
4 4 4
1 2 1 2
( , , , )
nn
J F p p p d p d p d p=
ò
(1.8)
Trong đó:
12
( , , , )
n
F p p p
là hàm hữu tỉ và là tỉ số của hai đa thức: n là số
đường xung lượng trong. Tương ứng với mỗi đường xung lượng trong của fermion -
electron ta có hàm truyền
S
~
1
p

p
F
: số đường xung lượng trong của photon.
p
N
: số đường xung lượng ngoài của photon.
v
: số đỉnh.
Trong mỗi vòng kín (loop) các đường xung lượng trong, số các đường trong
bằng số đỉnh:
nv=
, đồng thời lưu ý hai điểm sau:
+ Mỗi đỉnh tương ứng với 1 đường photon, như vậy số đỉnh bằng tổng số đường
photon, cũng phải chú ý rằng số đường trong phải được tính đến hai lần vì nó nối
với hai đỉnh
2
pp
v F N=+
(1.9)
+ Mỗi đỉnh tương ứng với hai đường xung lượng electron, tổng số đỉnh bằng
một nửa số đường xung lượng electron:
22
ee
v F N=+
(1.10)
Từ (1.9) và (1.10) ta thu được:
11
22
pp
F v N=-

S
~
1
p
và
D
~
2
1
p
, bậc luỹ thừa của mẫu sẽ là:

2
2
pe
K F F=+
(1.14)
Thay (1.11) và (1.12) vào (1.13) và (1.14) ta thu được:

1
1 1 1
1
2 2 2
pe
K v N N= - - +
(1.15)

2
1
2


13
Thay (1.15) và (1.16) vào biểu thức của (1.18) ta thu được:
3
4
2
ep
K N N= + -
(1.19)
Từ tham số này ta có thể đưa ra bậc hội tụ hay phân kỳ của biểu thức (1.17):
+ Nếu
0K >
: tích phân này hội tụ.
+ Nếu
0K £
: tích phân này phân kỳ.
-
0K =
: phân kỳ lôgarit.
-
1K =-
: phân kỳ tuyến tính.
-
2K =-
: phân kỳ bậc hai.
-
3K =-
: phân kỳ bậc ba
Khi phân tích các giản đồ Feynman trong QED, các giản đồ Feynman tiêu biểu
chứa phân kỳ có dạng cho dưới đây:

Hình 1.6: Số đường photon ngoài bằng 1, số đường electron ngoài bằng 2, bậc
phân kỳ là:
0K =Þ
Phân kỳ loga.
Hình 1.7: Số đường photon ngoài bằng 4, số đường electron ngoài bằng 0, bậc
phân kỳ là:
0K =Þ
Phân kỳ loga.
Các giản đồ này diễn tả sự tương tác của các hạt với chân không.
Giản đồ Hình 1.6 diễn tả sự tương tác của electron với các dao động không (các
thăng giáng) của các phôtôn, hay nói một cách khác là sự tương tác với chân không
của trường điện từ. Giản đồ này diễn tả sự xuất hiện năng lượng riêng trường điện
từ của electron (hiệu ứng tự tương tác).
Giản đồ Hình 1.5 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường
electron - positron - hay gọi là giản đồ năng lượng riêng của phôtôn.
Giản đồ Hình 1.7 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường
electron - positron hay quá trình tán xạ của ánh sáng - ánh sáng qua việc sinh cặp
electron - positron và sau đó lại hủy cặp này. Đây là một quá trình vật lý đặc biệt
của điện động lực học lượng tử chúng tôi không xem xét ở đây. Nghiên cứu quá
trình này chúng ta sẽ tính được những bổ chính phi tuyến cho phương trình
Maxwell. Trong điện động lực học cổ điển quá trình tán xạ ánh sáng - ánh sáng
không tồn tại vì sự tuyến tính của phương trình Maxwell.
Giản đồ Hình 1.6 được gọi là giản đồ đỉnh và khi tính toán giản đồ này ta cũng
thu được biểu thức phân kỳ.
15
Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED:
Ví dụ
Nhận xét

Giản đồ chân không . Giản đồ này có thể không


Hình 2.1. Giản đồ phân cực photon.
Biểu thức toán học tương ứng của giản đồ này viết trong D – biểu diễn theo
phương pháp chung của chỉnh thứ nguyên:
22
2 2 2 2
ˆ
ˆˆ
()
(2 ) ( )
D
v
D
d p p k m p m
k ie Sp
p k m p m
e
mn m
m g g
p
- + +
P=
- - -
ò
. (2.1)
Sử dụng công thức tham số hoá tích phân Feynman:
( )
1
2
0

ëû
= - - +

Chúng ta thu được:
( )
1
22
2
2 2 2
0
ˆ
ˆˆ
()
()
(2 )
2
D
v
D
Sp p k m p m
dp
k ie dx
p pkx m k x
m
e
mn
gg
m
p
éù

+ - = - - +
= - + -

Suy ra:

1
22
2
2 2 2
0
ˆˆ
ˆˆ
{ ' ( 1) } ( ' )
'
()
(2 )
' (1 )
D
D
Sp p k x m p kx m
dp
k ie dx
p m k x x
mn
e
mn
gg
m
p
éù

k ie dx
p m k x x
mn
e
mn
gg
m
p
éù
+ - + + +
êú
ëû
P=
éù
- + -
êú
ëû
òò

(2.5)
18
Ta tính vết của tử thức (2.5), lưu ý rằng vết của tích lẻ các ma trận Dirac bằng
không và tích phân đối xứng của hàm lẻ bằng không. Vì vậy, ta chỉ tính phần:
ˆˆ
ˆˆ
{ ( 1) } ( )
{( )[ ( 1) ]}
TS Sp p k x m p kx m
Sp p xk m p x k m
mn

m n r s mr ns mn r s ms r n
gg
g g g g
==
= - +

Chú ý:
2
2 2 2
( ).
0
(1 )
D
F p d p
p m k x x
=
éù
- + -
êú
ëû
ò
, với F(p) chứa bậc lẻ của p.
Lưu ý rằng
2
1
p p g p
D
m n mn
=
, do đó:

(2 )
(1 )
[2 2 (1 )( )] [ (1 )]
( ) ( ) ( )
D
D
iDe d p
k dx
p m k x x
p p x x k k k g g p m k x x
dx k k k
e
mn
m n m n mn mn
mn mn mn
m
p
P = ´
éù
- + -
êú
ëû
´ - - - - - + -
= P + P + P
òò
ò

(2.7)
19
Tính

ò22
2
1
22
2
2
(1 )
2
( 1)
(4 )
(1 )
D
D
D
D
eD
g
m k x x
e
mn
m
p
æö
÷
ç
÷
ç-

(2 )
(1 )
(1 )
2
( 1)
(4 )
(1 )
D
D
D
D
D
iDe d p
kg
p m k x x
D
eD
g
m k x x
e
mn mn
e
mn
m
p
m
p
æö
÷
ç

2
2 2 2
22
2
2
2
22
2
2
2
( ) (1 )( )
(2 )
(1 )
(2 )
2
2
( 1) (1 )( )
(4 )
(1 )
D
D
D
D
D
iDe d p
k x x k k k g
p m k x x
D
eD
x x k k k g

ëû
ò

(2.10)
20
Cui cựng:

1
(3)
0
( ) ( )k k dx
mn mn
P = P
ũ
(2.11)
Thay
1
4 2 ; (2 ) ( ) 0( )D
D
e e g e
e
2
= - G - = G = - +1
2
2
2
0

ỗ
ữ
ỗ
- + -
ốứ
ũ
(2.12)
p dng:

22
2 2 2 2
22
2
44
1 ln
(1 ) (1 )
(1 )
1 ln
4
m k x x m k x x
m k x x
e
pm pm
e
e
pm
ổ ử ổ ử
ữữ
ỗỗ
ữữ

1
( ) ( ) ( ) (1 )
( 1) 8
(1 )
1 ln
4
eD
k k k k g o x x dx
m k x x
mn m n mn
e
ge
e
p
e
pm
ộự
ờỳ
P = - - + -
ờỳ
-
ởỷ
ớỹ
ổử
ùù
- + -
ữ
ùù
ỗ
ữ

m k x x
x x dx
mn m n mn
e
ge
e
p
e
pm
ộự
ờỳ
P = - - +
ờỳ
-
ởỷ
ớỹ
ổử
ùù
- + -
ữ
ùù
ỗ
ữ
- -
ỗ
ỡý
ữ
ỗ
ữ
ùù

ge
e
p
e
pm
ộự
ờỳ
P = - - +
ờỳ
ởỷ
ớỹ
ổử
ùù
- + -
ữ
ùù
ỗ
ữ
- -
ỗ
ỡý
ữ
ỗ
ữ
ùù
ỗ
ốứ
ùù
ợỵ
ũ

ùù
ỗ
ữ
- - -
ỗ
ỡý
ữ
ỗ
ữ
ùù
ỗ
ốứ
ùù
ợỵ
ũ
(2.17)
Ti õy ta tỏch c phn phõn k v phn hu hn:

2
2
2
( ) ( )
12
div
e
k k k k g
mn m n mn
ep
P = -
(2.18)

ùù
ỗ
ốứ
ùù
ợỵ
ũ

(2.19)
Tớnh tớch phõn cú trong (2.19) vi:

2 2 2 2
2 2 2
(1 ) 4
ln ln 1 (1 ) ln
4
m k x x k
xx
mm
pm
pm
ổ ử ổ ử ổ ử
- + - -
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
= - - -
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ

pm
ổử
- + -
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ổử
ữ
ỗ
ữ
= - - - -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ổử
-
ữ
ỗ
ữ


ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
ũ
;
t
2
1
2 1 (1 ) (1 )
4
y x x x y= - đ - = -

22

2
1
2
0
2
1
22
2
0
2
1
22
2
1
. (1 ) ln (1 ) 1
1

ờỳ
ởỷ
ũ
ũ
ũ

t
2
2
2
sin ;
4
k t g
y
tg
m
x
q
q
==2
1
22
2
1
1
(1 ).ln 1 (1 )
8

= - -
ờỳ
ởỷ
ũ22
2
12
(1 cot ).
18
3
mk
g
k
qq
-
= + -

Ta thu c cỏc kt qu cui cựng:

2
2
2
1
( ) ( )
12
div
e
k k k k g

ổử
ùù

ữ
ùù
ỗ
ữ
+ - + -
ỗ
ỡý
ữ
ỗ
ữ
ùù
ỗ
ốứ
ùù
ợỵ
(2.21)
23
2.2. Giản đồ năng lượng riêng của electron
Hình 2.2. Giản đồ năng lượng riêng của electron.
Giản đồ năng lượng riêng của electron tương ứng với biểu thức (sau khi đã
chỉnh thứ nguyên):
(2) 2
2 2 2
ˆ

ˆ
ˆ
[]
( ) .
(2 ) [( ) ].
D
D
p k m
dk
p ie
p k m k
m
m
e
gg
m
p
-+
S = -

ò
(2.23)
Tính tử thức:
ˆˆ
ˆˆ
[ ] ( )TS p k m p k m
mm
m
m m m
g g g g g g= - + = - +