ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
PHẠM THỊ THUẬN MÔMEN TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON
VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG
ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM THỊ THUẬN

1.1.Phƣơng trình Pauli …7
1.2. Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng ngoài trong giới hạn phi tƣơng đối
tính ….8
1.3. Các bổ chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli ….11
CHƢƠNG 2: CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMEN TỪ DỊ
THƢỜNG CỦA ELECTRON ……………………………………………………… 20
2.1. S-ma trận … 20
2.2. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thƣờng … 24
2.3. Hệ số dạng điện từ 25
CHƢƠNG 3: BỔ CHÍNH CHO MÔMEN TỪ DỊ THƢỜNG … 29
3.1. Bổ chính cho mômen từ dị thƣờng trong gần đúng một vòng … 29
3.2. Mômen từ dị thƣờng cùng với các bổ chính lƣợng tử … 36
KẾT LUẬN … 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO … 39
PHỤ LỤC A … 40
PHỤ LỤC B … 49
PHỤ LUC C … 50 2 DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1. Chƣơng I…………………………………………………………………… 21
Hình 2. Phụ luc A…………………………………………………………………… 43
Hình 3. Phụ lục A…………………………………………………………………… 45

với trƣờng điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tƣơng tác từ tính mới. Cƣờng độ của
tƣơng tác này đƣợc mô tả bằng mômen từ electron

, và nó bằng
00
0
00
|1
22
ee
c
m c m

  



(
0
m
và
0
e
là khối lƣợng “trần” và điện tích “trần” của
electron,
0

- gọi là magneton Bohr). Các hiệu ứng phân cực của chân không– khi
tính các bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho mômen từ
electron, sau khi tái chuẩn hóa khối lƣợng electron

0
23
1 0,32748 1,184175
2
ly thuyet
  

  

    


(0.1)

 
0
1,001159652236 28 .

 
0
1,00115965241 20 .
R


(0.2)
Ở đây về cơ bản các giá trị mômen đƣợc tính bằng lý thuyết theo thuyết nhiễu
loạn (0.1) và giá trị đƣợc lấy từ số liệu thực nghiệm (0.2) có sự trùng khớp với

vắn tắt các xây dựng S-matrận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trƣờng
điện từ ngoài. Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một
vòng đóng góp cho mômen từ dị thƣờng của electron. Mục 2.3 dành cho việc thảo luận
ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tƣơng đối tính.
Chƣơng 3. Mômen từ dị thƣờng của electron trong gần đúng một vòng.
Trong mục 3.1 sử dụng phƣơng pháp điều chỉnh thứ nguyên ta tách phần hữu hạn và
phần phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng. Việc tính biểu thức bổ
chính cho mômen từ dị thƣờng trong gần đúng một vòng đƣợc tiến hành ở mục 3.2.
Lƣu ý, việc tính mômen từ dị thƣờng của electron là bài toán phức tạp, trong Luận văn
này bƣớc đầu ta đã thực hiện một loạt những động tác để đơn giản bài toán bằng việc
bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lƣợng photon, bỏ qua việc tái chuẩn hóa
khối lƣợng, điện tích của electron, hàm sóng của electron và trƣờng điện từ ngoài liên
quan tới các đƣờng ngoài trong giản đồ Feynman, và tính toán tới phần đóng góp chủ
yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman cho mômen từ dị thƣờng của electron.
Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu đƣợc và thảo luận việc tổng quát
hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tƣơng tự.
Trong Bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử

1c
và
metric Feynman. Các véctơ phản biến là tọa độ :

 
 
0 1 2 3
, , , ,x x t x x x y x z t x

     




6

CHƢƠNG 1 - PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON

Phƣơng trình Pauli và số hạng tƣơng tác giữa mômen từ của electron với trƣờng
điện từ ngoài có thể thu đƣợc bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phƣơng trình
Schrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tƣơng tác của mômen từ với
trƣờng ngoài đƣợc giới thiệu ở mục 1.1; ii/ Từ phƣơng trình Dirac cho electron ở
trƣờng điện từ ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tƣơng đối tính ở gần đúng bậc
 
v
c

ta có phƣơng trình Pauli cho electron với mômen từ. Nghiên cứu các bổ chính tƣơng
đối tính cho phƣơng trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụng phép biến đổi
Fouldy-Wouthuyen.
1.1 Phƣơng trình Pauli
Phƣơng trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trƣờng điện từ
ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng. Phƣơng trình Pauli
có dạng phƣơng trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàm song


trong phƣơng trình Pauli không phải là một vô hƣớng có một thành phần
 
,rt


phụ
thuộc vào các biến không gian và thời gian, mà còn chứa biến số spin của hạt là


















(1.1)
Vì hạt có spin nên nó có mômen từ. Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann mômen từ của
hạt với spin bằng
2

.

0
,
  


(1.2)

2
0
()
2
p
H U r
m


(1.4)
Nếu hạt ở trong trƣờng điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay thế dƣới đây
trong phƣơng trình Schrodinger

0
0
e
p p A
c
E E e





(1.5)
Kể thêm spin của hạt thì phƣơng trình mô tả phải có thêm một năng lƣợng phụ
 
0
0
2

    









   

(1.6)
ở đây
 
r

,
()Ar

là thế vô hƣớng và thế véc tơ của trƣờng điện từ. Phƣơng trình (1.6)
là phƣơng trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích đƣợc hiệu ứng Zeemann.
1.2 Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng ngoài trong giới hạn phi tƣơng
đối tính
Xuất phát từ phƣơng trình Dirac cho electron trong trƣờng ngoài ở dạng chính tắc ta
có:

02
0
00

d


  



   
  

   
   

(1.8) 8

Nhƣ vậy, phƣơng trình (1.7) sẽ biến thành hệ phƣơng trình

 
 
02
0
00
02
9
00
u
du







(1.9)
Trong đó chỉ số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) và d – “dƣới” (hai thành phần
dƣới). Kể thêm

2
0 ( ) 2 ( )
0 , 0 ,
2
1
u d u d
v
i e A m c O
tc






   








(1.11)
Còn phƣơng trình đầu của hệ (1.9) sẽ đƣa đến nghiệm âm (-)

2
( ) ( )
0
2
0
2
ud
e
v
p A O
m c c c





  








2
3
20
0
3
0
1
2
d
u
ev
i p A m c eA O
t m c c




  


    










  
  
,

e e e
p A p A B
c c ic
   
    
   
   




(1.15)
Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phƣơng trình Dirac

2
3
20
0
3
00
1
ˆ
,
22
0
ˆ























(1.16)
đúng đến bậc


2
2
v
c

tƣợng luận – “đƣa vào bằng tay”.

2
3
20
0
3
0
1
2
u
d
ev
i p A m c eA O
t m c c




  


     








2
v
c
.

 
† † † †
2
,
2
ie
jA
im c
         

     




(1.18)
Chúng liên hệ với nhau bằng phƣơng trình liên tục
/0tj

   
và trong trƣờng hợp
nghiệm dƣơng , các biểu thức này trùng với công thức của lý thuyết phi tƣơng đối
tính.
1.3 Các bổ chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli
Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tƣơng đối tính phƣơng trình Dirac ở trƣờng

   
   
(1.19)
cùng với 11 22
0
2 2 2
0
1
(1) ,
vv
i eA O O O
m c t c c
  
   


      
   



   

(1.20)


cao hơn và cao hơn bậc
 
/vc
sao cho
không động chạm đến điều nó sẽ đƣa đến chéo hóa toán tử K đung đắn tới bậc
 
/vc
.
Nhƣ vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta cần thu đƣợc

21
0
0, ,m c K U K UKU
  

   
  
(1.22)

23
23
,,
vv
K O O
cc
     
   
    
     

2
iS
i
U e S




  
(1.26)
Chúng ta có thể nghiên cứu lại phép khai triển Baker-Hausdorff (1.60) cũng nhƣ công
thức (1.62) cùng với phép thay thế cho việc tính toán
3


cho việc tính toán kết quả
K. Điều này sẽ dẫn đến

K
  
  
  
(1.27)
Cùng với 12 2 6 12 8

35
5
, , , ,
3 2 48
v
O
c
  
      



      

     




(1.29)
Nhƣ ta đã thấy


bây giờ đã nâng lên hai bậc
 
/vc
Từ đây chúng ta nhận đƣợc toán
tử
K


  
  
  
(1.31)
cùng với

 
2 6 12 8
2 6 12 8
2 4 2
2
1
, ,
2 8 8
v v v v
O O O O
c c c c
v
O
c
 
    
       
       
       
   


    



5
5
v
O
c
(hay cao hơn) ta nhận đƣợc toán tử chẵn 13  
2 4 5
5
1
,,
2 8 8
v
KO
c
 
    



     




22
,
0
1
i j i i j j
ij
ee
p A p A
m c c c

  
  
  
  


2
2 2 2 2
,,
00
1
ˆ
ijk k i i j j
i j k
i e e e
p A p A p A
m c c c m c c

    
    

   



(1.36)

Tiếp theo ta tính giao hoán tử
 
0
23
0
1
,,
e
p A i eA
m c c t
  
  

   







0
23
0

    




 
34
0
, , ,
ie e
p A E
m c c
    











 
34
0
,
ie
pE

   






  
34
, , ,
0
ˆˆ
2
ijk k ij i j ijk k j i
i j k i j
ie
i p E i E p
mc
    

  



   
22
3 4 3 4 3 4

m c m c




    






4
22
2
3 2 3 4
00
1
88
ee
p A B
m c c m c



  






(1.40)
Tất cả ở đây, ta thấy việc chéo hóa thành công của toán tử Dirac Hamilton cho những
bậc cao hơn có thể thực hiện
 
/vc
Vậy ta đã giả thiết một số điểm sau đây
, , 2
i j i jk k i j i jk k
ii
       



15

- Khi các
, , SS

là tự liên hợp, thì các ma trận biến đổi Fouldy –Wouthuyen
, , UU

cũng là những phép biến đổi unita. Điều này có nghĩa bất biến của giá trị trung
bình nhƣ phép biến đổi
 
1
UU

- Các toán tử một hạt nhận đƣợc trong biểu diễn Fouldy –Wouthuyen theo phép biến
đổi cho các toán tử ban đầu (tƣơng đối tính) và sau đó tách các phần chéo. Phƣơng
pháp Fouldy –Wouthuyen là không định xứ và “loang ra” của tọa độ hàm sóng cùng
với kích thƣớc so với bƣớc sóng Compton của hạt.
- Phƣơng pháp Fouldy –Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lý trong vùng
đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy –Wouthuyen là hội tụ.
- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac. phép biến đổi Fouldy –
Wouthuyen đã cung cấp phƣơng pháp chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc bất kỳ hữu hạn
nào đấy. Viết phƣơng trình Dirac (1.7) dƣới dạng.

2 (0) (0) (0) (0) (0)
0
0,m c K K
   
   
(1.43)
Cùng với các toán tử chẵn
 
0

,
 
(0) 2 2
/O v c


và toán tử lẻ
 
 
0

n
n
i
U





(1.46)
Ta nhận đƣợc biểu diễn mới của lý thuyết Dirac mà trong đó 16 2 2 1
( ) ( )
2 2 1
,
n
nn
n
vv
OO
cc
  


   


      

(1.49)
Giới hạn hai thành phần trên của spinor , toán tử Hamiltonian tƣơng ứng
 
2 4 2
22
0
3 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
2 8 8 4
u
p p V
H m c V r V L
m m c m c m c r r



      


(1.50)
Thành phần thứ tƣ ở vế phải là bổ chính tƣơng đối tính cho thế năng. Thành phần thứ
năm là bổ chính tƣơng đối tính cho trƣờng xuyên tâm mà ta biết Darwin term và có thể
gia tốc chuyển động lắc của electron. Thành phần cuối cùng chứa năng lƣợng tƣơng tác
giữa spin của electron (hoặc là mômen từ ) và mômen góc quỹ đạo. Nhận thấy rằng
trong thành phần này đƣợc lấy một cách chính xác bằng thừa số 4 trong mẫu số
1

(1.51)
Ở đây số hạng Dawin chỉ ảnh hƣởng tới các s-trạng thái.

1
Trong cơ học lƣợng tử phi tƣơng đối tính số hạng này đƣợc giải thích cổ điển nhƣ sau:
Ltrong hệ nghỉ của lực trung tâm sinh ra từ trƣờng ở vị trí của electron và tƣơng tác với spin
của nó. Tuy nhiên, khi chuyển động không đồng nhất của electron không phải lý do xem xét
thì số hạng này quá lớn và lớn hơn 2.
 
 
0
,0eA V x V r A  17

Tổng kết
- Bậc thấp nhất (giới hạn phi tƣơng đối tính) phép gần đúng phi tƣơng đối tính của
phƣơng trình Dirac sẽ dẫn đến việc chéo hóa toán tử Hamilton tự liên hợp . Từ đây suy
ra hai lý thuyết một hạt để cho hạt và phản hạt, mà trƣớc đây nó đồng nhất cho phƣơng
trình phi tƣơng đối tính Pauli cho hạt có spin bằng ½.
- Nói chung khác với trƣờng hợp tự do, toán tử Dirac –Hamilton là toán tử chéo chỉ là
gần đúng. Điều này có thể đạt đƣợc bằng cách sử dụng phƣơng pháp Fouldy –
Wouthuyen mà trong đó toán tử Hamilton đƣợc chéo hóa thành công ở các bậc cao hơn
 
/vc
. Đối với phần chẵn của toán tử đƣợc chéo hóa và toán tử Hamilton tự liên hợp là
đúng đắn đến bậc đƣợc nghiên cứu
 
/vc


với từ trƣờng ngoai
H

. Hạt có spin bằng
½ có điện tích e, sẽ có mômen từ

0
2
ee
S
mc mc
   
  


  

- Mômen từ dị thƣờng trong QED và giản đồ Feynman
Theo lý thuyết Dirac mômen từ của electron có dạng

0
2
e
mc



- magneton Bohr



19

CHƢƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMEN TỪ
DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON

Xuất phát từ Lagrance tƣơng tác của electron với trƣờng ngoài ta viết S-matrận
tƣơng ứng ở mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trƣờng điện từ ngoài
 
ext
Ax

.
Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng cho đóng
góp vào mômet từ dị thƣờng của electron. Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật
lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tƣơng đối tính
2.1 S-ma trận
Chúng ta xem xét quá trình tán xạ electron với trƣờng ngoài. Nếu trƣờng ngoài là
rất yếu, ta xem xét những bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, nhƣng về nguyên tắc
ta có thể xem xét bổ chính ở tất cả các bậc. Quá trình tán xạ đƣợc mô tả bằng S-ma
trận /1/

(2.1)
trong đó T là T-tích, N la
̀
N-tích.
Sử dụng khai triển hàm mũ

 
 
23
0
4
1 ,
2! 3! !
n
Z
n
ext
Z Z Z
eZ
n
Z ie N A x d x

 


     



(2.2)

(xem Hình 1).
(a) (b1) (b2)
(b3) (b4) Hình 1. Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng
đƣờng electron
trƣờng điện từ ngoài 21

đƣờng photon
Giải thích hình vẽ 1: Giản đồ (1a) electron có xung lƣợng
1
p
bay vào vùng có
trƣờng điện từ bị tán xạ bay ra với xung lƣợng
2
p


không phải là toán tử mà là hàm số thông thƣờng nên ta có
thể bỏ ra ngoài N-tích và
21
| |pp
, đồng thời khai triển các toán tử
()x

và
()x


thành các toán tử sinh hủy hạt.
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )N x x N
    
              
       

   

,
với:
 
()
x


:toán tử hủy


:toán tử sinh
e

.
Vì
   


 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
NN
     

 
           
   


    


nên
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )N x x N
    
              

     

 
   
   
   
 
2 1 2 1
0| |0 0| |0c p c p c p c p

     
   

     

 
   
   
   
 
2 1 2 1
0| | 0 0| | 0c p c p c p c p


    
   

   

(2.6a)

( ) ( )
21
| | 0 0| |p x x p

  

    
 
 
 
3
3
21
20
2
2
1
1
2
2
10
21
11
2
2
ip x ip x
mm

.
1
2
i p p x
m
u p u p e
pp











(2.6b)
Thay (2.6b) vào (2.4) ta đƣợc yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của
electron ở trƣờng điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :

     
0
2 1 0 2 1 2 1
1
2
ex
10 20
2

ex ex 4
21
i p p x
tt
A p p e A x d x








là thế điện từ ngoài.
Chú ý, ta có thể viết yếu tố ma trận (2.7) dƣới dạng tƣơng tự:

 
2 1 1 20 10 fi
p S p p p R


(2.8)
trong đó
fi
R
đƣợc xác định bằng công thức:

     
12
2