Bài t p l n c h c k t c u 2ậ ớ ơ ọ ế ấ GVHD : ThS.Lê Văn Bình
BÀI T P L N C H C K T C U 2Ậ Ớ Ơ Ọ Ế Ấ
1. N I DUNGỘ
Tính h ph ng siêu tĩnh b ng ph ng pháp l c.ệ ẳ ằ ươ ự
Tính h ph ng siêu đ ng theo ph ng pháp chuy n v .ệ ẳ ộ ươ ể ị
V bi u đ bao n i l c.ẽ ể ồ ộ ự
2. S LI U TÍNH TOÁNỐ Ệ
Mã đ : 121ề
S đ tính và các tr ng h p t i: ơ ồ ườ ợ ả
L
1
L
2
L
2
L
1
EI=Const
TH1
TH2
g
TH3
q
1
q
3
TH4
TH5
TH6
q
2

2 20 x 35 4 3
SVTH : Hoàng Văn V ngượ MSSV : 20661244 Trang 1
Bài t p l n c h c k t c u 2ậ ớ ơ ọ ế ấ GVHD : ThS.Lê Văn Bình
S li u t i tr ng: ố ệ ả ọ
Stt q
1
(kN/m) q
2
(kN/m) q
3
(kN/m) q
4
(kN/m)
1 8 10 12 14
S li u dùng chung:ố ệ
3 3
3
3
2.4 10 /
12
25 /
E kN cm
bh
I
kN m
γ
= ×
=
=
Ta có:

X X X
X X X
X X X
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
+ + + ∆ =


+ + + ∆ =


+ + + ∆ =

Trong đó:
1 2 3
; ;X X X
: l c t ng ng t i v trí lo i b liên k t th 1; 2; 3.ự ươ ứ ạ ị ạ ỏ ế ứ
kP
∆
: h s t do, là chuy n v theo ph ng l c Xệ ố ự ể ị ươ ự
k
do riêng t i tr ng ngoài gây raả ọ
trên h c b n.ệ ơ ả
km
δ
: các h s ph , là chuy n v theo ph ng l c Xệ ố ụ ể ị ươ ự
k
do X
m

M
3
X
3
=1
1
1/2
1
1
1/2
M
s
(M
s
)=(M
1
)+(M
2
)+(M
3
)
1
1
1
1/2
1/2
a)
b)
c)
d)

EI EI
δ
 
= = × × × × × = ×
 
 
( ) ( )
33 3 3 11
1
2M M
EI
δ δ
= = = ×
( ) ( )
12 21 1 2
1 1 1 1 1
1 3 1
2 3 2
M M
EI EI
δ δ
 
= = = × × × × = ×
 
 
( ) ( )
13 31 1 3
0M M
δ δ
= = =

δ δ δ
 
+ + = + + = ×
 ÷
 
SVTH : Hoàng Văn V ngượ MSSV : 20661244 Trang 3
Bài t p l n c h c k t c u 2ậ ớ ơ ọ ế ấ GVHD : ThS.Lê Văn Bình
⇒
K t qu phù h pế ả ợ
( ) ( )
2
1 1 1
1 3 1 2 3
2
S
M M
EI EI
 
= × × × × = ×
 
 
M t khác: ặ
21 22 23
1 1 1 1
2 3
2 2EI EI
δ δ δ
 
+ + = + + = ×
 ÷

a)
b)
g=1.75kN/m g=1.75kN/m g=1.75kN/m g=1.75kN/m
M
0
P
qL
2
1
/8=3.50
qL
2
2
/8=1.97
qL
2
1
/8=3.50
3.50
3.50
1.97
[kNm]
Hình 3.1.3
Tính các h s t do ệ ố ự
kP
∆
c a ph ng trình chính t c:ủ ươ ắ
( )
( )
0

2 2
1 2 1 1
1.97 3 1 2 3.94
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3 1
1
4.30
P P P
M M
EI
∆ = = ∆ = ×
Ki m tra:ể
SVTH : Hoàng Văn V ngượ MSSV : 20661244 Trang 4
Bài t p l n c h c k t c u 2ậ ớ ơ ọ ế ấ GVHD : ThS.Lê Văn Bình
( )
( )
0
1 2 1 1
3.5 4 1
2 3 2 3

⇒
K t qu phù h pế ả ợ
Gi i h ph ng trình chính t c:ả ệ ươ ắ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0 4.3 0
2
1 1
2 3.94 0
2 2
1
0 2 4.3 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =



+ + + =



+ + + =



: hình 3.1.4a
Ki m tra bi u đ ể ể ồ
( )
P
M
:
( )
( )
( )
[ ]
1 2 1 1 1
2.55 4 2.55 4 1
2 3 2 2 3
1 1 1 1 2
1.9 4 1.9 4 1
1 1 1
2 3 2 2 3
10.90 10.95 0.05
2 1 2 1 1
3.5 4 1 3.5 4
3 2 3 2 2
1 2
1.9 1.02 3 1 1.95 3 1
2 3
S P
M M
EI EI EI
 
× × × × − × × × ×
 

O
1
O
2
1
4
0 4 1.9 1.75 4 2.55
2
ph
M O Q= ⇒ × + + × × =
∑
3.34
ph
Q kN⇒ = −
SVTH : Hoàng Văn V ngượ MSSV : 20661244 Trang 5
Bài t p l n c h c k t c u 2ậ ớ ơ ọ ế ấ GVHD : ThS.Lê Văn Bình
0 1.75 4 3.66
tr ph
Y Q Q kN= ⇒ = + × =
∑
+ Nh p 2:ị
3m
1.75kN/m
Q
tr
Q
ph
1.90kNm 1.02kNm
O
1

,
3
4
L
và giá
tr mô men u n t i v trí gi a nh p ị ố ạ ị ữ ị
2
4
L
.
Giá tr mô men u n t i các v trí ị ố ạ ị
1
4
L
và
3
4
L
đ c tính nh sau:ượ ư
+ T i v trí ạ ị
1
4
nh p 1:ị
1m
1.75kN/m
2.55kNm
M(kNm)
3.66kN
O
1

O
0.75
0 2.92 0.75 1.9 1.75 0.75 0.20
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × = −
∑
+ T i v trí ạ ị
3
4
nh p 2:ị
2.25m
1.75kN/m
1.90kNm
2.92kN
M(kNm)
O
2.25
0 2.92 2.25 1.9 1.75 2.25 0.24
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
+ Nh p 3, 4: Đ c suy ra t nh p 1 và nh p 2 do h đ i x ng.ị ượ ừ ị ị ệ ố ứ
a)
b)
3.66
3.34
2.92
2.33
2.33
2.92

0.51
-1.02
0.24
3.50
1.97
-2.55
0.24
1.28
-1.90
0.56
-0.20
0.51
0.24
M
P
[kNm]
Hình 3.1.4
3.1.2. Tr ng h p 2ườ ợ
S đ t i tr ng và bi u đ mô men u n do t i tr ng ngoài gây ra trên h c b n:ơ ồ ả ọ ể ồ ố ả ọ ệ ơ ả
hình 3.1.5
SVTH : Hoàng Văn V ngượ MSSV : 20661244 Trang 7
Bài t p l n c h c k t c u 2ậ ớ ơ ọ ế ấ GVHD : ThS.Lê Văn Bình
16
q
1
=8kN/m
q
3
=12kN/m
4m

 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
( )
( )
0
2 2
1 2 1 1
13.5 3 1 13.5
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
( )

× × × − × +
 ÷
 
 
 
= = ×
 
 
+ × × × − × + × × ×
 
 ÷
 
 
( )
1 2 3
1 1
10.67 13.5 13.5 37.67
P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
K t qu phù h pế ả ợ
Gi i h ph ng trình chính t c:ả ệ ươ ắ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0 10.67 0
2
1 1

X
= −


= −


= −

V bi u đ mô men t ng ẽ ể ồ ổ
( )
P
M
theo bi u th c:ể ứ
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.6a
SVTH : Hoàng Văn V ngượ MSSV : 20661244 Trang 8
Bài t p l n c h c k t c u 2ậ ớ ơ ọ ế ấ GVHD : ThS.Lê Văn Bình
Ki m tra bi u đ ể ể ồ
( )
P
M
:
( )
( )

 
+ × × × × − × × × ×
 
=
[ ]
1 1
41.45 43.65 2.20
EI EI
− = − ×
Sai s : ố
2.20
100% 5.04%
43.65
× =
Tính toán và v bi u đ l c c t ẽ ể ồ ự ắ
( )
P
Q
+ Nh p 1:ị
4m
8kN/m
Q
tr
Q
ph
13.87kNm 4.27kNm
O
1
O
2

O
1
O
2
1
3
0 3 5.68 12 3 4.26
2
ph
M O Q= ⇒ × + + × × =
∑
18.47
ph
Q kN⇒ = −
0 12 3 17.53
tr ph
Y Q Q kN= ⇒ = + × =
∑
+ Nh p 4:ị
SVTH : Hoàng Văn V ngượ MSSV : 20661244 Trang 9
Bài t p l n c h c k t c u 2ậ ớ ơ ọ ế ấ GVHD : ThS.Lê Văn Bình
5.68 2.84
2.13
4
Q tg kN
α
+
= + = =
V bi u đ l c c t ẽ ể ồ ự ắ
( )

+ T i v trí ạ ị
1
4
nh p 1:ị
1m
8kN/m
13.87kNm
M(kNm)
18.40kN
O
1
0 18.4 1 13.87 8 1 0.53
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
+ T i v trí ạ ị
3
4
nh p 1:ị
3m
8kN/m
13.87kNm
18.40kN
M(kNm)
O
3
0 18.4 3 13.87 8 3 5.33
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑

M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
+ Nh p 2, 4: d dàng tính đ c b ng cách gi i hình h c.ị ể ượ ằ ả ọ
a)
b)
18.40
13.60
17.53
18.47
2.40
10.40
5.60
8.53
0.47
9.47
13.60
2.13
17.53
20.60
18.40
Q
P
[kN]
M
P
[kNm]
0.00
16.00
-13.87
0.53

28
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M
0
P
11.25
[kNm]
Hình 3.1.7
SVTH : Hoàng Văn V ngượ MSSV : 20661244 Trang 11
Bài t p l n c h c k t c u 2ậ ớ ơ ọ ế ấ GVHD : ThS.Lê Văn Bình
Tính các h s t do ệ ố ự
kP
∆
c a ph ng trình chính t c:ủ ươ ắ
( )
( )
0
1 1
1 2 1 1
11.25 3 1 11.25
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×

EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
Ki m tra:ể
( )
( )
0
2 1 2 1 1
11.25 3 1 28 4 1
3 2 3 2 3
1 1
41.17
2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
S P
M M

2 0 11.25 0
2
1 1
2 11.25 0
2 2
1
0 2 18.67 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =



+ + + =



+ + + =



⇔
1
2
3
5.09
2.15

( )
( )
( )
1 1 1 2 1 1 1 1
2.55 4 1 2.55 4 5.09 4
2 3 2 3 2 2 3 2
1 2 2 1
5.09 4 1 11.25 3 1 5.09 2.15 3 1
2 3 3 2
1 1 2 1 2 1 1
2.15 8.8 3 1 28 4 1 28 4
2 3 2 3 2 2
1 1 1 1 2 1 2 1
8.8 4 8.8 4 1 23.6 4
2 3 2 2 3 2 3 2
1 1
23.6 4 1
2 3
S P
M M
EI
× × × × − × × × × + × × × ×
− × × × × + × × × − + × ×
= − + × × + × × × × − × × × ×
+ × × × × − × × × × + × × × ×
− × × × ×
 
 
 
 

26.52
1.90
Q
P
[kN]
M
P
[kNm]
17.70
10.30
15.98
1.90
1.90
14.02
24.30
31.70
2.22
2.22
8.48
0.98
6.52
11.25
28.00
2.55
0.64
-1.27
-3.18
-5.09
-2.15
-8.80

a)
b)
M
0
P
11.25
[kNm]
Hình 3.1.9
SVTH : Hoàng Văn V ngượ MSSV : 20661244 Trang 13
Bài t p l n c h c k t c u 2ậ ớ ơ ọ ế ấ GVHD : ThS.Lê Văn Bình
Tính các h s t do ệ ố ự
kP
∆
c a ph ng trình chính t c:ủ ươ ắ
( )
( )
0
1 1
1 2 1 1
16 4 1
2 3 2 3
1 1
21.92
2 1 1 1 2 1
16 4 1 11.25 3 1
3 2 2 2 3 2
P P
M M
EI EI
 

0
3 3
1 2 1 1
28 4 1
2 3 2 3
1 1
18.67
2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
Ki m tra:ể
( )

+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
( )
1 2 3
1 1
21.92 11.25 18.67 51.84
P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
K t qu phù h pế ả ợ
Gi i h ph ng trình chính t c:ả ệ ươ ắ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0 21.92 0
2
1 1
2 11.25 0
2 2
1
0 2 18.67 0
2
X X X
X X X
X X X


V bi u đ mô men t ng ẽ ể ồ ổ
( )
P
M
theo bi u th c:ể ứ
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.10a
Ki m tra bi u đ ể ể ồ
( )
P
M
:
SVTH : Hoàng Văn V ngượ MSSV : 20661244 Trang 14
Bài t p l n c h c k t c u 2ậ ớ ơ ọ ế ấ GVHD : ThS.Lê Văn Bình
( )
( ) ( ) ( )
2 1 2 1 1 1 2 1
16 4 1 16 4 10.6 4
3 2 3 2 2 2 3 2
1 1 1 1 1 1 2
10.6 4 1 10.8 4 10.8 4 1
2 3 2 3 2 2 3
1 2 1 1
11.25 3 1 10.8 0.63 3 1 0.63 9.18 3 1

× × × × − × × × ×
 
 
[ ]
1
110.29 110.30 0
EI
= − ≈
V bi u đ l c c t ẽ ể ồ ự ắ
( )
P
Q
: hình 3.1.10b
11.25
16.00
28
-10.60
-10.80
-0.63
-9.18
-23.10
1.35
1.25
5.30
0.18
5.27
5.54
-4.91
-7.04
-2.77

3.39
4.11
7.95
16.05
Hình 3.1.10
SVTH : Hoàng Văn V ngượ MSSV : 20661244 Trang 15
Bài t p l n c h c k t c u 2ậ ớ ơ ọ ế ấ GVHD : ThS.Lê Văn Bình
3.1.5. Tr ng h p 5ườ ợ
S đ t i tr ng và bi u đ mô men u n do t i tr ng ngoài gây ra trên h c b n:ơ ồ ả ọ ể ồ ố ả ọ ệ ơ ả
hình 3.1.11
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M
0
P
11.25
[kNm]
q
2
=10kN/m
q
3
=12kN/m
13.5
Hình 3.1.11
Tính các h s t do ệ ố ự
kP

( )
( )
0
3 3
1 2 1 1
13.5 3 1 13.50
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
Ki m tra:ể
( )
( )
0
1 2 2 1
11.25 3 1 13.5 3 1 49.50
3 3
S P
M M
EI EI
 
= × × × + × × × = ×
 
 
( )
1 2 3



+ + + =



⇔
1
2
3
2.97
10.61
4.10
X
X
X
= −


= −


= −

V bi u đ mô men t ng ẽ ể ồ ổ
( )
P
M
theo bi u th c:ể ứ
( )

S P
M M
EI
 
× × × × − × × × × + × × × ×



− × × × × + × × × − + × ×

=


+ × × × − + × × + × × × ×



− × × × × + × × × × − × × × ×
 









[ ]
1 1

28.93
17.37
1.12
Q
P
[kN]
M
P
[kNm]
1.54
12.45
1.12
17.55
6.83
11.17
4.95
2.55
10.05
11.25
13.50
1.49
-2.97
-10.61
-4.10
2.05
0.38
-0.74
-1.86
-2.57
-1.03

3
=12kN/m
13.5
Hình 3.1.13
Tính các h s t do ệ ố ự
kP
∆
c a ph ng trình chính t c:ủ ươ ắ
( )
( )
0
1 1
1 1 2 1 1 2 1 1 1 1
16 4 1 16 4 1 10.67
2 3 2 3 3 2 2 2
P P
M M
EI EI
 
   
∆ = = × × × − × + × × × − × = ×
 ÷  ÷
 
   
 
( )
( )
0
2 2
1 2 1 1

 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
Ki m tra:ể
( )
( )
0
1 2 1 1 2 1 1 1
16 4 1 16 4 1
2 3 2 3 3 2 2 2
1 2 1 2 1 1 1
13.5 3 1 28 4 1 56.34
3 2 3 2 3
2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
S P
M M
EI EI
 
   
× × × − × + × × × − ×
 ÷  ÷
 

1 2 3
1
2 0 10.67 0
2
1 1
2 13.5 0
2 2
1
0 2 32.17 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =



+ + + =



+ + + =



⇔
1
2
3

:
( )
( ) ( ) ( )
2 1 2 1 1 1 2 1
16 4 1 16 4 13.53 4
3 2 3 2 2 2 3 2
1 1 1 1 1 1 2
13.53 4 1 4.94 4 4.94 4 1
2 3 2 3 2 2 3
1 1 2 1
4.94 1.59 3 1 13.5 3 1 1.59 15.69 3 1
2 3 2
2 1 2 1 1 1 1 1
28 4 1 28 4 15.69 4
3 2 3 2 2 2 3 2
1 2
15.69 4
2
S P
M M
EI
× × × × − × × × × + × × × ×
− × × × × + × × × × − × × × ×
= − + × × + × × × − + × ×
+ × × × × − × × × × + × × × ×
− × × ×
1 2 1 1 1
1 20.16 4 20.16 4 1
3 2 3 2 2 3
 

29.12
12.18
49.58
18.15
Q
P
[kN]
M
P
[kNm]
15.12
12.88
13.30
2.15
18.15
22.70 26.88
29.12
1.12
1.12
4.30
4.70
13.70
10.15
13.85
1.12
16.00
28
13.50
-13.53
-4.94

Z
2
Z
3
HCB
Hình 3.2.1
H ph ng trình chính t c:ệ ươ ắ
11 11 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
0
0
0
P
P
P
r Z r Z r Z R
r Z r Z r Z R
r Z r Z r Z R
+ + + =


+ + + =


+ + + =

Trong đó:
1 2 3
; ;Z Z Z

1
=1
M
1
M
2
M
3
x
EI
12
x
EI
12
x
EI
12
Z
2
=1
Z
3
=1
12
6
16
8
r
11
r

kk
r
và
km
r
:
16
r
11
x
EI
12
12
x
EI
12
8
r
12
x
EI
12
0
r
13
0
0
r
22
16

12 21
8
12
EI
r r= = ×
13 31
0r r= =
( )
22
16 16 32
12 12
EI EI
r = + = ×
23 32
8
12
EI
r r= = ×
( )
33
16 12 28
12 12
EI EI
r = + = ×
3.2.1. Tr ng h p 1ườ ợ
S đ t i tr ng và bi u đ mô men u n do t i tr ng ngoài gây ra trên h c b n:ơ ồ ả ọ ể ồ ố ả ọ ệ ơ ả
hình 3.2.3
4m
3m 3m
4m

R
1P
R
2P
R
3P
Hình 3.2.3
SVTH : Hoàng Văn V ngượ MSSV : 20661244 Trang 21
Bài t p l n c h c k t c u 2ậ ớ ơ ọ ế ấ GVHD : ThS.Lê Văn Bình
Tính các h s t do ệ ố ự
kP
R
:
R
1P
R
2P
R
3P
1.31
1.31
1.31
1.31
2.23
2.23
1
2.23 1.31 0.92
P
R kNm= − =
2



⇔
1
2
3
12
0.03
0
12
0.03
Z
EI
Z
Z
EI

= − ×


=



= ×

V bi u đ mô men t ng ẽ ể ồ ổ
( )
P
M

10.67
9
9
13.5
a)
b)
16
10.67
R
1P
R
2P
R
3P
q
1
=8kN/m
q
3
=12kN/m
Hình 3.2.5
Tính các h s t do ệ ố ự
kP
R
:
SVTH : Hoàng Văn V ngượ MSSV : 20661244 Trang 22
Bài t p l n c h c k t c u 2ậ ớ ơ ọ ế ấ GVHD : ThS.Lê Văn Bình
R
1P
R

0 8 28 9 0
Z Z Z
EI
Z Z Z
EI
Z Z Z
EI

+ + + × =



+ + − × =



+ + + × =



⇔
1
2
3
12
0.53
12
0.53
12
0.47

M
P
[kNm]
13.85
4.28
4.26
5.68
2.82
16.00
13.50
Hình 3.2.6
3.2.3. Tr ng h p 3ườ ợ
S đ t i tr ng và bi u đ mô men u n do t i tr ng ngoài gây ra trên h c b n:ơ ồ ả ọ ể ồ ố ả ọ ệ ơ ả
hình 3.2.7
4m
3m 3m
4m
M
0
P
[kNm]
18.67
7.5
7.5
a)
b)
18.67
R
1P
R

1
7.50
P
R kNm= −
2
7.50
P
R kNm=
3
18.67
P
R kNm= −
Gi i h ph ng trình chính t c:ả ệ ươ ắ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
12
28 8 0 7.5 0
12
8 32 8 7.5 0
12
0 8 28 18.67 0
Z Z Z
EI
Z Z Z
EI
Z Z Z
EI

+ + − × =



= − ×



= ×


V bi u đ mô men t ng ẽ ể ồ ổ
( )
P
M
theo bi u th c:ể ứ
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M Z M Z M Z M= + + +
: hình 3.2.8
M
P
[kNm]
5.11
2.15
8.76
11.25
23.59
28

28
q
1
=8kN/m
10.67
16
10.67
4m
3m 3m
4m
Hình 3.2.9
Tính các h s t do ệ ố ự
kP
R
:
R
1P
R
2P
R
3P
0
0
7.5
7.5
18.67
10.67
1
10.67 7.5 3.17
P

+ + + × =



+ + − × =



⇔
1
2
3
12
0.01
12
0.43
12
0.79
Z
EI
Z
EI
Z
EI

= ×



= − ×

SVTH : Hoàng Văn V ngượ MSSV : 20661244 Trang 25