TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ


PHẠM THỊ HÀ
THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI MỘT
SỐ BÀI TOÁN

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Th.S LÊ KHẮC QUYNH H Ni, 2014


Sinh viên

Phạm Thị H
MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Đối tƣợng nghiên cứu 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu 2
5. Cấu trúc khóa luận 2
NỘI DUNG 3
CHƢƠNG 1:
CÁC THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ 3
1.1. Áp dụng các phƣơng pháp thống kê vào hệ lƣợng tử 3
1.2. Phân bố chính tắc lƣợng tử 5
1.3. Thống kê Bose - Einstein 12
1.4. Thống kê Fecmi - Đirac 13
1.5. Thống kê Maxweell - Boltzmann 13
1.6. So sánh các phân bố Maxwell - Bonltzmann, Bose - Einstein và Fecmi
- Đirac. 14
CHƢƠNG 2
ÁP DỤNG THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ NGHIÊN CỨU 17
HỆ LƢỢNG TỬ 17
2.1. Dao động tử lƣợng tử 17
2.1.1. Phổ năng lượng của dao động tử 17
2.1.2. Tổng trạng thái và nội năng của dao động tử 17
2.2. Hệ rotato lƣợng tử 19

nhiều giai đoạn phát triển và đạt đƣợc nhiều thành tựu quan trọng. Từ cơ học
cổ điển của Niuton đến thuyết trƣờng từ điện của Macxoen và Faraday, ngày
nay vật lý học hiện đại với khuynh hƣớng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô
của vật chất ta thấy rằng ngoài các quy luật tìm thấy trong vật lý cổ điển ở đây
xuất hiện các quy luật mới là quy luật thống kê. Vật lý thống kê là một bộ
phận của vật lý hiện đại nó nghiên cứu các hệ nhiều hạt bằng phƣơng pháp
thống kê.
Khi khảo sát các hệ lƣợng tử cũng nhƣ khi khảo sát các hệ cổ điển ta cần
phải biết định luật phân bố xác suất của các trạng thái riêng rẽ. Để tìm các
định luật ngƣời ta đƣa ra các thống kê lƣợng tử.
Từ việc tìm hiểu các thống kê lƣợng tử ngƣời ta áp dụng chúng để
nghiên cứu tính chất của hệ lƣợng tử.
Trên cơ sở đó, tôi lựa chọn đề tài “ Thống kê lượng tử v áp dụng để
giải mt số bi toán” để nghiên cứu sâu hơn về tính chất của hệ nhiều hạt.

2
2. Mục đích nghiên cứu
- Các thống kê lƣợng tử.
- Tính chất của hệ lƣợng tử.
- Bài toán có liên quan.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
- Các thống kê lƣợng tử theo phƣơng pháp Gipxo.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết.
- Vật lý lý thuyết.
5. Cấu trúc khóa luận
NỘI DUNG
Chƣơng 1: Các thống kê lƣợng tử
Chƣơng 2 : Áp dụng thống kê lƣợng tử vào hệ lƣợng tử
Chƣơng 3. Áp dụng giải một số bài tập

Toán tử hình chiếu xung lƣợng

x
pi
x






chỉ rõ cần phải lấy vi
phân hàm sóng theo x.
Trong cơ học lƣợng tử toán tử

H
tƣơng ứng với năng lƣợng toàn phần
của hệ



 
2 2 2 2
2 2 2
2
H T U U x
m x y z

  
     

thái xác định của hệ, diễn tả bằng một hay nhiều hàm riêng. Nếu một mức
năng lƣợng tƣơng ứng với nhiều hàm riêng thì những mức năng lƣợng nhƣ
vậy gọi là suy biến, khi đó trạng thái ứng với năng lƣợng E đã cho gọi là độ
suy biến hay trọng thống kê g(E).
Hàm sóng diễn tả trạng thái của hệ có thể phụ thuộc hoặc chỉ vào các
tọa độ.
 
12
, , ,
N
q q q


hoặc chỉ phụ thuộc vào các xung lƣợng
 
12
, , ,
N
p p p


Nếu hàm sóng
 
12
, , ,
N
q q q

thỏa mãn phƣơng trình Schodinger thì
hàm sóng

ngoài nhất định (tập hợp thống kê lƣợng tử). Sau đó, dựa vào các trạng thái
khả hữu đó của hệ và bằng phƣơng pháp thống kê, ta có thể xác định đƣợc
xác suất của trạng thái, và do đó, xác định đƣợc trị trung bình của các thông
số trạng thái của các thông số vi mô khác nhau của hệ. Nói khác đi, khi khảo
sát các hệ lƣợng tử cũng nhƣ khi khảo sát các hệ cổ điển ta cần phải biết định
luật phân bố xác suất của các trạng thái riêng lẻ.
Để tìm các định luật phân bố thống kê lƣợng tử, ngƣời ta có thể dùng
phƣơng pháp: phƣơng pháp Gipxo.
1.2. Phân bố chính tắc lƣợng tử
Phƣơng pháp Gipxo mà ta xét trong vật lý thống kê cổ điển về cơ bản
vẫn có thể áp dụng để nghiên cứu các hệ lƣợng tử, tuy nhiên, do đó các đặc
tính của hạt vi mô và của hệ lƣợng tử, nên khi áp dụng phƣơng pháp đó ta cần
có những thay đổi thích hợp. Lập luận giống nhƣ trong trƣờng hợp vật lý
thống kê cổ điển, ta tìm thấy rằng, đối với hệ đẳng nhiệt xác suất để hệ nằm ở
trạng thái có năng lƣợng E
k
là

exp
k
k
E
W












(2)
Nếu hệ nằm trong trạng thái dừng 
k
và E
k
từ phƣơng trình:


k k k
HE


(3)
Tƣơng tự nhƣ trong trƣờng hợp cổ điển, một trạng thái vĩ mô nhất định
của hệ lƣợng tử tƣơng ứng với một tập hợp các trạng thái vi mô 
k
và xác
suất để cho hệ cùng nằm trong một trạng thái vi mô 
k
nào đó sẽ bằng W
k
mà
ta phải tìm. Và cũng giống nhƣ trong trƣờng hợp cổ điển, tập hợp thống kê
lƣợng tử là tập hợp các hệ tƣợng tự nhau và ở trong các trạng thái vi mô khác
nhau. Vì vậy, một tập hợp thống kê lƣợng tử đƣợc mô tả bằng một tập các
hàm sóng 

L L q q q q dq dq

  


(5)
Ở đây là phần tử ma trận của toán tử

L
còn (q, q
’
) chính là ma trận mật
độ đƣợc định nghĩa nhƣ sau

( , ) ( ) ( )
k k k
k
q q W q q
  




(6)
Ma trận mật độ chính là phần tử ma trận của toán tử mật độ
ˆ

định
nghĩa nhƣ sau




. Theo (2) ta có

( , )
ˆ
( , )
k
k
qt
i H q t
t







Hay là nếu đƣa các phần tử ma trận của toán tử
ˆ
H

Dó đó từ (8), (9) ta thấy rằng ma trận mật độ
( , , )q q t


thỏa mãn phƣơng
trình
 

hay là

 
( , , )
( , ) ( , , ) ( , , ) ( , )
q q t i
H q q q q t q q t H q q dq
t




      






Ta có thể viết lại phƣơng trình đó dƣới dạng phƣơng trình toán tử
(9)
(10)

8
 
ˆ
ˆ
,H
t




Khi đó toán tử mật độ
ˆ

giao hoán với các toán tử
ˆ
H
và do đó ma trận
mật độ là tích phân chuyển động. Hơn nữa
ˆ

và
ˆ
H
có hàm riêng chung. Vì
vậy trong trƣờng hợp cân bằng thống kê ma trận mật độ có thể viết dƣới dạng
(6) trong đó
()
k
q

là hàm riêng của toán tử
ˆ
H
và đƣợc xác định từ phƣơng
trình (3). Bởi vì ma trận mật độ là tích phân chuyển động cho nên W
k
phải là
hàm của năng lƣợng E

exp
k
kk
E
Wg







(1.2)
trong đó g
k
là độ suy biến
Tƣơng tự nhƣ trong trƣờng hợp cổ điển, nếu hệ lƣợng tử gồm N hạt
không tƣơng tác thì từ phân bố chính tắc lƣợng tử ta suy ra phân bố Maxweell
– Boltzmann lƣợng tử. Cụ thể là với lập luận hoàn toàn giống nhƣ trong
trƣờng hợp cổ điển ta sẽ tìm đƣợc: Xác suất để một hạt bất kì của hệ nằm trên
mức năng lƣợng
i

là
exp
i
i
kT
W
Z

Đây là trƣờng hợp mức năng lƣợng E
i
không bị suy biến. Trong trƣờng
hợp tổng quát, nếu gọi
()
i
g

là độ suy biến của mức
i

thì xác suất để một
hạt bất kì của hệ hạt không tƣơng tác nằm trên mức năng lƣợng
i

sẽ bằng
exp
W ( )
i
ii
kT
g
Z









 
1
0
1
W , exp
!
o l l k
l
n n N n g
N




   



(1.5)
trong đó
0
l
l
Nn






n n G n n





  








(1.7)
Từ (1.7) ta rút ra nhận xét:
Thứ nhất vế phải của công thức (1.7) có thể coi là hàm của các n
l
nên ta
có thể đoán nhận công thức đó nhƣ là xác suất để cho có n
o
hạt nằm trên mức
l

, nghĩa là đó là xác suất các số chứa đầy.
Thứ hai là sở dĩ đại lƣợng
 
1
,


(1.9)
Khi đó ta tìm đƣợc g
k
với lập luận nhƣ sau. Trong thống kê Maxwell –
Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của các tọa độ của các hạt đều sẽ
cho các trạng thái mới, trừ các phép hoán vị của các tọa độ các hạt có cùng
một năng lƣợng
1

. Do đó, số tổng cộng các trạng thái khác nhau về phƣơng
diện vật lí:
01
!
! !
k
N
g
nn


Để tính trị trung bình của các số chứa đầy ta gắn cho đại lƣợng µ trong
(1.7) chỉ số l, nghĩa là ta sẽ coi rằng hệ ta xét hình nhƣ không phải chỉ có một
thế hóa học µ mà có cả một tập hợp các thế hóa học µ
l
bằng nhau và bằng µ.
Điều kiện chuẩn hóa đƣợc viết nhƣ sau

 
01











(1.11)
nghĩa là

lnZ

  
(1.12)

12
Ta xét đạo hàm của Ω theo µ
k

 
 
01
0
01
1
exp ,
ll

thì theo (1.7), vế phải của công thức (1.13) có ý nghĩa
là giá trị trung bình của số chứa đầy n
k
, ta đƣợc:

k
k
k
n




  

(1.14)
Bây giờ ta sẽ tìm các công thức của thống kê lƣợng tử.
1.3. Thống kê Bose - Einstein
Đối với hệ hạt Bôzôn, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kỳ và
0
( , ) 1
l
G n n 
, cho nên theo (1.11) ta có:
 
0
0
00
0
exp






  

   













Từ đó:

0
ln 1 exp
ll
l





trong
phân bố (1.16) đƣợc xác định từ:

0
l
l
nN




(1.17)
1.4. Thống kê Fecmi - Đirac
Đối với hệ hạt Fecmion, theo nguyên lí Pauli n
1
≤ 1và
 
01
, 1G n n 

Theo (1.11) ta có
 
0
1
0
0
10
exp exp
l
0
1 exp
ll
l




  

  




(1.18)
từ đó
ln 1 exp
ll
l




  

   


0
01
exp
! !
ol
l l l
l
nn
n
Z
nn














14






  






(1.21)
Từ đó
0
ln exp
ll
i
Z







    



(1.22)


hay
   
exp
M
kT
fg
Z







(1.24)
với
 
1
exp
i
i
Zg
kT







f
kT









(1.27)

15
Ở đây g
 

là trọng số thống kê hay độ suy biến của các trạng thái
lƣợng tử có năng lƣợng khác nhau. Tuy nhiên, từ các công thức kể trên, ta
thấy rằng: khi thỏa mãn điều kiện

exp 1
kT






hay

Cả 3 phân bố này trùng nhau chỉ trong trƣờng hợp khi mà điều kiện
(1.28) đƣợc thực hiện hay

3/2
2
2
1
V mkT
Nh





(1.29)

16
Trong trƣờng hợp đó thể tích của không gian pha.
3
3
1
N
N
ii
i
V
p q p
N



Eh



Ta chú ý tới mức “ không” của năng lƣợng
2
o
h
E


, đó cũng là hệ quả
của cách khảo sát lƣợng tử. Năng lƣợng “không” tƣơng ứng với các dao động
“không” mà ta không thể trừ bỏ đƣợc bằng cách hạ nhiệt độ. Nói cách khác
đi, do có xuất hiện năng lƣợng “không” nên dao động tử trong cơ học lƣợng
tử không thể ở trạng thái nghỉ. Năng lƣợng “không” của dao động đã quan
sát đƣợc khi cho ánh sáng tán xạ trên tinh thể nằm ở nhiệt độ gần tuyệt đối. Ở
nhiệt độ không tuyệt đối phần lớn các hệ nằm ở mức năng lƣợng thấp nhất,
nhƣng khi đó các nguyên tử lại thực hiện dao động.
2.1.2. Tổng trạng thái và nội năng của dao động tử
Ta xét với một dao động tử của hệ, dao động tử có thể nằm trong các
trạng thái không suy biến khác nhau với số lƣợng tử n bất kì.
Tổng trạng thái với dao động tử là:

18
00
exp exp exp
n
dd
nn



ta đƣợc:
exp
2
1 exp
h
kT
Z
h
kT












hay
exp
2
exp 1
h
kT
Z

E
Z Z T
kT















   








2
exp 1
hh

kT
V
V
E e h
Ck
T kT
h
kT




















Trong trƣờng hợp T


h
kT


  




.
2.2. Hệ rotato lƣợng tử
2.2.1. Phổ năng lượng của rotato
Rotato là một chất điểm quay theo đƣờng tròn, trong vật lý cổ điển năng
lƣợng quay của chất điểm đó có dạng:
2 2 2 2
2 2 2 2
q
mv mr I M
E
I

   20
Mặt khác
2
2
2
( 1)

4
ll
h
Fl
I




2.2.2. Tổng trạng thái và nội năng của rotato
Năng lƣợng ứng với trạng thái l của Rotato bằng

2
2
( 1)
8
l
h
E l l
I



Vì một trạng thái bất kì của Rotato bị suy biến (2l+1) lần, nên theo
công thức
0
exp ( )
i
i
i




     





(2.1)
Trƣờng hợp 1: Đối với nhiệt độ thấp và với các momen quán tính I nhỏ
Tổng trạng thái của Rotato thu về 2 số hạng