TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

TRẦN THỊ HẢO

GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG
BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỐ PHỨC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
HÀ NỘI, 2014 HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Th.S Hoàng Văn Quyết, thầy
đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho em kiến thức nền tảng để em
hoàn thành bài khóa luận này. Thầy cũng là người giúp em ngày càng tiếp cận
và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy.
Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện
khóa luận, em nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo
của các thầy cô. Qua đây cho phép em bày tỏ sự biết ơn chân thành tới các
thầy cô trong tổ Vật lý đại cương, các thầy cô trong khoa Vật lý, Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2.
Cuối cùng, em xin gửi lời tri ân đến những người thân trong gia đình,
bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá
trình học tập và hoàn thiện khóa luận này.

Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Trần Thị Hảo MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
4. Đối tượng nghiên cứu 1
5. Phương pháp nghiên cứu 1
NỘI DUNG 2
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 2
1.1. Số phức. 2
1.1.1. Khái niệm. 2
1.1.2. Biểu diễn số phức
x a jb


trên mặt phẳng phức. 2
1.1.3. Dạng lượng giác của số phức. 2
1.1.4. Biểu diễn một hàm điều hòa dưới dạng số phức 3
1.1.5. Ví dụ 3
1.2. Dao động điều hòa 4
1.2.1. Dao động tuần hoàn 4
1.2.2. Dao động điều hòa 5
1.3. Dao động động cơ cưỡng bức 8
1.3.1. Phương trình động lực học 8
1.3.2. Định nghĩa 9
1.3.3. Biên độ và pha ban đầu 10
1.3.4. Sự cộng hưởng 11

2. Mục đích nghiên cứu
Giải các bài tập dao động cơ, dao dộng điện bằng phương pháp số
phức. Từ đó phân dạng các bài tập và đưa ra phương pháp giải các bài tập đó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Ôn tập lí thuyết dao động cơ và dao động điện.
Xây dựng được hệ thống bài tập dao động cơ và dao động điện, và sử
dụng phương pháp số phức để giải các bài toán dao động cơ và dao động điện.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Bài tập dao động cơ và dao động điện.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Tìm hiểu, tra cứu, đọc tài liệu tham khảo.
2
NỘI DUNG
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Dao động là một dạng chuyển động rất thường gặp trong đời sống và kĩ
thuật, ví dụ: dao động của con lắc đồng hồ, dao động của dòng điện trong
mạch… nói tổng quát dao động là chuyển động được lặp đi lặp lại nhiều lần
theo thời gian.
Một số tính chất tổng quát của hệ dao động, xét dao động của con lắc:
a) Hệ phải có một vị trí (trạng thái) cân bằng bền và dao động qua lại
hai bên vị trí đó (cân bằng bền là khi vật lệch đi khỏi vị trí cân bằng luôn có
xu hướng dịch chuyển về vị trí cân bằng).
b) Khi hệ rời khỏi vị trí cân bằng bền luôn xuất hiện tác động kéo về vị
trí cân bằng bền.
c) Khi hệ dời đến vị trí cân bằng bền do quán tính nó tiếp tục vượt qua
vị trí cân bằng, trong cơ học, quán tính đặc trưng ở khối lượng của hệ, trong
dao động điện, quán tính đặc trưng ở độ tự cảm của mạch.
1.1. Số phức
1.1.1. Định nghĩa

22
r a b



: acgumen của số phức,
Im
tan
Re
bx
a
x





y

b
r


O

M

a x
3
1.1.3. Dạng lượng giác của số phức

()
os( ) sin( )
jt
x a jb r c t j t re

   


       

1.1.4. Biểu diễn một hàm điều hoà dưới dạng số phức
Hàm điều hòa
cos( )x A t



Nếu biểu diễn dưới dạng vectơ quay tại
0t 0
||
cos( ) :
( , )
t
A OA A
x A t A
Ox OA



1.1.5. Ví dụ
1.1.5.1. Biểu diễn dao động cơ bằng số phức
 Phương trình dao động có dạng:
5 2cos(100 )( )
4
x t cm



, được
biểu diễn bằng số phức là:
4
52
j
xe





5 2( os sin )
44
x c j


  

22
5 2( )
22

10 2sin( )
6
it



được biểu diễn bằng số phức là:
6
10
j
Ie





10( os sin )
66
31
10( )
22
5 3 5
I c j
Ij
Ij




  

j
Ue



, và điện áp phức
0
50
j
Ue



biểu diễn điện áp là
50 2sin100 .ut



Chú ý:
2
cos( ) sin( )
22
j
e j j



     
cố định, trượt không ma sát trên một
mặt phẳng nằm ngang.
Tại VTCB: Lò xo không biến
dạng.
Tại vị trí bất kì: Vật dịch
chuyển được một đoạn x tính từ vị
trí cân bằng, khi đó vật chịu tác dụng của lực đàn hồi
F

, trọng lực
P


và phản
lực
N

nằm cân bằng nhau.
Lực
F


tác dụng lên vật nặng là lực đàn hồi của lò xo, lực này luôn
hướng về vị trí cân bằng (trái dấu với li độ) và có độ lớn tỉ lệ với li độ, nên:
F kx
, hệ số tỉ lệ k là độ cứng của lò xo. Lực
F


luôn hướng về vị trí cân

d x k
x
dt m


Đặt:
2
k
m


, khi đó ta có:
2
2
0
dx
x
dt



(1.2.1)
(1.2.1) được gọi là phương trình động lực học chuyển động của vật.
1.2.2.2. Định nghĩa
Dao động điều hoà là dao động trong đó li độ x của một vật là một
hàm côsin (hay hàm sin) của thời gian.
1.2.2.3. Phương trình dao động điều hòa
Phương trình dao động điều hoà có dạng:
sin( ).x A t



   
2
2 f.
T

1.2.2.4. Tổng hợp dao động điều hòa
Xét hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số và có phương
trình dao động dạng:
1 1 1
sin( )x A t

2 2 2
sin( )x A t



Ta có:
21
sin( )x x x A t

   11
22
()

  

Nên:
12
12
jj
j
Ae Ae A e




Hay:
1 1 1 2 2 2
cos sin (cos sin ) (cos sin )A jA A j A j
     
    

Đồng nhất hệ thức ta có:
1 1 2 2
1 1 2 2
cos cos cos
sin sin sin
A A A
A A A
  
  




1 1 2 2
sin sin sin
tan
cos cos cos
A A A
A A A
  

  




Khi một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hòa cùng phương
cùng tần số có
1 1 1 2 2 2
os( ), os( + )x Ac t x Ac t
   
  
biên độ và pha dao động
tổng hợp được tính như sau:
8
1 1 2 2
cos cos cos
x
A A A A
  
   

1 1 2 2

  
   
thì dao động x
2
sớm pha hơn dao động x
1
, hay
dao động x
1
trễ pha so với dao động x
2
.
Nếu
21
0
  
   
thì dao động x
2
trễ pha so với dao động x
1
, hay
dao động x
1
sớm pha hơn dao động x
2
.
Nếu
21
2 , ( 0; 1; 2; 3 )nn

  
và khi ta tác dụng lên vật nặng ngoại lực:
os
n
F Hc t

hướng theo trục
Ox

và biến đổi điều hòa theo thời gian với tần số góc

, thì
vật nặng sẽ dao động.
9
Theo định luật II NewTon:
2
2
cos 0
d x r dx k H
xt
dt m dt m m
    

Hay
2
2
0
2
2 os t = 0
d x dx

Khi ổn định dao động cưỡng bức có phương trình:
cos( ),x A t

  

(


là pha ban đầu của dao động cưỡng bức) với điều kiện
22
0
2.



1.3.2.4. Định nghĩa

 Định nghĩa
Dao động cưỡng bức là dao động mà vật dao động chịu tác dụng của
một ngoại lực cưỡng bức biến thiên tuần hoàn, biểu thức lực có dạng:
cos( )F H t

  
.
 Nghiệm phƣơng trình
Nghiệm của phương trình có dạng là
cos( )x A t

  
, với

' ( )
'' 2 ( )
jt
jt
x j Ae
x Ae





 
(1.3.2)
Thay vào (1.3.2) vào phương trình (1.3.1) ta có:
2 ( ) ( ) 2 ( )
0
22
0
20
20
j t j t j t j t
j j j
Ae j Ae Ae he
Ae j e Ae h
  
  


22
0
22
0
( )cos 2 sin 0 (1.3.3)
sin ( ) 2 cos 0 (1.3.4)
A A h
AA
   
   

     


    

Từ (1.3.4)
22
0
2
tan







(1.3.7)
2 2 2 2 2
0
( ) 4
h
A


   

Biên độ không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu mà chỉ phụ thuộc vào
0
,.



1.3.4. Sự cộng hưởng
1.3.4.1. Định nghĩa
Là hiện tượng biên độ dao động cưỡng bức tăng nhanh đột ngột đến
một giá trị cực đại khi tần số f của lực cưỡng bức bằng tần số f
0
của hệ.
1.3.4.2. Hiện tượng cộng hưởng
Nếu
h const

Xét:
2 2 2 2 2
0
( ) ( ) 4y

đổi dấu từ (-) sang (+) khi

qua giá trị vừa tìm được.
Do vậy khi:
22
0
2
ch

    

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
min 0 0
4 ( ) 4 ( 2 ) 4 ( )y
        
       

22
0
2
Max
h
A
  



12
Nhận xét: Khi tần số ngoại lực bằng tần số cộng hưởng thì biên độ dao
động cưỡng bức đạt giá trị cực đại ta gọi đó là giá trị cộng hưởng.

đó là
trường hợp lí tưởng. Nói chung bao giờ cũng có lực cản, do đó
0
,,
ch ch
A

   
nếu lực cản càng nhỏ thì
ch
A

càng lớn đường cong cộng
hưởng càng nhỏ,
ch
A

càng nhỏ đường cong cộng hưởng càng tù.
1.3.4.3. Ứng dụng của cộng hưởng
 Cộng hƣởng có lợi
Với một lực nhỏ có thể tạo dao động có biên độ lớn, ví dụ một em
nhỏ cần đưa võng cho người lớn, sức của em bé có hạn nên không thể đẩy
võng lên cao ngay được, nhưng nếu em bé đẩy võng bằng những xung nhịp
mà tần số bằng tần số riêng của võng thì có thể đưa võng lên rất cao. Hay
bản thân dây đàn phát ra âm thanh rất nhỏ, nhờ bầu đàn đóng vai trò hộp
cộng hưởng mà âm phát ra to hơn.
 Cộng hƣởng có hại
Mọi vật đàn hồi đều là hệ dao động và đều có tần số riêng của nó. Đó
có thể là chiếc cầu, bệ máy, khung xe, thành tàu Nếu vì một lí do nào đó
mà chúng dao động cộng hưởng với một dao động khác, điều này làm chúng

i
dt


Suất điện động cảm ứng trong cuộn dây:
2
2
di d q
e L L
dt dt
   

Hiệu điện thế ở hai đầu cuộn dây:
C
q
u
C


Phương trình của định luật Ôm cho toàn mạch, ta có:
()
q di
iR L u t
C dt
  

cos
o
q di
iR L U t


(1.4.1)
Trong đó:
2
0
1
,
2
R
L LC


.
Phương trình (1.3.1) và (1.4.1) có dạng giống nhau, nghĩa là con lắc lò
xo có ma sát dưới tác dụng của ngoại lực tuần hoàn và mạch RLC chịu tác
dụng của một hiệu điện thế tuần hoàn từ bên ngoài cùng tuân theo một
phương trình vi phân. Qui luật biến đổi theo thời gian của li độ
x

của con lắc
lò xo và của điện tích
q

của tụ điện là như nhau.
14
1.4.2. Nghiệm của phương trình
Phương trình (1.4.1) có nghiệm tổng quát là phương trình của hai số
hạng
12
q q q

dt dt L

    

2
q
chính là dao động cưỡng bức trong giai đoạn ổn định.
Trong giai đoạn ổn định
1
0q 
và
2
cos( )
dq
i A t
dt

    

Có:
00
2
2
1
UU
A
Z
RL
C
  


  0
0
2
2
cos
1
U
q
RL
C



  




 
0
2
2
os os
1
t
U

RLC dưới tác dụng của hiệu điện thế xoay chiều có tần số góc

là:
0
0
2
2
1
U
I
RL
C


  




Như vậy nghiệm của phương trình dao động điện, biên độ và pha ban
đầu, sự cộng hưởng điện trong mạch RLC cũng tương tự như trong dao động
cơ cưỡng bức.
1.4.3. Sự cộng hưởng
Trong mạch điện RLC chịu tác dụng của hiệu điện thế xoay chiều có
tần số góc

biến đổi, hiện tượng cộng hưởng cường độ dòng điện xảy ra
khi:
2
22

v A t

  



  


Tại
0t

(0)
(0)
(0)
(0)
cos
cos
sin
sin
x A a
xA
v
vA
Ab






(0)
(0)
,
v
x x j A



   cos( )x A t

  Bài tập vận dụng

Bài 1. Vật m gắn vào đầu một lò xo nhẹ dao động điều hòa với chu kì 1s
người ta kích thích dao động bằng cách kéo m khỏi vị trí cân bằng ngược
chiều dương một đoạn 3cm rồi buông. Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, gốc
thời gian lúc buông vật. Viết phương trình dao động của vật.
Giải
Tại
0t 
, có
(0)
(0)
3
33

cách truyền cho m một vận tốc
40 /cm s
theo phương của trục lò xo. Chọn
gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, gốc thời gian lúc m qua vị trí cân bằng ngược
chiều dương. Hãy viết phương trình dao động.
Giải
Ta có:
10( / )
k
rad s
m

(0)
2
(0)
0
44
40
4
10
j
ax
x j e
v
b




(0)
(0)
(0)
(0)
4
0
ax
x
v
v
b















Điều kiện ban đầu là kéo vật tới vị trí có li độ
4cm
rồi thẻ nhẹ.





Bài 2. Một vật dao động điều hòa với phương trình
4 2cos( )( )
4
x t cm



.
Tìm điều kiện kích thích ban đầu.
Đáp số
Ban đầu người ta kéo vật tới li độ
4cm
rồi truyền cho vật một vận tốc
4/cm s
theo chiều dương.
2.1.2. Bài toán tổng hợp dao động điều hòa
Vận dụng phần tổng hợp dao động điều hòa trong mục (1.2.2.4) để tổng
hợp dao động.

Bài tập vận dụng

Bài 1. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương có
phương trình lần lượt là:
1
3cos(2 )( )
6


2
3
2
2 2 1 3
cos sin
3 3 2 2
j
x e j j



     

12
3 3 1 3 1 3
1 3 2( )
2 2 2 2 2 2
x x x j j j j
  
         

Có
1
cos
2
()
3
3
sin

2cos(2 )( )
3
x t cm




Bài 2. Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần
số có phương trình li độ
5
3cos( )( )
6
x t cm



.
Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ
1
5cos( )( )
6
x t cm



.
Viết phương trình dao động thứ hai.
Giải
Ta có:
1 2 2 1 1