Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – hạnh phúc
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
******
- Giáo viên thực hiện: TRẦN CHÍ PHONG
- Tên sáng kiến: ÁP DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH VÀ
THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH.
- Thời gian đã được triển khai thực hiện: Từ tháng 8/2011 đến tháng 3/ 2013.
I. SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN
Như chúng ta đã biết, hình học không gian là môn học rất khó vì nó đòi hỏi
người học phải biết tư duy một cách trừu tượng và phải biết tổng hợp kiến thức để
vận dụng vào giải được bài tập. Một trong những dạng toán khó của hình học
không gian mà luôn có mặt trong các kì thi Tốt nghiệp và Đại học là tính thể tích
của khối đa diện và tính khoảng cách. Để tính được thể tích của một khối đa diện
hay tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng nói chung là không dễ đối với
học sinh. Đa phần các em rất “ngán” học hình học không gian lớp 11 nên khi lên
lớp 12 gặp bài toán tính thể tích thì các em rất khó khăn để tính được đường cao và
diện tích mặt đáy của khối đa diện hay khi gặp bài toán tính khoảng cách thì các
em không biết phải xác định khoảng cách đó như thế nào.

Trong quá trình giảng dạy, tôi rút ra kinh nghiệm để giúp học sinh học tốt hơn
dạng toán này, đó là dùng tỉ số thể tích để tính thể tích và dùng thể tích để tính
khoảng cách. Và rõ ràng với phương pháp này thì học sinh rất dễ để giải được các
dạng toán đã nêu trên mà không cần phải vận dụng nhiều kiến thức tổng hợp về
hình học không gian. Do đó tôi chọn đề tài “ÁP DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ
TÍNH THỂ TÍCH VÀ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH” với mong muốn
góp một phần nhỏ giúp giáo viên phát huy vai trò định hướng của mình và cũng
như giúp học sinh tránh được những khó khăn khi giải các dạng toán có liên quan.
II. PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN
Trong nội dung chuyên đề này, tôi xin trình bày ba bài toán cơ bản có mặt

V
SA SB SC
V SA SB SC
=
(1)
• Trong công thức (1), đặc biệt hoá khi B’
≡
B và C’
≡
C ta được
. ' ' '
.
'
S A B C
S ABC
V
SA
V SA
=
(1’)
• Ta lại có
. . ' '. . . '.
'
. (1') .
S ABC S A BC A ABC S ABC S ABC A ABC
SA
V V V V V V
SA
= + ⇒ = +
'.

lấy điểm A
1
’ không trùng với A
1
. Khi đó ta có
1 1 2
1 2
'.
1 1
. 1
'
n
n
A A A A
S A A A
V
A A
V SA
=
(2’)
1.3. Một số công thức khác
a. Diện tích tam giác và công thức hình chiếu
•
µ
1
. . .sin
2
ABC
S AB AC A
∆

A’
B’
C’
C
B
A
h
H
A
B
C
O
B
D
A
C
h
B
B
h
Sỏng kin kinh nghim p dng t s th tớch tớnh th tớch v th tớch tớnh khong cỏch
+ ng chộo hỡnh vuụng:
= = . 2AC BD AB
(ng chộo hỡnh vuụng bng cnh x
2
)
+ OA = OB = OC = OD
Hỡnh ch nht
+ Din tớch hỡnh ch nht:
.

a phn cỏc thy cụ gii bi toỏn tớnh th tớch khi a din theo phng
phỏp xỏc nh ng cao v din tớch mt ỏy;
a phn hc sinh ca trng l ngoan v cú ý thc tt trong vic hc;
Cht lng i tr b mụn toỏn ngy c nõng cao.
2.2 Khú khn
Hc sinh hiu cỏch lm nhng k nng lm bi cha tt, cha ỏp dng vo
gii c cỏc bi toỏn tng t;
Nhiu hc sinh cũn gii toỏn theo khuụn mu, cha cú nhiu sỏng to;
Hc sinh cú tõm lý chung l ngỏn v s toỏn v hỡnh hc khụng gian.
2.3 Kt qu kho sỏt thc nghim
kho sỏt: Trong nm hc 2010 2011, khi dy chng I ca hỡnh hc
lp 12, tụi ó tin hnh kim tra hc sinh vi ni dung nh sau:
GV thc hin: Trn Chớ Phong
Trang 3
O
A
B
D
C
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, mặt đáy là tam giác
vuông tại B. Biết SA = AB = a, BC = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A lên SB, SC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.AHK theo a.
• Kết quả khảo sát
Lớp Sĩ số
Tỉ lệ khảo sát (%)
Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém
12T1 40 25 30 12,5 7.5 0
12C10 42 0 11.90 23.81 35.71 28.58
• Nhận xét về bài giải của học sinh:

.
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 4
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
Tuy nhiên bài toán trên nếu chúng ta áp dụng công thức tính tỉ số thể tích
thì cách giải sẽ hay hơn nhiều và học sinh cũng dễ hiểu hơn.
* Giải:
Dựa vào công thức tính tỉ số thể tích, ta có:
.
.
1 1 1 1
. . . .
2 2 2 8
S MNP
S ABC
V
SM SN SP
V SA SB SC
= = =
.
Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là
trung điểm của CD và I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích của hai khối
chóp S.ICM và S.ABCD.
* Phân tích:
Để giải theo cách thông thường thì chúng ta đi tính thể tích của hai khối sau
đó suy ra tỉ số thể tích của chúng. Tuy nhiên cách giải này phải đưa ra thêm một số
giả thiết khác về độ dài cạnh và rất khó để giải.
Còn nếu chúng ta dùng công thức tính tỉ số thì cách giải sẽ hay hơn, dễ dàng
hơn nhiều và bản thân các em học sinh cũng sẽ làm được.
* Giải:

I SCM
S ABCD
V
V
=
.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và mặt đáy là tam giác
vuông tại A. Biết SA = AB = a, BC = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông
góc của A lên SB, SC. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AHK và S.ABC.
* Phân tích:
Để giải theo cách thông thường thì chúng ta đi tính thể tích của khối chóp
S.ABC (không khó) và thể tích của khối chóp S.AHK (rất khó vì chưa có đường
cao và cũng chưa có diện tích đáy) rồi sau đó suy ra tỉ số thể tích của chúng.
Tuy nhiên nếu chúng ta áp dụng công thức tính tỉ số thể tích để giải thì bài giải
sẽ dễ dàng hơn nhiều và bản thân các em học sinh cũng sẽ làm tốt hơn.
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 5
S
P
C
B
A
N
M
S
A
B
C
D
M

Vì vậy
2
.
2
.
1 1
. .
2 4a 8
S AHK
S ABC
V
SH SK a
V SB SC
= = =
.
* Nhận xét chung: Nếu cả ba ví dụ trên chúng ta giải theo cách “thông
thường” thì mất rất nhiều thời gian và khó trong khâu lập luận cũng như trình bày
lời giải. Còn nếu chúng ta giải theo cách dùng công thức tỉ số thể tích thì được rất
nhiều ưu điểm: nhanh, gọn, chính xác, ít phải lập luận và dễ trình bày lời giải.
* Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trực
tâm H và cạnh bằng a. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và
M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của hai khối
chóp H.MNP và S.ABC. Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP theo a.
ĐS:
.
.
1
32
H MNP

3 1
2
SM
SC
−
=
.
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 6
A
S
K
C
B
H
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
3.2 Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, mặt đáy là tam
giác vuông tại A. Biết SA = AB = a, BC = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A lên SB, SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCKH theo a.
* Phân tích:
Để giải theo cách thông thường thì chúng ta đi tính thể tích của khối chóp
S.ABC (không khó) và thể tích của khối chóp S.AHK (rất khó chưa có đường cao
và cũng chưa có diện tích đáy) sau đó thể tích của của khối chóp A.BCKH.
Tuy nhiên cũng giống như các ví dụ trên, nếu chúng ta dùng công thức tính tỉ
số thể tích để giải thì bài giải sẽ dễ dàng hơn nhiều cho cả giáo viên và học sinh.
* Giải:
Theo ví dụ 3, ta có
. .
. .

A BCKH
a a
V = =
(đvtt).
Ví dụ 5: (CĐ khối B – 2008)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
·
·
0
90BAD ABC
= =
,
,AB BC a
= =
2 , ( )AD a SA ABCD= ⊥
và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và
SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a.
* Phân tích:
Để giải theo cách thông thường thì chúng ta đi tính thể tích của khối chóp
S.BCNM (rất khó khi chưa có đường cao và chưa có diện tích đáy). Tuy nhiên cũng
giống như các ví dụ trên, nếu chúng ta áp dụng công thức tính tỉ số thể tích để giải
thì bài giải sẽ dễ dàng hơn nhiều cho cả giáo viên và học sinh.
* Giải:
Theo giả thiết, ta có
3
.
1 1 1
. .2 . .3
3 3 2
S ABCD ABCD

Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
Suy ra
. . . . .
1 1
2 4
S BCNM S BCM S CNM S BCA S CAD
V V V V V
= + = +
( )
. . .
1 1
2 4
S BCA S ABCD S BCA
V V V
= + −
( )
3
. .
1
4 3
S ABCD S BCA
a
V V
= + =
(đvtt).
Ví dụ 6: (ĐH khối B – 2012)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH)
và tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.
* Phân tích:

2 2 2
15 15 1 15 15
(2 ) 4 .
2 4 4 2 2 2 4
SAB
a a a a a a
SD a a SD S a
 
= − = − = ⇒ = ⇒ = =
 ÷
 
2 2
1 15 15 15
. .
2 4 2.2 4
SAB SAC
a a a
S S AH SC AH
a
⇒ = = = ⇒ = =
Mà
2 2
2 2 2 2
15 49 7 7 7
(2 ) 4
16 16 4 4.2 8
a a a SH a
SH a AH a SH
SC a
= − = − = ⇒ = ⇒ = =

V
 
= =
 ÷
 
(đvtt).
Ví dụ 7: (ĐH khối D – 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 8
O
S
A
D
C
B
H
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
AC sao cho 4AH = AC. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh rằng
M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
* Phân tích:
Để chứng minh M là trung điểm của SA ta chỉ cần chứng minh
∆
SAC cân tại C
(không khó). Còn muốn tính thể tích khối tứ diện SMBC thì cũng giống như các ví
dụ trên, nếu chúng ta giải theo cách tính thể tích trực tiếp thì rất khó. Tuy nhiên
nếu dùng công thức tính tỉ số thể tích để giải thì bài giải sẽ dễ hơn nhiều.
* Giải:
• Chứng minh M là trung điểm của SA.

. .
1 1 14 14 14
. . . .
3 6 4 2 48 96
S ABC ABC S MBC
a a a a
V SH S V
∆
= = = ⇒ =
(đvtt).
Ví dụ 8: (ĐH khối B – 2006)
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a
2
SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao
điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a.
* Phân tích:
Muốn tính thể tích khối tứ diện ANIM thì cũng giống như các ví dụ trên, nếu
chúng ta giải theo cách tính thể tích trực tiếp thì rất khó. Tuy nhiên nếu dùng công
thức tính tỉ số thể tích để giải thì bài giải sẽ dễ dàng hơn nhiều.
* Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC
Do đó
2 1
3 3
AI AI
AO AC
= ⇒ =
.
Suy ra
1 1 1

Từ (1) và (2) suy ra
1
12
AIMN
ACDS
V
V
=
.
Mà
3
1 1 2 2
. . .
3 3 2 6
SACD ACD
a a a
V SA S a
∆
= = =
.
Vậy
3
1 2
.
12 72
AIMN SACD
a
V V= =
(đvtt).
* Nhận xét chung: Nếu cả năm ví dụ trên chúng ta giải theo cách “thông

45
S A B C D
a
V =
.
Bài 3: (ĐH khối D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Biết SB =
2 3a
và
·
SBC
= 30
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng
cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
ĐS:
3
.
2a 3
S ABC
V =
(đvtt); d(B,(SAC)) =
6
7
a
.
3.3 Áp dụng thể tích để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Ví dụ 9: (ĐH khối D – 2002)
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm,

Do đó
( )
2
1 1
. . . 8
3 6
ABCD ABC
V AD S AB AC AD cm= = =
Theo giả thiết, ta có CD =
4 2
cm, BD = BC = 5cm
nên
BCD
∆
cân tại B, gọi I là trung điểm của CD
2 2
1 2
. 5 (2 2) 2 34
2 2
BCD
S DC BI
∆
⇒ = = − =
Mặt khác
1
( ,( D))
3
ABCD
V d A BC
=

* Giải:
• Chứng minh tam giác SCD vuông.
Từ giả thiết, ta tính được AC = CD =
2a
Suy ra
D ACC ⊥
. Mà
D AC S⊥
.
Do đó
( )
D SAC DC C SC⊥ ⇒ ⊥

Suy ra tam giác SCD vuông tại C (đpcm).
• Tính d(H, (SCD)).
Dựa vào công thức tỉ số thể tích, ta có
.
.
S HCD
S BCD
V
SH
V SB
=
.
Do
SAB∆
vuông tại A và AH là đường cao nên ta có
2
2

Mặt khác
.
.
3
1
( ,( )). ( ,( ))
3
S HCD
S HCD SCD
SCD
V
V d H SCD S d H SCD
S
∆
∆
= ⇒ =
.
Vì
SCD
∆
vuông tại C nên
2
1 1
. . 2.2 2
2 2
SCD
S CD SC a a a
∆
= = =
.

C AEM
C AEB
V
MC
V CB
= =
2 3
.
1 1 1 2 2
. . .
2 2 3 2 2 24
C AEM EACB
a a a
V V⇒ = = =
.
Mặt khác, ta có
.
.
3
1
( ,( )). ( ,( ))
3
C AEM
C AEM AEM
AEM
V
V d C AME S d C AME
S
∆
∆

BHM
∆
vuông tại B nên
2 2
21
4 3 6
a a a
MH = + =
.
Do đó
2
1 1 6 21 14
. . .
2 2 2 6 8
AEM
a a a
S AE HM
∆
= = =
.
Vậy:
3
2
3 2 7
( ,( ))
7
14
24.
8
a a

* Giải:
Gọi H là trung điểm của BC
⇒
A’H
⊥
(ABC).
∆
ABC vuông tại A
⇒
AH =
1
2
BC = a.
'A AH∆
vuông tại H
⇒
2 2
' ' 3A H A A AH a
= − =
Do đó
3
'.
1 . 3
3
3 2 2
A ABC
a a a
V a
= =
.

V d A BCC B S d A BCC B
S
= ⇒ =
.
Vì
' ' ' ' ' 'AB A H A B A H A B H⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆
vuông tại A’
Suy ra B’H =
2 2
3 2 'a a a BB+ = =

'BB H⇒ ∆
cân tại B’.
Gọi K là trung điểm của BH, ta có
'B K BH⊥
2 2
14
' '
2
a
B K BB BK⇒ = − =
.
2
' '
14
' '. 2 . 14
2
BCC B
a
S B C BK a a

B'
H
B
C
A
A'
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
* Bài tập tương tự:
Bài 1: (ĐH khối D – 2009)
Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C.
Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC).
ĐS:
3
4a 2 5
; ( ,( ))
9 5
IABC
a
V d A IBC= =
.
Bài 2: (ĐH khối B – 2011) Cho lăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có đáy ABCD là

và
·
SBC
= 30
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
ĐS:
3
.
2a 3
S ABC
V =
; d(B, (SAC)) =
6
7
a
.
4. Kết quả, hiệu quả mang lại
4.1 Hiệu quả từ thực tiễn
Ban đầu học sinh gặp rất nhiều khó khăn và “sợ” các bài toán về tính thể tích
và khoảng cách trong hình học không gian. Tuy nhiên khi giáo viên áp dụng cách
dùng tỉ số để tính thể tích và dùng thể tích để tính khoảng cách thì học sinh giải tốt
hơn và các em rất hào hứng với cách giải này. Đối với học sinh trung bình yếu thì
các em dựa vào cách giải mới này làm khá tốt và đặc biệt các em không còn cảm
giác “sợ” bộ môn hình học không gian nữa.
Trên cơ sở đó, các em không “ngán” giải một bài toán về hình học không
gian nữa mà thay vào đó là sự háo hức, đam mê giải các bài toán dạng tương tự. Sự
hứng thú học tập của học sinh là sự động viên khích lệ rất lớn không chỉ riêng với
bản thân tôi mà là cho tất cả các thầy cô chúng ta. Với cách làm này, chúng ta giúp

6. Kiến nghị và kết luận
6.1 Kiến nghị
• Để việc đổi mới phương pháp dạy học không chỉ là phong trào mà là trở
thành thói quen của mỗi thầy cô giáo thì một trong những điều kiện cần
thiết là sự quan tâm, chỉ đạo, giúp đỡ thiết thực từ phía Ban giám hiệu
nhà trường và các cấp quản lý.
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 15
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
• Hiện nay thư viện nhà trường có nhiều sách tham khảo nhưng chưa có
nhiều sách viết về “Đổi mới phương pháp dạy học”. Vì vậy nhà trường
cần trang bị thêm sách tham khảo loại này để thầy cô và học sinh đọc
nhằm tìm ra những cách giải toán hay hơn, dễ hơn.
• Tổ bộ môn nên nhân rộng dạng đề tài về “Đổi mới phương pháp dạy
học” và có những buổi sinh hoạt chuyên môn cụ thể hơn về chủ đề này.
• Ngành giáo dục nên tổ chức báo các sáng kiến điển hình về đổi mới
phương pháp dạy trong đợt học chuyên môn hè ở các bộ môn.
6.2 Kết luận
Việc đổi mới phương pháp dạy học không chỉ là ứng dụng công nghệ thông
tin vào trong bài dạy hay là để soạn giảng mà thật ra đổi mới phương pháp dạy học
hiểu theo nghĩa đơn giản nhất là đổi mới cách dạy sao cho bài dạy dễ hiểu và mang
lại hiệu quả cao hơn. Trên tinh thần đó thì việc áp dụng tỉ số thể tích để tính thể
tích và áp dụng thể tích để tính khoảng cách sẽ đơn giản hóa một số bài toán khó
về hình học không gian. Qua đó giúp học sinh tiếp cận nội dung bài học một cách
nhẹ nhàng hơn và quan trọng hơn là tạo được niềm tin để các em học sinh giải tốt
bài toán về hình học không gian trong kì thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng sắp tới.
Tuy nhiên, do bản thân chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc viết “Đề tài
sáng kiến kinh nghiệm” và do đây chỉ là “kinh nghiệm” của bản thân nên không
khỏi tránh nhiều sai sót. Vì vậy, kính mong Hội đồng xét, công nhận sáng kiến cũng
như quý đồng nghiệp góp ý nhằm giúp tôi hoàn thiện đề tài này và quan trọng hơn