ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11
A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN
1/ Chứng minh dãy số (u
n
) có giới hạn 0 .
Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |u
n
| ≤ v
n
, ∀n và lim v
n
= 0 thì limu
n
= 0
- Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0:
lim 0
1
n
=
,
lim 0
1
n
=
,
3
lim 0
1
n

x x
f x
→
=
- Chú ý khi gặp các dạng vô định:
0
; ; ;0.
0
∞
∞ −∞ ∞
∞
ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách: chia
tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử
và mẫu với một lượng liên hợp;…
Phương pháp chung:
- Sử dụng kết quả của đlí 2 và các giới hạn cơ bản sau:
1.
0
lim
x x
C C
→
=
(C = const)
2. Nếu h/s f(x) x/đ tại điểm x
0
thì
0
0
lim ( ) ( )

v
n)
+∞
L >0
+∞
+∞
L < 0
−∞
−∞
L >0
−∞
−∞
L < 0
+∞
limun=L limvn
Dấu của
v
n
lim
n
n
u
v
L >0
0
+
+∞
L > 0 -
−∞
L < 0 +

g(x)
)(
)(
lim
0
xg
xf
xx→
L > 0
0
+ + ∞
- - ∞
L < 0
+ - ∞
- + ∞
1
Ghi chú:
* Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x
0
thì f(x) = (x-x
0
).g(x)
* Liên hợp của biểu thức:
1.
a b−
là
a b+
2. là
a b−
3.

n
− −
− +
3/ 4/
3 4 1
lim
2.4 2
n n
n n
 
− +
 ÷
+
 
Giải:
1/
2
3
3
3
2
8n 3n 3
lim lim 8 8 2
nn
−
= − = =
3/
(
)
2

= = = −
−− +
− +
4/
3 4 1
lim
2.4 2
n n
n n
 
− +
 ÷
+
 
=lim
2
1
2
1
2
4
1
1
4
3
−=





S 1
2 2 2
= + + + + +
Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với
1
q 1
2
= <
và
1
u 1=
. Vậy:
1
u
1
S 2
1
1 q
1
2
= = =
−
−
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0:
( )
2
1
)

n
n
d u
n n
=
+
( )
1
1
)
3
n
n
n
e u
+
−
=
2
)
3 1
n
n
n
f u =
+
( )
1 1
1
1

3) lim
2
3
31
2
n
nn
−
−
4) lim
252
3
3
32
−+
−
nn
nn

5) lim(n – 2n
3
) 6) lim (
)1 nn −+
7) lim
75
3342
3
23
+−
++−

+
3
2
3 2
)lim
2 1
n n
b
n
+ −
+

3
3 2
)lim
2 1
n
c
n n
− +
+ −
5
3 2
1 2 3
)lim
( 2) (5 1)
n n
d
n n
+ −

2 2
4 1 9 2
)lim
2
n n
h
n
+ − +
−

)lim
n
i u
với
( )
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 1
n
u
n n
= + + + +
+
ĐS: a) -3 b) +∞ c) 0 d) -3/25 e) -1 f) -2/3 g) -1/2 h) 1 i) 1
Bài 4 : Tính các giới hạn sau:
2
)lim(3 1)a n n+ −
4 2
)lim( 2 3)b n n n− + − +
( )

)limm n n n+ −
ĐS: a) +∞ b) - ∞ c) +∞ d) +∞ e) - ∞ f) - ∞ g) 0 h) +∞ i) -∞ k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3
Bài 5: Tính tổng
1/
( )
2 1
1
1 1
1
10 10 10
n
n
S
−
−
= − + − + + +
2/ S =
2
2 2 2
1
100 100 100
n
+ + + + +
3/
( )
n 1
n
1
1 1 1
, , , , ,

2
lim 5 1
x
x
→−
+ −
2,
3
1
lim
2
x
x
x
−
→
+
−
3,
3
2 1
lim
3
x
x
x
−
→
−
−

+ −
− −
7,
2
2
lim
7 3
x
x
x
→
−
+ −
8,
3
3 2
2 3 4
lim
1
x
x x
x x
→+∞
+ −
− − +
9,
2 2
4 1
lim
2 3

2 2
lim 1
x
x x x
→±∞
− − +
13,
2
1
3
lim
2 3
x
x
x x
→−
+
+ −
14,
3 2
3 2
3
2 5 2 3
lim
4 13 4 3
x
x x x
x x x
→
− − −

x
→
− −
−
Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
∞
∞
):
a)
3
3 2
5 1
lim
2 3 1
x
x x
x x
→+∞
− + −
+ +
b)
3
3 2
lim
2 1
x
x
x
→−∞
− +

2 3 1
x
x
e
x x
→+∞
−
+ +
f)
2 2
2 4 1
lim
2 5
x
x x x
x
→−∞
+ − +
−

ĐS: a) -1/2 b) -∞ c) - ∞ d) -∞ e) 0 f) -1/5
Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.∞):
a)
3 2
lim ( 2 3 1)
x
x x x
→−∞
− + − +
b)

+ −
f)
(
)
2
lim 2
x
x x x
→−∞
+ +
ĐS: a) +∞ b) - ∞ c) + ∞ d) +∞ e) - ∞ f) + ∞
Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
a)
3
1
lim
3
x
x
x
−
→
+
−
b)
( )
2
4
1
lim

+
e)
2
0
2
lim
x
x x
x x
−
→
+
−
f)
1
3 1
lim
1
x
x
x
−
→−
−
+
ĐS: a) - ∞ b) - ∞ c) +
∞
d) +
∞
e) 1 f) +

2
3
3
lim
2 3
x
x
x x
→−
+
+ −
d)
3
2
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
−
e)
2
2
1
2 3
lim

h)
4
2 1 3
lim
2
x
x
x
→
+ −
−
i)
1
2 1
lim
5 2
x
x
x
→−
+ −
+ −
k)
2
2
3 2
lim
2
x
x x

3
x
x
x
x
+
→
+
−
−
c/
( )
3
2
2
lim 8
2
x
x
x
x
−
→
−
−
ĐS: a) -1 b) 0 c) +∞ d) 0
Bài 13: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ∞ - ∞):
a)
(
)

x x x
→−∞
− − −

ĐS: a) 0 b) 1 c) 1/4 d) 1/2
Bài 14: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
)
a)
0
sin 3
lim
x
x
x
→
b)
2
0
sin sin 2
lim
3
x

( )
( )
f x khi x x
f x
f x khi x x
≠

=

=

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x
0
?
Phương pháp chung:
B
1
: Tìm TXĐ: D = R
B
2
: Tính f(x
0
);
)(lim
0
xf
xx→
B
3
:

B
1
: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn
B
2
: Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao
B
3
: Kết luận
Gv. Nguyễn Bá Hùng
4
* Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT có k nghiệm trên
[ ]
;a b
:
B
1
: Tính f(a), f(b) ⇒ f(a).f(b) < 0
B
2
: Kết luận về số nghiệm của PT trên
[ ]
;a b
Ví dụ:CMR phương trình
7 5
3 2 0x x
+ − =
có ít nhất một nghiệm
Xét hàm số

0;1x
∈
, vậy bài toán được chứng
minh.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
1,
2
4
2
( )
2
4 2
x
voi x
f x
x
voi x

−
≠ −

=
+


− = −

tại x = -2 2, f(x) =
2 x 1



−
=
2
12
)(
x
x
xf

1,
1,
≥
<
x
x
tại x = 1
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
1,
2
2
2
( )
2
2 2 2
x
voi x
f x
x


=

3,







−−
=
2
1
11
)(
x
x
xf
0,
0,
=
≠
x
x
4,
( )
2
2

1,
2
1
( )
2 3 1
x voi x
f x
ax voi x

<
=

− ≥

2,
( )
2
2
x 1
1
x = -1
x x
khi
f x
x
a khi

− −
≠ −


= -2 b)
2
4 3
khi x<3
( )
3
5 khi 3
x x
f x
x
x

− +

=
−


≥

tại x
0
= 3
c)
2
2 3 5
1
( )
1
7 1

≠

=

−

=

tại x
0
= 3
Gv. Nguyễn Bá Hùng
5
e/
2
2
2
( )
2
2 2 2
x
khi x
f x
x
khi x

−
≠

=

tại x
0
= 2
ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục
Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
a)
2
3 2
2
( )
2
1 2
x x
khi x
f x
x
khi x

− +
≠

=
−


=

b)
( )
2

x
x khi

− −
>

=
−


− ≤

d)
( )
2
2
0
0 1
2 1 1
x khi x
f x x khi x
x x khi x
<


= ≤ <


− − + ≥


= -1 b)
2
1
( )
2 3 1
x khi x
f x
ax khi x

<
=

− ≥

với x
0
= 1
c)
7 3
2
( )
2
1 2
x
khi x
f x
x
a khi x

+ −

3
2 10 7 0x x− − =
b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm:
3
1000 0,1 0x x+ + =
c) CMR: Phương trình x
4
-3x
2
+ 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
d) Chứng minh phương trình
2
sin cos 1 0x x x x
+ + =
có ít nhất một nghiệm
( )
0
0;x
π
∈
.
e) Chứng minh phương trình
( ) ( )
3
1 2 2 3 0m x x x
− − + − =
luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Bài 8:
a)
4

3
2 4
1 4 3 0m x x x− − + − =
luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.
Gv. Nguyễn Bá Hùng
6
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
1/ Các công thức tính đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp
( )
′
C
=0 (C lµ h»ng sè)
( )
′
x
=1
(kx)’=k (k lµ h»ng
sè )
( )
′
n
x
=n.x
n-1
(n
∈
N, n
≥
2)

(U 0)≠
′
)( x
=
x2
1
(x>0)
( )
U
U
2 U
′
′
=

(U 0)>
( )
( )
( )
( )
( )
xg
x
gx
xtg
x
tgx
xx
xx
2

/
/
/
/
sin
1
cot
cos
1
.
.sincos
.cossin
U
U
gU
U
U
tgU
UUU
UUU
−=
=
−=
=
- Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
( )
U V U V
′
′ ′
± = ±


- Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] ,
'g
x
=
u
f '
.
x
U
′
- Đạo hàm cấp cao của hàm số
Đạo hàm cấp 2 :
[ ]
f "(x) = f(x)' '
Đạo hàm cấp n :
n n-1
f (x) = f(x) '
 
 
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M
0
có hoành độ x
0
có dạng:
y = f’(x
0
) (x – x
0

−
Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) y = x
2
+ x ; x
0
= 2 b) y =
x
1
; x
0
= 2 c) y =
1
1
+
−
x
x
; x
0
= 0 d) y =
x
- x; x
0
= 2
Gv. Nguyễn Bá Hùng
7
e) y = x
3
- x + 2; x

TÝnh f '' 2

l)
( )
f x sin3x
=
. Tính
( )
; 0
2 18
f '' f '' f ''
π π
   
− ;
 ÷  ÷
   
Bài 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1.
12
3
+−= xxy
2.
3
2
2
5
+−=
x
xy
3.

−
=
x
x
y
11.
42
562
2
+
+−
=
x
xx
y

12.
1
35
2
++
−
=
xx
x
y
13.
76
2
++= xxy

3 2
2
x
x x
-
- +
19)
3
3
2
a b
y
x x
x
= −
20)
3 3
y a bx
= +
21)
2 2
3
3 3
2
y (a b )= −
22)
3
2 2
y x x=
23)

1 x+
30/ y=
x
x
−
+
1
1
31/ y= (2x+3)
10
29/ y=
x
(x
2
-
x
+1)
32/ y= (x
2
+3x-2)
20
Bài 4: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1)
xxy 3sin.sin3
2
=
2)
2
)cot1( xy +=
3)

y cot (2x )
4
π
= +
8)
2
y 2 tan x= +
9)
3
cosx 4
y cot x
3sin x 3
= − +
10)
2
cos1
2
x
y +=
11)
22
)2sin1(
1
x
y
+
=
12) y =
4
sin 3xp-

Bài 5: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
dcx
bax
y
+
+
=

edx
cbxax
y
+
++
=
2

pnxmx
cbxax
y
++
++
=
2
2
Áp dung:
12
43
+−
+
=

4
g x x=
Chứng minh rằng:
'( ) '( ) ( )f x g x x
= ∀ ∈ ℜ
.
Bài 7: Cho
23
23
+−= xxy
. Tìm x để: a) y’ > 0 b) y’ < 3
ĐS: a)
0
2
x
x
<


>

b)
1 2 1 2x− < < +
Bài 8: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
Gv. Nguyễn Bá Hùng
8
a) f(x) = cos x + sin x + x. b) f(x) =
xxcosxsin3 +−
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x
4

; 2(y’)
2
=(y -1)y’’
e) Cho y =
73xgxcotxgcot
3
1
3
++++−
; y’ = cotg
4
x f)Chof(x)=
xsin1
xcos
2
2
+
;
3)
4
('f3)
4
(f
=
π
−
π
g) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 0
h) Cho hàm số:
2

+
=
−
(C)
a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x
0
= -1.
Bài 13: Cho hàm số y = f(x) = x
3
– 2x
2
(C)
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x
0
= 2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2.
Bài 14: Gọi ( C) là đồ thị hàm số :
3 2
5 2y x x= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =
1
7
x – 4.
Bài 15: Cho đường cong (C):
2

d)
xxy
2
sin.cos=
e)
2
)cot1( xy +=
Bài 17: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
1)
1
2
x
y
x
+
=
−
2)
2
2 1
2
x
y
x x
+
=
+ −
3)
2
1

3 2
3
2
4 10 30 14
''
2
x x x
y
x x
− + +
=
+ −
3)
( )
( )
2
3
2
2 3
''
1
x x
y
x
+
=
−
4)
( )
3

( )
1
!
1
1
n
n
n
n
y
x
+
= −
+
b)
( )
sin
2
n
y x n
π
 
= +
 ÷
 
Gv. Nguyễn Bá Hùng
10
B. HÌNH HỌC
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc

• Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q).
• Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q).
• Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q).
 Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b.
• Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
 Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P).
• Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là ϕ
+) Nếu d ⊥ (P) thì ϕ = 90
0
.
+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó: ϕ = (d,d’)
 Dạng 6: Tính góc ϕ giữa hai mp (P) và (Q).
• Phương pháp 1:
- Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q).
- Tính góc ϕ = (a,b)
• Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d
- Tìm (R) ⊥ d
- Xác định a = (R) ∩ (P)
- Xác định b = (R) ∩ (Q)
- Tính góc ϕ = (a,b).
 Dạng 7: Tính khoảng cách.
• Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp:
( , )d M a MH=
(với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
• Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d

- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ⊥ (ABC).
a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB. Chứng minh: AH ⊥ SC.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ (SAB).
b) SD ⊥ DC.
c) SC ⊥ BD.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC ⊥ AD.
b) Gọi AH là đường cao của ∆ADI. Chứng minh: AH ⊥ (BCD).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD =
2a
.
a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD).
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IK⊥SD
c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD).
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, BC ⊥ AD. Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD). Chứng minh:
a) H là trực tâm ∆BCD.
b) AC ⊥ BD.
Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau
từng đôi một.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC =
3a
, SA ⊥
(ABCD).
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO⊥ (ABCD).
c) Tính góc giữa SC và (ABCD).

5. Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK). ĐS:
cos 6 / 3
α =
6. Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC). ĐS:
tan 2ϕ =
7. Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI. Tính khoảng cách giữa hai
đường ấy. ĐS:
a / 2
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA (ABCD)⊥
và
SA a 2=
.
1. CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
2. CMR: mp (SAC)
⊥
mp(SBD) .
3. Tính góc
α
giữa SC và mp (ABCD), góc
β
giữa SC và mp (SAB). ĐS:
0 0
45 , 30
α = β =
4. Tính tang của góc
ϕ
giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). ĐS:
tan 2ϕ =
5. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD).

giữa SC và (SBD).
ĐS:
sin 3 / 3α =
và
cos 3/ 14β =
.
6. Tính khoảng cách từ H đến (SBD). ĐS:
a 10 /12
7. Tính góc giữa
(SAD)
và (ABCD). ĐS:
tan 5ϕ =
Gv. Nguyễn Bá Hùng
13
·
0
60BAD =
8. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng ấy. ĐS:
a 3 / 3
9. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI. ĐS:
3 15a / 20
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và .
Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a
2
.
1. CMR: BC
⊥
mp(SAB).
2. CMR: CD

lượt là trung điểm của AB và AD.
1. CMR: BD
(ACC'A')⊥
và A’C
(BDC')⊥
.
2. CMR:
A'C AB'
⊥
.
3. CMR: (BDC’)
⊥
(ACC’A’) và (MNC’)
⊥
(ACC’A’).
4. Tính khoảng cách từ C đến mp(BDC’). ĐS:
a/ 3

5. Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’). ĐS:
3a / 17
6. Tính tang của góc giữa AC và (MNC’). ĐS:
tan 2 2 / 3α =
7. Tính tang của góc giữa mp(BDC’) và mp(ABCD). ĐS:
tan 2β =
8. Tính côsin của góc giữa (MNC’) và (BDC’). ĐS:
cos 7 / 51ϕ =
9. Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’. ĐS:
a 3 / 3
Gv. Nguyễn Bá Hùng
14

− +
3)
x
x
x
3
7 1
lim
3
+
→
−
−
4)
x
x
x
2
3
1 2
lim
9
→
+ −
−
Bài 2.
1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
x x
khi x
f x

y
x
2
3
(2 5)
=
+
2) Cho hàm số
x
y
x
1
1
−
=
+
.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = – 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d:
x
y
2
2
−
=
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA =
a 2
.
1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
2) Chứng minh rằng: (SAC)

0≤
.
2. Theo chương trình nâng cao.
Bài 5b. Tính
x
x x
x x
2
1
2 1
lim
12 11
→
− −
− +
.
Bài 6b. Cho
x x
y
x
2
3 3
1
− +
=
−
. Giải bất phương trình
y
/
0>

x
x
x
5
2 11
lim
5
+
→
−
−
4)
x
x
x x
3
2
0
1 1
lim
→
+ −
+
.
Bài 2 .
1) Cho hàm số f(x) =
x
khi x
f x
x

2
2 2
1
− +
=
−
b)
y x1 2tan= +
.
2) Cho hàm số
y x x
4 2
3= − +
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có tung độ bằng 3 .
b) Vuông góc với d:
x y2 3 0+ − =
.
Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là trung
điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI)
⊥
(ABC).
2) Chứng minh rằng: BC
⊥
(AOI).
3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).
4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB .
II . Phần riêng:
1 . Theo chương trình chuẩn .
Bài 5a. Tính

3
64 60
( ) 3 16= − − +
. Giải phương trình
f x( ) 0
′
=
.
Hết
Gv. Nguyễn Bá Hùng
16
ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 3
ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2012-2013
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung :
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
a)
n n
n
3
3
2 2 3
lim
1 4
− +
−
b)
x

= −

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x x2sin cos tan= + −
b)
y xsin(3 1)= +
c)
y xcos(2 1)= +
d)
y x1 2tan4= +
Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
BAD
0
60=
và SA = SB = SD =
a.
a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD).
b) Chứng minh tam giác SAC vuông.
c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình chuẩn
Bài 5a: Cho hàm số
y f x x x
3
( ) 2 6 1= = − +
(1)
a) Tính
f '( 5)−

y x
1
2011
4
= − +
Hết
Gv. Nguyễn Bá Hùng
17
ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 4
ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2012-2013
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung :
Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
a)
x x
x
x
2
3 4 1
lim
1
1
− +
→
−
b)
x
x

+

Câu 2: Cho hàm số
x x
khi x
f x
x
m khi x
2
2
2
( )
2
2

− −

≠
=

−

=

.
a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3
b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ?
Câu 3: Chứng minh rằng phương trình
x x x
5 4

+
=
 ÷
 ÷
−
 

II. Phần riêng
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC=
a 2
, I là trung điểm cạnh AC, AM là
đường cao của ∆SAB. Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho
IS = a.
a) Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC).
b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).
c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC).
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của
đáy ABCD.
a) Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SBD), (SBD) ⊥ (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC).
c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và
SC.
Hết
Gv. Nguyễn Bá Hùng
18
ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 5
ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2012-2013

2
2 1 1
2
2 3 1
( )
1
2

+
≠ −


+ +
=


= −


Xét tính liên tục của hàm số tại
x
1
2
= −
Câu 3 (1 điểm): Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0; 1]:
x x
3
5 3 0+ − =
.
Câu 4 (1,5 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Câu 7a (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA
⊥
(ABC),
SA= a. M là một điểm trên cạnh AB,
·
ACM
ϕ
=
, hạ SH
⊥
CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB.
b) Hạ AK ⊥ SH. Tính SK và AH theo a và
ϕ
.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (1,5 điểm): Cho các đồ thị (P):
x
y x
2
1
2
= − +
và (C):
x x
y x
2 3
1
2 6
= − + −

x x
5 3
5 4
1
7 11
3
lim
3
2
4
→+∞
− + −
− +
b)
x
x
x
5
1 2
lim
5
→
− −
−
c)
x
x
x x
2
2


+ <
=

+ ≥

. Hãy tìm a để
f x( )
liên tục tại x = 1
2) Cho hàm số
x x
f x .
x
2
2 3
( )
1
− +
=
+
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
f x( )
tại
điểm có hoành độ bằng 1.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD =
a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung
điểm AH.
1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.

.
2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Tính chiều cao hình chóp.
B. Theo chương trình nâng cao
Bài 4b: Tính giới hạn:
( )
x
x xlim 1
→+∞
+ −
Bài 5b:
1) Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
m m x x
2 3
( 2 2) 3 3 0− + + − =
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA
=
a 3
. Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và hình
chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó.
Hết
Gv. Nguyễn Bá Hùng
20
ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 7
ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2012-2013
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung :
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a)

→−
+ −
+
Câu 2:
a) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm:
x x
3
2 10 7 0− − =
b) Xét tính liên tục của hàm số
x
x
f x
x
x
3
, 1
( )
1
2 , 1

+

≠ −
=

−

= −

trên tập xác định .

2
2
1 1
lim
2
4
+
→
 
−
 ÷
−
−
 
b) Cho hàm số
f x
x
8
( ) =
. Chứng minh:
f f( 2) (2)
′ ′
− =
Câu 6a: Cho
y x x
3 2
3 2= − +
. Giải bất phương trình:
y 3
′

→
− +
−
Câu 7b 3: Cho tứ diện đều cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện .
Hết
Gv. Nguyễn Bá Hùng
21
ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 8
ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2012-2013
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung :
Câu 1:
1) Tính các giới hạn sau:
a)
x
x
x x
2
1 2
lim
2 3
→+∞
−
+ −
b)
x
x x x
x x

 
= + −
 ÷
 
b)
y x xsin= +
c)
x x
y
x
2
2
1
−
=
−

2) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số
=
tany x
3) Tính vi phân của ham số y = sinx.cosx
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
⊥ ( )SA ABCD
và
= 6SA a
.
1) Chứng minh :
BD SC SBD SAC, ( ) ( )⊥ ⊥
.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

Câu 5b: Cho
= + −
3 2
2
3 2
x x
y x
. Với giá trị nào của x thì
y x( ) 2
′
= −
.
Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xác định đường vuông góc chung
và tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD′ và B′C.
Hết
Gv. Nguyễn Bá Hùng
22
ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 9
ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2012-2013
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung : (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x x
x x
2
3

2 1

− +

≠
=

−

=

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x
3
( 2)( 1)= + +
b)
y x x
2
3sin .sin3=
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với
đáy.
a) Chứng minh tam giác SBC vuông.
b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC) ⊥ (SBH).
c) Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:
m x m x
5 2 4

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Hết
Gv. Nguyễn Bá Hùng
23
ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 10
ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2012-2013
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung :(7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x
x
3
0
( 2) 8
lim
→
− +
b)
( )
x
x xlim 1
→+∞
+ −
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm
x
0

=
+
b)
x x
y
x
2
2
2 1
+ −
=
+
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA ⊥ (ABC),
SA =
a 3
.
a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC ⊥ (SAM).
b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC).
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình:
x x x
4 2
2 4 3 0+ + − =
có ít nhất hai nghiệm thuộc (–
1; 1).
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
x

.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
y f x x x
3
( ) 2 3 1= = − +
tại giao điểm
của (C) với trục tung.
Hết
Gv. Nguyễn Bá Hùng
24
ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 11
ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2012-2013
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung :(7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x x
x
3 2
1
2 3 1
lim
1
→−
+ −
+
b)

=

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
x
y
x
2
2 1
2
−
=
−
b)
y x
2
cos 1 2= −
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO =
a 3
.
Gọi I là trung điểm của SO.
a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình :
x x
5
3 1− =

y
x
3
4
−
=
+
. Chứng minh rằng:
y y y
2
2 ( 1)
′ ′′
= −
.
b) Cho hàm số
x
y
x
3 1
1
+
=
−
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng d:
x y2 2 5 0+ − =
Hết
Gv. Nguyễn Bá Hùng
25