Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 11 - Pdf 80

(1)<div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 1

A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH

CHƯƠNG III: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. CẤP SỐ CỘNG

a) Định nghĩa:

Gọi  un là cấp số cộng cơng sai d, ta có cơng thức truy hồi sau: u un d; n N*
n 1     với
d là số không đổi.

b) Công thức số hạng tổng quát:

 

un u n 1 d; n 2

     .

c) Tính chất các số hạng của CSC:

k 1 k 1
k

a) Định nghĩa:

 un là cấp số nhân cơng bộ q, ta có cơng thức truy hồi sau: u u q; nn N*

n 1    với q là số
không đổi.

b) Công thức số hạng tổng quát:

un u q ; n 2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 2

c) Tính chất các số hạng của CSC:

u u .u ;k 2

k  k 1 k 1  

Hay u u .u

k  k1 k1 (trừ số hạng đầu và số hạng cuối).

d) Tổng của n số hạng đầu của một CSC: 

- Nếu H là hằng số thì (u )n là một CSC có cơng sai dH.
- Nếu H phụ thuộc vào n thì (u )n khơng là CSC.

Ví dụ: Chứng minh dãy số  un với u 20n 9

n   là một CSC. Tìm số hạng đầu và cơng sai
của CSC đó.

Hướng dẫn giải:

Ta có u u 20 n 1 9 20n9  20 u u 20

n1 n       n1 n  . Vậy  un là một CSC
với u 11

1 và d = 20.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 3

Để chứng minh dãy số (u )n là một CSN ta xét thương n 1
n

T , n 1

u


  

 

  

  

 

 phụ thuộc n nên  un không là CSN.

2. Dạng 2: Xác định công sai và số hạng đầu của một CSC hoặc CSN

a) Phương pháp xác định công sai và số hạng đầu của một CSC:

- Ta thiết lập một hệ phương trình mà u1và d phải thỏa. Giải hệ này ta được u1và d.

Ví dụ: Tìm số hạng đầu và cơng sai của CSC  un biết 2 3 5
4 6

u u u 10

u u 26

   



  

 (1).

     

 



Vậy  un đã cho có u11, d3.

b) Phương pháp xác định công bội và số hạng đầu của một CSN:

- Ta thiết lập một hệ phương trình mà u1và q phải thỏa. Giải hệ này ta được u1và q.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 4

sáu của CSN đó.
Hướng dẫn giải:
Ta có:

1 1

1
2

   

    

    

        

    

     

 



Vậy  un đã cho có 5 5

1 6 1

u  2; u u .q  ( 2).( 2) 64.

3. Dạng 3: Dùng công thức un và Sn của CSC, CSN để chứng minh hay tính tổng

a) Phương pháp dùng công thức un và Sn của CSC để chứng minh hay tính tổng

Ta thường dùng linh hoạt các công thức:

Ví dụ: Cho ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSC. Chứng minh: 2 2

a 2bcc 2ab (2).

Hướng dẫn giải:

Ta có VT(2) = 2   2 2 2  2  2   2

a  a c .ca acc c  a ac c a a c c 2abVP(2).

Vậy 2 2

a 2bcc 2ab.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 5

- Nếu (u )n là một CSN có cơng bội q thì n 1
n

q , n 1

u


 

n 1
n 1

  .

Ví dụ: Tính tổng 

A 9 99999 ... 99...9 .

Hướng dân giải:
Ta có



       

 

2 3 n

2 n

n 1

A 9 99 999 ... 99...9

101 10 1 10 1 ... 10 1

u u 33

  



  

 ; b)

1 5

u 2u 0

S 14

  


 

 ; c)

1 5 3
1 6

u u u 10

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 6

Bài 4. Tìm u1, q của cấp số nhân biết:

a) u4 = 64, và u6 = 1024; b) 1 3 5
2 4

u u u 21

u u 10

    



  


Bài 5. Cho ba số 2, 14, 50. Phải cộng thêm mỗi số cùng một số nào để ba số mới lập thành
cấp số nhân.

Bài 6. Cho 3 số a, b, c lập thành một cấp số nhân.

Chứng minh: 2 2 2

(a b c)(a  b c) a b c

Bài 7. Cho ba số 2 , ,1 2

ba b bc lập thành một CSC. Chứng minh a, b, c lập thành một CSN.

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

a) Giả sử

0 0

xlim f (x)x L, lim g(x)xx M. Khi đó

 

x x

lim f (x) g(x) L M,

lim f (x).g(x) L.M,

Chú ý: Định lý trên vẫn đúng cho trường hợp xx , x0 x , x0    , x .

2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN MỘT BÊN

0 0 0

xlim f (x)x L xlim f(x)x xlim f (x)x L

   

3. CÁC QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VƠ CỰC CỦA HÀM SỐ

+) Nếu  

xlim f xx  thì x x0  

lim 0

f x

 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 8

0 n

x x

lim 0

  (với n > 0)

5. HÀM SỐ LIÊN TỤC

a) Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0K.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0nếu  

0
xlim f (x)x f x .
b) Một số định lý cơ bản:

Định lý 1:

x x

f (x)
lim

g(x)


L > 0

+ + ∞

- - ∞

L < 0

+ - ∞

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 9

- Hàm số đa thức liên tục trên .

- Hàm phân thức hữu tỉ và các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định
của chúng.

0:

- Nếu tử, mẫu là những đa thức thì ta đặt thừa số xx0 làm nhân tử chung và rút gọn
nhân tử này ta sẽ đưa được giới hạn về dạng xác định.

- Nếu tử hay mẫu có chứa căn thức thì nhân tử và mẫu với lượng liên hợp của tử hoặc mẫu
và cũng rút gọn thừa số xx0ở tử và mẫu ta sẽ đưa được giới hạn về dạng xác định.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 10

2 2 3 3

2 2

a b a b

a b ;a b

a b a ab b

 

   



 

+ Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)
+ Liên hợp của biểu thức:

x 1



 



Hướng dẫn giải:

a)    

 

  

2 2

3 2 2 2

x 2 x 2 x 2

x 2 x 2 x 4 x 2 x 4

x 16 4.8

lim lim lim 8

2 3x 1

lim lim

x 1 x 1 2 3x 1

3 3 3

lim

x 1 2 3x 1 1 1 2 3.1 1

 

 
 

   
 
   
     

Vậy 2

x 1

2 3x 1 3

4 2

3x 16x 2

lim

x 2x 4



 

  b)

3
x

x 5x 1

lim

10 2x



 
 
   
  
     
Vậy
4
4 2
x

3x 16x 2

lim 3

x 2x 4



 



  .

2 2 3

 



 Dạng :

- Nếu xx0 thì ta quy đồng mẫu số để đưa về dạng 0
0.

- Nếu x  thì ta nhân và chia với lượng liên hợp để đưa về dạng 

.

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) 3

x 1

1 3

lim

1 x 1 x



 

  

lim lim

1 x 1 x 1 x

x 1 x 2

x x 2 x 2

lim lim lim 1

1 x 1 x 1 x x 1 x x

 

  

 

      

    

  

  

      

       

b) Ta có

 2   2  2

x x

4x 3x 1 4x

lim 4x 3x 1 2x lim

4x 3x 1 2x

1
3

3x 1 x 3 3

lim lim

2 2 4

lim 4x 3x 1 2x

     .

 Dạng 0.∞

- Để khử dạng này thì ta cần thực hiện một số biến đổi như đưa thừa số vào trong dấu căn,
quy đồng mẫu số,...ta có thể đưa giới hạn đã cho về dạng quen thuộc.

Ví dụ: Tìm giới hạn sau:  3 
2
x 1

lim x 1

x 1



   .

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 13
    

  
 
       
  

Vậy  3 

2
x 1

lim x 1 0

x 1



    .

2. Dạng 2: Tính tổng của CSN lùi vơ hạn

- Sử dụng công thức u1

S ,| q | 1

1 q

 

1
10

  
 

   
.

3. Dạng 3: Xét tính liên tục của hàm số

3.1 Xét tính liên tục của hàm số dạng:      

 

g x x x

f x

a x=x

 


 


 


 

 a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số

tại x0 = 1.

Hướng dẫn giải:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 14

Ta có f(1) = a.

    

x 1 x 1 x 1

x 1 x 1

x 1

lim lim lim x 1 2

x 1 x 1



o Tìm :

   

 

0 0

x x x x

lim f x lim g x

f x
 
 
 
 
    

x x 0

  


 



 . Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 0.

Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
Ta có f(0) = 0

 

     

x 0 x 0

x 0 x 0 x 0 x 0

lim f x lim x 0

lim f x lim x 1 1 0= lim f x lim x

 . Xét tính liên tục của hàm số trên toàn

trục số.

Hướng dẫn giải:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 15

Ta có f(1) = a+2

   

x 1 x 1

lim f x lim ax 2 a 2

lim f x lim x x 1 1

 

 

 

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số   7 5

f x x 3x 2 liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [0;1]

Và  

     

f 0 2 0

f 0 .f 1 0

f 1 2 0



    

  

Nên phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm x0 0;1 .

III. BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 

):



 

 c)

3 2
2
x

5x x 1

lim

3x x



 

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 16

5 3

2 3



  



ĐS: a) -1/2 b) - c) -  d) - e) 0 f) -1/5

Bài 2: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.):

a) 3 2

xlim ( 2x  x 3x1) b)

4 3

xlim ( x  x 5x3)

c) 2

xlim 4x x 2

 

d) 2

xlim x 3x2 e)  
2

xlim 3x x 2x

2x 1
lim
x 3




 d) x 2

2x 1
lim
x 2


 

 e) 2

x 0

2 x x

lim
x x




f)

x 1



 

 c) x 3 2

x 3

lim

x 2x 3



 
d)
3
2
x 1
x 1
lim
x 1



 e)

  g)

2
x 3

x 9

lim

x 1 2





  h) x 4

2x 1 3

lim
x 2

 

i)
x 1

x 2 1

lim

x 1

2x 3

lim x 1

x 1







 b)

2
x 3

2x 1

lim x 9.

x 3






  

c)  2 

xlim 4x  x 2x d)  

2 2

xlim x  x x 1
ĐS: a) 1/2 b) 1 c) 1/4 d) 1/2

Bài 7: Tính các giới hạn sau:

1,  2 

xlim2 x  5 1 2, x 3

x 1
lim
x 2




 3,

3 2

xlim ( x  x  x 1) 4,

1 1

lim 1

x x 1




 

  

 

   7,

xlim ( 4x  x 2x)

8,  2 2 

xlim x  x x 1 9, x 1 2

x 3

lim

x 2x 3

(x 3) 27

lim
x

 
12,
x 2

x 2 2

lim

x 7 3



 

  13, x 7 2

2 x 3

lim

x 49



lim
x

 b) x 0 2

sin x sin 2x
lim
3x

c)
2
x 0

1 cos x
lim

x sin x




d) n

x 0

sin x.sin 2x....sin nx
lim

x


n 1
n

1 1 1

, , ,..., ,...

3 9 27 3






Bài 10: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

n 1

1 1 1 1

1, , , ,..., ,...

2 4 8 2



x 4

khi x 2

f (x) 2 x

4 khi x 2

 
 

  
 


tại x0 = 2

x 4x 3

khi x<3

f (x) x 3

5 khi x 3

tại x0 = 1

2 x 1

khi x 3

f (x) 3 x

3 khi x 3

  
 

  
 


tại x0 = 3

x 2

khi x 2

f (x) x 2

ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ;

c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục

Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:

x 3x 2

khi x 2

f (x) x 2

1 khi x 2

  
 

  
 


b)  2

1 x

  



d)   2

x khi x 0
f x x khi 0 x 1

x 2x 1 khi x 1

 




  

   



ĐS:

a) hs liên tục trên R



với x0 = -1

x khi x 1
f (x)

2ax 3 khi x 1

 


 

 

 với x0 = 1

x 7 3

khi x 2

f (x) x 2

  

 với x0 = 1

ĐS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2

Bài 14:

a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 3

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 21

b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: 3

x 1000x0,10
c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2). 
d) Chứng minh phương trình 2

x sin xx cos x 1 0 có ít nhất một nghiệm x00;.
e) Chứng minh ptrình m x 1 3 x 2 2x 3 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Bài 15: CM:

a) 4

x 5x 2 0 có ít nhất một nghiệm.
b) 5

x 3x 7 0 có ít nhất một nghiệm.

(kx)’= k (k là hằng số)
 n

x = n.xn-1 (nN, n2)  n

U =n.Un-1.U

1 1

x x


 
   
 
 

(x0)

1 U

U U



  

2

2
2

sin x ' cos x
cos x ' sin x

tan x ' 1 tan x

cos x
1

cot x ' 1 cot x

sin x


 

  

    

 

2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM (Ký hiệu U = U(x), V=V(x)).

UVUV U.V ' U'.VV'.U

(k.U)k.U(k là hằng số) U U'.V 2V'.U

V V



  

  
 

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 23

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP: g(x) = f[U(x)] , g 'x = f 'u. Ux

4. ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ

Đạo hàm cấp 2: f (x)  f (x) 

Đạo hàm cấp n: (n ) (n 1)

f (x) f  (x)

5. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 x




2. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)

* Loại 1: Tiếp tuyến tại điểm Mx ,f x0  0 

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hồnh độ x0 có dạng:

y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) (*)

* Loại 2: Tiếp tuyến với hệ số góc k

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 24

Phương pháp:

B1: Tiếp tuyến d’ // d nên kd 'kd

B2: Gọi x0 là hồnh độ tiếp điểm. Khi đó ta có f’(x0)= kd (3)
B3: Giải (3) tìm x0. Từ đó suy ra f(x0).

B4: Thay các kết quả vừa tìm vào pt dạng (*) ta được pt tiếp tuyến cần lập.

+ Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d cho trước 
Phương pháp:

B1: Tiếp tuyến d’ // d nên d '

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần viết.

Ví dụ: Gọi (C) là đồ thị hàm số:y f (x) 1
x

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 25

a) Tại điểm có hồnh độ bằng -2
b) Tại điểm có tung độ bằng 3

c) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : y = -1

9x + 2014.

d) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ': y =1

4x – 4.
e) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-8;0).

ĐS:

a) y = -1

4x -1
b) y = -9x+6;
c) y = -1

9x +
2

y 10x

  4. 3

y(x 2)(x1)

5. 2

y5x (3x1) 6. 2 3

y(x 5)

7. 2 2

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 26

9. 2 3

y(x1)(x2) (x3) 10.y 22x

x 1



13. 2

y x 6x7 14.y x 1 x2

15. 2

y(x1) x  x 1 16.

x 2x 3

y
2x 1
 


2

3x 2x 1

17.y

2x 3

 



 18) y =

3 3 2

y(a b ) 22) 23 2

yx x
23)

3 4

(x 2)

(x 1) (x 3)




  24)

7 2

y(x x)

25) 2

y x 3x2 26) y 1 x

y (1 cot x)

3) 2

ycos x.sin x 4)y 1 sin x
2 sin x






5) 4 x

y sin

 6)y sin x cos x
sin x cos x




</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 27

7) 3

y cot (2x )

sin 3x
13)y = cos ( x3 ) 14) y= 5sinx-3cosx 
15)y = x.cotx 16) 3 2

ycot 1x
17)y= sin(sinx) 18) 2

ysin (cos 3x)
19) y x sin x

1 tan x



 20)

sin x x

x sin x

 

21) y tanx 1
2



l) Cho f x   x106.TÝnh f '' 2    m)f x sin 3x. Tính f '' ; f '' 0 f '' 

2 18

   

   

   

 

   

     

Bài 4: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

ax b

cx d






2x 1




 

x x 2

2x 1

  




2
2

x 3x 4

2x x 3

Bài 7: Giải phương trình: f’(x) = 0 biết rằng:

a) f(x) = cos x + sin x + x. b) f(x) = 3 sin xcos xx
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1

Bài 8: Cho hàm số f (x) 1x. Tính : f (3)(x3)f '(3)

Bài 9:

a) Cho y = 2

2xx ; chứng minh 3

y y  1 0

b) Cho y = x 3

x 4



 ; chứng minh2(y’)2=(y -1)y’’

c) Cho f(x)=

2
2

cos x

      b/ f (x)2xsin x

Bài 11: Cho hàm số

x x

x 2




 (C)

a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hồnh độ x0 = -1.

Bài 12: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)

a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hồnh độ x0 = 2.

c) Viết phtrình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2.

Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

1) y x 1

x 2




 2) 2

2x 1

x x 2




  3) 2

x
y

x 1



3 2

3
2

4x 10x 30x 14

y ''

x x 2

  



 

3)  

 

2
3
2

2x x 3

y ''

x 1

y ''4x sin x(x 3) cos x
7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x

8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x

Bài 16: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

a) y 1

x 1



 b) y = sinx

ĐS: a)    

 

n
n

n 1

y 1

x 1 

Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vng góc ( a  b a b ' với b’ là hình chiếu
của đt b lên mp chứa đt a).

* LƯU Ý: Trong các phương pháp trên thì phương pháp 3 là thông dụng nhất.

Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vng góc với mp (P).

Phương pháp 1: Chứng minh: d  a và d  b với a  b = M; a,b  (P)

Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a  (P)

Phương pháp 3: Chứng minh: d  (Q)  (P), d  a = (P)  (Q).

Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q)  (R) và (Q) (P), (R)  (P).

Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vng góc.

Phương pháp 1: Chứng minh (P)  a  (Q).

Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R)  (Q).

Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a  (Q).

Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b.

Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’  b’ = O)

- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 32

Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).

- d(M, (P)) = AH

Tính khoảng giữa đt  và mp (P) song song với nó: d(, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc ).

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 33

+)Phương pháp 1: Nếu a  b :

Dựng (P)  a và (P)  b
Xác định A = (P)  b

Dựng hình chiếu H của A lên b

AH là đoạn vng góc chung của a và b

+)Phương pháp 2:

Dựng (P)  a và (P) // b.

Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’  a = H
Dựng đt vng góc với (P) tại H cắt đt b tại A.
AH là đoạn vuông góc chung của a và b.

+)Phương pháp 3:

Dựng mp (P)  a tại I cắt b tại O

Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O).

đường thẳng ấy.

ĐS: a / 2
Hướng dẫn:

1. Chứng minh tam giác SBC vuông tại B: cần chứng minh BC  (SAB)
2. Chứng minh BD  (SAC)

3. - Góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và AC. Vậy đó chính là góc SCA của tam giác SAC
vng cân tại A.

- Góc giữa SC và (SAB) là góc giữa SC và SB. Vậy đó chính là góc CSB của tam giác SBC vng
tại B có BC = a và SB = a 3.

H

O'
A'

O

C
A

B

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 35

b) Gọi AH là đường cao của ADI. Chứng minh: AH  (BCD).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2.

a) Chứng minh SO  (ABCD).

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 36

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB  CD, BC  AD. Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD).
Chứng minh:

a) H là trực tâm BCD.
b) AC  BD.

Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vng góc
với nhau từng đơi một.

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a 3, SA 

(ABCD).

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO (ABCD).

c) Tính góc giữa SC và (ABCD).

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng, tâm O và SA (ABCD) . Gọi H, K lần lượt
là hình chiếu vng góc của A lên SB, SD.

a) Chứng minh BC  (SAB), BD  (SAC).

trường chuyên danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS THCS

lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường và đạt điểm tốt

ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần 
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đơi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham
khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

Nhờ tải bản gốc

Tài liệu, ebook tham khảo khác

Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 11 - Pdf 80

Tài liệu, ebook tham khảo khác

Học thêm