1. Tên đề tài:
MỘT SỐ BIỆN PHÁP
MỘT SỐ BIỆN PHÁP
NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC PHÂN
NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC PHÂN
TÍCH
TÍCH
Đ
Đ
A THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ở MÔN TOÁN ĐẠI SỐ 8
A THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ở MÔN TOÁN ĐẠI SỐ 8
TẠI
TẠI
TRƯỜNG PTDTBT
TRƯỜNG PTDTBT
-
-
THCS TRÀ DON
THCS TRÀ DON
2. Đặt vấn đề:
2.1. Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình toán học phổ thông, phân tích đa thức thành nhân
tử là một vấn đề đặc biệt quan tâm, vì nó được sử dụng xuyên suốt quá trình
học tập của học sinh. Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều
phương pháp hay nhiều cách giải, việc tìm ra phương pháp thích hợp cho lời
giải một bài toán được ngắn gọn, chính xác, khoa học tất cả đều phụ thuộc
vào việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh. Qua quá trình giảng dạy,
cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, việc phân tích đa thức thành
nhân tử là không quá khó, song vẫn còn nhiều học sinh giải sai hoặc chưa
thực hiện được. Nguyên nhân là do học sinh chưa nắm vững các phương pháp
cơ bản đã học về phân tích đa thức thành nhân tử, chưa vận dụng kỹ năng

cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải
khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn.
4. Cơ sở thực tế:
Tình hình học sinh: 100% là con em vùng khó khăn, trình độ nhận thức
thấp và thiếu sự quan tâm của gia đình.
Đội ngũ giáo viên: đa số giáo viên còn trẻ, tuổi nghề còn ít, kinh
nghiệm chưa nhiều.
Học sinh quá nhiều lỗ hổng kiến thức vì vậy các em dễ chán nản và
không ham thích học toán, tâm lí sợ môn toán. Một số em lười học, thiếu sự
tìm tòi, sáng tạo trong học tập, không có sự phấn đấu vươn lên, chay lười suy
nghĩ hay dựa dẫm vào thầy cô và bạn bè hoặc thụ động xem lời giải sẵn có
dẫn tới không nắm được kĩ năng vận dụng các kiến thức vào giải quyết các
bài tập toán học.
Qua khảo sát thực tế tình hình học sinh khối 8 năm học 2012 - 2013
như sau:
Tổng Đạt trên trung bình Dưới trung bình
HS khối 8 29 17 12
Tỉ lệ % 100% 58,6% 41,4%
5. Nội dung nghiên cứu:
5.1. Củng cố kiến thức cơ bản: (đối với học sinh yếu, kém)
Các phương pháp thường gặp:
5.1.1. Phương pháp đặt nhân tử chung.
Phương pháp chung:
Ta thường làm như sau:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
- Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất ).
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C = A.(B + C).
Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử.
* Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x
2

= 7xy.(2x – 3y + 4xy)
* Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử. (BT-39e-
SGK-tr19)
Gợi ý:
2
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ?
- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có
nhân tử chung (y – x) hoặc (x – y)?
Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y)
Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x).
Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y
= 2(x – y)(5x + 4y)
* Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)
2
thành nhân tử.
Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)
2
= 9x(x – y) + 10(x – y)
2
(đổi dấu sai )
= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên)
= (x – y)(19x – 10y). (kết quả sai )
Sai lầm của học sinh ở đây là:
Thực hiện đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)
2
= 9x(x – y) + 10(x – y)
2


Chú ý: Tích không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một cách
tổng quát, tích không đổi khi ta đổi dấu một số chẵn nhân tử trong tích đó).
5.1.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Phương pháp chung:
Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa
về “dạng tích”
1. A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
2. A
2
– 2AB + B
2
= (A – B)
2

3
3. A
2
– B
2
= (A – B)(A + B)
4. A
3
+ 3A
2
B + 3AB

= (A – B)(A
2
+ AB + B
2
)
* Ví dụ 5: Phân tích đa thức 8x
3
+ 12x
2
y + 6xy
2
+ y
3
thành nhân tử. (BT-
44d-SGK-tr20)
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A
3
+ 3A
2
B
+ 3AB
2
+ B
3
= (A + B)
3
).
Lời giải:
8x
3

)
Lời giải sai:
(x + y)
2
– (x

– y)
2
= (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc)
= 0.(2x) = 0 (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc
Lời giải đúng: (x + y)
2
– (x

– y)
2
= [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]
= (x + y – x + y)(x + y + x – y)
= 2y.2x = 4xy
Các sai lầm học sinh dễ mắc phải:
- Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu.
- Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình
phương, bình phương của một hiệu.
 Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể cho các
em làm bài tập dưới dạng phức tạp hơn.
* Nếu thay mũ “2” bởi mũ “3” ta có bài toán
Phân tích (x + y)
3
– (x – y)

thành nhân tử (BT-26c-SBT-tr6)
Giải: a
6
– b
6
=
( ) ( )
2 2
3 3
a b−
= (a
3
– b
3
)( a
3
+ b
3
)
= (a – b)(a
2
+ ab + b
2
)(a + b)(a
2
– ab + b
2
)
+ Giáo viên củng cố cho học sinh:
Các hằng đẳng thức đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua

2
– xy + x – y thành nhân tử. (Bài tập 47a-
SGK-tr22)
Cách 1: nhóm (x
2
– xy) và (x – y)
Cách 2: nhóm (x
2
+ x) và (– xy – y )
Lời giải sai:
x
2
– xy + x – y = (x
2
– xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)(x + 0). (kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1)
Sai lầm của học sinh là: bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung (HS cho
rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì còn lại là số 0)
Lời giải đúng: x
2
– xy + x – y = (x
2
– xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y)
= (x – y)(x + 1).
5.1.3.2/ Nhóm nhằm xuất hiện dùng hằng đẳng thức:
* Ví dụ 10: Phân tích đa thức x
2
- 2xy + y

2
- 2xy + y
2

– z
2
+ 2zt – t
2
thành nhân tử. (Bài
tập 48c-sgk-tr 22)
Giải: x
2
- 2xy + y
2

– z
2
+ 2zt – t
2
= (x
2
– 2xy + y
2
) – (z
2
+ 2zt + t
2
)
= ( x - y)
2

ngoặc).
Cách giải đúng:
x
2
- 2xy + y
2

– z
2
+ 2zt – t
2
= (x
2
– 2xy + y
2
) – (z
2
+ 2zt + t
2
)
= (x - y)
2
– (z + t )
2

= (x – y – z - t) (x - y + z + t)
+ Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố kiến thức cho học sinh:
- Lựa chọn các hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử.
- Kiểm tra lại cách đặt dấu trừ ra ngoài dấu ngoặc khi thực hiện nhóm
các hạng tử của đa thức.

2
– x – y
2
– y thành nhân tử. (Bài tập 31a-
sbt-tr 10).
Lời giải sai: x
2
–x – y
2
– y = (x
2
– y
2
) – (x – y ) (đặt dấu sai)
= (x + y)(x – y) – (x – y) (sai từ trên)
= (x – y)(x + y – 1) (kết quả dấu sai).
Sai lầm của học sinh là:
x
2
– x – y
2
– y = (x
2
– y
2
) – (x – y ) (đặt dấu sai ở ngoặc thứ
hai)
Lời giải đúng: x
2
– x – y

+ x
2
– 9x thành nhân tử. (Bài tập ?2
-SGK-tr22)
Gợi ý phân tích: Xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung ?
Dùng hằng đẳng thức ?
Nhóm nhiều hạng tử ?
Các sai lầm cuả học sinh:
Lời giải chưa hoàn chỉnh:
x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x = x(x
3
– 9x
2
+ x – 9) (phân tích chưa triệt để).
x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x = (x
4
– 9x
3

+ 1).
* Ví dụ 15: Phân tích đa thức A = (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
thành nhân tử.
(Bài tập 57-sbt- tr 14).
Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa
chọn cách giải phù hợp nhất, gọn nhất.
Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B)
3
= A
3
+ B
3
+ 3AB(A + B)
Suy ra hệ quả sau: A
3
+ B
3
= (A + B)
3
– 3AB(A + B).
Giải:
A = (x + y + z)
3

– y
3
] + 3z(x + y)(x + y + z)
= 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z
2
)
7
= 3(x + y)( xy + xz + yz + z
2
)
= 3(x + y)(y + z)(x + z).
Khai thác bài toán:
1) Cho a + b + c = 0. Chứng minh: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc. (Bài tập 38-SBT-tr7)
Hướng dẫn:
Dùng x
3
+ y
3
= (x + y)
3
– 3xy(x + y) và x + y + z = 0
⇔
x + y = – z.
2) Phân tích đa thức x

2
– 5x + 6 = x
2
– 2x – 3x + 6
= (x
2
– 2x) – (3x – 6)
= x(x – 2) - 3( x – 2)
= (x – 2 )( x – 3).
Cách 2: Tách hạng tử 6 = 10 - 4
P(x) = x
2
– 5x + 6 = x
2
– 5x + 10 - 4
= (x
2
– 4) – ( 5x – 10)
= (x + 2)( x – 2 ) – 5 (x – 2)
= (x – 2)( x + 2 – 5)
= ( x – 2 )(x – 3).
Cách 3: Tách hạng tử - 5x = - 4x – x và 6 = 4 + 2
P(x) = x
2
– 5x + 6 = x
2
- 4x –x + 4 + 2
= (x
2
- 4x + 4) – ( x – 2)

Ta có: a = – 6 ; b = 7 ; c = – 2
Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12
Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1
Bước 3: b = 7 = 4 + 3
Khi đó ta có lời giải: – 6x
2
+ 7x – 2 = – 6x
2
+ 4x + 3x – 2
= (– 6x
2
+ 4x) + (3x – 2)
= –2x(3x – 2) + (3x – 2)
= (3x – 2)(–2x + 1).
* Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ số
tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp
nhằm để vận dụng phương pháp nhóm hoặc hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử
chung.
5.3.2. Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.
Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương
pháp nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức.
* Ví dụ 17: Phân tích đa thức x
4
+ 4 thành nhân tử. (Bài tập 57d-SGK-tr 25)
Gợi ý: Thêm 4x
2
và bớt 4x
2
(làm xuất hiện hằng đẳng thức)
Giải: x

2
và bớt 16x
2
y
2
(làm xuất hiện hằng đẳng thức)
x
4
+ 64y
4
= (x
4
+ 16x
2
y
2
+ 64y
4
) – 16x
2
y
2

= (x
2
+ 8y
2
)
2
– (4xy)

Để thực hiện tốt kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử nêu trên thành
thạo trong thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến
thức cơ bản sau:
- Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc
dấu ngoặc ở các lớp 6, 7.
- Ngay từ đầu chương trình Đại số 8 giáo viên cần chú ý dạy tốt cho
học sinh nắm vững chắc kiến thức về nhân đơn thức với đa thức, đa thức với
đa thức, các hằng thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo cả hai chiều của
các hằng đẳng thức.
- Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần:
* Quan sát đặc điểm của bài toán:
Nhận xét quan hệ giữa các hạng tử trong bài toán (về các hệ số, các
biến).
* Nhận dạng bài toán:
Xét xem bài toán đã cho thuộc dạng nào? áp dụng phương pháp nào
trước, phương pháp nào sau (đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức
hoặc nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp các phương pháp).
* Chọn lựa phương pháp giải thích hợp:
Từ những cơ sở trên mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với bài
toán.
 Lưu ý: Kinh nghiệm khi phân tích một bài toán thành nhân tử

Trong một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung thì bước tiếp
theo đối với biểu thức còn lại trong ngoặc, thường là thu gọn, hoặc sử dụng
phương pháp nhóm hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức.
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử thì bước tiếp
theo đối với các biểu thức đã nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử
chung hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức.
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức thì bước

Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng phân tích bài
toán, các hằng đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình
bày bài giải còn lung tung.
b) Áp dụng giải pháp
Lần 1: Kiểm tra 1 tiết
Thời gian
Đầu học kì I đến cuối học kì I
TSHS Trung bình trở lên
Số lượng Tỉ lệ (%)
Kết quả áp dụng giải pháp (lần 2) 29 21 72,4%
*
Nhận xét: Học sinh đã hệ thống, nắm chắc kiến thức cơ bản về các
hằng đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc vận dụng khá tốt
các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán, biết nhận
xét đánh giá bài toán trong các trường hợp, trình bày khá hợp lý.
Lần 2: Kiểm tra học kì I
Thời gian
Đầu học kì I đến cuối học kì I
TSHS Trung bình trở lên
Số lượng Tỉ lệ (%)
Kết quả áp dụng giải pháp (lần 3) 29 26 89,7%
*
Nhận xét: Học sinh nắm vững chắc các kiến về phân tích đa thức
thành nhân tử, vận dụng thành thạo kỹ năng biến đổi, phân tích, biết dựa vào
các bài toán đã biết cách giải trước đó, linh hoạt biến đổi và vận dụng hằng
11
đẳng thức và đã trình bày bài giải hợp lý hơn có hệ thống và logic, chỉ còn
một số ít học sinh quá yếu, kém chưa thực hiện tốt.
Học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại từng dạng
toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ năng giải nhanh các bài toán có dạng

Để áp dụng đề tài đạt hiệu quả cao giáo viên phải có phương pháp
giảng dạy tích cực, kích thích động cơ, hứng thú học tập cho học sinh và trong
quá trình dạy phải khắc sâu kiến thức cơ bản cho học sinh, bồi dưỡng cho học
sinh phương pháp học và tự học. Giáo viên phải tích cực nghiên cứu tìm tòi
các bài tập liên quan, cách giải hay độc đáo và phân loại các dạng bài tập.
Đề tài nghiên cứu, rút kinh nghiệm của bản thân, thông qua thực trạng
học sinh lớp 8 trong năm học 2012 – 2013 mà tôi xây dựng để tiết học đạt
hiệu quả. Song vẫn còn một số thiếu sót, hạn chế của nó rất mong sự góp ý
của các đồng nghiệp, các cấp lãnh đạo để đề tài được hoàn thiện hơn.
12
Tôi xin chân thành cảm ơn.
8. Đề nghị:
Ban đại diện phụ huynh học sinh phối hợp cùng nhà trường, để góp
phần giáo dục ý thức học tập cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng học tập
của học sinh.
Nên tổ chức các hội thảo, chuyên đề môn Toán nhằm tạo điều kiện để
giáo viên học hỏi và trao đổi kinh nghiệm.
9. Tài liệu tham khảo:
- Sách giáo viên Toán học lớp 8, tập 1, NXB giáo dục.
- Sách giáo khoa Toán học lớp 8, tập 1, NXB giáo dục.
13
- Sách chuẩn kiến thức môn Toán học 8, tập 1, NXB giáo dục.
- Phụ đạo cho học sinh dân tộc, tác giả Phan Thị Luyến - Nguyễn Thị
Phương Thảo, NBX giáo dục Việt Nam.
- Những bài toán cơ bản và nâng cao chọn lọc Toán 8, NXB giáo dục.
- Tuyển tập các bài toán và khó toán 8, tập 1, NXB giáo dục.
- Các website: tư liệu bạch kim.vn; violet.vn.
MỤC LỤC
***
1. Tên đề tài: 1

GK1
Điểm
GK2
Điểm
GK3
Điểm
tối đa
Điểm
thống nhất
1. Tên đề tài
2. Đặt vấn đề
1
3. Cơ sở lí luận 1
4. Cơ sở thực tiễn 2
5. Nội dung nghiên cứu 9
6. Kết quả nghiên cứu 3
7. Kết luận 1
8. Đề nghị
9. Phụ lục
1
10. Tài liệu tham khảo.
11. Mục lục
12. Phiếu đánh giá, xếp
loại.
1
13. Thể thức văn bản, chính
tả
1
Tổng cộng 20đ
Căn cứ số điểm đạt được, đề tài trên được xếp loại:
II. Đánh giá, xếp loại của HĐKH Phòng GD & ĐT Nam Trà My
Sau khi thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH phòng GD & ĐT Nam
Trà My thống nhất xếp loại:
Những người thẩm định: Chủ tịch HĐKH

17