SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN TƯ DUY, TÌM TÒI SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
THPT QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ
HỢP"
1
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình toán học phổ thông phần đại số tổ hợp, số phức là chương trình mới
lạ và khó đối với các em học sinh. Các bài toán tổ hợp mang tính tổng hợp và khái quát
hóa cao. Vì vậy học sinh học đến phần này thường ngại, sự say mê, sáng tạo giảm. Nếu
chưa học đạo hàm, tích phân, số phức mà các em chỉ vận dụng các công thức trong sách
giáo khoa thì các em giải các bài toán về chứng minh đẳng thức tổ hợp rất khó khăn. Các
em không biết nên xuất phát từ đâu? Nên dùng công thức nào để chứng minh? Để giúp
học sinh khắc phục tình trạng trên,giúp cho các em có sự say mê, tư duy sáng tạo trong
việc học phần đại số tổ hợp .Tôi đã đọc tài liệu,nghiên cứu,phân tích,cải tiến cách dạy,
tìm tòi thêm các công thức khác, hướng dẫn các em tự tìm tòi, tự phát triển ra các công
thức mới dựa trên các công thức đã có, các bài tập để trang bị cho các em lượng kiến thức
để các em vận dụng làm bài tập một cách khoa học hơn, sáng tạo hơn.Tạo ra sự hứng thú
trong học tập đồng thời giúp các em rèn luyện phương pháp giải bài tập không những loại
bài tập này mà còn vận dụng cách tư duy đó cho các loại bài tập khác. Trong khuôn khổ
đề tài “Rèn luyện tư duy,tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT qua một số bài toán
chứng minh đẳng thức tổ hợp” tôi chỉ nêu một số phương pháp thường dùng để các em
giải quyết bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp một cách khoa học hơn, có cơ sở và có
tính sáng tạo hơn. Từ đó để các em củng cố kiến thức,rèn luyện khả năng nghiên cứu
khoa học, đồng thời cũng trang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tốt
nghiệp và kỳ thi đại học,cao đẳng.
PHẦN II: NỘI DUNG
2
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Công thức nhị thức Niu-tơn:

4. Một số công thức khác:

1
1
−
−
=
k
n
k
n
nCkC

),;(
*
Nnknk
∈≤

k
n
k
n
CnCk )1()1(
1
1
+=+
+
+

),;(

2
2
2
)1(
−
−
−
−
+−=
k
n
k
n
k
n
nCCnnCk

),;;2( Nnknkk
∈≤≥

ii 2)1(
2
=+
;
ii 2)1(
2
=−
;
8)31(
2


)(
*
Nn
∈
Giải:
Xét khai triển
nn
n
nn
nnnn
n
xCxCxCxCCx
+++++=+
−−
112210
)1(

)(
*
Nn∈
(1)
Thay x = 3 ta được:
n
n
nn
n
n
nnnn
n


2
12

8
9
4
5
2
3
2
3210
−
+
=
+
++
+
+++++
n
nn
n
n
n
n
k
n
k
k
nnnn

nnnn
n
xCxCxCxCCx
++++++=+
)1(
2210

)(
*
Nn
∈

Thay
2
1
=x
ta được
n
n
n
k
n
k
nnnn
n
CCCCCC
2
1

2

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
1
2
32
2
12

2
12

8
9
4
5
2
3
2
3210
−
+
=
+
++
+
+++++
n
nn
n
n
n

1
12
0
1212
2
12
1
12
0
12
+
++++++++
++++=++++
n
nnnn
n
nnnn
CCCCCCCC
Xét khai triển
1212
12
22
12
1
12
0
12
12
)1(
++

CCCC

Dođó:
nn
nnnn
n
nnnn
CCCCCCCC
212
12
2
12
1
12
0
1212
2
12
1
12
0
12
2) (
2
1

=++++=++++
+
++++++++
điều phải chứng minh.

Áp dụng công thức:
kn
n
k
n
CC
−
=

),,0(
*
NnNknk
∈∈≤≤
Ta có:
11
−
=
n
nn
CC

22
22
−
=
n
nn
CC

33

n
n
n
nCCnCCCS
+−++++=
−−−
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
) (2
13210 n
n
n
nnnnn
CCCCCCnS
++++++=
−
Xét khai triển
nn
n
nn
nnnn
n
xCxCxCxCCx
+++++=+
−−
112210
)1(

)(
*

1
−
−
=
k
n
k
n
nCkC

),;(
*
Nnknk ∈≤
Ta có:
0
1
1
−
=
nn
nCC

1
1
2
2
−
=
nn
nCC

1
−
−−−−
++++=
n
nnnn
CCCCnS
Xét khai triển
11
1
22
1
1
1
0
1
1
)1(
−−
−−−−
−
++++=+
nn
nnnn
n
xCxCxCCx

)(
*
Nn ∈

=+−++++
nn
n
n
nnnn
nnCCnCCC
điều phải chứng minh.
Cách 3:
Dùng đạo hàm chúng ta cũng giải được ví dụ này (ở phương pháp dùng đạo hàm phần
sau).
Có những bài toán để giải nhanh các em càn biết phân tích và dựa vào kết quả các bài tập
đã làm rồi.
Ví dụ 4:
7
Chứng minh:
a,
13210
2)2()1( 432.1
−
+=++++++
nn
nnnnn
nCnCCCC

)(
*
Nn
∈
b,
12)2()1( 32.1

nnCCnCCC
và
nn
n
n
nnnnn
CCCCCC 2
13210
=++++++
−
Cộng vế với vế ta được:
13210
2)2()1( 432.1
−
+=++++++
nn
nnnnn
nCnCCCC
b, Đặt:
1
3210
)1( 432.1 SCnCCCC
n
nnnnn
=++++++

2
432
)1( 32.1 SCnCCC
n

3.2 2.42.32.2
−−
=+++++
nn
n
n
nnnn
nCnCCCC

)(
*
Nn ∈
Giải: Áp dụng công thức:
1
1
−
−
=
k
n
k
n
nCkC

),;(
*
Nnknk ∈≤
Ta có:
0
1

−
−−
=
n
n
nn
n
n
nCnC
Cộng vế với vế ta được:
)2 22(
1
1
12
1
21
1
0
1
−
−
−
−−−
++++=
n
n
n
nnn
CCCCnS
Xét khai triển

1
1
2 223
−
−
−
−−−
−
++++=
n
n
n
nnn
n
CCCC
Do đó :
1
3.
−
=
n
nS
Hay
11433221
3.2 2.42.32.2
−−
=+++++
nn
n
n

Cho n là số tự nhiên
1
≥
n
.Chứng minh đẳng thức sau:
1
12
1
11

4
1
3
1
2
1
1
13210
+
−
=
+
++++++
+
−
n
C
n
C
n

1
1
+
+
+
=
+
k
n
k
n
C
n
C
k
Do đó:
1
1
0
1
1
+
+
=
nn
C
n
C

2


1
1
1
1
1
1
+
+
+
=
+
n
n
n
n
C
n
C
n
Cộng vế với vế ta được:
) (
1
1
1
11

4
1
3

C
n
CCCC
Xét khai
triển
11
1
22
1
1
1
0
1
1
)1(
++
++++
+
++++=+
nn
nnnn
n
xCxCxCCx

)(
*
Nn
∈
(1)
Thay x = 1 ta được:

1
13210
+
−
=
+
++++++
+
−
n
C
n
C
n
CCCC
n
n
n
n
nnnnn
điều phải chứng minh.
Cách 2:Sử dụng đạo hàm (Phần sau) .
Giáo viên: Nếu ở khai triển (1) của ví dụ này ta thay x = 2; x = 3 thì kết quả như thế
nào ? giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu thành một bài toán. Từ đó cho học sinh phát
triển thành bài tập tổng quát với x = a.
)(
*
Na
∈
Ví dụ 7:

2
2
)1(
−
−
−
−
+−=
k
n
k
n
k
n
nCCnnCk

),;;2( Nnknkk
∈≤≥
và
0
1
1
−
=
nn
nCC
ta có:
11
1
1

+−=−
n
n
n
n
n
n
nCCnnCn
1
1
2
2
2
)1(
−
−
−
−
+−=
n
n
n
n
n
n
nCCnnCn
Cộng vế với vế ta được:
) () )(1(
1
1

2
0
2
2
)1(
−−
−−−−
−
++++=+
nn
nnnn
n
xCxCxCCx

)(
*
Nn ∈
và
11
1
22
1
1
1
0
1
1
)1(
−−
−−−−

2012
2013
2011
2014
2
2013
2012
2014
1
2013
2013
2014
0
2013
CCCCCCCCCCC
=+++++
Giải:
Xét khai triển
20132013
2013201320132013
)1(
22102013
xCxCxCCx
++++=+20142014
2014201420142014
)1(
22102014

Giáo viên:
Gợi ý cho học sinh suy nghĩ để tìm ra bài toán mới, sau đó dẫn đến bài toán tổng quát, coi
như một bài tập về nhà.
Bài tâp tổng quát:
Chứng minh:
k
mnm
k
nm
k
n
k
mn
k
mn
k
mn
CCCCCCCCCCC
+
−−−
=+++++
01122110

),,;0;0(
*
Nmnkmknk
∈≤≤≤≤
Đặc biệt: Khi m = n = k ta có bài toán:
Chứng minh:
n

Nn
∈
2.Tính tổng:
n
n
n
nnnn
CnCCCCS )1()1( 4321
5432
−−+−+−=

)(
*
Nn
∈
3.Tính tổng:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nCCCCCS
144332211
)1( 5.45.35.25

n
nnn
C
n
C
n
CCCS
1
)1(
1
)1(

4
1
3
1
2
1
1
1321
+
−
+
+
−
+−+−=
+
−

)(

n
n
n
n
n
n
nnn
C
n
C
n
CCCS
1
55

4
5
3
5
2
5
1
13
4
2
3
1
2
+
+++++=

1
13
4
2
3
1
2
+
+++++=
+
−

),(
*
Nna ∈
5.
n
n
n
n
n
n
nnn
C
n
C
n
CCCS
1
)1(

2
2
1

4
1
2
1
−
+++=
n
nnn
C
n
CCS

)(
*
Nn
∈
7.
n
n
n
n
n
n
nnn
C
n

n
n
n
n
nnn
C
n
a
C
n
a
C
a
C
a
C
a
S
1

432
1
13
4
2
3
1
2
+
+++++=

n
n
n
n
n
CnCnCCCS
+−++++=
−−−−
)(
*
Nn ∈
10.Tính tổng:
02112222112
)1( 2.1 aCnaCnaCaCS
n
n
n
n
n
n
n
n
+−+++=
−−−
),(
*
Nna ∈
11. Chứng minh:
14
2

C
C
n
C
C
n
C
C
C
C
C
C

)(
*
Nn ∈
12. Tính tổng:
0
1
2013
2014
1
2
2012
2014
2011
2012
2
2014
2012

Xét khai triển
nn
nnnnn
n
xCxCxCxCCx
+++++=+
)1(
332210

)(
*
Nn ∈
(1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
n
n
n
nnn
n
CxnCxxCCxn
132211
32)1(
−−
++++=+
Thay x = 1 ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
- Như vậy khi học sinh đã được học đạo hàm thì việc dùng đạo hàm để giải bài toán này
sẽ nhanh hơn cách giải ở phần trước.
- Ở Bài tâp tổng quát: phần phương pháp 1 ta chỉ cần thay x = a.
)(

Xét khai triển
12
12
33
12
22
12
1
12
0
12
12
)1(
+
+++++
+
+++++=+
nn
nnnnn
n
xCxCxCxCCx

)(
*
Nn
∈
(1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
12
12

Nn ∈
Giải:
Xét khai triển
nn
nnnn
n
xCxCxCCx ++++=+ )1(
2210

)(
*
Nn ∈

Suy ra:
132210
)1(
+
++++=+
nn
nnnn
n
xCxCxCxCxx
(1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
n
n
n
nnn
nn
CxnCxxCCxxnx )1( 32)1()1(

++++=+
(1)
và
20142014
2014
22
2014
1
2014
0
2014
2014
)1( xCxCxCCx
+−+−=−
(2)
Lấy (1( cộng (2) ta được:
20142014
2014
44
2014
22
2014
0
2014
20142014
2 222)1()1( xCxCxCCxx
+++=−++
(3)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (3) ta được:
20132014

Xét khai triển
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
CxCxCxCxCx
+++++=+
−−−
122110
)1(

)(
*
Nn ∈
(1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
12312011
)2()1()1(
−−−−−
++−+−+=+
n
nn
n

nnn
CCxnCxnxnxxnn
(3)
17
Thay x = 1 vào (3) ta được:
12222212022
12 )2()1(2)1(
−−−
+++−+−+=+
n
n
n
nnnn
n
CCCnCnCnnn
(điều phải chứng minh).
Giáo viên:
Nếu ở (3) của ví dụ trên ta thay x = 2 thì được kết quả như thế nào ? giáo viên có thể yêu
cầu học sinh phát biểu thành một bài toán.Từ đó cho học sinh phát triển thành bài tập
tổng quát với x = a
)(
*
Na
∈
Bài tập:
1.Chứng minh đẳng thức:
n
n
n
nn


2432
2)1()1( 3.42.3.1.2
−
−=−++++
nn
nnnn
nnCnnCCC

);2( Nnn
∈≥
4.Chứng minh đẳng thức:
2212322212
2).1()1( 321
−−
+=+−++++
nn
n
n
nnnn
nnCnCnCCC
);2( Nnn
∈≥
5.Chứng minh đẳng thức:
12)2()1()2( 2
1132
+−=−+−+++
−−
nn
n

+

),;(
*
Nmnmn
∈≤
Phương pháp3:Dùng tích phân
Có những bài tập có thể dùng nhiều phương pháp để chứng minh, một số ví dụ hay một
só bài tập ở hai phương pháp trên có thể dùng phương pháp tích phân để giải.Giáo viên
đưa ra các phương pháp sau đó yêu cầu học sinh lựa chọn phương pháp nào cho phù hợp
bởi vì mỗi em có thể thiên về mỗi mảng kiến thức khác nhau.Rèn luyện để các em căn cứ
vào đề bài để chọn cách lấy cận của tích phân.
Ví dụ:1
Cho n là số tự nhiên
1
≥
n
.Chứng minh đẳng thức sau:
1
12
1
11

4
1
3
1
2
1
1

*
Nn∈

Lấy tích phân hai vế (từ 0 đến 1 ) ta được:
dxxCxCxCxCCdxx
nn
nnnnn
n
) ()1(
33221
1
0
0
1
0
+++++=+
∫∫

1
0
113423120
)
1
11

4
1
3
1
2

1
3
1
2
1
13210
+
++++++=
−
(1)
Mặt khác:
19
1
12
1
)1(
)1()1()1(
1
1
0
1
1
0
1
0
+
−
=
+
+

1
.2
4
1
.2
3
1
.2
2
1
.2.2
113423120
+
++++++=
+−
n
n
nn
nnnn
C
n
CCCCP
1
1
.2.)1(
4
1
.2
3
1

4
2
3
1
2
0
+
−
=
+
−
+
−
++
−
+
−
+
−
+
+++
−
n
C
n
C
n
CCCC
nn
n

1
0
2
1
+++++=+
∫∫

2
1
113423120
)
1
11

4
1
3
1
2
1
.(
n
n
nn
n
n
nnnn
Cx
n
Cx

2
3
1
2
0
+
−
+
−
++
−
+
−
+
−
+=
+
−
(1)
Mặt khác:
1
23
1
)1(
)1()1()1(
11
2
1
1
2


8
1
6
1
4
1
2
1
1
1
3210
+
=
+
−
+
−
++−+−
−
−
n
C
n
C
n
CCCC
n
n
n

+−
−
=−−
−
=−
+
∫∫
nn
x
xdxdxxx
n
nn
(1)
Xét khai triển:
21
nn
n
n
nnnn
n
xCxCxCxCCx )()1( )()()1(
23232222102
−++−+−=−
Ta có
1273523102
)1( )1(
+
−++−+−=−
nn
n

6
1
4
1
2
1
(
n
n
nn
nnnn
Cx
n
CxCxCxCx
+
+
−++−+−=
n
n
n
n
n
n
nnnn
C
n
C
n
CCCC
22

12
33
1

12
1
9
1
6
1
3
1
1
3210
+
−
=
+
+++++
+
n
C
n
CCCC
n
n
nnnnn

)(
*

nn
x
xdxdxxx
nn
nn
(1)
Xét khai triển:
22
nn
nnnnn
n
xCxCxCxCCx )( )()()1(
33332323103
+++++=+
Ta có
2311382512032
)1(
+
+++++=+
nn
nnnnn
n
xCxCxCxCxCxx
Lấy tích phân hai vế (từ 0 đến 1 ) ta được:
dxxCxCxCxCxCdxxx
nn
nnnnn
n
) ()1(
23113825120

CxCxCxCx
+
+
+++++=
n
nnnnn
C
n
CCCC
33
1

12
1
9
1
6
1
3
1
3210
+
+++++=
(2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Giáo viên:
- Nếu thay tích phân từ 0 đến 1 bởi tích phân từ 1 đến 2 ta được ? Từ đó rút ra bài tập
tổng quát.
- Có những bài tập chúng ta cần kết hợp giữa đạo hàm và tích phân như ví dụ sau.
Ví dụ 5:

n
nnn
n
CxnCxxCCxn
132211
32)1(
−−
++++=+
Lấy tích phân hai vế (từ 1 đến 2 ) ta được:

dxxnCxCxCCdxxn
nn
nnnn
n
) 32()1(
12321
2
1
2
1
1
−−
++++=+
∫∫
2
1
1133221
) (
n
n

1
1
−=
+
=++=+
∫∫
−−
Do đó:
nnn
n
n
nnn
CCCC 23)12( 73
321
−=−++++

)(
*
Nn
∈
điều phải chứng minh.
Giáo viên:
Yêu cầu học sinh suy nghĩ bài tập tổng quát,coi như một bài tập về nhà.
Bài tập:
1.Chứng minh đẳng thức sau:

nnn
n
nn
nnn

1
13210
+
++++++=
−

)(
*
Nn∈

3.Chứng minh đẳng thức sau:
)1(2
)3(1
22
2.)1(
2
2.)1(

8
2
6
2
4
2
2
2
122
1
21
3

nn
nnnn

)(
*
Nn
∈
24
4.Chứng minh đẳng thức sau:
1
)1(1
1
1
2.)1(
4
1
2
3
1
2
2
1
22
13423120
+
−+
=
+
−++−+−
+

+
−
++−+−
n
n
C
n
CCCC
n
n
n
nnnn

)(
*
Nn ∈

6.Nêu các bài tập tổng quát (nếu có) của các bài tập trên.
Phương pháp4:Sử dụng số phức
Số phức là phần kiến thức mới mà học sinh đang còn lúng túng và rất mơ hồ, vì vậy khi
dạy phần này tôi phải lựa chọn phương pháp dạy để học sinh tiếp cận nhanh nhất. Tôi đã
phân loại các dạng bài tập để học sinh nắm bắt nội dung bài học hiệu quả. Một trong các
dạng đó là dùng số phức để chứng minh hay tính tổng đẳng thức liên quan đến tổ hợp.
Ví dụ 1 :
Chứng minh đẳng thức:
10062013
2013
5
2013
3

2013
2012
2013
4
2013
2
2013
0
2013
+−+−++−+−=
(1)
Mặt khác:
[ ]
iiiiiii .22)2)(1()2)(1()1()1()1(
1006100610061006
1006
22013
−−=−+=+=++=+
(2)
25