1
SỬ DỤNG CÁC CẶP TAM GIÁC BẰNG NHAU TRONG HÌNH THANG ĐỂ
GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC
(Trịnh Thị Ánh Tuyết –P.HT Trường TH Bắc Hà,TP Hà Tĩnh)

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1) Lý do chọn đề tài
Trong quá trình giải toán nhằm tích lũy chuyên môn, nâng cao kiến thức, tôi
thấy một điều rất thú vị. Đó là, có thể vận dụng linh hoạt các cặp tam giác có diện tích
bằng nhau do hai đường chéo của hình thang tạo ra để giải các bài toán hình học. Tuy
nhiên để sử dụng thành thạo kiến thức đó nhằm giải một số bài toán khó hoặc lạ là
điều không đơn giản. Bởi rất khó có thể nêu lên cách giải tổng quát. Vì vậy, tôi đã lựa
chọn một số bài toán theo mức độ từ dễ đến khó. Qua mỗi ví dụ, tôi mong muốn được
cùng trao đổi với các bạn đồng nghiệp cách giải toán để các bạn có thể tham khảo. Hi
vọng rằng các bạn có thể rút ra được những nhận xét quan trọng để vận dụng có hiệu
quả khi giải toán. Đó chính là lí do tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm “Sử dụng các
cặp tam giác có diện tích bằng nhau trong hình thang để giải các bài toán hình học”.
2) Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Chương trình toán lớp 5.
- Sách giáo khoa môn toán lớp 5.
- Sách tham khảo môn toán lớp 5.
- HS khá giỏi lớp 5.
3) Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
Giúp học sinh nắm được một số kiến thức về hình học, biết vận dụng các cặp
tam giác có diện tích bằng nhau trong hình thang nhằm tìm các mối quan hệ để giải
toán.
4) Xây dựng giả thiết nghiên cứu
Nếu sử dụng tốt kinh nghiệm này sẽ góp phần nâng cao chất lượng học sinh
giỏi môn toán, cụ thể là mảng kiến thức về hình học.
5) Phương pháp nghiên cứu

2.1. Về phía giáo viên
- Nhìn chung giáo viên chưa chịu khó thực sự tìm tòi, nghiên cứu để tìm hiểu,
phát triển thêm các dạng toán nâng cao.
- Phân phối chương trình buổi 2 có thời lượng rất hạn chế đối với môn luyện
toán (1 tiết/ tuần) đối với lớp 4, 5.
2.2. Về phía học sinh.
- Học sinh còn ngại khó khi gặp các bài toán đòi hỏi sự tư duy cao.

3
- Chưa phát hiện nhanh mối tương quan giữa các dữ kiện của đề ra với yêu cầu
cần giải quyết của bài toán.
- Không nhận diện được các bài toán cần vận dụng mảng kiến thức nào?
- Lúng túng trong phần lập luận, trình bày thiếu chặt chẽ, lô gic.
Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi dã tiến hành kiểm tra 15 phút học
sinh khá giỏi lớp 5A về cách giải bài toán sau:
Bài toán: Cho tam giác ABC. Trên đáy BC lấy 2 điểm P và Q sao cho CP bằng
PQ bằng QN. Từ P kẻ đường thẳng song song với cạnh AC, từ Q kẻ đường thẳng song
song với cạnh AB, chúng cắt nhau tại O. Nối OA, OB, OC.
Hãy chứng tỏ rằng diện tích các tam giác IAC, IAB, IAC bằng nhau và bằng
3
1

diện tích tam giác ABC.
Kết quả thu được như sau:
Điểm giỏi: 20%
Điểm khá: 20%
Điểm TB : 50%
Điểm yếu: 10%
Nhìn chung học sinh lập luận chưa chặt chẽ, cách giải còn lúng túng, trình bày
thiếu khoa học. Chỉ có một số ít em phát hiện ra cách giải, trình bày khá chặt chẽ, còn

EAC

+S
ECB
= S
ABC.

Vì vậy, nếu tính được S
EAB
và S
ECB
thì tính được S
EAC
( S
EAC
= S
ABC
- S
EAB
-S
EBC
)
Muốn tính S
EAB
ta cần đem so sánh S
EAB
với một tam giác nào đó do ta tạo ra sao cho
tam giác đó có diện tích bằng diện tích tam giác EAB. Như vậy, nếu nối DB, S
ABD=
5

= S
EAB
(vì chung đáy AB và có chiều
cao bằng chiều cao hình thang ABEC).
Mà S
DAB=
5
1
S
ABC=
5
1
.
600 = 120 (m
2
)(vì đáy AD=
5
1
AC và có chung chiều cao hạ
từ B xuống AC). Vậy: S
EAB=
120
m
2
.
Tương tự, vì IE // CB nên IEBC là hình thang => S
IBC
= S
ECB
(vì chung đáy BC

2

S
EAB
= 120m
2
S
EAC
= 360m
2

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, I là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC. Kéo dài
IB về phía I, lấy điểm D nằm trên đường thẳng BI sao cho ID = IB. Nối AD, DC. Từ I
kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại N. Hãy chứng minh rằng: S
ABN
= S
ADCN

(Sách toán nâng cao lớp 5, tập một - NXBGD)
A
●

D
I
C
B
E

5
Phân tích: Vì IB = ID nên S

S
ADCN
. Như vậy cần chứng tỏ: S
AIO
= S
OCN
. Mặt khác,
vì IN //AC nên NIAC là hình thang, dó đó: S
AIO
= S
OCN
.
Bài giải:
Vì IN//AC nên NIAC là hình thang =>S
IAN
= S
INC
(chung đáy IN và chiều cao hạ
từ đỉnh A xuống đáy IN bằng chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy IN và bằng chiều cao
hình thang NIAC). Ta có: S
IAN=
S
INC
( Chung đáy IN và chiều cao bằng chiều cao hình
thang NIAC).
Mà: S
IAN
- S
ION
= S

1
S S
ADCIAICB ABCD
S

Ta có: S
ADCI
= S
ADCO
+ S
IAO

S
ADCN
= S
ADCO
+ S
NCO

Mà theo (1) ta có: S
IAO
= S
NCO

=> S
ADCI
= S
ADCN
(3)
Từ (2) và (3) suy ra:

Mà: S
IBC
+ S
ICA
+ S
IAB
= S
MBC
+ S
NAC
+ S
BAP
= S
ABC
Ta thấy: S
ABC
= S
MBC
+ S
NAC
+ S
BAP
. Song thực
tế các tam giác này khi đặt theo vị trí như hình
N
B
A

vẽ thì để thừa tam giác EFK, đồng thời các tam
giác ENC, KMB và FPA mỗi tam giác được tính
2 lần nên thừa ra 1 lần. Do đó, tổng diện tích các
tam giác ENC, FPA, KMB bằng diện tích tam
giác EFK.

Bài giải:
Vì IM//BC nên IMBC là hình thang, suy ra: S
IBC
= S
MBC
(chung đáy BC, chiều
cao bằng nhau và là chiều cao của hình thang IMBC).
Ta cũng có IN // AC nên INCA là hình thang, suy ra: S
IAC
= S
ANC
(chung đáy
BC, chiều cao bằng nhau và là chiều cao của hình thang INCA).
Tương tự, IP//AB nên IPAB là hình thang, suy ra: S
IAB
= S
PBA
(chung đáy AB,

- Nếu một tứ giác có hai cạnh đối diện song song thì ta xét ngay đến các cặp tam giác
có diện tích bằng nhau do 2 đường chéo của hình thang mà tứ giác đó tạo thành.
- Tìm tam giác cần xem xét (chứa trong các cặp tam giác có diện tích bằng nhau
đó)
- Tìm mối tương quan giữa tam giác vừa xem xét với dữ kiện đề bài.
- Giải quyết các yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 438m
2
. Trên BC lấy 2 điểm I và K sao
cho đoạn BI = IK = KC. Từ I kẻ đường thẳng song song với AC. Từ K kẻ đường thẳng
song song với AB, chúng cắt nhau tại Q. Tính diện tích các tam giác AQB; AQC;
BQC
( Đề thi GVG cấp huyện bậc TH tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2001- 2002)

Phân tích:
I

7
Để tính diện tích các hình tam giác theo yêu cầu ta chưa biết về các yếu tố đáy,
chiều cao. Vì vậy để tính diện tích mỗi tam giác đó ta cần dựa vào diện tích tam giác
ABC.
Mặt khác: IQ//AC nên nếu nối AI thì tứ giác IQCA là hình thang và hai tam giác
AQC, CIA chính là một cặp tam giác có diện tích bằng nhau trong hình thang IQCA.
Nên: S
AQC
= S
CIA=
3
2
x

S
AIC
=
3
2
x S
ABC
(Vì chúng có đáy IC =
3
2
BC và có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC).
Nên: S
AIC
=
3
2
x 438 = 292 (m
2
). Do đó: S
AQC
= 292 (m

)
Do đó: S
BQC
= 584 – 438 = 146 (m
2
)

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC trên AC lấy điểm K sao cho AK < KC. Nối K với B,
từ A kẻ đường thẳng song song với KB cắt BC kéo dài tại D. Trên CD lấy trung điểm
M, nối K với M. Chứng tỏ rằng KM chia tam giác ABC thành 2 phần có diện tích bằng
nhau.
( Tuyển chọn 10 năm toán tuổi thơ của NXBGDVN
A
K
A

B

C

K

I

Q

8

Bài giải:
Vì BK//AD nên KBDA là hình thang, do đó: S
AKB
= S
DBK
(Vì hai tam giác đó
chung đáy BK, chiều cao của chúng bằng nhau và bằng chiều cao của hình thang
KBDA).
Do đó: S
KMD
= S
KBD
+S
KBM
= S
KBA
+ S
KBM
= S
ABMK

Mặt khác: S
KMD
= S
KMC

(Vì 2 tam giác có chung chiều cao hạ từ K xuống đáy DC và đáy MD = MC)
Vậy S
ABMK
= S

IA). Nối MB. Từ I kẻ đường thẳng song
song với MB cắt BC tại N ta có NIMB là
hình thang.
Do: S
BAI
= S
BAM
+ S
BMI
=
2
1
S
ABC

S
AMNB
= S
BAM
+ S
BMN.

ABC
= S
MCB
,
.

Muốn vậy, từ A kẻ đường thẳng song song với MB cắt CB kéo dài
về phía B tại

B
’
thì ta có S
ABC
= S
MCB
,
.

Lấy trung điểm N của CB
’
, nối MN thì đoạn
MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài giải:
Từ A, kẻ đường thẳng song song với MB cắt cạnh BC kéo dài về phía B tại B
’
.
Nối MB
’
, ta có MBB
’
10

Mà S
BMB
’
= S
BAM
( Vì 2 tam giác có chung đáy MB, chiều cao bằng nhau và bằng
chiều cao của hình thang AMBB
’
).

Nên S
ABC
= S
MCB
,
.
Mặt khác S
MNC
=

2
1

S
MCB
’

bằng nhau.
(Sách toán nâng cao lớp 5, tập hai- NXBGD)
Bài toán này khó nhất so với 6 bài toán trên vì chưa biết điểm N nằm trên cạnh
nào? Hơn nữa cũng không có dữ kiện về diện tích tam giác ABC hay tỉ số của MA và
MC. Để xác định được vị trí điểm N nằm trên cạnh nào của tam giác ABC ta cần xét
các trường hợp sau:
a) Trường hợp thứ nhất: MA = MC. Khi đó điểm N trùng với đỉnh B
Ta có:
S
ABM
= S
MCB
( Vì 2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy MA =MC). Hay S
ANM
= S
MNC
( Do điểm N trùng với đỉnh B)

A
B’
C

BMN
= S
BIM
( như hình vẽ trên). Vậy nếu tứ giác BMIN là hình thang thì
điểm N chính là điểm thứ tư của hình thang đó và lúc đó IN song song với BM.
Bài giải:
Lấy I là trung điểm của AC. Nối BI, ta có: S
BAI
= S
BIC
( Vì hai tam giác chung
chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy IA = IC) hay S
BIC
=
2
1
S
ABC .

Từ I kẻ đường thẳng song song với MB cắt AB tại N, tứ giác BMIN là hình
thang. Ta có: S
BIC
= S
BMC
+ S
BIM

S
MNBC
= S

= S
AMB
,
.

Muốn vậy, từ C kẻ
đường thẳng song song với MB cắt AB kéo dài về phía B tại

B
’
thì ta có S
ABC
= S
AMB
,
.

Lấy trung điểm N của AB
’
, nối MN thì đoạn MN chia tam giác ABC thành hai phần có
diện tích bằng nhau. C
A
M
I
A

M

BMB’
= S
MBC
(Vì 2 tam giác có chung
đáy MB, chiều cao bằng nhau và bằng chiều cao của hình thang MBB’C).
Vì MC< MA, nên S
MBC
< S
BAM
=> S
BMB’
< S
BAM
, do đó BB’

< AB.
Mặt khác, S
MB’A
= S
ABC
. Lấy điểm N là trung điểm của B’A thì N nằm trên AB
vì BB’< AB
Nối MN ta có: S
MAN =
2
1

S
MAB’=
2

BAD
= S
BCD

Khi S
BAD
= S
BCD
thì điểm N trùng với đỉnh D.
b)Trường hợp thứ hai: S
BAD
< S
BCD

Phân tích: Nếu S
BAD
< S
BCD
thì ta bù cho tam giác BCD một tam giác có diện
tích bằng diện tích tam giác BAD.Lúc này:
S
BCD
+ S
tam giác bù
= S
BCD
+ S
BAD
= S
ABCD

Ta có: S
ABCD
= S
BCD
+

S
ABD

S
BCD
,
= S
BCD
+ S
D’BD

Suy ra: S
BCD
,
= S
ABCD

Theo bài ra ta có: S
BAD
< S
BCD
=> S
BDD’
< S


Phân tích: Nếu S
BAD
> S
BCD
thì ta bù cho tam giác BAD một tam giác có diện
tích bằng diện tích tam giác BCD.Lúc này:
S
BAD
+ S
tam giác bù
= S
BAD
+ S
BCD
= S
ABCD
Trong đó, tam giác bù có 2 đỉnh B và D, đỉnh thứ 3 nằm trên AD kéo dài về phía
D.
A
B
C N

D 14

nên S
BDD’
< S
ABD

Suy ra: D’D < AD. Lấy N là trung điểm D
’
A

thì N nằm trên DA và nối BN , ta được:
S
BAN
=
2
1
S
BAD
,

N

15

1. S
MBC
= S
AMCD

2. S
MBC
< S
AMCD

3. S
MBC
> S
AMCD Nếu S
MBC
= S
AMCD

AMCD
( như hình vẽ)
Ta nối MD. Từ A kẻ đường thẳng song song với
MD cắt cạnh CD kéo dài về phía D tại D’ thì tứ
giác D’AMD là hình thang nên
S
AMD
= S
D’MD
. Do đó: S
MBCD’
= S
ABCD.

Bài toán trở về bài toán ví dụ 8. Cách 2


B
C
M
A
D’
D

16

Nối MC, từ B kẻ đường thẳng song song với MC cắt cạnh DC kéo dài về phía C
tại C’ thì tứ giác BC’CM là hình thang nên S
MBC
=S
MC’C
.
Nối MD, từ A kẻ đường thẳng song song với MD, cắt cạnh CD kéo dài về phía D
tại D’.
Tứ giác D’AMD là hình thang nên S
AMD
= S
MDD’
Như vậy: S
MC’D’
= S
ABCD

Điểm N cần tìm là trung điểm của đáy C’D’
Cách 3.
Nối AC.Giả sử: S

AID
= S
AC’I
= S
ABCI
=
2
1
S
ABCD.
Nối MI. Từ A kẻ đường thẳng song song với MI cắt cạnh CD tại N. Tứ giác
NAMI là hình thang nên S
NMI
= S
AIM

Như vậy: S
MBCN
=
2
1
S
ABCD

Nếu S
ACD
< S
ABC
, ta nối BD. Từ A
kẻ đường thẳng song song với BD cắt

MA
M
B
C
D
D’

I
N

17

Nối BI, thì BI chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Vậy S
ABID =
2
1

S
ABCD

Nối MI, từ B kẻ đường thẳng song song với MI cắt CD tại N. Nối MN, ta có tứ
giác BNIM là hình thang nên S
BMI
= S
NMI
.

sẽ tạo ra một tam giác này có diện tích bằng tứ giác kia, từ đó tìm cách giải toán.
4. Thay tam giác trong một tứ giác bằng tam giác khác (sao cho hai hình này có
diện tích bằng nhau) để có một tứ giác mới có diện tích bằng diện tích tứ giác trước
đó (hai tam giác nhắc đến ở trên là một cặp tam giác có diện tích bằng nhau trong hình
thang).
4) Kết quả đạt được
Trên đây là cách hướng dẫn học sinh khá giỏi sử dụng các cặp tam giác có diện
tích bằng nhau vào giải các bài toán hình học. Áp dụng kiến thức này trong công tác
bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã thu được những kết quả nhất định, cụ thể:
- Các em học sinh đối tượng khá, giỏi đã không còn “Nhụt chí” khi gặp nhiều bài
toán khó về hình học.
- Hầu hết các em hứng thú, tự tin, biết cách tư duy để giải toán

18

- Trong các đề thi HSG có nhiều em biết cách giải, giải đúng, giải hay các bài
toán hình học.
- Hầu hết các em đã nhanh chóng nhận diện dạng bài, phát hiện nhanh mối quan
hệ giữa các dữ kiện để giải toán.
- Phát hiện nhanh các bài toán có diện tích bằng nhau trong hình thang, biết
vận dụng linh hoạt để giải quyết được nhiều bài toán tưởng như không thể giải
được.
Cuối học kì I, tiến hành khảo sát học sinh Giỏi lớp 5A, tôi đã thu được kết
quả sau:
Điểm giỏi: 50%
Điểm khá: 30%
Điểm TB: 20%
5) Bài học kinh nghiệm
Để giúp học sinh khá giỏi nâng cao kiến thức về hình học, giáo viên cần:
- Tích lũy, nâng cao kiến thức, có ý thức tự học, tự bồi dưỡng. Từ những kiến

-