Phần a: mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:
Trong hệ thống các môn học ở bậc THCS, môn toán đóng một vai trò hết sức
quan trọng, bởi lẽ học môn Toán giúp cho học sinh dần hình thành và phát triển đợc
sự linh hoạt, sáng tạo và t duy trừu tợng. Học toán giúp con ngời nâng cao trình độ
tính toán, giúp khả năng t duy logic, sáng tạo ngày càng nâng cao và phát triển. Khi
học toán là qua hoạt động giải bài tập giúp học sinh nâng cao dần khả năng suy luận,
đào sâu, tìm hiểu và trình bày các vấn đề một cách logic.
Trong chơng trình môn Đại số lớp 7 phần kiến thức về số hữu tỉ và tỷ lệ thức là
hết sức cơ bản. Các phép tính số hữu tỉ đã giải quyết đớc các bài toán thực tế mà
trong số nguyên không thực hiện đợc, chúng đợc sử dụng để học tiếp các phần sau
của môn toán THCS và các môn khoa học tự nhiên khác. Đặc biệt từ một tỷ lệ thức ta
có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết đợc 3 số
hạng ta có thể tính đợc số hạng thứ t. Trong chơng II, khi học về đại lợng tỷ lệ thuận,
tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phơng tiện quan trọng giúp ta giải toán. Trong
phân môn Hình học, để học đợc định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì không
thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Trong hoá học, vật lý tỉ lệ thức cũng là phơng tiện
để giải các bài toán. Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau
còn rèn t duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai thác bài toán, lập ra
bài toán mới.
Qua quá trình dạy học tôi thấy rất nhiều học sinh còn cha có kĩ năng thực hiện
các phép tính số hữu tỉ nh: quy đồng, cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, tìm số hạng
trong một tỉ lệ thức.
Với những lý do trên đây, tôi đa ra một số dạng bài tập và phơng pháp giải về
số hữu tỉ và tỷ lệ thức trong Đại số lớp 7.
II. Mục tiêu nghiên cứu:
1. Mục đích nghiên cứu.
Trong chuyên đề này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm số hữu tỉ, hệ thống lại
một số định nghĩa, quy tắc về phép toán số hữu tỉ và tỉ lệ thức, phơng pháp giải, các
bớc giải các dạng toán về số hữu tỉ và tỉ lệ thức. Bằng cách sắp xếp các dạng toán,
phơng pháp truyền thụ phù hợp với đối tợng học sinh, phát huy tính tích cực của học


Z; b

0.
II. Cộng, trừ số hữu tỉ.
1. Quy tắc cộng, trừ.
Viết các số hu tỉ dới dạng các phân số cùng mẫu dơng rồi thực hiện công, trừ phân
số:
Với x=
m
a
; y=
m
b
( a, b, m

Z; m

0), ta có:
x+y=
m
a
+
m
b
=
m
ba +
; x-y=
m

ca
.
.
2. Chia số hữu tỉ.
Với x=
b
a
; y=
d
c
, ( y

0) ta có: x:y=
b
a
:
d
c
=
b
a
.
c
d
B. Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức.
I. Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
d
c
b

d
c
b
a
=
ta suy ra
( )
db
db
ca
db
ca
d
c
b
a



=
+
+
==
+mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau
f
e
d
c
b
a

d
c
b
a
=
suy ra
( )
2 2
1 2
1 2
1 2
. ; . . 0 ; ( , 0)
k a k ca c a c a c
k k k k k
b d b d b d k b k d

= = = =
ữ ữ

từ
f
e
d
c
b
a
==
suy ra
3
3 3 2

sinh không biết trình bày các bớc biến đổi của một dãy phép tính, không thực hiện đ-
ợc phép cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ.
3. Có những học sinh không nhớ các tính chất cơ bản của tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng
nhau do đó gặp khó khăn trong giải toán về tỉ lệ thức.
4. Kỹ năng biến đổi một tỉ lệ thức để tìm số hạng chu biết, chứng minh đẳng
thức, tính toán thực tế, . . . còn hạn chế.
5. Phần lớn học sinh còn mơ hồ về phơng pháp giải, các bớc giải khi đứng trớc
một bài toán về số hữu tỉ và tỉ lệ thức.
II. Kết quả khảo sát chất lợng học sinh đầu chơng I
Lớp
sĩ số
Giỏi Khá TB Yếu- Kém
SL % SL % SL % SL %
7A 27 0 0 2 7, 4 10 37, 03 15 55, 57
Qua khảo sát chất lợng học sinh thấy rằng: tỉ lệ học sinh giỏi không có, tỉ lệ học
sinh trung bình và khá nhỏ hơn tỉ lệ học sinh yếu kém.
3
Nguyên nhân có thể do trong hè học sinh không đợc ôn tập, nhng chủ yếu là do học
sinh bị lỗ hổng kiến thức và kĩ năng từ các lớp dới.
Trớc thực trạng đó rất cần có một chuyên đề bồi dỡng, phụ đạo cho học sinh về
phép toán số hữu tỉ và tỉ lệ thức.
Chơng III. giải pháp thực hiện.
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đa ra một số một số dạng toán và phơng
pháp giải sau:
I. Các phép toán về số hữu tỉ.
Dạng 1 . Phép cộng, trừ số h u tỉ.
1. Phơng pháp.
Viết các số hữu tỉ dới dạng phân số cùng mẫu dơng, thực hiện phép cộng, trừ theo
quy tắc cộng, trừ các phân số.
Công thức nh sau: Với x=

thực hiện quy đồng mẫu số để đa về phân số cùng mẫu.
Việc trình bày lời giải cần hớng dẫn học sinh viết một dãy các đẳng thức số bằng
nhau, biểu thức sau là kết quả của phép toán trớc.
Quá trình lên lớp cần vận dụng linh hoạt phơng pháp thực hành giải toán, phù hợp
với trình độ các đối tợng học sinh trong lớp. Nếu cần có thể đa ra các hớng dẫn, các
mức độ bài toán khác nhau cho từng đối tợng học sinh.
2. Bài tập minh hoạ:
Tính: a, 0, 6+
3
2

; b,
3
1
- (-0, 4); c,
18
8
-
27
15
Giải.
a, 0, 6+
3
2

=
10
6
+
3

1
+
5
2
=
15
65 +
=
15
11
c,
18
8
-
27
15
=
9
4
-
9
5
=-1
Dạng 2. Phép nhân, chia số h u tỉ.
1. Phơng pháp.
Viết số hữu tỉ dới dạng các phân số, áp dụng quy tắc nhân, chia và các tính chất
phép nhân để thực hiện.
Đối với phép nhân, chia học sinh thực hiện rễ rằng hơn. Trong các bài tập cần chú
ý rèn luyện cho học sinh rút gọn kết quả(nếu cần), khi thực hiện phép chia học sinh
hay nhầm lẫn không nhân với nghịch đảo của số chia.

c
=
b
a
.
c
d
2. Bài tập minh hoạ:
Thực hiện phép tính. a,
7
2
.
8
21
; b) 0, 24.
4
15
; c, (-2). (-
12
7
); d,
23
5
: (-2)
Giải.
4
a.
7
2
.

12
7
)=
1
2
.
2
7
= 7
d,
23
5
: (-2)=
23
5
.
2
1

=
46
5
Dạng 3. Thực hiện phối hợp các phép tính.
1. Phơng pháp.
Vận dụng linh hoạt các quy tắc, tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của các
phép tính thực hiện liên tiếp một dãy các phép tính theo thứ tự thực hiện.
Khi trình bày lời giải cần rèn luyện cho học sinh viết các biểu thức bằng nhau liên
tiếp, biểu thức sau là kết quả của phép toán đứng trớc, phép toán nào cha thực hiện
thì viết lại.
2. Bài tập minh hoạ: Tính giá trị các biểu thức.

28
5
-
8
1
9
. 1, 25 + 1
63
16
)
Giải.
a, Có thể hớng dẫn học sinh giải theo hai cách sau:
Cách 1. Trớc hết tính giá trị các biểu thức trong ngoặc.
36 4 3 30 10 9 18 14 15
6 6 6
A
+ + +
=
=
35 31 19 15 5 1
2
6 6 6 6 2 2

= = =
Cách 2. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các số hạng thích hợp.
2 1 5 3 7 5
6 5 3
3 2 3 2 3 2
A = + + + =
( )


d, D = (
7
3
+
2
1
)
2
= (
14
13
)
2
=
196
169
e, E = -5, 13: (5
28
5
-
9
17
.
4
5
+ 1
63
16
) = -5, 13: (5

số hạng không hợp lý. Khi lên lớp cần thờng xuyên yêu cầu học sinh nhắc lại quy tắc
và vận dụng quy tắc.
2. Bài tập minh hoạ:
Tìm x, biết:
a, x-
2
1
=
3
2
; b,
7
2
- x = -
4
3
; c, x +
3
1
=
4
3
; d, x -
5
2
=
7
5
Giải.
a, x=

12
5
; d, x=
7
5
+
5
2
=
35
39
II. Các bài toán về tỉ lệ thức.
Dạng 1. Tìm số hạng ch a biết
1. Tìm một số hạng cha biết
a) Phơng pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu
. . .
. . ; ;
a c b c a d a d
a d b c a b c
b d d c b
= = = = =
Muốn tìm ngoại tỉ cha biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết,
muốn tìm trung tỉ cha biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.

b) Bài tập:
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 SGK 26 b)
- 0, 52 : x = - 9, 36 : 16, 38

( )

15
x
x

=

Giải : từ
( ) ( )
2
2 2
60
15
. 15 . 60
900
30
x
x
x x
x
x

=

=
=
=
Suy ra x = 30 hoặc -30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng cha biết nhng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đa
về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức
1 60

7 21 25 5
12 46
5
3
6
x
x x
x
x x
x
x

= =

=
=
=
Cách 2: từ
3 5 3 5
5 7 5 7
x x x
x

= =

áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có
( )
3 5 3 5 2 1
5 7 5 7 12 6
3 1

x x x x
+
=
+
+ = +
+ = +
=
= + = =
Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau
khi biến đổi thì x
2
bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau
2. Tìm nhiều số hạng cha biết
a)Xét bài toán cơ bản thờng gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
x y z
a b c
= =
(1) và x +y + z =d (2)
( trong đó a, b, c, a+b+c
0
và a, b, c, d là các số cho trớc)
Cách giải:
- Cách 1: đặt
. ; . ; .
x y z
k
a b c
x k a y k b z k c

+ + + + + +
b). Hớng khai thác từ bài trên nh sau.
7
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) nh sau:
*
1 2 3
k x k y k z e+ + =
*
2 2 2
1 2 3
k x k y k z f+ + =
*x. y. z = g
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) nh sau:
-
1 2 3 4
;
x y y z
a a a a
= =
-
2 1 4 3
;a x a y a y a z= =
-
1 2 3
b x b y b z= =
-
1 3 3 2
2 1
b x b z b z b y
b y b x

Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có.

27
3
2 3 4 2 3 4 9
2.3 6; 3.3 9; 4.3 12
x y z x y z
x y z
+ +
= = = = =
+ +
= = = = = =
Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= =
và 2x + 3y 5z = -21
Giải:
- Cách 1: Đặt
2 3 4
x y z
= =
=k
- Cách 2: Từ
2 3 4
x y z
= =
suy ra

của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
8
Phơng pháp 3: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất
của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải.
Phơng pháp 4: dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất
của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập:
Bài tập 1
( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:
a c
b d
=
hãy suy ra tỷ lệ thức:
a b c d
a c

=
.
Giải:
Cách 1: Xét tích
( )
( )
(1)
(2)
a b c ac bc
a c d ac ad
=
=

Từ

d k
c d dk d k
d
c dk dk k


= = =


= = =
Từ (1) và (2) suy ra:
a b c d
a c

=
- Cách 3: từ
a c b d
b d a c
= =
Ta có:
1 1
a b a b b d c d
a a a a c c

= = = =
Do đó:
a b c d
a c

=

b d a c
+ +
= =
(Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
Bài tập 2: chứng minh rằng nếu
2
a bc=
thì
a)
2 2
2 2
; ) ,( 0)
a b c a a c c
b b
a b c a b a b
+ + +
= =
+
(với a
, )b a c
Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
- Cách 2: từ
2
a c
a bc
b a
= =
Đặt
,

= = =

+
+ + +
= = =

Từ (1) và (2) suy ra:
a b c a
a b c a
+ +
=

- Cách 3: Ta có

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
,
, 0
a a b
a b a ab bc ab
do a bc
a b a a b a ab bc ab
b c a

=

chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì
từ 3 số a, b, c có 1 số đợc dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a
2
= bc

a c a b a b a b
b a c a c a c a
a b c a
a b c a
+
= = = = =
+
+ +
=

b)- Cách 1: xét tích chéo ( a
2
+ c
2
)b = a
2
b + c
2
b = bc. b + c
2
b = bc (b +c)
= (b

b a
=
Đặt
a c
k
b a
= =
suy ra a = bk, c = ak = bk
2

10
Ta có

( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 4
2
2 2 2 2 2
2 2
2
2
1
, 0
1
b k k
a c b k b k
k b
b a b b k

= =
+
Từ
2
2
(2),( 0)
a c a a c c
a
b a b b a b
= = ì =
Từ (1) và (2) suy ra:
2 2
2 2
a c c
b a b
+
=
+
- Cách 4: Ta có
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
, 0
c b c
a c bc c c
b c
b a b bc b b c b
+

+ +
= =
+ +
2
0 (1)
abz acy y z
abz acy bz cy
a b c

= = = =

2
0 (2)
bcx baz z x
bcx baz cx az
b c a

= = = =
Từ (1) và (2) suy ra:
x y z
a b c
= =
Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
1. Phơng pháp giải
Bớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lợng cha biết
Bớc 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bớc 3:Tìm các số hạng cha biết
Bớc 4:Kết luận.
2. Bài tập
Bài tập 1: Trong một đợt lao động ba khối 7, 8, 9 chuyển đợc 912

Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có
542
cba
==
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

2
11
22
542542
==
++
++
===
cbacba
Suy ra

102
5
42
4
42
2
==
==
==
c
c
b
b

357
5
287
4
217
3
==
==
==
c
c
b
b
a
a
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng đợc của 3 lớp 7A, 7B, 7C lần lợt là 21cây, 28cây, 35cây
12
Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi
1
5

số thóc ở kho I,
1
6
số thóc ở kho II và
1
11
số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau. Hỏi
lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc

+ +
= = = = =
+ +
Suy ra a=25. 10=250; b=24. 10=240 ; c=22. 10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I, II, III lần lợt là 250tấn, 240 tấn, 220 tấn.
Dạng 4 :Một số sai lầm th ờng gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau
1) Sai lầm khi áp dụng tơng tự
H/s áp dụng
.
.
x y x y
a b a b
= =
hay
. .
. .
x y z x y z
a b c a b c
= = =
Bài tập 1: (Bài 62 SGKT31) tìm 2 số x, y biết rằng
2 5
x y
=
và x. y=10
H/s sai lầm nh sau :
. 10
1
2 5 2.5 10
x y x y

= = = =
vì xy=10 nên 2x. 5x=10
2
1 1x x = =
2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện số chia khác 0
Khi rút gọn h/s thờng bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm
Bài tập 2: Cho 3 tỉ số bằng nhau là
a b c
b c c a a b
= =
+ + +
.
Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
Cách 1:Ta có
a b c
b c c a a b
= =
+ + +
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
13
( ) ( ) ( ) ( )
2
a b c a b c a b c
b c c a a b b c c a a b a b c
+ + + +
= = = =
+ + + + + + + + + +
Học sinh thờng bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng
1
2

= = =
+ + + + + + + +

Lời giải:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
3( )
x y z t x y z t
y z t z t x t x y x y z x y z t
+ + +
= = = =
+ + + + + + + + + + +
Cách 2:Từ (1) suy ra
1 1 1 1
x y z t
x z t z t x t x y x y z
+ = + = + = +
+ + + + + + + +
x y z t x y z t x y z t x y z t
y z t z t x x y t x y z
+ + + + + + + + + + + +
= = =
+ + + + + + + +
ở cách 1 học sinh mắc sai lầm nh bài tập 3
ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
Phải làm đúng nh sau :
Nếu x+y+z+t
0
suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4
Nếu x+y+z+t =0


Cần lu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhng
khác 0) thì các số hạng dới bằng nhau và ngợc lại, nếu các số hạng dới bằng nhau thì
các số hạng trên bằng nhau.
3. Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn
Học sinh thờng sai lầm nếu A
2
=B
2
suy ra A=B
Bài tập 4:Tìm x biết
1 60
15 1
x
x

=

14
Giải:
1 60
15 1
x
x

=

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 15 . 60 1 900x x = =
Học sinh thờng sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31

Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng
phù hợp với đối tợng học sinh của mình, có thể chia nhỏ bài tập để gợi ý cho học
sinh.
Mặc dù đã rất cố gắng nhng với kiến thức còn hạn chế chắc chắn tôi cha thể đa
ra vấn đề một cách trọn vẹn đợc, mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến xây dựng để
đề tài này đợc hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tháng 11 năm 2009
Ngời thực hiện
Lý Xuân Tùng
15
16