www.vnmath.com
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
Bài 1
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B,cạnh
SA (ABC)

. Từ A kẻ
AD SB

và
AE SC

. Biết AB = a, BC = b, SA =
c.Tính thể tích của khối chóp S.ADE?

Phân tích - tìm lời giải
AD,AE là các đường cao trong tam giác SAB,SAC

A
B
C
D
E
S

Tính đường cao:

ABC

vuông tại B nên
AB BC



Mặt khác :
AE SC


SC (ADE)


Hay SE là đường cao của hình chóp S.ADE
Độ dài SE:

2 2 2 2
AS.AB AS.AB a.c
AD
SB
AS AB a c
   
 2 2
2 2 2 2 2
AS.AC SA.AC c. a b
AE
SB
SA AC a b c

  
  

c .b
(a b c ).(a c )
  

S =
1
.AD.AE
2
=
2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 c .b ac
. .
2
(a b c ).(a c ) a c
    =
3 3
2 2 2 2 2
1 a.c .b
.
2
(a b c ).(a c )
  

Thể tích:
V =
1 1

2
= AS
2
- AD
2
; SE
2
= AS
2
- AE
2

SB
2
= SA
2
+AB
2

SC
2
= SA
2
+AC
2
= SA
2
+ AB
2
+ AC

a c c a b

 
  

  
4 2 2
2 2 2 2 2 2 2
c b .c
.
(a c ) (c a b )

  

=>
3
2 2 2 2 2
SA SD SE b.c
. .
SA SB SC (c a b )(a c )

  SADE
SABC
V SA SD SE
. .
V SA SB SC


1 1
.SA. .AB.BC
3 2
=
2 4
2 2 2 2 2
1 a.b .c
.
6 (c a b )(a c )
  
(đvtt) Bài 2:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh
a.Cạnh
SA (ABC)

, góc

0
BAC 120

. Tìm th
ể tích của khối chóp S.ABC?
A
B
C
D
S

2
ABC
1 a . 3
S AD.BC
2 4

 

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
SD là đường cao trong tam giác đều SBC cạnh a nên : SD =
a 3
2

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAD ta có:
SA
2
= SD
2
- AD
2
=
2 2 2
3.a a 2a
4 12 3
 
=>SA =
a 2
3

tanCAD



Diện tích tam giác:
2
ABC
1 1 a a
S AD.BC a
2 2 2.tan 4.tan

  
 

SD là đường cao trong tam giác đều SBC nên SD =
a 3
2

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAD ta có:
SA
2
= SD
2
- AD
2
=
2 2 2
3.a a 2a
4 12 3
 

SD tại N. Tính thể tích của khối chóp S.ABMN?
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com

A
B
C
S
M
N
D
O

Lời giải
Ta nhận thấy mặt phẳng (SBN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối
chóp S.ABN và S.MBN
Theo định nghĩa về thể tích ta có:
S.ABMN
V
=
S.ABN
V
+
S.MBN
VS.ABN
S.ABD

4
S.BCD
V
=
1
8
S.ABCD
V

Do vậy:

S.ABMN
V
=
1
4
S.ABCD
V
+
1
8
S.ABCD
V
=
8
3
S.ABCD
V

Thể tích khối chóp S.ABCD

www.vnmath.com

S.ABCD
V
=
S.ABMN
V
+
ABCMN
V
hay V = V
1
+
S.ABMN
V

Ta có :V
1
=
N.ABD
V
+
B.CDMN
VN.ABD
V
=
S.ABD

V =
ABCD
1 1
.SO.S .SO.AC.BD
3 6

=
8
3
2

Thể tích cần tính:
Bài 4
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
Cho hình vuông ABCD có cạnh a, các nửa đường thẳng Ax và Cy vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía so với mặt phẳng đáy. Lấy
điểm
M A

trên Ax, lấy
N C

trên Cy. Đặt AM = m ; BN = n.
Tính thể tích của khối chóp B.AMNC theo a, m, n?

Trình bày lời giải
Theo giả thiết ta có:
CN (ABCD)


MA // NC nên tứ giác
ACMN là hình thang


ACMN
S
MA NC 2
AC a(m n)
2 2

   

Thể tích khối chóp:

2
ACMN
1 a
V OB.S (m n)
3 6
  
( đvtt )

Nghiên cứu lời giải
Nhận thấy do
AM AB

,
AM AD


A
B
C
S
M
N


Trình bày lời giải
Xét

SAB và

SAC có AB = AC, SA chung, A =
0
90


SAB =

SAC

SB =SC

mặt bên SBC là tam giác
cân.
Áp dụng định lý đường cao trong các tam giác SAB và SAC ta có:

2 2
4a
SN SA AN
5
  

Ta có các tỷ số:
SM
SB
=
SN
SC
=
4
5


S.AMN
S.ABC
V
V
=
16
25

S.AMN
V

3a 3
50
(đvtt)

Nghiên cứu lời giải
Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp tọa độ bằng việc đưa vào
hệ trục tọa độ Oxyz trong đó A(0;0;0), B(a;0;0), S(0;0;2a). Ta xác định
được tọa độ của C, M, N, sau đó sử dụng công thức sau:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com


0
S.AMN
1
V AM,AN AS 60 BAC
6
 
 
 
  

S.AMN
1
V AM,AN AS
6
 

 

tam giác ABC. Tính thể tích của tứ diện D.ABC?
A
B
C
D
E
F
M
G


Trình bày lời giải
Ta có:
EG (ABC)

nên EG là đường cao của chóp
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông EGB ta có:
EG = EBsinB = asin
0
60
=
a 3
2

Áp dụng pytago:

2 2
BG BE EG
 
=

sin
0
15
,
BC = ACtan
0
60
=
3a
2
sin
0
15
3

Thể tích của khối chóp:
V =
3
ABC
1 3
EG.S a .
3 4


2 0
sin 15
(đvtt)

Bài 7:
Cho tứ diện ABCD gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và

(đvtt)


Nghiên cứu lời giải
Ta xét một cách giải khác như sau:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
B
C
D
E
F
M
N
A

Dựng hình hộp chữ nhật AEBF.MDNC ngoại tiếp tứ diện ABCD ,
AB (ABEF)

,
CD (CDMN)


Vì (ABEF) // (CDMN) nên chiều cao của hộp bằng d
Thể tích cần tính:

ABCD hôp MDNC
1 1
V V S d

(0 ,0 ,b)
A (0 ,0,0)


Trình bày lời giải
M là trung điểm của CG nên:
C G
M
C G
M
C G
M
x x
x a
2
y y
y a
2
z z b
z
2 2


 




 


2 2
a 0 0 a
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

 
 

Tích vô hướng:

MB,BD BE
 
 
  
=
2
3a b
2

Thể tích: V =

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
Vì M là trung điểm của SG nên: CN = CA
Diện tích tam giác BDN:
S =
1 1 3 2a
BD.NO a 2.
2 2 2

=
2
3a
2

A
D
F
G
H
M
N
C
B
E
O

Thể tích:
E.BDM E.BDN
1


BC là đường trung bình của tam giác PQR


BC = QD = DP

AD = QD = PD


AQ AP


Hoàn toàn tương tự ta có:
AQ AR

,
AR AP


Ta có:
APQR ADBQ ABCD ACDP ACBR
V V V V V
   Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com



2 2 2
2(a c b )
 

Thể tích:



3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
V 2 (b c a )(a c b )(a b c )
24
      

=
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
(b c a )(a c b )(a b c )
2
     
(đvtt)
Bài tập đề nghị
Bài 1 ( khối A - 2007)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là
tam giác đều,
(SAD) (ABCD)

, gọi M, N, P là trung điểm của SB,BC,CD.
Tính thể tích của khối chóp CMNP theo a?


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
Bài 1
Cho hình tứ giác đều ABCD.EFGH có khoảng cách giữa hai đường
thẳng AD và ED bằng 2. Độ dài đường chéo mặt bên bằng 5. Tính thể tích
khối lăng trụ ?
A
B
C
E
F
G
H
K
D


Trình bày lời giải
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên ED


AK ED

, AB //
EF (EFD)

do đó AB // (EFD) nên




x 1
x 4






Với x = 4 ta có AE =
2 2
AK KE 5
 

V = AE.
ABCD
S
=
5
( đvtt)
Với x = 4 ta có AE = 2
5


V = 10
5
( đvtt)
Bài 2
Đáy của khói lăng trụ đứng ABC.DEF là tam giác đều. Mặt phẳng đáy

AK
DK


AK = x
3
, DK = 2x
Diện tích tam giác BCD: S = CK.Dk = x.2x = 8, do đó x = 2


AD = AK.tan
0
30
= x
3

3
3
= 2
Thể tích khối lăng trụ:
V =
1
3
AD.CK.AK =
8
3
(đvtt)
Bài 3
Cho khối lăng trụ đứng ABCD.EFGH có đáy là hình bình hành và


2
3

Áp dụng định lý cosin trong tam giác:

2 2 2
BD AB AD 2.AB.AD.
  
cos
0
452 2 2 0
AC AD CD 2.AD.CD.cos135
  
2 2 0 0
BD AC 2.AD.AB.cos45 2.CD.AD.cos135
   

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
= -2
2
AB.AD


(ABC), AE =
3
. Góc

AEB
là góc nhọn, góc giũa mặt phẳng (AEC) với
(ABC) bằng
0
60
. Tính thể tích của lăng trụ?
A
B
C
K
E
M
H
G


Trình bày lời giải
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
Hạ
EK AB(K AB)
 

EK (ABC)


KAM
=
2
2

2
3 x


Mà MK = EKcot
0
60
=
x
3
, do đó:
2
2

2
3 x

=
x
3


x =
3
5


BMC
=

. Tính thể tích của lăng trụ đó?
3. Thể tích của khối hộp chữ nhật
Trong mục này ta sẽ sử dụng định lý sau:
thể tích của khối hộp bằng tích độ dài ba kích thước
V = a.b.c = B.h trong đó: a, b, c là ba kích thước
B là diện tích đáy
h là chiều cao
Bài 1
Cho khối hộp ABCD.EFGH có tất cả các cạnh đều bằng a,

BAD
=

EAD
=

( 0






0
90
). Tính thể tích khối hộp đó?




BD EM

(2)
Từ (1) và (2) ta có:
EM (ABCD)

hay EM là đường cao
Đặt

EAO
=

, hạ
EK AB



MK AK

(định lý ba đường vuông góc)

cos
2

cos

=



=
2 2
a
cos cos
2
cos
2

 


Thể tích cần tính: V = AB.AD.EM.sin

=
2
a .sin

2 2
a
cos cos
2
cos
2

 

khối hộp đó?
A
B
C
E
F
G
H
M
K
D
N


Trình bày lời giải
Kẻ
EK (ABCD),(K ABCD)
 
,
KM AD(M AD)
 
,
KN AB(N AB)
 

Theo định lý ba đường vuông góc ta có:
AD EM,AB NK
 

Ta có:

45

Nên x =
2
3 4.x
3

do đó x =
3
7

Thể tích khối hộp chữ nhật:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
V = AB.AD.x =
7
.
3
.
3
7
= 3 (đvtt)
Bài 3
Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo bằng d, đường chéo tạo với
đáy góc

, tạo với mặt bên lớn góc

,tính thể tích của khối hộp đó?

BC =
2 2
AC AB

= d.
2 2
cos sin
  

ta có V = AB.BC.CG = d
3
.sin

.sin

.
2 2
cos sin
  

Mà:
 
1 cos2 1 cos2 1
cos2 cos2
2 2 2
   
    
= cos(

+

Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC, qua mỗi cạnh của
tứ diện kẻ mặt phẳng song song với cạnh đối diện, các mặt phẳng nhận được
xác định một hình hộp:
1) Chứng minh hình hộp nói trên là hình hộp chữ nhật?
2) CMR
hhcn ABCD
V 3V


3) Gọi IJ, EF, MN là các dường trung bình của tứ diện.
CMR:
ABCD
1
V
3

IJ.MN.EF
Bài 3
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH, M là trung điểm của AD, mặt
phẳng (ABM) cắt đường chéo AG tại I, tính tỷ số thể tích của hai khối đa
diện được tạo bởi mặt phẳng (EBM) cắt hộp?
4. Bài toán cực trị thể tích
Bài 1
Cho hình chóp S.ABC có SA = x, SB = y, các cạnh còn lại bằng 1,với giá
trị nào của x, y thì thể tích của khối chóp là lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó?
A
B
C
S
N

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
SM là đường cao, SM =
x
2

Tính diện tích đáy:
MB = MC =
2
x
1
4

, MN =
2
2
BC
BM
4

=
2 2
x y
1
4


,
S.ABC
V
=
2 2
xy x y
1
6 4



Ta có: ( x-y)
2


0

x
2
+ y
2


2xy


2 2
x y xy
4 2


2


1
6
xy xy
2 (2 xy)
2 2


Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số
xy
2
,
xy
2
, (2-xy) ta có:

xy
2
xy
2
(2-xy)


3
3

 


 




x = y =
2
3

Bài 2
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mặt
phẳng (SBC) bằng 2a, gọi là góc giữa mặt bên với mặt đáy, với giá trị nào
của

thì thể tích của khói chóp là lớn nhất?
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
A B
C
S
H
M
I
N
D





NH (SBC)

,
d(N,SBC) = NH (2)
từ (1) và (2) ta có NH = 2a
Hệ thức lượng trong tam giác vuông MNH ta có: MN =
NH
sin

=
2a
sin


Diện tích đáy :
2
2 2
ABCD
4a
S AB MN
sin
  


Gọi I là tâm đáy thì ta có
SI = MI.tan


(1 -
2
cos

) đạt
GTLN
Đặt x = cos

, xét hàm số y = x - x
3
trên (0,1), xét dấu hàm y ta được
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
max
y
=
3 2 3
y( )
3 9

khi và chỉ khi x =
3
3


cos

=
3

1 1
OM.S ON.S
3 3
 

=
OAB
1
(OM ON).S
3



Do đó thể tích V nhỏ nhất

( OM + ON ) đạt GTNN
Hai tam giác

OMB



OFN suy ra: OM.ON = OF.OB = hằng số vì O,
F, B cố định, ta có: OM + ON
2 OM.ON

dấu “ = ” xảy ra

OM = ON
nên ( OM + ON ) đạt GTNN