DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
PHẦN II: TÌM THƯƠNG VÀ SỐ DƯ, SỐ NGUYÊN TỐ
1) Khi đề cho số bé hơn 10 chữ số:
Số bị chia = số chia . thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b)
Suy ra r = a – b . q
Ví dụ 1 : Tìm số dư trong các phép chia sau:
1) 9124565217 cho 123456
2) 987896854 cho 698521
Giải.
MODE 1
9124565217 ÷123456 = ×123456 - 73909×123456 =

Kết quả:55713
987896854 69 6985218521 698521
MODE 1
÷ = × -1414× =
Kết quả: 188160
Từ kết quả trên ta có thể tìm số dư trong phêp chia a cho b như sau:
Bước 1: Thực hiện phép chia a cho b( lấy phần nguyên)
Bước 2: ta thực hiện a-b
×
(phần nguyên) =r
2) Khi đề cho số lớn hơn 10 chữ số:
Phương pháp:
Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số)
- Cắt ra thành 2 nhóm , ba nhóm,… nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái).
Tìm số dư phần đầu khi chia cho B.
- Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai.
Nếu còn nữa tính liên tiếp như vậy.
Ví dụ2: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567.
2345678901234=234567890

≡ ⇔ ≡

(mod ); (mod ) (mod )a b m b c m a c m
≡ ≡ ⇒ ≡

(mod ); (mod ) (mod )a b m c d m a c b d m
≡ ≡ ⇒ ± ≡ ±

(mod ); (mod ) (mod )a b m c d m ac bd m
≡ ≡ ⇒⇒ ≡

(mod ) (mod )
n n
a b m a b m≡ ⇔ ≡
Ví dụ 3: Tìm số dư trong phép dư
6
12 19cho

Giải:
( )
2
3
6 2 3
12 144 11(mod19)
12 12 11 1(mod1)
= ≡
= ≡ ≡

Vậy số dư của phép chia
6

2004 513 1171(mod1975)
2004 1171 591(mod1975)
2004 591.231 246(mod1975)
+
≡ ≡
≡ ≡
≡ ≡
≡ ≡
≡ ≡
Kết quả: Số dư của phép chia 2004
376
cho 1975 là 246
4) Tìm chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm của một lũy thừa.
Ví dụ 5: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 17
2002
Giải:
( )
2
1000
2 2000 1000
2
1000
2000
17 9(mod10)
17 17 9 (mod10)
9 1(mod10)
9 1(mod10)
17 1(mod10)
≡
= ≡

20 4 5
2000 100
2005 1 4 2000
23 23 41 01(mod100)
23 01 01(mod100)
23 23 .23 .23 23.41.01 43(mod100)
= ≡ ≡
≡ ≡
⇒ = ≡ ≡
Vậy chữ số hàng chục của số 23
2005
là 4 (hai chữ số tận cùng của số 23
2005
là 43)
+ Tìm chữ số hàng trăm của số 23
2005
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS

1
4
5
20 4
2000 100
23 023(mod1000)
23 841(mod1000)
23 343(mod1000)
23 343 201(mod1000)
23 201 (mod1000)
≡

số a có chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn
a
hay không!
Nhận xét: Mọi số nguyên tố đều là lẻ (trừ số 2), thế nên ta dùng phép chia a cho
các số lẻ không vượt quá
a
.
Cách làm:
Bước 1: Tính
a
.
Bước 2: Lấy phần nguyên b của kết quả.
Bước 3: Lấy số lẻ lớn nhất c không vượt quá b.
Bước 4: Lập quy trình
c → A
A =A – 2 : B = a
÷
A
Gán số lẻ c vào ô nhớ A làm biến chạy.
Dòng lệnh 1. A là một biến chạy.
Dòng lệnh 2. B là biểu thức
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
=

=
=
ấn dấu
=
và quan sát đến khi A = 1 thì dừng.

4. Lập quy trình:
315 → A
A =A-2 :B= 99 873
÷
A
=

=

=

=

5. Quan sát màn hình thấy có kết quả nguyên là 441, cho nên khẳng định
99 873 là hợp số.
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
Nhận xét: Nếu một số n là hợp số thì nó phải có ước số nguyên tố nhỏ hơn
n
.
để kiểm tra xem 1493 có là hợp số hay không ta chỉ cần kiểm tra xem 1493 có
chia hết cho số nguyên tố nào nhỏ hơn
1493 40
<
hay không.
- Thực hiện trên máy ta có kết quả 1493 không chia hết cho các số nguyên tố
nhỏ hơn 40 ⇒ 1493 là số nguyên tố.
2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Nhận xét: Các số nguyên tố đều là số lẻ (trừ số 2)
Cách làm:

Vậy 64 = 2
6
3. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất, lớn nhất, tìm có bao nhiêu ước:
Định lí 1 (Định lí cơ bản về số nguyên tố):
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
Mọi số nguyên dương n, n > 1, đều có thể được viết một cách duy nhất
(không tính đến việc sắp xếp các nhân tử) dưới dạng:
1 2
1 2
,
k
e
e e
k
n p p p
=
với k, e
i
là số tự nhiên và p
i
là các số nguyên tố thoả mãn:
1 < p
1
< p
2
< < p
k
Khi đó, dạng phân tích trên được gọi là dạng phân tích chính tắc của số n.
Ví dụ 10: Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số:

÷
3
=
(48273,66667)

tiếp tục chia cho các số nguyên tố: 5, 7, 11, 13, ,91: ta đều nhận được A không
chia hết cho các số đó. Lấy A chia cho 97, ta được:
ANPHA

A

÷
97
=
(1493)
Vậy: 144821 = 97 x 1493
Vậy A = 215
2
+ 314
2
có ước số nguyên tố nhỏ nhất là 97, lớn nhất là 1493.
Ví dụ11: Số N = 2
7
.3
5
.5
3
có bao nhiêu ước số ?
Giải:
- Số các ước số của N chỉ chứa thừa số: 2 là 7, 3 là 5, 5 là 3

= (e
1
+ 1) (e
2
+ 1) (e
k
+ 1)
Ví dụ 12: Hãy tìm số các ước dương của số A = 6227020800.
Giải:
- Phân tích A ra thừa số nguyên tố, ta được:
A = 2
10
.3
5
.5
2
.7.11.13
áp dụng định lí trên ta có số các ước dương của A là:
τ
(A)
= 11.6.3.2.2.2 = 1584
Ví dụ 13: Có bao nhiêu số tự nhiên là ước của:
N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004
Giải:
- Phân tích N ra thừa số nguyên tố, ta được:
N = 2
5
x 3
4
x 5

≤ n
2
< 20 x 10
k
⇔
19.10 20.10
k k
n
≤ <
(1)
+ Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành:

19.10 20.10
m m
n≤ <

⇔ 4,3588989.10
m
≤ n < 4,472135955.10
m
(2)
Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2, (tính trên máy):
ta được n có thể là: 44, 436, 437, 438, 439, , 447
+ Nếu k = 2m +1 thì ta có (1), trở thành:
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS

190.10 200.10
m m
n≤ <

Bài 1.Tìm số dư khi chia 2006
10
cho 2000 .
Bài 2.Tìm số dư trong phép chia A = 3
8
+ 3
6
+ 3
2004
cho 91.
Bài 3. Tìm số dư khi chia 2945
5
- 3 cho 9
Bài 4. Tìm số dư khi chia (1997
1998
+1998
1999
+ 1999
2000
)
10
cho 111
Bài 5. Tìm số dư khi chia 1532
5
- 1 cho 9
Bài 6. Tìm số dư khi chia 10! cho 11
Bài 6. Tìm số dư khi chia 1776
2003
cho 4000 .
Bài 7. a) Tìm số dư khi chia 13! cho 11

; 7
8
; 7
9
; 7
10
; 7
11
khi
chia cho 13 và điền vào bảng sau:
7
0
7
1
7
2
7
3
7
4
7
5
7
6
7
7
7
8
7
9

cho 27
b) 25
14
cho 65
c) 1978
38
cho 3878.
d) 2005
9
cho 2007
e) 7
15
cho 2001
Bài 12:Viết quy trình bấm phím tìm số dư của phép chia 19052002 cho 20969
Bài 13: Tìm số dư của phép chia: 26031931 cho 280202
Bài 14: Tìm số dư của phép chia: 21021961 cho 1781989
Bài 15: Tìm số dư của phép chia:18901969 cho 2382001
Bài 16: Tìm số dư của phép chia: 3523127 cho 2047
Bài 17: Tìm số dư của phép chia: 143946 cho 23147
Bài 18: Viết quy trình bấm phím và tìm số dư khi chia 2002200220 cho 2001
Bài 19: Tìm số dư của phép chia
a) 1234567890987654321 : 123456 b) 7
15
: 2001
Bài 20: Chia 6032002 cho 1950 được số dư là r
1
. Chia r
1
cho 209 có số dư là r
2

cho 5
b) 2
3
+ 3
7
+ 4
11
+ … + 2003
8007
cho 5
2. Số nguyên tố.
Bài 1: Tìm các ước nguyên tố của
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
A = 1751
3
+ 1957
3
+ 2369
3
Bài 2. Tìm các ước nguyên tố của
M = 1897
5
+ 2981
5
+ 3523
5
Bài 3. Số 2
11
– 1 là số nguyên tố hay hợp số.

+ 3
6
+ 4
10
+ … + 2004
8010

Y = 2
8
+ 3
12
+ 4
16
+ … + 2004
8016

5. Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau :
U = 2
1
+ 3
5
+ 4
9
+ … + 2005
8013

V = 2
3
+ 3
7