1
Chuyên đề 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
& BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 1. +=++
22 2
() 2ab a abb abbaba 2
2
)(
22
−+=+
2. −=−+
22 2
() 2ab a abb
abbaba 2
2
)(
22
+−=+
3.
−=+ −
22
()()ab abab

4.
+=+ + +

2
xA
2
y)-(xB =)b
3
) yc +=
3
xC
4
) yd +=
4
xD

A. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I. Giải và biện luận phương trình bậc nhất:

1. Dạng : ax + b = 0 (1)
⎩
⎨
⎧
số tham : ba,
số ẩn : x

2. Giải và biện luận
:

Ta có : (1)
⇔
ax = -b (2)
Biện luận:


3)
xm x2
x1 x1
−−
=
+−

4)
2
23 21
11
1
xm m m
xx
x
+−
=+
+
−
−

3. Điều kiện về nghiệm số của phương trình:
Đònh lý: Xét phương trình ax + b = 0 (1) ta có:

•
(1) có nghiệm duy nhất
⇔
a
≠

Ví dụ :
1) Với giá trò nào của a, b thì phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

0)1(
24
=−++− bxaxa ( 1; 0ab=± = )
2)
Cho phương trình (2 1) (3 )( 2) 2 2 0mx nx mn−+− −−++=
Tìm m và n để phương trình nghiệm đúng với mọi x (
1
;1
2
mn=− = )
3) Cho phương trình: (2 1) 3 2 3mxm xm+−+=+
Tìm
m để phương trình có nghiệm
(
)
0;3x ∈
(
1
2
2
mm<∨>
)
4) Cho phương trình:
(3 2) 4 2 5mxmmxm−−= +−
Tìm m ngun để phương trình có nghiệm ngun (
{
}

5
2
2
m<<
)
3
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Thời gian 10 phút
ĐỀ:

Bài 1:
Phương trình
3(m 4)x 1 2x 2(m 3)++=+ −
có nghiệm duy nhất với giá trò của m là:
(A)
4
m
3
= (B)
3
m
4
=− (C)
10
m
3
≠

vô nghiệm với giá trò của m là:
(A)
m2= (B) m2=− (C) m2
=
± (D) Không có m
Bài 5: Phương trình
mx m 1
m
x2
−++
=
−
vô nghiệm với giá trò của m là:
(A)
m0= (B) m1= (C) m 0;m 1
=
= (D) Một đáp số khác
ĐÁP ÁN:

Bài 1: Phương trình
3(m 4)x 1 2x 2(m 3)++=+ −
có nghiệm duy nhất với giá trò của m là:
(A)
4
m
3
= (B)

=− (D) Một đáp số khác
Bài 4: Phương trình
2x m
m
x1
+
=
−
vô nghiệm với giá trò của m là:
(A) m 2= (B) m 2=− (C) m2
=
± (D) Không có m
Bài 5: Phương trình
mx m 1
m
x2
−++
=
−
vô nghiệm với giá trò của m là:
(A)
m0= (B) m1= (C) m0;m1
=
= (D) Một đáp số khác

0 : phương trình (1) vô nghiệm
•
b = 0 và c = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x
Trường hợp 2: Nếu a
≠
0 thì (1) là phương trình bậc hai có
Biệt số
2
4bacΔ= −
( hoặc
'2 '
' với b
2
b
bac
Δ= − =
)
Biện luận:
) Nếu 0Δ< thì pt (1) vô nghiệm
) Nếu 0Δ= thì pt (1) có nghiệm số kép
12
2
b
xx
a
==− (
'
12
b
xx

x
−
=
−

2)
2
2
23
3
(1)
xx
x
+−
=−
−

Ví dụ 2:
1) Giải và biện luận phương trình : 2)1(2
2
−−=− xmxx
2)
Giải và biện luận phương trình :
2
(1) (23) 10mx mxm
−
+−++=

0
c
b
a
hoặc
⎩
⎨
⎧
<Δ
≠
0
0
a

) Pt (1) có nghiệm kép
⇔

⎩
⎨
⎧
=Δ
≠
0
0
a

) Pt (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔

⎩

=
0
0
0
c
b
a
Đặc biệt
Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < 0 thì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng:
Ví dụ 1:
Với giá trò nào của m thì phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

xm
x
xx
−=
−
+−
1
12
2

Ví dụ 2:
1) Với giá trò nào của m thì phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:

0)22)(1(

==
−=+=
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21
.) Đònh lý đảo : Nếu có hai số ,
α
β
mà
+
= S
α
β
và . P
=
α
β
)4(
2
PS ≥ thì ,
α
β

xx
xx
xx
A
++
+
= ) mà
không cần giải pt tìm x
1
, x
2
, tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng ….
Chú ý:
) Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a+b+c=0 thì pt (1) có hai nghiệm là
12
1 và x
c
x
a
==
) Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a-b+c=0 thì pt (1) có hai nghiệm là
12
1 và x
c
x
a
=− =−
Áp dụng:
Ví dụ 1 : Cho phương trình: 012
2

xx 2−=
5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai:
Dựa vào đònh lý Viét ta có thể suy ra đònh lý sau:

Đònh lý: Xét phương trình bậc hai :
2
0ax bx c
+
+=
(1) ( 0a
≠
)
) Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt
> 0
P > 0
S > 0
Δ
⎧
⎪
⇔
⎨
⎪
⎩

) Pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt
> 0
P > 0
S < 0
Δ
⎧

7
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Thời gian 10 phút
ĐỀ SỐ 1:

Bài 1: Phương trình
2
(m 1)x 2mx m 0−+ += có hai nghiệm phân biệt khi :
(A)
m0> (B) m0≥ (C) m0 và m1>≠ (D) m0 và m1≥≠
Bài 2: Phương trình :
2
mx 2(m 3)x m 5 0+−+−= vô nghiệm khi :
(A)
m9>
(B)
m9≥
(C)
m9
<
(D)
m9 và m0<≠

Bài 3: Cho phương trình bậc hai:
22
x2(m2)xm120−+++=. Giá trò nguyên nhỏ nhất của tham số m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
(A)
m1= (B) m2= (C) m3
=

Bài 5: Phương trình:
2
xmxm10−+−= có hai nghiệm dương phân biệt khi
(A)
m1>
(B)
m1≥
(C) m1 và m2>≠ (D) m1 và m2≥≠
ĐÁP ÁN:

Bài 1: Phương trình
2
(m 1)x 2mx m 0−+ += có hai nghiệm phân biệt khi :
(A)
m0> (B) m0≥ (C) m0 và m1>≠ (D) m0 và m1≥≠
Bài 2: Phương trình :
2
mx 2(m 3)x m 5 0+−+−= vô nghiệm khi :
(A)
m9> (B) m9≥ (C) m9
<
(D) m9 và m0<≠
Bài 3: Cho phương trình bậc hai:
22

10
− (C)
10
3
(D)
10
3
−
Bài 5: Phương trình:
2
xmxm10−+−=
có hai nghiệm dương phân biệt khi
(A) m 1> (B) m 1≥ (C)
m1 và m2>≠ (D) m1 và m2≥≠ 8
II. Phương trình trùng phươngï:

1.Dạng :
42
0 ( a 0 )ax bx c++= ≠ (1)
2.Cách giải:

) Đặt ẩn phụ : t = x
2
( 0≥t ). Ta được phương trình:

(2) 410xm x m−+ + +=
2) Cho phương trình:
42
(2) 410xm x m−+ + +=
Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng
III . Phương trình bậc ba:

1. Dạng:
32
0ax bx cx d
+
++= (1) ( 0a
≠
) 2 .Cách giải: Áp dụng khi biết được một nghiệm của phương trình (1)

)Bước 1: Nhẩm một nghiệm của phương trình (1). Giả sử nghiệm là x = x
0

)Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC hoặc sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân
tử và đưa pt (1) về dạng tích số :
(1)
⇔
(x-x
0
)(Ax
2
+Bx+C) = 0

a)
041292
23
=−+− xxx
b)
142
23
−=+−+ xxxx
c)
32
2 7 28 12 0xx x+−+=

9
Ví dụ 2:
Với giá trò nào của m thì các phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
a)
223
23
−+=+− mmxxx
b)
32
(2 1) 0xmxmxm−+++=
c)
32
2( 1) (7 2) 4 6 0xmxmx m−++−+−=
d)
32
(4) (4) 0mx m x m x m−− ++ −=
e)
32 2

760xx xx+− −+=
3)
432
24560xxxx+−−−=

IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN QUY VỀ BẬC HAI BẰNG PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ 1.Dạng I:
42
0 ( a 0 )ax bx c++= ≠
) Đặt ẩn phụ : t = x
2 2. Dạng II. ( )( )( )( ) ( k 0 )
x
ax bx cx d k++++= ≠ trong đó a+b = c+d
) Đặt ẩn phụ : t = (x+a)(x+b)
Ví dụ : Giải phương trình:
(
)
(
)
10

4.Daùng IV:
432
0ax bx cx bx a
+
++= Chia hai veỏ phửụng trỡnh cho x
2
) ẹaởt aồn phuù : t =
1
x
x


Vớ d : Gii phng trỡnh:
43 2
2316320xx xx
+
++=

I. Bất phương trình bậc nhất:
1. Dạng : (1) 0>
+
bax (hoặc
≤
<
≥ ,,
)
2. Giải và biện luận:

Ta có :
(2) )1( bax −>⇔ Biện luận:
• Nếu 0>a thì
a
b
x
−>⇔)2(
•
Nếu 0<a thì
a
b
x
−<⇔)2(
•
Nếu 0=a thì (2) trở thành : bx
−
>.0

−≤ +
⎧
⎨
−
+−<+
⎩II. Dấu của nhò thức bậc nhất:
1. Dạng: 0)(a )(
≠
+
=
baxxf
2. Bảng xét dấu của nhò thức:

x
∞−
a
b
−
∞
+

ax+b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

Áp dụng
:
Ví dụ : Xét dấu các biểu thức sau:
1)

3. Điều kiện không đổi dấu của tam thức
:
Đònh lý: Cho tam thức bậc hai: 0)(a
2
)( ≠++= cbxaxxf

•
⎩
⎨
⎧
>
<Δ
⇔∈∀>
0a
0
Rx 0)(
xf
•
⎩
⎨
⎧

Áp dụng
:
Ví dụ1 : Cho )2(3)1(2)1()(
2
−++−−= mxmxmxf
Tìm m để Rx
∈∀> 0)(xf
Ví dụ 2: Với giá trò nào của m thì
2
2
2x x 3a
23
xx4
−+
−≤ ≤
++
thỏa với mọi x
∈


IV. Bất phương trình bậc hai
:

1. Dạng: 0
2
>++ cbxax ( hoặc
≤
<
≥ ,, )


Cùng dấu a 0 Cùng dấu a

x
∞
−

∞
+

f(x) Cùng dấu a

0<Δ
0=Δ
0>Δ

13

2. Cách giải: Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái rồi chọn nghiệm thích hợp.

Áp dụng
:
Ví dụ1 : Giải các hệ bất phương trình:
a)
⎩
⎨
⎧
>++−
>−
011011
0113

Ví dụ 3: Với giá trò nào của m thì phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

0)3(2)32(
2
=+++− mxmx
Ví dụ 4: Tìm tập xác đònh của hàm số:
2
2
2x 3
y2xx6
x5x4
−
=+−+
−
+

V. So sánh một số
α
với các nghiệm của tam thức bậc hai cbxaxxf ++=
2
)( ( 0≠a )
Đònh lý: []
1
1
1
1
Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa

⎥
⎡⎤
⎪
⇔α>
⎨
⎢
⎢⎥
<<α
⎣⎦
⎪
⎢
⎪
−α<
⎢
⎩
⎣
⎦
1
1
1
0
Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa
a.f( ) 0
x
S
2
Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa
một nghiệm thuộc khoảng ( ; ) và
nghiệm
2

⎪
−α>
⎢
⎥
⎩
⎣
⎦
αβ
[]

còn lại nằm ngoài đoạn [ ; ]
f( ).f( ) 0
⎡⎤
⎢⎥
⇔
αβ<
⎢⎥
⎢⎥
αβ
⎣⎦
Áp dụng
:
Ví dụ : Cho phương trình: 0232
2
=−+− mmxx (1)
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x
1

<
<∨ >)
Bài 3: Cho phương trình:
0
1
2
=
−
++
x
mxmx
(1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt (
1
m0
2
−
<<)
Bài 4: Cho phương trình: 01
24
=−+− mmxx (1)
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
(m 1 m 2)>∧ ≠
Bài 5: Cho phương trình: 0))(1(
2
=++− mmxxx (1)
Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
1
(m 0 m 4 m )
2

Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệmphân biệt x
1
, x
2
, x
3
thỏa mãn 15
2
3
2
2
2
1
>++ xxx

(m 1 m 1)
<
−∨ >

Hết


1
;
3
⎛⎞
−∞
⎜⎟
⎝⎠
(C)
(
)
1;
+
∞ (D)
1
;
3
⎡⎞
+
∞
⎟
⎢
⎣⎠

Câu 2: Tập xác đònh của hàm số
2
y4x3x5x6=−++− là
(A)
[
)
1; +∞ (B)

2x 3x 4
1
x2
−+
>
+
là
(A)
()()
;1 2;−∞ − +∞∪ (B)
(
)
(
)
;2 1;
−
∞− − +∞∪
(C)
()( )
;1 2;−∞ +∞∪ (D)
(
)
(
)
;2 4;
−
∞+∞∪
Câu 4: Phương trình:
22
(m 1)x x 2m 3 0+−−+= có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

<−
(B)
5
m
2
≤−
(C)
7
m
2
<
(D)
5
m
2
≥−

ĐÁP ÁN:
Câu 1: Tập hợp các giá trò m để phương trình:
xm 2m
x1
x1 x1
−
−+ =
−
−
có nghiệm là
(A)
1
;

2
y4x3x5x6=−++− là
(A)
[
)
1; +∞ (B)
3
;
4
⎡⎞
+∞
⎟
⎢
⎣⎠
(C)
3
;1
4
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
(D)
63
;
54
⎡⎤
−

(
)
;2 4;
−
∞+∞∪
Câu 4: Phương trình:
22
(m 1)x x 2m 3 0+−−+= có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
(A)
2
m
3
>
(B)
3
m
2
<
(C)
3
m
2
>
(D)
3
m
2
>−

Câu 5: Hệ bất phương trình :

Câu 1:Tập hợp các giá trò m để phương trình:
22
x52m
1x 1x
−
=
−
−
có nghiệm là
(A)
()
2;3 (B)

(C)
[
]
2;3 (D)
()
1; 1−
Câu 2: Tập xác đònh của hàm số
2
yxx22x3=+−+− là
(A)
[
)
1; +∞ (B)
[]
3
2;1 ;
2

22
3x (3m 1)x m 4 0
+
−+−= có hai nghiệm trái dấu là
(A)
m4<
(B)
2m2−< <
(C)
m2
<
(D) m 2 hoặc m 2<− >
Câu 4: Phương trình:
2
xxm0++ = vô nghiệm khi và chỉ khi
(A)
3
m
4
>− (B)
3
m
4
<− (C)
m0>
(D)
5
m
4
>−

(A)
()
2;3 (B)  (C)
[
]
2;3 (D)
()
1; 1−
Câu 2: Tập xác đònh của hàm số
2
yxx22x3=+−+− là
(A)
[
)
1; +∞ (B)
[]
3
2;1 ;
2
⎡
⎞
−+∞
⎟
⎢
⎣
⎠
∪ (C)
3
;
2

2
xxm0++ = vô nghiệm khi và chỉ khi
(A)
3
m
4
>−
(B)
3
m
4
<−
(C) m0> (D)
5
m
4
>−

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình:
x1
1
x3
−
>
−
là
(A)
∅ (B)

(C)

⎣⎦
(C)
(
]
[
)
;4 1;
−
∞− +∞∪ (D)
[
)
1
;1;
4
⎛⎤
−∞ − +∞
⎜
⎥
⎝⎦
∪
Câu 2: Tập hợp các giá trò m để phương trình:
22
(m 1)x (m 2)x 2m 1
4x 4x
−
+−+
=
−−
có nghiệm là
(A)

≤ (B)
1
m
3
< (C)
1
m
3
≥ (D)
1
m
3
≥−
Câu 4: Phương trình:
2
(m 3)x 3x 2m 5 0+−+−= có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
(A)
m3>
(B)
5
3m
2
−< < (C)
5
m
2
<
(D)
5
m 3 hoặc m

Câu 1: Tập xác đònh của hàm số
2
y43xx=−− là
(A)
[
]
4;1−
(B)
1
;1
4
⎡⎤
−
⎢⎥
⎣⎦
(C)
(
]
[
)
;4 1;
−
∞− +∞∪
(D)
[
)
1
;1;
4
⎛⎤

(C)
57
;
22
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(D) 
Câu 3: Phương trình:
22
x2mxm3m10−++−= có hai nghiệm khi và chỉ khi
(A)
1
m
3
≤ (B)
1
m
3
< (C)
1
m
3
≥ (D)
1
m
3
≥−
Câu 4: Phương trình:
2

3
= (B)
5
m
3
=− (C)
7
m
3
=
(D) không có giá trò nào của m
18
ĐỀ SỐ 4:

Câu 1: Tập xác đònh của hàm số
2
2
x2
y
x3x4
+
=
+
−
là
(A)
(

m
2
>− (C)
5
m
2
≥ (D)
5
m
2
≤−
Câu 3: Phương trình:
2
x2(m1)xm30−−+−= có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi
(A)
m3< (B) m 1< (C) m 1
=
(D) 1m3<<
Câu 4: Phương trình:
2
xxm0++ = vô nghiệm khi và chỉ khi
(A)
3
m
4
>− (B)
3
m
4
<− (C) m0> (D)

3
;
2
⎡
⎤
+
∞
⎢
⎥
⎣
⎦
(D)
3
;
2
⎛⎞
+∞
⎜⎟
⎝⎠ĐÁP ÁN:

Câu 1: Tập xác đònh của hàm số
2
2
x2
y
x3x4
+

2
≥− (B)
5
m
2
>− (C)
5
m
2
≥ (D)
5
m
2
≤−
Câu 3: Phương trình:
2
x2(m1)xm30−−+−= có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi
(A)
m3<
(B) m 1< (C) m 1
=
(D)
1m3<<

Câu 4: Phương trình:
2
xxm0++ = vô nghiệm khi và chỉ khi
(A)
3
m

2
;
3
⎡⎞
+∞
⎟
⎢
⎣⎠
(C)
3
;
2
⎡
⎤
+
∞
⎢
⎥
⎣
⎦
(D)
3
;
2
⎛⎞
+∞
⎜⎟
⎝⎠
⎟
⎢
⎣⎠
(C)
3
;
2
⎡
⎤
+
∞
⎢
⎥
⎣
⎦
(D)
3
;
2
⎛⎞
+
∞
⎜⎟
⎝⎠

Câu 2: Tập xác đònh của hàm số
2
x1
y
1x

<
(D) m6>
Câu 4: Giả sử x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình:
2
x13x70
−
−=. Giá trò của tổng
12
11
xx
+
là
(A)
13
7
(B)
13
7
− (C)
7
13
−
(D)
7
13


⎜⎟
⎝⎠
(D)
()
11
;1;
2
⎛⎞
−∞ − +∞
⎜⎟
⎝⎠
∪ĐÁP ÁN:

Câu 1: Tập xác đònh của hàm số
2
1
yxx2
2x 3
=+++
−
là
(A)
2
;
3
⎛⎞
+∞

⎜⎟
⎝⎠

Câu 2: Tập xác đònh của hàm số
2
x1
y
1x
−
=
−
là
(A)
(
]
;1−∞ − (B)
[
)
{
}
1; \ 1−+∞ (C)
(
]
(
)
;1 1;
−
∞− +∞∪ (D)
(
)

(A)
13
7
(B)
13
7
− (C)
7
13
−
(D)
7
13

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình:
2x 11
0
x1
+
>
−
là
(A)
11
S;
2
⎛⎞
=− +∞
⎜⎟
⎝⎠

20
ĐỀ SỐ 6:

Câu 1: Phương trình:
2
x4mx2m0−+= có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi
(A)
1
0m
2
<< (B)
1
mm0
2
<
∨> (C) m
∈
∅ (D) m
∈

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình:
(x 1)(x 3)
0
2x 1
−
+
≥
−
là
(A)


Câu 3: Phương trình:
2
x2xm0−−= có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
12
xx2
<
< khi và chỉ khi
(A)
1m0−< < (B) 1m0
−
≤< (C) m0> (D)
1
m
4
>−

Câu 4: Hệ bất phương trình :
2
(2x 1)(x 3) 0
x4
−+<
⎧
⎨
≤
⎩

[
]
S2;2=−
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình:
2
x
x1
x2
≥+
−
là
(A)
()()
S;22;=−∞− +∞∪
(B)
(
]
(
)
S;22;
=
−∞ − +∞∪
(C)
(
)
;2
−
∞−
(D)
(

−
là
(A)
[
)
1
S3; 1;
2
⎡⎞
=− +∞
⎟
⎢
⎣⎠
∪ (B)
1
S;1
2
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
(C)
(
)
;3
−
∞−
(D)
(
)

(2x 1)(x 3) 0
x4
−+<
⎧
⎨
≤
⎩
có tập nghiệm là:
(A)
1
S3;
2
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
(B)
1
S2;
2
⎡
⎞
=−
⎟
⎢
⎣
⎠
(C)
1
S0;

)
;2
−
∞− (D)
(
)
S2;
=
+∞