SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẬC THPT”
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I - Lí do chọn đề tài:
- Hình học không gian là môn học khó đối với nhiều học sinh phổ thông. Nhiều học
sinh thấy khó và trở nên chán nản khi học môn học này. Các em đó hầu như phát biểu
rằng: "Trong giờ lí thuyết em hiểu bài nhưng lại không áp dụng lí thuyết vào để tự làm
được bài tập". Vì vậy, khi dạy học sinh phần hình học không gian, người giáo viên đặc
biệt phải quan tâm, kiên nhẫn hướng dẫn các em từng bước cách tìm ra hướng giải cho
từng loại bài toán và để các em tự làm được chứ không áp đặt kết quả hoặc cách làm cho
học sinh.
- Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao và cơ bản đều viết bài "KHOẢNG CÁCH"
rất đơn giản nhưng bài tập yêu cầu với học sinh thì lại không đơn giản đối với học sinh.
Nếu người dạy chỉ đưa ra định nghĩa như sách giáo khoa và cho học sinh làm bài tập ví
dụ thì chắc chắn không nhiều học sinh có thể làm được. Nếu dạy hết các định nghĩa
trong các mục 1, 2, 3 sau đó cho học sinh làm bài tập áp dụng trong mục 4 thì học sinh sẽ
rất lúng túng. Học sinh lúng túng khi tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P):
nó sẽ nằm trên đường thẳng nào? tại sao? ( Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)
(hoặc đến đường thẳng
V
) là khoảng cách giữa hai điểm M và H , trong đó H là hình
chiếu của M trên mặt phẳng (P) (hoặc trên đường thẳng
V
- Định nghĩa 1- SGK Hình
học nâng cao 11 - trang 113)
- Trong cấu trúc đề thi Đại học- cao đẳng cũng như tốt nghiệp hiện nay luôn có 1
câu hình học không gian và “khoảng cách” là vấn đề rất hay được hỏi đến trong các đề thi
này. Điều này cũng làm cho không ít học sinh và giáo viên lo lắng.
- Toán học là môn khoa học rèn luyện tư duy cho học sinh và hình học không gian là

PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ PHÁP LÍ CỦA ĐỀ TÀI
I - Cơ sở lí luận
SGK HHNC 11 trình bày khoảng cách rất đơn giản. Sau khi đưa ra 1 loạt các khái niệm
k/c ở các mục 1, 2, 3 rồi đưa 2 ví dụ áp dụng trong mục 4.
1- Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng và 1 mặt phẳng:
H
M
P)
H
M
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng
V
) là khoảng
cách giữa hai điểm M và H , trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P) ( hoặc
trên đường thẳng
V
- Định nghĩa 1- SGK Hình học nâng cao 11 - trang 113)
2- Khoảng cách giữa một đường thẳng và 1 mặt phẳng song song, giữa hai mặt
phẳng song song:
K
B
P)
H
A
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách
từ 1 điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P). ( Định nghĩa 2- SGK Hình học nâng cao 11 -
trang 113)
Q)
K

I - Biện pháp thực hiện
- Bổ sung, hệ thống các kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt: quan hệ song song,
vuông góc trong không gian.
- Xây dựng các bước tính từng loại khoảng cách.
- Hướng dẫn một số bài toán khoảng cách trong SGK theo các bước trên.
-Sau mỗi bài toán đều có nhận xét, củng cố, chỉ ra những sai lầm dễ gặp của học sinh và
phát triển mở rộng (nếu có thể) giúp học sinh ghi nhớ và phát triển tư duy năng lực sáng
tạo.
-Sử dụng phương pháp phù hợp với hoàn cảnh thực tế, tạo hứng thú đam mê phương
pháp mới cho các em.
-Kiểm tra đánh giá để rút kinh nghiệm có phương pháp phù hợp hơn.
II- Nghiên cứu thực tế
1- Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng và đến một đường thẳng.
1.1- Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng.
Phần này chỉ lưu ý học sinh: muốn tính được độ dài của đoạn MH, người ta thường
xem nó là chiều cao của tam giác MAB (với A, B thuộc đường
∆
). Nếu tam giác MAB
vuông tại M thì tính độ dài MH như thế nào? có thể nhớ lại hệ thức trong tam giác vuông:
2 2 2
1 1 1
MH MA MB
= +
. Nếu tam giác cân tại M? thì H là trung điểm của AB. Nếu tam giác
thường? thì tính diện tích tam giác và độ dài AB, từ đó suy ra độ dài MH.
B
B
H
H
A

Từ đó giáo viên cho học sinh ghi nhớ "Các bước xác định khoảng cách từ 1 điểm
M đến 1 mặt phẳng (P)" như sau:
+ Tìm mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (P).
+ Tìm giao tuyến a của (P) và (Q).
+ Trong (Q), kẻ MH vuông góc với a. Khi đó d(M;(P)) = MH.
Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB =a, AD = b, AA' = c. Tính
khoảng cách từ B đến (ACC'A').
H
D'
C'
B'
A'
D
C
A
B
GV yêu cầu mỗi học sinh làm 1 bước (theo các bước đã hướng dẫn).
+ Tìm mặt phẳng qua B và vuông góc với (ACC'A'): đó là mặt phẳng (ABCD) vì
mp (ABCD) vuông góc với AA' nên vuông góc với (ACC'A'))
+ Giao tuyến của (ABCD) và (ACC'A'): là AC.
+ Trong mặt (ABCD), kẻ BH vuông góc với AC (H thuộc AC), thế thì BH vuông
góc với (ACC'A'). Vậy d(B; (ACC'A')) = BH.
+ BH là đường cao của tam giác nào? HB là đường cao của tam giác vuông ABC
nên:
2 2 2
2 2
1 1 1 ab
BH
BH BA BC
a b

toán bây giờ chính là tìm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho. Các em có thể tự
làm được các bài trong sách giáo khoa và tiến đến các bài toán khó hơn.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài tập 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và có độ dài lần lượt là
a, 2a, 3a. Tính khoảng cách từ O đến mp (ABC).
Bài tập 2: Hai tia chéo nhau Ax, By hợp với nhau góc 60
0
nhận AB làm đoạn vuông góc
chung. Trên By lấy C sao cho BC =a.
a) Tính k/c từ c đến Ax
b) tính k/c từ C đến (ABD)
Bài tập 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông tại A. BC= 2a, AB=
3a
.
a) Tính k/c từ A đến (A’BC)
b) Chứng minh rằng AB vuông góc với (ACC’A’) và tính k/c từ A’ đến (ABC’)
Bài tập 4: Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với
(ABCD). SA=2a. (P) qua BC và cắt SA, SD theo thứ tự tại E, F.Biết AD cách (P) một
khoảng là
2
2
a
. Tính khoảng cách từ S đến (P) và tính diện tích của tứ giác BCFE.
Bài tập 5: Hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy
bằng 60
0
. M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tính k/c giữa AB và (CMN)
2- Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song, giữa hai mặt
phẳng song song.
2.1- Khoảng cách giữa 1 đường thẳng và một mặt phẳng song song.

mp (A'C'D).
H
I
O
D'
C'
B'
A'
D
C
A
B
Yêu cầu mỗi hs l àm 1 bước:
+ t ìm mp vu ông g óc v ới (A’DC’): Ta tìm mp vuông góc với A’C’. Đó là mp
(BDD’B’). Hai mp (A’DC’) và (BDD’B’) có giao tuyến DO ( O là tâm A’B’C’D’) Trong
mp (DBB’) kẻ B’H vuông góc với DO thi B’H vuông góc với (DA’C’). khoảng cách
phải tìm là B’H
Để tính độ dài B’H :2.dt tam giác DB’O = B’H.OD = DD’.B’O
2.2 - Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Các bước làm được tiến hành tương tự khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng song song.
Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai mặt
phẳng (ACB') và (A'C'D).
H
I
O
D'
C'
B'
A'

vuông cạnh a. SA =2a. M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh rằng MN //
(SBD) và tính k/c giữa MN và (DBS).
3- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Sau khi đưa ra định nghĩa khoảng cách giữa hai đường chéo nhau (độ dài đoạn vuông góc
chung)
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA
⊥
(ABCD), SA
=a. Xác định đoạn vuông góc chung của SA và BC; SA và DB; SA và d (trong đó d là
đường thẳng nằm trong mp (ABC) và không đi qua A.
O
d
D
C
A
B
S
Học sinh có thể dễ dàng tìm được đoạn vuông góc chung của SA và BC, đó là AB. Của
SA và BD đó là AO. Vậy muốn dựng được đoạn vuông góc chung của SA và d thì làm
thế nào? Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với d, nó cắt d tại H. Khi đó đoạn AH là đoạn
vuông góc chung của SA và d.
Một cách tổng quát, muốn dựng được đoạn vuông góc chung của hai đường chéo
nhau và vuông góc với nhau thì làm thế nào?
3.1- Nếu hai đường chéo nhau a và b mà vuông góc với nhau:
N
M
b
a
P)
Yêu cầu hs nói cách dựng đường vuông góc chung của a và b vông góc và chéo nhau?

+ Kẻ OK vuông góc với SC. Khi đó OK là đoạn vuông góc chung của SC và BD.
+ OK là đường cao của tam giác SOC nên: OK. SC = SA. OC
3.2- Nếu hai đường chéo nhau a và b mà không vuông góc với nhau:
Việc xác định đường vuông góc chung không cần thiết cho bài toán tính khoảng
cách này. Ta đổi khoảng cách phải tìm thành khoảng cách giữa a và mp(P) ( trong đó (P)
chứa b và vuông góc với a).(sgk trang 115 -hình học 11 nâng cao)
Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a. Tính
khoảng cách giữa AB đến SC.
N
H
M
O
D
C
B
A
S
Trước tiên học sinh kiểm tra xem hai đường có vuông góc không? Giáo viên hướng dẫn
cách kiểm tra.
Yêu cầu hs đổi k/c phải tìm thành k/c giữa đường và mặt song song. Đó là k/c giữa
đường AB và (SCD)
Bài toán này đã làm trong ví dụ 3. Kiểm tra học sinh các bước thực hiện loại k/c này.
Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính k/c giữa AA’ và DB; giữa
AC’ và BD; giữa AI và D’C’ ( với I là tâm mặt DCC’D’)
- kiểm tra xem hai đường có vuông góc không. Dễ thấy AA’ và BD vuông góc vì
AA’ vg với (ABCD). Yêu cầu hs thực hiện theo đúng các bước. Kết quả k/c thứ
nhất là AO bằng
2
2
a

giữa đường và mặt nào? Có thể kẻ đường song song với C’D’ hoặc kẻ đường // với
AI để tạo ra mp.
- Thống nhất đổi k/c phải tìm thành k/c giữa đường C’D’ và mp(ABPM). Yêu cầu hs
thực hiện các bước của bài toán này:
+ Mp (BCC’) vuông góc với BA nên (BCC’) vuông góc với (BAPM)
+giao tuyến của (BCC’) và (BAPM) là BM
+Trong mp (BCC’) kẻ đường C’H vuông góc với BM thì nó vuông góc với
(BAPM). Khoảng cách phải tìm là C’H.
+Muốn tính độ dài của C’H, ta tính nhờ diện tích của tam giác BMC’:
BM. C’H= BC. MC’. Từ đó suy ra k/c phải tìm là:
.
5
2
5
5
2
a
a
a
a
=
Ví dụ 11: Cho lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có AA’ = a, AB’ tạo với (ABC) góc 60
0
.
Tính khoảng cách giữa AA’ và BC’.
H
C'
B'
A'
C

(ADS) vuông góc với (P) theo giao tuyến SD. Kẻ AH vuông góc với DS, khi đó
AH vuông góc với (P) và k/c phải tìm là AH bằng
2
2
a
a
H
D
C
B
A
S
+ Tương tự hs dựng và tính được k/c thứ 3:
K
E
(d')
a
H
D
C
B
A
S
4-Mở rộng bài toán khoảng cách:
- Trong bài toán k/c giữa 1 đường và một mặt song song ta đã biết đổi k/c từ A đến
mp(P) thành k/c từ B đến mp(P) khi AB song song với (P) và dễ dựng, dễ tính k/c
từ B đến (P) hơn nhiều k/c từ A đến (P).
- Trong trường hợp AB không song song với (P) thì có tìm được mối liên quan giữa
hai k/c này không? Yêu cầu h/s so sánh trong các trường hợp đặc biệt sau:
K

a
a
a
a
a
=
+
I
N
K
H
G
M
S
A
B
C
Để dựng được k/c từ I đến mp( SBC) thì trông hình vẽ rất rối. Kiểm tra thử xem nó
có liên quan gì đến k.c từ A đến (SBC) hay không? AI cắt SBC tại N là trung điểm
của SB. Giả sử IE vuông góc với mp(SBC). Theo định lí talét ta suy ra: IE/ AH=
NI/ NA = 1/3. Vậy k/c từ I đến (SBC ) là
2 3
3 19
a
III- Kết quả nghiên cứu:
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy, tôi thấy có hiệu quả đáng
kể.Cụ thể qua 1 số kết quả thu hoạch khi khảo sát tình hình giải bài toán tính khoảng cách
trong hình không gian ở hai lớp 11A1, 11A2 như sau:
BT1: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Trước khi dạy các bước xác định loại khoảng cách này

Không giải được 10 20%
Giải được 40 80%
Lớp 11A2- sĩ số 52
Số lượng Phần trăm
Không giải được 10 20%
Giải được 40 80%
Như vậy ta thấy rất rõ sự chênh lệch của số lượng học sinh trước khi hướng dẫn và sau
khi hướng dẫn các em từng bước xác định các loại khoảng cách. Tất nhiên, vừa học xong
“ lí thuyết” áp dụng ngay vào bài tập thì bao giờ học sinh cũng hiểu, chưa quên và do vậy
nhiều em sẽ áp dụng được hơn. Nhưng không bởi vậy mà ta phủ nhận việc giúp học sinh,
cùng học sinh xây dựng các bước làm cụ thể cho những loại bài toán khó. Các em học
sinh sẽ không cảm thấy sợ hình không gian như trước vì trước đây học sinh nhiều khi có
cảm giác không có lối đi cho bài toán. Nhưng với phương pháp này ta có cảm giác đã tìm
ra được lối đi cho bài toán khoảng cách.
PHẦN III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I - Kết luận
Bài toán khoảng cách trong không gian là 1 bài toán khó, nó đòi hỏi sự vận dụng kiến
thức tổng hợp và người làm toán phải có trình độ tư duy khá trở lên. Vì vậy SGK kể cả
sách cơ bản và nâng cao viết về khoảng rất đơn giản với mục đích giảm tải. Do đó nó lại
càng khó cho những học sinh và kể cả giáo viên muốn tìm hiểu sâu về dạng toán này.
Dạy học nói chung và dạy học hình học không gian nói riêng cho học sinh không
được được dạy theo kiểu nhồi nhét kiến thức mà người giáo viên chỉ là người dướng dẫn
chỉ đường cho học sinh, để các em tư duy phát hiện ra kết quả
Với việc cùng xây dựng các bước xác định khoảng cách với học sinh, giúp học sinh có
hướng làm loại toán này và không cảm giác đáp án như “từ trên trời rơi xuống”. Đó là 1
điểm rất quan trọng đối với học sinh khi làm toán.
II- Kiến nghị
Qua tìm ở một số trường THPT trong tỉnh, tôi nhận thấy nhiều trường có nhiều giáo viên
rất tâm huyết với “hình học không gian” và đặc biệt là bài toán “khoảng cách” và học
sinh của trường học cũng rất tốt thể hiện qua các kì thi. Nhưng cũng có 1 số trường giáo