SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HỒNG PHONG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM
SỐ VÀO BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Người thực hiện: Vũ Thị Hương
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Hồng Phong
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

BỈM SƠN NĂM 2013

MỤC LỤC
Trang
ĐẶT VẤN ĐỀ ……………………………………………… 1
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………………… 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT………………………………………….2
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA…………………………………… 4
KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM………………………………….17
KẾT LUẬN………………………………………………… 18

A. ĐẶT VẤN ĐỀ

Qua quá trình giảng dạy phần phương trình ,bất phương trình và hệ
phương trình ở lớp 10 và ôn thi đại học lớp 12 tôi nhận thấy rằng có những dạng
bài tập không thể giải quyết được bằng các phương pháp thông thường như SGK
đã nêu hoặc nếu có thì cũng rất phức tạp. Trong khi đó ngay từ đầu lớp 10 các
em đã được học về hàm số ,mà định nghĩa phương trình , bất phương trình lại
có liên quan đến hàm số.
Toán học nói chung và Hàm số nói riêng có nhiều ứng dụng rất quan

. Đặt
f g
D D D= ∩
.
Mệnh đề chứa biến
“
f(x) = g(x)
”
là một phương trình (bất đẳng thức f(x)
> g(x) là một bất phương trình) một ẩn với D gọi là tập xác định của phương
trình
Số thực
0
x
được gọi là một nghiệm của phương trình (bất phương trình)
nếu
0 0
( ) ( )f x g x=
0 0
( ( ) ( ))f x g x>
là mệnh đề đúng
Giải phương trình ( bất phương trình ) là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Định nghĩa trên đây nêu lên mối quan hệ hữu cơ giữa các khái niệm hàm số,
phương trình và bất phương trình.
1. Tính đơn điệu của hàm số:
a.Định nghĩa:
- Hàm số f được gọi là đồng biến ( tăng ) trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi
)()();;(,
212121
xfxfxxbaxx <⇒<∈∀

212121
baxbaxxfxfxx ∈∈∀<⇒<
(do hàm số f tăng trong
khoảng (a;b)).
b) Trường hợp hàm số f giảm trong khoảng (a;b).
Lập luận tương tự a) , ta cũng gặp mâu thuẫn.
Vậy phương trình f(x) = 0 không thể có nhiều hơn một nghiệm trên
khoảng (a;b).

2.Đồ thị của hàm số:
a.Định nghĩa:
- Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập D. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tập hợp
các điểm có tọa độ (x,f(x)) với
x D∈
gọi là đồ thị của hàm số f .
b.Tính chất :
+ Tính chất 1:
Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị hai
hàm số y= f(x) và y=g(x).
+ Tính chất 2:
Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là số giao điểm của đồ thị hai hàm
số y= f(x) và y=g(x).
+ Tính chất 3:
Mệnh đề 1 :
Phương trình f(x) =a ,
x D∈
có nghiệm khi và chỉ khi :

( )
max ( )

Chứng minh:
TC1: Gọi
1 2
( ),( )C C
lần lượt là đồ thị của hàm số y= f(x) và y=g(x).

0
x
là một nghiệm của phương trình f(x) = g(x)
⇔
0 0 0
( ) ( )f x g x y= =

Xét điểm M(
0
x
;
0
y
) vậy
1 2
àM C v M C∈ ∈
chứng tỏ rằng M là một giao
điểm của
1 2
( ),( )C C
TC2:Suy ra từ tính chất 1

II/ Các ví dụ minh họa:
Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình , bất phương

 < −



⇔ ⇔ >
>



> −

.
Với x>3 phương trình đã cho tương đương với
log(x
2
-x-6)-log(x+2) =4-x
2
6
log 4
2
x x
x
x
− −
⇔ = −
+
⇔
log(x-3) = 4-x. (1)
Ta có hàm số f(x)=log(x- 3) đồng biến khi x>3, hàm số g(x)=4- x là hàm nghịch
biến . mà x=4 thỏa mãn (1) ,Vậy x = 4 là nghiệm duy nhất của (1) ,tức là nghiệm

f y
 
 
= +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
luôn nghịch biến trên R vì

'
1 1 3 3
( ) ln ln 0
2 2 2 2
y
y
f y
 
 
= + <
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
với mọi y thuộc R
Do đó y=2 là nghiệm duy nhất của (*). Khi đó ,x =3
2
= 9

26
1
2
4
2007
log +−=
++
+
xx
xx
x
(*)
Lời giải:
a) Đặt
)2,1(23
2
≥≤+−= xxxxu
, suy ra
0≥u
và
2
2
3
2
−=− uxx
,
thay vào (1) ta có : )2(257

2
1
)2(
5
log)(
u
uuf ++=
, vì f’(u) > 0,
[
)
+∞∈∀ ;0u
nên f đồng biến trên
);0[ +∞
. Mặt khác
.257
9
2
2
1
5
5
log)3( =+=f
Vì vậy,

2
333
323
2
3)3()()2(
±

t
ttf 2007.)( =
trên
);2[ +∞
Ta có
);2[,0)2007ln.1(2007)(' +∞∈∀>+= tt
t
tf
=> hàm số đồng biến trên
);2[ +∞
nên từ phương trình (3) suy ra u = v,
hay
02
2
3
6
3
26
1
2
4 =+−⇔++=+ xxxxx
Đặt




−=
=
⇔=+−⇒≥=
)(2

tttf sin)( −=
, với
Rt ∈
Rtttf ∈∀≥−= ,0cos1)('
. Vậy hàm số tăng trên R do đó,
( )
yxyfxf =⇔=⇔ )()(5
, thế vào (4) ta có phương trình :

0)1cos2)(cos(sin
0cosx)2cosx(sinxcosxsinx
0
2
cos2cossin2cossin
01sincos2sin2cos
=++⇔
=+++⇔
=+++⇔
=++++
xxx
xxxxx
xxxx
*
)(
4
10cossin Zkkxtgxxx ∈+−=⇔−=⇔=+
π
π
*
)(2

++=+
++=+
xxxz
zzzy
yyyx
23
12
23
12
23
12
(6)
Lời giải
Xét hàm số :
ttttf ++=
23
)(
, với
Rt
∈
. Khi đó:
(6)





=+
=+
=+


==−=
===
⇔
=−−⇔
=−−+⇔++=+
zyx
zyx
xx
xxxxxxx
1
1
0)1
2
)(1(
01
2323
12
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (1;1;1) hoặc ( -1;-1;-1).
Chú ý: Khi hướng dẫn cho học sinh phương pháp này cần đặc biệt lưu ý sự liên
tục của hàm số đặc trưng trên tập xác định của chúng.
Chẳng hạn đối với bài toán:

Giải hệ phương trình:





+=

có
Rt
t
tf ∈∀>+= 0
1
1)('
2
nhưng hàm
f(t) gián đoạn tại t = 0.
Nhận xét: Với
f
Dxxf ∈∀≥ ,0)('
và y = f(x) liên tục trên
f
D
thì




=
=
⇔



=
=
0);(0);(
)()(

2
sin2
3
1
.3
2
sin
3
2
2005
6
log
2
sin
3
2
sin1
3
2
sin
3
2

2005
6
log
2
sin
3
2















x
x
x
x
x
x
x
x
x
Đặt
[ ]
1;0,
2
sin ∈= txt
Bất phương trình trở thành:
2005







+=
9
1
.3
3
2
)(
nghịch biến với
[ ]
1;0∈∀t

4)0()( =≤⇒ ftf
Mà
42005
6
log >
.
Suy ra, bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 6: Cho phương trình x+3=
1
2
+xm
(1)
Biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số m.

xf

3
1
0)(
'
=⇔=⇒ xxf



−
==
+
+
=
+
+
=
±∞→±∞→±∞→±∞→
1
1
1
1
3
1
3
)(
limlimlimlim
2
2

2
+
+
x
x
và
đường thẳng y = m
Căn cứ vào bảng biến thiên ta có :
Nếu
1
−≤
m
hoặc m
10≥
thì pt vô nghiệm
Nếu -1< m <
10
thì pt có hai nghiệm phân biệt
Nếu -1 < m < 1 thì pt có duy nhất một nghiệm.
Nếu m=
10
thì pt có nghiệm kép
Ví dụ 7: Cho
x
m
x
m
x
xf 4)2(10)12(25.2)( +++−=
. (7)











xm
x
m
x

mtftm
t
tt
x
tmtmt
≥
+∞
⇔≥∀≥
−
+−
⇔
≥=∀+++−⇔




tf
( )






−=
=
⇔=
−
−−
=⇒
2
1
2
3
0
2
12
34
2
4
)('
t
t
t
tt
tf

x
=
1
2
log x
Lời giải:
a) vẽ đồ thị hàm số y = 2
-x
và y= 3x+10 trên cùng một hệ trục tọa độ ta thấy
chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = - 2 . thử lại ta thấy x = -2 thỏa
mãn phương trình đã cho.

+
∞
2
5
Mặt khác , hàm số y=2
-x
=
1
2
x
 
 ÷
 
luôn nghịch biến, hàm số y = 3x+ 10 luôn
đồng biến . vậy x = -2 là nghiệm duy nhất.
b) Vẽ đồ thị hàm số y = 16
x
và y=

 ÷
 
b)
2
log 6x x≤ −
Lời giải:
a)Vẽ đồ thị hàm số y =
1
3
x
 
 ÷
 

và đường thẳng y= x + 1 trên cùng một hệ trục
tọa độ Oxy

ta thấy chúng cắt nhau tại điểm duy nhất có hoành độ x = 0 . Từ đồ thị ta thấy
: Khi x < 0thì đường cong y =
1
3
x
 
 ÷
 

nằm phía trên đường thẳng
y= x+1
vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
(

0
y
x y x
≥


+ − =


2
2
0
1 1
2 4
y
x y
≥


⇔

 
− + =
 ÷

 

Vậy nó là nửa đường tròn tâm
1
;0

2
a
+
≤ ≤
Ví dụ 4:Tìm k để phương trình sau có 4 nghiệm

( )
2
4 3 ( 1) 1 0x x k x− − − − =
Lời giải:
Phương trình đã cho có thể viết dưới dạng

( )
2
4 3 1 ( 1)x x k x− − = −
Với mọi k , họ đường thẳng y = k(x-1) luôn đi qua điểm cố định A(1; 0). Đồ
thị của hàm số
( )
2
4 3y x x= −Lấy điểm B (0;-1) ,suy ra đường thẳng AB có hệ số góc là 1
Vẽ tiếp tuyến AM của đường cong
( )
2
4 3y x x= −
,gọi
0
k


Thay (2) vào (1) ,ta có

( )
3 2 2
0 0 0 0 0
1
8 12 2 0 4 4 2 0
2
x x x x x
 
− + = ⇔ − − − =
 ÷
 
Do
0
x
< 0 , nên
0
x
1 3
2
−
=
. Vậy từ (2) ta có
0
6 3 9k = −
ĐS: 1 < k <
6 3 9−
Ví dụ 5:Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm


−
Thay (4) vào ( 3 ) ta có
0
0
0
1
1 3
2 3
x
x
x
−
= + −
−
0
0 0
3
5 2 3
x
x x
>


⇔

− = −

Từ đó suy ra (2) có nghiệm
1 3
4
m k m
+
⇔ ≤ ⇔ ≤
.
Chú ý : Khi dạy học sinh bằng phương pháp này cần đặc biệt lưu ý tính chính
xác khi vẽ đồ thị và phải chứng minh được tính duy nhất của nghiệm
Bài tập tương tự:
1. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm:

012
25
=−−− xxx
(Đại học, cao đẳng khối D – 2004)
2. Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

22422
1112)211( xxxxxm −−++−=+−−+
(Đại học, cao đẳng khối B – 2004)
3.Giải phương trình:
xx
x
x
4
)1(
12
log
2






<<−
=+
−=−
2
,
2
472
(*)
ππ
π
yx
yx
xytgytgx
9. Giải phương trình :
3
4 ( 1) 2 1x x x x+ − + +
10. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
1 4x x m+ − − >


III.Kết quả thực nghiệm :
Tôi đã tiến hành khảo sát trên môt số lớp 12 mà tôi được phân công giảng
dạy qua các năm 2010, 2011,2013 và kết quả thu được như sau
Trước khi thực hiện đề tài


2.Phương pháp đồ thị để giải phương trình , bất phương trình ,hệ có tham số.
Tác giả : Phan Huy Khải . NXB Giáo Dục.

Nhận xét, đánh giá của HĐCM trường THPT Lê Hồng Phong Nhận xét, đánh giá của HĐCM Sở GD&ĐT Thanh Hóa.