• Định lý Py-ta-go
Bài 1: Tam giác ABC có góc A tù,
C
ˆ
= 30
0
; AB = 29, AC = 40. Vẽ đường cao AH,
tính BH.
Bài 2: Tam giác ABC có AB = 25, AC = 26, đường cao AH = 24. Tính BC.
Bài 3: Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông tỉ lệ với 8 và 15, cạnh
huyền dài 51cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trên đó lấy điểm D. Trên tia
đối của tia HA lấy một điểm E sao cho HE = AD. Đường thẳng vuông góc với AH tại
D cắt AC tại F. Chứng minh rằng EB ⊥ EF.
Bài 5: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh bằng 3cm,4cm,5cm.Chứng minh
rằng tam giác ABC vuông.
Bài 6: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh bằng 6cm,8cm,10cm.Chứng minh
rằng tam giác ABC vuông.
Bài 7:Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông tỉ lệ với 8 và 15, cạnh
huyền dài 51cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông.
Bài 8: Tam giác ABC có góc A tù,
C
ˆ
= 30
0
; AB = 29, AC = 40. Vẽ đường cao AH,
tính BH.
Bài 9: Cho ∆ ABC, trung tuyến AM cũng là phân giác.
a/ Chứng minh rằng ∆ ABC cân
b/ Cho biết AB = 37, AM = 35, tính BC.
tia đối của tia MB lấy K sao cho MK = MB. Trên tia đối của tia NC lấy I sao cho

OPN OMQ∆ = ∆
b)
MPN PMQ∆ = ∆
c) Gọi I là giao điểm của MQ và PN.
1/Chứng minh
IMN IPQ∆ = ∆
2/Chứng minh OI là tia phân giác của góc xOy
3/OI là tia đường trung trực của MP,
4/MP//NQ
• Trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông
1
Bài 1: Cho ∆ ABC, trung tuyến AM cũng là phân giác.
a/ Chứng minh rằng ∆ ABC cân
b/ Cho biết AB = 37, AM = 35, tính BC.
Bài 2: Một tam giác có ba đường cao bằng nhau.
a/ Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.
b/ Biết mỗi đường cao có độ dài là
2
3a
, tính độ dài mỗi cạnh của tam giác đó.
II. Một cách vẽ hình phụ: “ Phương pháp tam giác đều”
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A,
C
ˆ
= 15
0
. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO
= 2AC. Chứng minh rằng tam giác OBC cân.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 80
0

0
. Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho góc BAI =
50
0
; trên cạnh AC lấy điểm K sao cho góc ABK = 30
0
. Hai đoạn thẳng AI và BK cắt
nhau tại H. Chứng minh rằng ∆ HIK cân.
Ôn tập chương II
Bài 1: Cho tam giác đều ABC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M và N
sao cho AM = CN. Gọi O là giao điểm của CM và BN. Chứng minh rằng:
a/ CM = BN
2
b/ Số đo của góc BOC không đổi khi M và N di động trên hai cạnh AB, AC
thỏa mãn điều kiện AM = CN.
Bài 2: Cho ∆ABC vuông cân ở A. Qua A vẽ đường thẳng d thay đổi. Vẽ BD và CE
cùng vuông góc với d (D, E ∈ d). Chứng minh rằng tổng BD
2
+ CE
2
có giá trị không
đổi.
Bài 3: Tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM. Trên cạnh AB lấy điểm E,
trên cạnh AC lấy điểm F sao cho góc EMF = 90
0
.Chứng minh rằng AE= CF.
Bài 4: Tam giác ABC có AB = 1 cm; Â = 75
0
,
0

2
ACAB
BE
−
=
c/
2
B
ˆ
BC
ˆ
A
EM
ˆ
B
−
=
Bài 7: Cho
∆
ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH
⊥
AC.
Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh :
1/AB // HK 2/
∆
AKI cân 3/
∠
BAK =
∠
AIK 4/

B
ˆ
=+
, phân giác AD. Trên AD lấy điểm O. Trên tia đối
của tia AC lấy điểm M sao cho góc ABM = góc ABO. Trên tia đối của tia AB lấy
một điểm N sao cho góc ACN = góc ACO. Chứng minh rằng:
a/ AM = AN b/ ∆ MON là tam giác đều
Bài 12: Cho tam giác ABC có
∠
B = 80
0
; C =40
0
. Tia phân giác của góc A cắt bc ở
D.
a/ Tính góc BAC , góc ADC.
b/ Gọi E là mọt điểm trên cạnh Ac sao cho AE = AB.
Chứng minh :
∆
ABD =
∆
AED
c/ Tia phân giác của góc B cắt AC tại I . Chứng minh BI // DE
Bài 13: Cho tam giác ABC ( AB < AC) có AM là phân giác của góc A.(M thuộc
BC).Trên AC lấy D sao cho AD = AB.
a. Chứng minh: BM = MD
b. Gọi K là giao điểm của AB và DM .Chứng minh: ∆DAK = ∆BAC
c. Chứng minh : ∆AKC cân
d. So sánh : BM và CM.
*Bài 14: Cho ∆ ABC cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên. Đường trung trực của

Bài 2: Cho ∆ ABC, các tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại O.
a/ Trong ∆ BOC, cạnh nào lớn nhất?
b/ Giả sử OB < OC hãy so sánh AB với AC.
Bài 3: Cho ∆ABC, trung tuyến AM. Biết BMA > CAM hãy so sánh
B
ˆ
và
C
ˆ
.
4
Bài 4: Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho
BC
3
1
BM =
. Chứng
minh rằng góc BAM < 20
0
Bài 5: Tam giác ABC có AB < AC. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác đều
ABD và ACE. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh MD với ME.
Bài 6: Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh BC sao cho MB <
MC. Lấy điểm O trên đoạn thẳng AM. Chứng minh rằng AÔB > AÔC.
• Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, giữa đường xiên và hình
chiếu.
Bài 1: Cho O là một điểm nằm trong ∆ ABC. Biết AO = AC, chứng minh rằng ∆
ABC không thể cân tại A
Bài 2: Cho xOy = 45
0
. Trên tia Oy lấy hai điểm Á, B sao cho

đó đến M và N lớn hơn 7
• Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Bài 1: Cho ∆ ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = BE. Trên cạnh AC
lấy điểm F và H sao cho AF = CH. Chứng minh rằng các tam giác BFH và CDE có
cùng một trọng tâm.
Bài 2: Tam giác ABC có AB < AC, hai trung tuyến BE cà CF cắt nhau tại G. Gọi D
là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
a/ Ba điểm A, G, D thẳng hàng
b/ BE < CF
c/ AD, BE, CF thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.
Bài 3: Cho ∆ ABC, các trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. Chứng minh rằng:
a/
2
ACAB
AD
+
<
; b/
BC
2
3
CFBE
>+
c/
4
3
chu vi ∆ ABC < AD + BE + CF < chu vi ∆ ABC
Bài 4: Cho ∆ ABC cân tại A, đường cao AH. Trên tia đối của tia AH lấy điểm D sao
cho HD = HA. Trên tia đối của tia CBlấy điểm E sao cho CE = CB
a/ Chứng minh rằng C là trọng tâm của ∆ ADE

45B
ˆ
=
, đường cao AH, phân giác BD. Cho biết góc BDA = 45
0
.
chứng minh rằng HD// AB
Bài 6: Cho ∆ ABC vuông góc tại A, AB =3, AC = 4. Phân giác góc B, góc C cắt
nhau tại O. Vẽ OE ⊥ AB; OF ⊥ AC.
a/ Chứng minh rằng AB + AC - BC = 2AE
b/ Tính khoảng cách từ O tới đỉnh các cạnh của ∆ ABC
c/ Tính OA, OB, OC
• Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng. Tính chất ba đường
trung trực của tam giác
Bài 1: Cho ∆ ABC cân tại A. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N
sao cho AM + AN = AB.
a/ Đường trung trực của AB cắt tia phân giác của góc A tại O. Chứng minh
rằng ∆ BOM = ∆ AON
b/ Chứng minh rằng khi M và N di động trên hai cạnh AB và AC nhưng vẫn có
AM + AN = AB tbì đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2: Cho góc xOy = a
0
, A là một điểm di động ở góc trong góc đó. Vẽ các điểm M
và N sao cho đường Ox là đường trung trực của AM, đường thẳng Oy là đường trung
trực của AN.
a/ Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.
b/ Tính giá trị của a để O là trung điểm của MN
Bài 3: Cho góc vuông xOy và A là một điểm cố định ở trong góc đó. Một góc vuông
đỉnh A quay quanh A, có hai cạnh cắt Ox, Oy lần lượt tại B và C. Gọi M là trung
điểm của BC. Chứng minh rằng M luôn di động trên một đường thẳng cố định.

.
a/ Tính góc ABD
b/ So sánh ba cạnh của ∆ DBC
Bài 2: Cho ∆ ABC cân tại A, Â= 108
0
. Gọi O là giao điểm của các đường trung trực,
I là giao điểm của các tia phân giác. Chứng minh rằng BC là đường trung trực OI.
Bài 3: Cho ∆ ABC có
0
60C
ˆ
B
ˆ
=+
, phân giác AD. Trên AD lấy điểm O. Trên tia đối
của tia AC lấy điểm M sao cho góc ABM = góc ABO. Trên tia đối của tia AB lấy
một điểm N sao cho góc CAN = góc ACO. Chứng minh rằng:
a/ AM = AN
b/ ∆ MON là tam giác đều
8
Bài 4: Cho ∆ ABC cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên. Đường trung trực của AC
cắt đường thẳng BC tạiM. Trên tia đói của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM
a/ Chứng minh rằng góc AMC = góc BAC
b/ Chứng minh rằng CM = CN
c/ Muốn cho CM ⊥ CN thì tam giác cân ABC cho trước phải có thêm điều kiện
gì?
Bài 5 : Cho góc nhọn xOy, trên 2 cạnh Ox, Oy lần lượt lấy 2 điểm A và B sao cho
OA = OB, tia phân giác của góc xOy cắt AB tại I.
a) Chứng minh OI
⊥