SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TẬP VỀ
CHU KỲ CỦA CON LẮC ĐƠN
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1.Khái niệm con lắc đơn.
- Con lắc đơn gồm một vật nhỏ, khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây mềm không dãn,
khối lượng không đáng kể, dài l.
- Trong hệ quy chiếu quán tính, vị trí cân bằng của con lắc đơn là vị trí dây treo có phương
thẳng đứng, vật nặng ở vị trí thấp nhất.
- Khi dao động của con lắc đơn với góc lệch nhỏ ( sinα
a
»
(rad)), con lắc dao động điều hoà
với chu kỳ:
g
l
T
p
2=

Trong đó:l là chiều dài của con lắc (đơn vị là mét); g là gia tốc trọng trường tại vị trí đặt con lắc

< T
1
:Chu kỳ giảm, đồng hồ chạy nhanh.
+
D
T= 0. Chu kỳ không đổi, con lắc chạy đúng.
- Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai sau khoảng thời gian
t
:
+ Thời gian biểu kiến con lắc chạy sai chỉ là:
1
'
nT=
t
.
Với n là số chu kỳ con lắc chạy sai T
2
trong khoảng thời gian
t
:
2
T
n
t
=
.
+ Thời gian chạy sai:
12
'
T

2.1/ Gia tốc g thay đổi theo độ cao.
2.2/ Gia tốc trong trường g thay đổi theo độ sâu.
2.3/ Thay đổi vị trí địa lí đặt con lắc.
Dạng 3: Thay đổi đồng thời cả chiều dài l và gia tốc trọng trường g.
3.1/ Thay đổi nhiệt độ môi trường và thay đổi gia tốc trọng trường g.
3.2/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm) một lượng l
D
và thay đổi
gia tốc g.
Dạng 4: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi khi có tác dụng của ngoại lực.
4.1/ Lực đẩy Acsimet.
4.2/ Lực điện.
4.3/ Lực quán tính.
Sử dụng một số công thức gần đúng:
Nếu
e
rất nhỏ so với 1 thì: ;1)1(
ee
n
n
+»+ ;1)1(
ee
n
n
-»-
2121
1)1)(1(
eeee
±±»±±
Dạng 1: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo chiều dài l

l
T
p
2=
l = l
1
+l
2
Biến đổi ta được :
2
2
2
1
TTT +=
l = l
1
- l
2
Tương tự:
2
2
2
1
TTT -=
* Ví dụ:
Ví dụ 1: Con lắc đơn chiều dài l
1
dao động điều hoà tại một nơi với chu kỳ T
1
= 1,5s. Con lắc

2
Sử dụng công thức
2
2
2
1
TTT -= Thay số: sT 2,19,05,1
22
=-=
Ví dụ 2: Một con lắc đơn có dây treo chiều dài l. Người ta thay đổi độ dài của nó tới giá trị l
’

sao cho chu kỳ dao động mới chỉ bằng 90% chu kỳ dao động ban đầu. Hỏi chiều dài l
’
bằng bao
nhiêu lần chiều dài l ?
Hướng dẫn: Chu kỳ con lắc chiều dài l và l
’
lần lượt là:
g
l
T
p
2
1
= và
g
l
T
'

;T
2

Xét trong khoảng thời gian t
D
như nhau thì: 60T
1
= 50T
2

5
6
1
2
1
2
==Þ
l
l
T
T

25
36
1
2
=Þ
l
l


'
2
2
p
= .
Chu kỳ của con lắc là: )(
2
1
2
1
2
1
2121
TTTTT +=+=
* Ví dụ:
Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m làm bằng thép treo vào đầu một sợi dây
mềm có khối lượng không đáng kể dài l = 1 m.Phía dưới điểm treo Q theo phương thẳng đứng
α
1
l I

α
2
của sợi dây có một chiếc đinh được đóng vào điểm O
’
cách Q một đoạn O
’

s
g
l
T 4,1
8,9
5,0
22
'
2
===
pp
.
Chu kỳ của con lắc bị vướng đinh là: )(
2
1
2
1
2
1
2121
TTTTT +=+= = 1/2 (2+1,4) = 1,7 s
b/ Tấm thép đặt tai VTCB O: Vì va chạm giữa quả cầu và tấm thép là hoàn toàn đàn hồi nên
khi quả cầu va chạm vào tấm thép nó sẽ bật ngược lại với vận tốc có cùng độ lớn ngay trước
lúc va chạm và vật lại lên đúng vị trí cao nhất A ( Vì cơ năng bảo toàn).
Vậy con lắc chỉ dao động trên cung OA nên chu kỳ dao động là:
T = 1/2T
1
= 1 s.
*Ví dụ 1:Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s. Quả lắc được coi như một con lắc
đơn với dây treo và vật nặng làm bằng đồng có hệ số nở dài

T = 2,00017 s
+ Chu kỳ T
2
>T nên đồng hồ chạy chậm.
Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm :
t
= 24.60.60 s là:
t
T
T
D=
D
=
attq
2
1
1
= 24.3600.1/2.17.10
-6
.10 = 7,34 s.
Ví dụ 2:
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 32
0
c, con lắc có
thể xem là con lắc đơn. Hệ số nở dài của dây treo con lắc
a
= 2.10
-5
K
-1

D=
D
=
attq
2
1
1

Khi nhiệt độ tăng thêm30
0
c thì mỗi ngày sẽ chạy chậm:
1 1
1
60
2
t s
q a
= D = ;
Nếu con lắc chạy chậm mỗi ngày 45s thì nhiệt độ tăng lên
2
t
D
thoả mãn:
0
2 2 2 1
1
45 3/ 4 11,25
2
t s t t c
q a

1
1
2
p
=
g
l
T
2
2
2
p
=
+ Xét tỷ số: tt
l
tl
l
l
T
T
D+»D+=
D+
==
aa
a
2
1
1)1(
)1(
2


* Nhận xét: Khi nhiệt độ của môi trường tăng thì chu kỳ của con lắc sẽ tăng (đồng hồ chạy
chậm) và ngược lại. Thời gian chạy sai sau một khoảng thời gian
t
:
t
T
T
D=
D
=
attq
2
1
1

*Ví dụ 1:
Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s. Quả lắc được coi như một con lắc đơn với dây
treo và vật nặng làm bằng đồng có hệ số nở dài
a
= 17.10
-6
K
-1
. Giả sử đồng hồ chạy đúng ở chân không, nhiệt độ 20
0
c.
Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 30
0
c ? ở 30

D
=
attq
2
1
1
= 24.3600.1/2.17.10
-6
.10 = 7,34 s.
Ví dụ 2: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 32
0
c, con
lắc có thể xem là con lắc đơn. Hệ số nở dài của dây treo con lắc
a
= 2.10
-5
K
-1
. Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là 17
0
c hỏi con lắc sẽ chạy như thế nào? Một
tuần nó chay sai bao nhiêu?
Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc giảm, đồng hồ chạy nhanh.
Một tuần :
t
= 7.24.60.60 s đồng hồ chạy nhanh một thời gian:
t
T
T
D=

1 1
1
60
2
t s
q a
= D = ;
Nếu con lắc chạy chậm mỗi ngày 45s thì nhiệt độ tăng lên
2
t
D
thoả mãn:
0
2 2 2 1
1
45 3/ 4 11,25
2
t s t t c
q a
= D = Þ D = D =
1.4/Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hay thêm) một lượng rất nhỏ ∆l
* Phương pháp:
+ Chu kỳ T theo chiều dài l
1
; l
2
:( giả sử l
2
= l
1

1
1)1(
l
l
l
l
l
ll
l
l
T
T
D
+»
D
+=
D+
==
Khi đó:
1
1
2
)
2
1
1( T
l
l
T
D

1
l
l
T
T
D
=
D
=
ttq

* Ví dụ 1:Một con lắc đếm giây có chu kỳ chạy đúng T = 2 s. Người ta thay đổi một lượng nhỏ
chiều dài con lắc thì thấy mỗi ngày nó chạy nhanh 90s. Hỏi chiều dài đã thay đổi một lượng
bằng bao nhiêu chiều dài ban đầu,biết gia tốc trọng trường của con lắc không thay đổi.
Hướng dẫn: Vì đồng hồ chạy nhanh (chu kỳ giảm) và gia tốc trọng trường g không thay đổi
nên chiều dài con lắc phải giảm.
Sử dụng công thức: 90
2
1
.3600.24
2
1
111
=
D
=
D
=
D
=

2.1/Gia tốc g thay đổi theo độ cao.
* Phương pháp:
+Tại mặt đất gia tốc g được xác định: g = G
2
R
M
. Chu kỳ
g
l
T
p
2
1
=
Tại độ cao h so với mặt đất ( h rất nhỏ so với R): g
’
= G
2
)( hR
M
+
. Khi đó
'
2
2
g
l
T
p
=

1

* Nhận xét: Đưa con lắc lên cao chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy chậm. Thời gian con lắc
đồng hồ chạy chậm sau khoảng thời gian
t
:
R
h
T
T
ttq
=
D
=
1

* Ví dụ 1:Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất với chu kỳ T =2s. Đưa con lắc lên
độ cao h=1km so với mặt đất và coi như nhiệt độ ở độ cao đó không đôi so với mặt đất.
a/ Xác định chu kỳ của con lắc tại độ cao đó? Cho bán kính trái đất R= 6370 km.
b/ Tại độ cao h con lắc chạy nhanh hay chậm , mỗi ngày chạy sai bao nhiêu?
Hướng dẫn:
a/Chu kỳ của đồng hồ ở độ cao h:
12
)1( T
R
h
T += Thay số: 2).
6370
1
1(

T

+ áp dụng công thức:
R
h
T
T
=
D
002,0=Þ
R
h
kmRh 8,12002,0
=
=
Þ

2.2/ Gia tốc trong trường g thay đổi theo độ sâu.
*Phương pháp:+ Tại mặt đất lực hấp dẫn của trái đất tác dụng lên vật:
mg
R
mR
G
R
Vm
G
R
mM
GF ====
2

.

mg
R
mhR
G
R
mV
G
R
mM
GF =
-
===
pr
r

Khi đó chu kỳ
'
2
2
g
l
T
p
=
+ Tỷ số
R
h
R

2
=
D
Þ
* Nhận xét: Đưa con lắc xuống sâu trong lòng đất chu kỳ của con lắc tăng lên, đồng hồ
chạy chậm.
Thời gian đồng hồ quả lắc chạy chậm sau khoảng thời gian
t
:
R
h
T
T
2
1
ttq
=
D
=
* Ví dụ 1:Một con lắc đơn có chu kỳ dao động nhỏ tại mặt đất là T= 2s. Đưa con lắc xuống
giếng sâu 100m so với mặt đất thì chu kỳ của con lắc là bao nhiêu ? Coi trái đất như một hình
cầu đồng chất bán kính R = 6400km và nhiệt độ trong giếng không thay đổi so với nhiệt độ trên
mặt đất.
Hướng dẫn:
Vận dụng công thức: sT
R
h
T 0000156,2)
6400
.


11
T
T
T
T
D
=
D
Þ

m
h
h
hh
640
2
'
'
=
=
Þ
=
Û

b/ Thời gian đồng hồ chạy chậm sau 1 tuần :
Vận dụng công thức: s
R
h
T

1
1
2
g
l
T
p
= và
2
2
2
g
l
T
p
=
11
1
2
1
1
2
2
1
g
g
gg
g
g
g

D
Þ
+ Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai sau khoảng thời gian
t
:
11
2g
g
T
T
D
=
D
=
ttq

*Ví dụ 1.Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội (T = 2s). Đưa con lắc vào Hồ Chí
Minh giả sử nhiệt độ không thay đổi, Biết gia tốc ở Hà Nội và Hồ Chí Minh lần lượt là: g
1
=
9,793m/s
2
và g
2
= 9,787m/s
2
.
a/ Hãy xác định chu kỳ của con lắc tại Hồ Chí Minh?
b/ Tại Hồ Chí Minh con lắc chạy nhanh hay chậm? Sau 12giờ nó chạy sai bao nhiêu thời gian?
Hướng dẫn:

.3600.12
2
11
==
D
=
D
=
ttq

Ví dụ 2; Con lắc đơn dao động nhỏ được đưa từ Quảng Ngãi vào thành phố Hồ Chí Minh, thì
chu kỳ dao động tăng 0,015%. Xác định gia tốc tại Quảng Ngãi biết gia tốc trọng trương tại Hồ
Chí Minh là
g = 9,787m/s
2
?
Hướng dẫn: Vận dụng công thức:
11
2g
g
T
T
D
-=
D
Þ
0 0
0
2
0

2
g
l
T
p
=
+ Xét tỷ số
1
2
T
T
:
R
h
t
R
h
t
g
g
l
l
T
T
+D+»+D+==
aa
2
1
1)1.(1
'

ttt -=D

+ Nếu con lắc ở độ sâu h trong lòng đất thì:
R
h
t
T
T
22
1
1
1
2
+D+»
a

12
)
2
2
1
1( T
R
h
tT +D+=Þ
a

R
h
t

1
(
1
R
h
t
T
T
+D=
D
=
attq

Ví dụ1:Một con lắc đồng hồ được coi như một con lắc đơn nó chạy đúng ở ngang mực nước
biển, nhiệt độ 20
0
c. Đưa con lắc lên độ cao h = 3.2km, nhiệt độ
-10
0
c thì nó chạy nhanh hay chạy chậm? Mỗi ngày chạy sai bao nhiêu biết hệ số nở dài của con
lắc là
a
= 1,8.10
-5
K
-1
. Bán kính trái đất R = 6400 km.
Hướng dẫn: Sử dụng CT:
010.3,2
6400

1
==+D=
D
=
-
attq

Ví dụ 2:Một con lắc đồng hồ ( xem như con lắc đơn) chạy đúng với chu kỳ T =2 s tại mặt đất
có nhiệt độ 25
0
c. Dây treo con lắc làm bằng kim loại có hệ số nở dài
a
= 2.10
-5
K
-1
.
a/ Đưa con lắc lên độ cao 1,5km so với mặt đất con lắc lại chạy nhanh hay chạy chậm? Một
tuần chạy sai bao nhiêu? Coi nhiệt độ vẫn là 25
0
c.Cho biết bán kính trái đất R = 6400km.
b/ ở độ cao h=1,5km, muốn đồng hồ vẫn chạy đúng thì nhiệt độ ở đó phải là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
a/ Tại mặt đất t
1
= 25
0
c, T = 2s. Lên độ cao h nhiệt độ môi trường không thay đổi nên chu kỳ
tăng lên. Đồng hồ chạy chậm.
Sau 1 tuần (7.24.3600s) đồng hồ chạy chậm một thời gian:

1
1
=+DÞ+D=
D
Þ
R
h
t
R
h
t
T
T
aa

0
5
12
56,1
10
.
2
.
6400
5,1.2
25
2
=-=-=Þ
-
a

a/ Trên mặt đất chu kỳ con lắc thay đổi theo nhiệt độ. Nhiệt độ tăng do đó chu kỳ con lắc
tăng.
Vận dụng công thức: %06,010.630.10.4.
2
1
2
1
45
0
===D=
D

t
T
T
a

b/ Đưa đồng hồ lên cao, gia tốc g giảm nhưng đồng thời nhiệt độ cũng giảm do đó chiều dài
con lắc giảm.
Vận dụng công thức:
R
h
t
T
T
+D=
D
a
2
1

10.68,2
6370.2
4,0
)15(10.4.
2
1
22
1

-=+-=+D=
D
Þ
R
h
t
T
T
a

0
<
D
T nên đồng hồ chạy chậm.
Thời gian đồng hồ chạy sai sau một ngày :
s
R
h
t
T
T

; g
2

(giả sử g
2
= g
1
+ g
D
)
Ta có:
11
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
11
g
g
t
gg
g
t

2
1
2
1
(
11
g
g
t
T
T
D
-D»
D
=
attq

Ví dụ :
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội được đem vào Hồ Chí Minh đã chạy chậm
34,56s trong một ngày đêm.
a/ Tính gia tốc g tai TP.HCM biết tại Hà Nội gia tốc là g
1
= 9,793m/s
2
và nhiệt độ tại Hà Nội
thấp hơn ở Hồ Chí Minh 10
0
c.
b/ Muốn đồng hồ ở HCM chạy đúng người ta đặt đồng hồ vào phòng có nhiệt độ thích hợp.
Hỏi nhiệt độ rong phòng và bên ngoài chênh lệch nhau là bao nhiêu? Cho hệ số nở dài của

1
(
1
=
D
-D»
g
g
t
atq

4
1
10.4
2
1
2
1
-
=
D
-D
g
g
t
a

4
1
10.4

; HCM: t
2
; trong phòng ở HCM : t
2
’

'
2 2 2
' ' '
2 2 2
1
1 .
(1 . ) 2
T l l
t
T l l t
a
a
= = » - D
+ D

Mặt khác:
1
12
1
2
2
1
)(
2

( Giả sử l
2
= l
1
+
l
D

21
lll
-
=
D
Þ
)
Chu kỳ dao động lần lượt T
1
;T
2
:
Lập tỷ số
1
2
T
T
:
'
1
2
1

1
2
1
2
2
1
1)1()1(
R
h
l
l
T
T
+
D
=
D
Þ
11
2
1

+ Con lắc ở độ sâu h:
R
h
l
l
T
T
22

(
1
R
h
l
l
T
T
+
D
=
D
=
ttq

Trường hợp 2: Thay đổi vĩ độ địa lí đặt con lắc.
* Phương pháp:
+ Vị trí A(gia tốc trọng trường g
1
), vị trí B(gia tốc trọng trường g
2
)

( giả sử g
2
= g
1
+ g
D


T
D
-
D
+»
D+
D+
==
1
11
2
)
2
1
2
1
1( T
g
g
l
l
T
D
-
D
+»Þ Và
111
2
1
2

D
»
D
=
tq

Ví dụ 1: Một con lắc đơn có chu kỳ dao động nhỏ tại mặt đất T = 2,006s.
a/ Tính chiều dài của con lắc biết tại mặt đất g = 9,8m/s
2
.
b/Để chu kỳ của con lắc không thay đổi khi đưa lên độ cao h người ta đã thay đổi chiều dài của
con lắc 1mm. Hỏi chiều dài đã tăng hay giảm? Độ cao h bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn:a/ Vận dụng công thức: 2
l
T
g
p
= . Suy ra l=1m
b/ Khi lên cao gia tốc trọng trường giảm. Để chu kỳ không đổi thì chiều dài cũng phải giảm.
Gọi
l
D
là độ giảm chiều dài thì
2 1
1
l l l mm
D = - = - Vận dụng công thức:
R
h
l

a/ Tại Pa-ri chu kỳ con lắc tăng hay giảm? sai lệch bao nhiêu phần trăm so với tại Hà Nội?
b/ Muốn chu kỳ dao động của con lắc tại Pa-ri vẫn là 1s thì chiều dài con lắc phải thay đổi như
thế nào so với chiều dài ban đầu?
Hướng dẫn: + Tại Hà Nội: g
1
= 9,787 m/s
2
; T= 1 s
Tại Pa-ri chu kỳ dao động T
’
:
a/ Vận dụng công thức:
4
1
10.2,9
787,9
787,9805,9
2
1
2
1
-
-=
-
-=
D
-»
D
g
g

=
D
=
D
Þ
D
-
D
»
D
g
g
l
l
g
g
l
l
T
T

Vậy chiều dài phải tăng thêm 0,18% chiều dài ban đầu.
Ví dụ 3: Đưa một con lắc đơn từ mặt đất lên độ cao h=9,6km. Biết bán kính trái đất
R=6400km, coi chiều dài của con lắc đơn không phụ thuộc vào nhiệt độ. Muốn chu kỳ của con
lắc đơn không thay đổi thì chiều dài của con lắc phải thay đổi thế nào?
Hướng dẫn:
Vận dụng công thức sự biến đổi chu kỳ theo độ cao và theo nhiệt độ:
1
. .
2

như con lắc chịu tác dụng của trọng lực hiệu dụng
hd
P với
hd
P =
P
+
F

hd
P gây ra
hd
g (ở VTCB nếu cắt dây vật sẽ rơi với gia tốc
hd
g này)
hd
g =
m
P
hd

Chu kỳ mới của con lắc được xác định bởi:
hd
g
l
T
p
2=
4.1/ Lực lạ là lực đẩy Acsimet.
Ví dụ 1: Hãy so sánh chu kỳ của con lắc đơn trong không khí với chu kỳ của nó trong

-=-= a
F
T =
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
D
d
g
l
1
2
p

D
d
T
T
-
=
1
1
0

p
2=
m
qE
g
l
+
=
p
2 b) Khi cường độ điện trường hướng thẳng đứng lên trên:
hd
P =
P
+
F

P
hd
= P- F
m
qE
g
m
F
gg
hd
-=-=


* Vị trí cân bằng được xác định bởi
q
: P

F

EP

F

E

q

E

tan
q
=
mg
qE
P
F

2
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
m
qE
g
l
T
pd) Khi cường độ điện trường có hướng hợp với phương
ngang một góc
b
:
hd
P =
P
+
F

Theo hình vẽ:
(

gg
hd

hd
g
l
T
p
2=
* Vị trí cân bằng được xác định bởi
q
:
Theo định lí hàm số cos:
(
)
q
cos 2
22
2
hdhd
PPPPqE -+= 4.3/ Lực lạ là lực quán tính
a) Khi điểm treo con lắc có gia tốc
0
a
hướng thẳng
đứng lên trên.
(Tức điểm treo chuyển động thẳng đứng lên trên nhanh

b) Khi điểm treo con lắc có gia tốc
0
a
hướng thẳng hd
P
F

P

q

E

bP

qt
F
0
a
đứng xuống dưới.
(Tức điểm treo chuyển động thẳng đứng đi xuống
nhanh dần đều hoặc chuyển động thẳng đứng lên trên
chậm dần đều)


c) Khi điểm treo con lắc có gia tốc
0
a
hướng ngang
sang phải.
* Vị trí cân bằng được xác định bởi
q
:
tan
q
=
g
a
mg
ma
P
F
o
qt
==
0
*
hd
P =
P
+
qt
F
Theo hình vẽ:
( )

b
:
hd
P =
P
+
qt
F
Theo hình vẽ:
(
)
(
)
b
+-+=
0
0
2
0
22
90cos 2 maPmaPP
hd

(
)
b
+-+=
0
0
2

a
hd
P

qt
F
P

q

0
aqt
F
P

q

0
a

be)Khi điểm treo con lắc có gia tốc
0
a
hướng xiên

2
0
2
90cos 2 agagg
hd

hd
g
l
T
p
2=
* Vị trí cân bằng được xác định bởi
q
:
Theo định lí hàm số
cos:
(
)
q
cos 2
22
2
0 hdhd
PPPPma -+=
III) KẾT LUẬN
Qua việc tổng hợp một số dạng bài tập về chu kỳ của con lắc đơn khi chiều dài và gia tốc trọng