CN CON PH PASS
GIP P CON
Hệ thống kiến thức cơ
bản

Môn : Hình Học - THCS
Website:
1. Điểm - Đờng thẳng
- Ngời ta dùng các chữ cái in hoa A, B,
C, để đặt tên cho điểm
- Bất cứ hình nào cũng là một tập hợp
các điểm. Một điểm cũng là một
hình.
- Ngời ta dùng các chữ cái thờng a, b,
c, m, p, để đặt tên cho các đ-
ờng thẳng (hoặc dùng hai chữ cái in
hoa hoặc dùng hai chữ cái thờng, ví
dụ đờng thẳng AB, xy, )
- Điểm C thuộc đờng thẳng a (điểm C
nằm trên đờng thẳng a hoặc đờng
thẳng a đi qua điểm C), kí hiệu là:
C a

- Điểm M không thuộc đờng thẳng a
(điểm M nằm ngoài đờng thẳng a
hoặc đờng thẳng a không đi qua
điểm M), kí hiệu là:
M a

2. Ba điểm thẳng hàng
- Ba điểm cùng thuộc một đờng

- Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trïng
nhau
5. §o¹n th¼ng, ®é dµi ®o¹n th¼ng
- §o¹n th¼ng AB lµ h×nh gåm
®iĨm A, ®iĨm B vµ tÊt c¶ c¸c ®iĨm
n»m gi÷a A vµ B
- Hai ®iĨm A vµ B lµ hai mót
(hc hai ®Çu) cđa ®o¹n th¼ng
AB.
- Mçi ®o¹n th¼ng cã mét ®é dµi. §é
dµi ®o¹n th¼ng lµ mét sè d¬ng
6. Khi nµo th× AM + MB = AB ?
- NÕu ®iĨm M n»m gi÷a hai ®iĨm
A vµ B th× AM + MB = AB. Ngỵc
l¹i, nÕu AM + MB = AB th× ®iĨm
M n»m gi÷a hai ®iĨm A vµ B
7. Trung ®iĨm cđa ®o¹n th¼ng
- Trung ®iĨm M cđa ®o¹n th¼ng
AB lµ ®iĨm n»m gi÷a A, B vµ c¸ch
®Ịu A, B (MA = MB)
- Trung ®iĨm M cđa ®o¹n th¼ng
AB cßn gäi lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa
®o¹n th¼ng AB
8. Nưa mỈt ph¼ng bê a, hai nưa mỈt ph¼ng ®èi nhau
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
CN CON PH PASS
GIP P CON
- Hình gồm đờng thẳng a và một
phần mặt phẳng bị chia ra bởi a đ-
ợc gọi là một nửa mặt phẳng bờ a

xOy uIv
=
- Góc xOy nhỏ hơn góc uIv, ta viết:
ã
ã ã
ã
xOy uIv uIv xOy
< <=> >
- Góc có số đo bằng 90
0
= 1v, là góc
vuông
- Góc nhỏ hơn góc vuông là góc
nhọn
- Góc lớn hơn góc vuông nhng nhỏ
hơn góc bẹt là góc tù.
11. Khi nào thì
ã
ã ã
xOy yOz xOz+ =

Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
- NÕu tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox
vµ Oz th×
·
· ·
xOy yOz xOz
+ =

=> tia Oz lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc
xOy
- §êng th¼ng chøa tia ph©n gi¸c
cđa mét gãc lµ ®êng ph©n gi¸c cđa
gãc ®ã (®êng th¼ng mn lµ ®êng
ph©n gi¸c cđa gãc xOy)
14. §êng trung trùc cđa ®o¹n th¼ng
a) §Þnh nghÜa: §êng th¼ng vu«ng gãc
víi mét ®o¹n th¼ng t¹i trung ®iĨm
cđa nã ®ỵc gäi lµ ®êng trung trùc cđa
®o¹n th¼ng Êy
b) Tỉng qu¸t:
a lµ ®êng trung trùc cđa AB
ó

⊥



a AB t¹i I
IA =IB
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
a
I
B
A
CN CON PH PASS
GIP P CON
15. Các góc tạo bởi một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng
a) Các cặp góc so le trong:

.
c) Khi a//b thì:

à
à
1 2
A và B
;
à
à
4 3
A và B
gọi là các cặp
góc trong cùng phía bù nhau
16. Hai đờng thẳng song song
a) Dấu hiệu nhận biết
- Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng
thẳng a, b và trong các góc tạo
thành có một cặp góc so le trong
bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng
vị bằng nhau) thì a và b song song
với nhau
b) Tiên đề Ơ_clít
- Qua một điểm ở ngoài một đờng
thẳng chỉ có một đờng thẳng song
song với đờng thẳng đó
c, Tính chất hai đờng thẳng song song
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
1


=>

⊥

- Mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mét
trong hai ®êng th¼ng song song th×
nã còng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng
kia
c b
c a
a / / b
⊥

=> ⊥


e) Ba ®êng th¼ng song song
- Hai ®êng th¼ng ph©n biƯt cïng song
song víi mét ®êng th¼ng thø ba th×
chóng song song víi nhau
a//c vµ b//c => a//b
17. Gãc ngoµi cđa tam gi¸c
a) §Þnh nghÜa: Gãc ngoµi cđa mét
tam gi¸c lµ gãc kỊ bï víi mét gãc
cđa tam gi¸c Êy
b) TÝnh chÊt: Mçi gãc ngoµi cđa tam
gi¸c b»ng tỉng hai gãc trong kh«ng
kỊ víi nã
·

CÚN CON ĐÃ PHÁ PASS
GIÚP PÀ CON
µ µ
µ µ
µ µ
ABC A 'B'C'
AB A 'B'; AC A 'C'; BC B'C'
A A '; B B'; C C'
∆ = ∆
= = =


⇔

= = =


b) C¸c trêng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c
*) Trêng hîp 1: C¹nh - C¹nh - C¹nh
(c.c.c)
- NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy b»ng ba
c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam
gi¸c ®ã b»ng nhau
NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
AB A 'B'
AC A 'C' ABC A 'B'C'(c.c.c)
BC B'C'
∆ ∆
=


gi¸c nµy b»ng mét c¹nh vµ hai gãc kÒ
cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã
b»ng nhau
µ µ
µ µ
NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
B B'
BC B'C' ABC A 'B'C'(g.c.g)
C C'
∆ ∆

=


= => ∆ = ∆


=


c) C¸c trêng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c vu«ng
Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc Phæ
th«ng
C'
B'
A'
C
B
A
C'

µ
µ
ABC : NÕu AC > AB th× B > C
∆
 Trong mét tam gi¸c, c¹nh ®èi diƯn víi gãc lín h¬n th× lín h¬n

µ
µ
ABC : NÕu B > C th× AC > AB
∆
20. Quan hƯ gi÷a ®êng vu«ng gãc vµ ®êng xiªn, ®êng xiªn vµ
h×nh chiÕu
 Kh¸i niƯm ®êng vu«ng gãc, ®êng xiªn, h×nh chiÕu cđa ®êng
xiªn
-
LÊy A d, kỴ AH d, lÊy B d vµ B H. Khi ®ã∉ ⊥ ∈ ≠
:
- §o¹n th¼ng AH gäi lµ ®êng vu«ng gãc
kỴ tõ A ®Õn ®êng th¼ng d
- §iĨm H gäi lµ h×nh chiÕu cđa A trªn ®-
êng th¼ng d
- §o¹n th¼ng AB gäi lµ mét ®êng xiªn
kỴ tõ A ®Õn ®êng th¼ng d
- §o¹n th¼ng HB gäi lµ h×nh chiÕu cđa
®êng xiªn AB trªn ®.th¼ng d
 Quan hƯ gi÷a ®êng xiªn vµ ®êng vu«ng gãc:
Trong c¸c ®êng xiªn vµ ®êng vu«ng gãc kỴ tõ mét ®iĨm ë ngoµi mét
®êng th¼ng ®Õn ®êng th¼ng ®ã, ®êng vu«ng gãc lµ ®êng ng¾n nhÊt.
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
C'

CN CON PH PASS
GIP P CON
Quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu:
Trong hai đờng xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đờng thẳng đến
đờng thẳng đó, thì:
Đờng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
Đờng xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
Nếu hai đờng xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngợc
lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đờng xiên bằng nhau.
21. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam
giác
- Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài
cạnh còn lại.
AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB
- Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn
độ dài cạnh còn lại.
AC - BC < AB
AB - BC < AC
AC - AB < BC
- Nhận xét : Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn
hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
VD: AB - AC < BC < AB + AC
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
C
B
A
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng

1. Chøng minh tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau
2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau
3. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®êng trung tun võa lµ ®êng cao
4. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®êng cao võa lµ ®êng ph©n gi¸c ë
®Ønh
b) Chøng minh tam gi¸c ®Ịu
1. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng nhau
2. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba gãc b»ng nhau
3. Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc lµ 60
0
c) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh
1. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi song song lµ h×nh b×nh hµnh
2. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
G
D
F
E
C
B
A
O
C
B
A
O
C
B
A
CN CON PH PASS

trung điểm hai cạnh của tam giác
Định lí: Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ
ba và bằng nửa cạnh ấy
DE là đờng trung bình của tam giác
1
DE / /BC, DE BC
2
=
11
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
E
C
B
D
A
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
b) §êng trung b×nh cđa h×nh thang
 §Þnh nghÜa: §êng trung b×nh cđa h×nh thang lµ ®o¹n th¼ng nèi
trung ®iĨm hai c¹nh bªn cđa h×nh thang
 §Þnh lÝ: §êng trung b×nh cđa h×nh thang th× song song víi hai
®¸y vµ b»ng nưa tỉng hai ®¸y
EF lµ ®êng trung b×nh cđa
h×nh thang ABCD
EF//AB, EF//CD,
AB CD
EF
2
+
=

th¼ng song song víi mét c¹nh cđa tam gi¸c vµ c¾t phÇn kÐo dµi cđa hai
c¹nh cßn l¹i (
AC' B'C'
AB'
B'C'/ /BC
AB AC BC
=> = =
)
d) TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c cđa tam gi¸c:
- §êng ph©n gi¸c trong (hc ngoµi) cđa mét tam gi¸c chia c¹nh ®èi
diƯn thµnh hai ®o¹n tØ lƯ víi hai c¹nh kỊ cđa hai ®o¹n ®ã
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
F
E
D
C
B
A
C'B'
a
CB
A
C'
B'
a
C
B
A
C'
B'

k(tỉ số đồng dạng)
A 'B' A 'C' B'C'

= = =

<=>

= = =


f) Định lí về hai tam giác đồng dạng:
- Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với
cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác
đã cho
MN / /BC AMN ABC
=>
*) Lu ý: Định lí cũng đúng đối với trờng
hợp đờng thẳng cắt phần kéo dài hai
cạnh của tam giác và song song với cạnh
còn lại
g) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác
*)Trờng hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam
giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Nếu ABC và A'B'C' có:
AC BC
AB
ABC A 'B'C'(c.c.c)
A 'B' A'C' B'C'

= = =>

'
B'
A'
C
B
A
C'
B'
A'
C
B
A
C
'
B'
A'
C
B
A
S
S
S
S
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
µ µ
µ µ
NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
A A '
ABC A 'B'C'(g.g)
B B'

d¹ng.
Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã:
AC
AB
ABC A 'B'C'
A 'B' A 'C'
= => ∆ ∆
*)Trêng hỵp 3: NÕu c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh hun cđa tam gi¸c vu«ng
nµy tØ lƯ víi c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh hun cđa tam gi¸c vu«ng kia
th× hai gi¸c ®ã ®ång d¹ng.
Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã:
BC
AB
ABC A 'B'C'
A 'B' B'C'
= => ∆ ∆
27. TØ sè hai ®êng cao, tØ sè diƯn tÝch cđa hai tam gi¸c ®ång
d¹ng
- TØ sè hai ®êng cao t¬ng øng cđa hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng tØ sè
®ång d¹ng
- TØ s« diƯn tÝch cđa hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph¬ng tØ sè
®ång d¹ng
- Cơ thĨ :
A 'B'C' ABC theo tØ sè k∆ ∆
=>
2
A 'B'C'
ABC
S
A 'H'

A
a
h
a
S
a
b
h
a
S
S
S
S
CN CON PH PASS
GIP P CON
1
S ah
2
=
1
S (a b)h EF.h
2
= + =
.
=
S a h
1 2
1
S d d
2

30. HƯ thøc lỵng trong tam gi¸c vu«ng (líp 9)
a) Mét sè hƯ thøc vỊ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng

2
b ab'
=

2
c ac'
=

2 2 2
a b c
= +
(Pi_ta_go)
 bc = ah

2
h b'c'
=

2 2 2
1 1 1
b c h
+ =
b) TØ sè lỵng gi¸c cđa gãc nhän
 §Þnh nghÜa c¸c tØ sè lỵng gi¸c cđa gãc nhän
c¹nh ®èi
sin
c¹nh hun

cos sin
α α
α = α = α α =
α α
 So s¸nh c¸c tØ sè lỵng gi¸c
0 0
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
0 90 sin sin ;cos cos ;tg tg ;cotg cotg< α < α < => α < α α > α α < α α > α
c) Mét sè hƯ thøc vỊ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
a
H
h
b'
b
c'
c
CB
A
α
CÚN CON ĐÃ PHÁ PASS
GIÚP PÀ CON
b = a.sinB; c = a.sinC
b = a.cosC; c = a.cosB
b = c.tgB; c = b.tgC
b = c.cotgC; c = b.cotgB
=> a =
b c b c
sinB sinC cosC cosB
= = =

lµ cung lín
+) Hai ®iĨm A, B lµ hai mót cđa cung
- Gãc cã ®Ønh trïng víi t©m ®êng trßn ®-
ỵc gäi lµ gãc ë t©m (
·
AOB
lµ gãc ë t©m
ch¾n cung nhá AmB)
- Gãc bĐt COD ch¾n nưa ®êng trßn
- Sè ®o cung:
+) Sè ®o cđa cung nhá b»ng sè ®o cđa
gãc ë t©m ch¾n cung ®ã
¼
s®AmB
= α
(
0 0
0 180
< α <
)
+) Sè ®o cđa cung lín b»ng hiƯu gi÷a
360
0
vµ sè ®o cđa cung nhá (cã chung
hai mót víi cung lín)
¼
0
s®AnB 360
= − α
+) Sè ®o cđa nưa ®êng trßn b»ng

AB = CD => OH = OK
OH = OK => AB = CD
Định lí 2: Trong hai dây của một đờng tròn
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
AB < CD => OH > OK
OH > OK => AB < CD
34. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn
a) Đờng thẳng và đờng tròn cắt nhau (có
hai điểm chung)
- Đờng thẳng a gọi là cát tuyến của (O)
d = OH < R và HA = HB =
2 2
R OH

b) Đờng thẳng và đờng tròn tiếp xúc
nhau (có một điểm chung)
- Đờng thẳng a là tiếp tuyến của (O)
- Điểm chung H là tiếp điểm
d = OH = R
*) Tính chất tiếp tuyến: Nếu một đờng thẳng
là tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó vuông
góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
a là tiếp tuyến của (O) tại H => a
OH
c) Đờng thẳng và đờng tròn không giao
nhau (không có điểm chung)
d = OH > R
35. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn
- Để nhận biết một đờng thẳng là tiếp tuyến của một đờng tròn ta có hai

hai tiÕp tun
 Tia kỴ tõ t©m ®i qua ®iĨm ®ã
lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc t¹o bëi
hai b¸n kÝnh ®i qua c¸c tiÕp
®iĨm.
·
·
AB AC;OAB OAC
= =
;
·
·
AOB AOC
=
b) §êng trßn nét tiÕp tam gi¸c
- §êng trßn tiÕp xóc víi ba c¹nh cđa
tam gi¸c ®ỵc gäi lµ ®êng trßn néi
tiÕp tam gi¸c, khi ®ã tam gi¸c gäi lµ
tam gi¸c ngo¹i tiÕp ®êng trßn
- T©m cđa ®êng trßn néi tiÕp tam
gi¸c lµ giao ®iĨm cđa c¸c ®êng ph©n
gi¸c c¸c gãc trong cđa tam gi¸c
c) §êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c
- §êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh
cđa mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi c¸c
phÇn kÐo dµi cđa hai c¹nh kia gäi lµ
®êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c
- T©m cđa ®êng trßn bµng tiÕp lµ
giao ®iĨm cđa hai ®êng ph©n gi¸c
c¸c gãc ngoµi t¹i hai ®Ønh nµo ®ã

+) TiÕp xóc trong t¹i A:
OO' R r= −
c) Hai ®êng trßn kh«ng giao nhau
(kh«ng cã ®iĨm chung)
+) ë ngoµi nhau:
OO' R r> +
+) §ùng nhau:
OO' R r< −
+) §Ỉc biƯt (O) vµ (O’) ®ång t©m:
OO' 0
=
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
CN CON PH PASS
GIP P CON
d) Tiếp tuyến chung của hai đờng
tròn
- Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn
là đờng thẳng tiếp xúc với cả hai đờng
tròn đó
- Tiếp tuyến chung ngoài không cắt
đoạn nối tâm
- Tiếp tuyến chung trong cắt đoạn nối
tâm
38. So sánh hai cung trong một đờng tròn hay trong hai đờng
tròn bằng nhau.
- Hai cung đợc gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn đợc gọi là cung lớn hơn
- Kí hiệu:
ằ
ằ

- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng
tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đ-
ờng tròn đó.
- Cung nằm bên trong góc đợc gọi là cung
bị chắn
b) Định lí:
Trong một đờng tròn, số đo của góc nội
tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn
ã
BAC
là góc nội tiếp chắn
cung nhỏ BC(hình a) và
chắn cung lớn BC(hình b)
ã
1
BAC
2
=
sđ
ằ
BC
23
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
c) HƯ qu¶: Trong mét ®¬ng trßn
+) C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau
+) C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hc ch¾n c¸c cung b»ng
nhau th× b»ng nhau
+) Gãc néi tiÕp (nhá h¬n hc b»ng 90

·
1
ACB
2
= =
s®
¼
AmB
·
¼
·
¼
1
BAx s®AmB
2
1
BAy s®AnB
2
=
=
42. Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®êng trßn. Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi
®êng trßn.
a) Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®êng trßn.
- Gãc cã ®Ønh n»m bªn trong ®êng trßn ®ỵc gäi
lµ gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®êng trßn
- H×nh vÏ:
·
BEC
lµ gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®-
êng trßn ch¾n hai cung lµ

ã
BEC
là góc có đỉnh ở bên
ngoài đờng tròn, có hai cung bị chắn là
ẳ
ẳ
AmD và BnC
- Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn
bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
ã
ẳ
ẳ
sđBnC sđAmD
BEC
2

=
43. Kết quả bài toán quỹ tích cung chứa góc
a) Bài toán: Với đoạn thẳng AB và góc

(
0 0
0 180
< <
) cho trớc thì quỹ tích các điểm M
thỏa mãn
ã
AMB
=
là hai cung chứa góc