Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 1

TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng dxy
1
:7170
-+=
,
dxy
2
:50
+-=
. Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với
dd
12
,
một tam
giác cân tại giao điểm của
dd
12
,
.

·
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d
1
, d
2
là:

xy
330
+-=
và
xy
310
-+=Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng dxy
1
:250
-+=
.
dxy
2
:36–70
+=
. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng
đó cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường
thẳng d
1
, d
2
.


thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình:
dAxByAxByAB
:(2)(1)020
-++=Û+-+=

d cắt d
1
, d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh I
Û
khi d tạo với d
1
( hoặc d
2
) một góc 45
0

AB
AB
AABB
BA
AB
022
2222
2
3
cos453830
3
2(1)

1
:7170
-+=
, dxy
2
:50
+-=
,
P
(0;1)
. ĐS:
xy
330
+-=
;
xy
310
-+=
.

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng dxy
1
:350
++=
, dxy
2
:310
++=
và điểm
I

Þ=Û
í
-+=
î
uuruur·
Nếu
a
1
=
thì
b
1
=

Þ
AB = 4 (không thoả).

·
Nếu
a
1
¹
thì
b
baab
a
1

:10
ÞD++=

PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 2

+ Vi tabba
2242
,
5555

=ị-=ị==

xy
:790
ịD =Cõu 4. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:10
++=
,
dxy
2
:210
=
. Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M(1;1) ct (d
1
) v (d

1
2
()
(;1)(1;1)
()(22;)
(23;)
ỡ
ỡ
ẻ
ù
ỡ
=
ị
ớớớ
ẻ-
=-
ợ
ù
ợ
ợ
uuur
uuur
.
T A, B, M thng hng v
MBMA
3
=

ị


hoc (2)
ị

(
)
A
dxy
B
0;1
():10
(4;3)
ỡ
-
ị =
ớ
ợCõu 6. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 1). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng dxy dxy
12
:350,:40
=+-=
ln lt ti A, B sao cho
MAMB
230
=
.

ã

a
AB
ab
b
5
55
2(1)3(1)
(1);,(2;2)
2
2(36)3(3)
22
2
ỡ
ổử
ù
ỡ
-=-
=
ị
ớớ
ỗữ
-=-
ợ
ốứ
ù
=
ợ
. Suy ra
dxy
:0

Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im M(3; 1). Vit phng trỡnh ng thng d i
qua M ct cỏc tia Ox, Oy ti A v B sao cho
OAOB
(3)
+
nh nht.

ã
PT ng thng d ct tia Ox ti A(a;0), tia Oy ti B(0;b):
xy
ab
1
+=
(a,b>0)
M(3; 1)
ẻ
d
Cụsi
ab
abab
3131
12.12
-
=+ị
.
M OAOBabab
332312
+=+=

ab


Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 3

Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(4;1)
v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho giỏ tr ca tng
OAOB
+
nh nht.

ã

xy
260
+-=Cõu 9. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng d i qua im M(1; 2)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O sao cho
OAOB
22
94
+
nh nht.

ã
ng thng (d) i qua
M
(1;2)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O, nờn

ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ



ab
22
949
10
+



OAOB
22
949
10
+
.
Du bng xy ra khi
ab
132
:1:
3
= v
ab
12
1
+=


=
.

ã
Gi
AaBbab
(;0),(0;)(,0)
ạ
l giao im ca d vi Ox, Oy, suy ra:
xy
d
ab
:1
+=
.
Theo gi thit, ta cú:
ab
ab
21
1
8
ỡ
+=
ù
ớ
ù
=
ợ



8
=-
thỡ
ba
28
+=-
. Ta cú: bbb
2
440222
+-==- .
+ Vi
(
)
(
)
bdxy
222:1221240
=-+ị-++-=

+ Vi
(
)
(
)
bdxy
222:1221240
= ị++-+=
.
Cõu hi tng t:
a)



axbyab
20
++=
ab
22
(0)
+ạ

Ta cú:
ab
ab
22
21
cos
10
5()
a
-
==
+

7a
2
8ab + b
2
= 0. Chon a = 1
ị
b = 1; b = 7.

(–2)(1)0
+-=
Û

axbyab
–(2)0
++=
ab
22
(0)
+¹
.
Ta có:
ab
ab
0
22
23
cos45
13.
+
=
+

Û
aabb
22
52450
=


5
=-
. Chọn
ab
1,5
==-

Þ
Phương trình
xy
:530
D
-+=
.

Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho đường thẳng
dxy
:220
=
và điểm
I
(1;1)
.
Lập phương trình đường thẳng D cách điểm
I
một khoảng bằng
10
và tạo với đường thẳng

2
.5
-
=
+

ab
ba
3
3
é
=
Û
ê
=-
ë·
Với
ab
3
=

Þ

D
:
xyc
30

:
xyc
30
-+=
. Mặt khác dI
(;)10
D
=
c2
10
10
-+
Û=
c
c
8
12
é
=-
Û
ê
=
ë

Vậy các đường thẳng cần tìm:
xy
360;
++=
xy
3140

. Gọi
A
là giao điểm của
d
1
và
d
2
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng
d
1
và
d
2
lần lượt tại
B
,
C

(
B
và
C
khác
A
) sao cho
ABAC
22
11

2
1
khi H
º
M, hay
D
là đường thẳng đi qua M
và vuông góc với AM.
Þ
Phương trình
D
:
xy
20
+-=
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
M
(1;2)
-
, dxy
1
:350
++=
, dxy
2
:350
-+=
. ĐS:

(2 – 3b)
2
+ (2 – b)
2
– 4(2 – b) = 0
Þ
b b
6
0;
5
==

Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 5

Vy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M N
38684
;,;
5555
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứCõu 17. Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 1) v ng thng D:
xy
2340
++=
. Tỡm

0
(,)45
D
=
ị
ABu
1
cos(;)
2
=
uuurr

ABu
ABu
.1
.
2
=
uuur
r
r

t
tt
t
2
15
13
169156450
3

bng
15
2
.

ã
Ta cú ON
(3;4)
=
uuur
, ON = 5, PT ng thng ON:
xy
430
-=
. Gi s
Mmmd
(36;)
+ẻ
.
Khi ú ta cú
ONM
ONM
S
SdMONONdMON
ON
2
1
(,).(,)3
2
D

,
cho im
A
(0;2)
v ng thng
dxy
:220
-+=
. Tỡm
trờn ng thng d hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng
B
v AB = 2BC .

ã
Gi s
BbbCccd
(22;),(22;)
ẻ
.
Vỡ
D
ABC vuụng B nờn AB
^
d


d
ABu
.0
=




cC
cC
1(0;1)
747
;
555
ộ
=ị
ờ
ổử
ờ
=ị
ỗữ
ốứ
ởCõu 20. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:30
+-=
, dxy
2
:90
+-=
v
im

ABC vuụng cõn ti A


ABAC
ABAC
.0
ỡ
=
ớ
=
ợ
uuuruuur



bcbc
bbcc
2222
(1)(1)(1)(5)0
(1)(1)(1)(5)
ỡ
+-=
ớ
-++=-+-
ợ
(*)
Vỡ
c
1
=

ù
+++=-+-
ù
-
ợ

T (2)

bc
22
(1)(1)
+=-



bc
bc
2
ộ
=-
ờ
=-
ở
.
+ Vi
bc
2
=-
, thay vo (1) ta c
cb


Cõu 21. Trong mt phng to Oxy, cho cỏc im A(0; 1) B(2; 1) v cỏc ng thng cú
phng trỡnh: dmxmym
1
:(1)(2)20
++=
; dmxmym
2
:(2)(1)350
++=
. Chng
minh d
1
v d
2
luụn ct nhau. Gi P = d
1
ầ d
2
. Tỡm m sao cho
PAPB
+
ln nht.

ã
Xột H PT:
mxmym
mxmym
(1)(2)2
(2)(1)35

AdBddd
1212
(0;1),(2;1),
ẻ-ẻ^

ị

D
APB vuụng ti P
ị
P
nm trờn ng trũn ng kớnh AB. Ta cú: PAPBPAPBAB
2222
()2()216
+Ê+==ị

PAPB
4
+Ê
. Du "=" xy ra

PA = PB

P l trung im ca cung
ằ
AB


=
v hai im
A
(1;2)
-
,
B
(3;4)
. Tỡm im M
ẻ
(D) sao cho
MA MB
22
2
+
cú giỏ tr nh nht.

ã
Gi s M MttAMttBMtt
(22;)(23;2),(21;4)
D
+ẻị=+-=
uuuruuur

Ta cú:
AMBMttft
222
215443()
+=++=
ị

+
nh nht.

ã
Ta cú:
AABB
xyxy
(23).(23)300
-+-+=>

ị
A, B nm cựng phớa i vi d.
Gi A
Â
l im i xng ca A qua d
ị

A
(3;2)
Â
-

ị
Phng trỡnh
ABxy
:570
Â
+-=
.
Vi mi im M


Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 7

TP 02: NG TRềN

Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, gi A, B l cỏc giao im ca ng thng (d):
xy
250
=
v ng trũn (C): xyx
22
20500
+-+=
. Hóy vit phng trỡnh ng trũn
(C) i qua ba im A, B, C(1; 1).

ã
A(3; 1), B(5; 5)
ị
(C): xyxy
22
48100
+ +=Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú din tớch bng
3
2
, A(2; 3),

+ Vi C
2
(2;10)

ị
(C):
22
xyxy
9191416
0
333
+-++=Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ba ng thng: dxy
1
:230
+-=
,
dxy
2
:3450
++=
, dxy
3
:4320
++=
. Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc d
1
v

5
+-+
=
+-+



t
t
2
4
ộ
ờ
ở
=
=

Vy cú 2 ng trũn tho món: xy
22
49
25
(2)(1) =-++ v xy
22
9
(4)(5)
25
-++=.
Cõu hi tng t:
a) Vi dxy
1

++=
,
xy
':34100
D
-+=
v im A(2; 1). Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng
thng
D
, i qua im A v tip xỳc vi ng thng DÂ.

ã
Gi s tõm
Itt
(38;)ẻ

D
Ta cú:
dIIA
(,)
D
Â
=


xy
:4330
D
-+=
v
xy
':34310
D
=
. Lp phng trỡnh ng trũn
C
()
tip xỳc vi ng thng
D
ti im
cú tung bng 9 v tip xỳc vi
'.
D
Tỡm ta tip im ca
C
()
v
'
D
.

ã
Gi
Iab
(;)

433685
4
55
(3;4)
3(6)4(9)0
3454
D
DD
ỡ
ỡ
-
-+
ỡ
=
ùù
-+=-
=

ớớớ
^=
ợ
ùù
-+-=
+=
ợ
ợ
uuur
r
'
D
ti
N
(13;2)

hoc Cxy
22
():(190)(156)60025
++-= tip xỳc vi
'
D
ti
N
(43;40)
Cõu 6. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn i qua
A
(2;1)
-
v tip
xỳc vi cỏc trc to .

ã
Phng trỡnh ng trũn cú dng:
xayaaa
xayaab
222

dxy
():240
=
. Lp phng
trỡnh ng trũn tip xỳc vi cỏc trc ta v cú tõm trờn ng thng (d).

ã
Gi
Immd
(;24)()
-ẻ
l tõm ng trũn cn tỡm. Ta cú: mmmm
4
244,
3
=-==
.

ã
m
4
3
=
thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy
22
4416
339
ổửổử
-++=
ỗữỗữ

Ta cú IA = d(I,D) aaa
2
118551010
-=-+


2a
2
37a + 93 = 0


a
a
3
31
2
ộ
=
ờ
=
ờ
ởã
Vi a = 3
ị
I(3;2), R = 5
ị
(C): (x 3)

ổử
-++=
ỗữ
ốứCõu 9. Trong h to
Oxy
cho hai ng thng
dxy
:230
+-=
v
xy
:350
D
+-=
. Lp
phng trỡnh ng trũn cú bỏn kớnh bng
210
5
, cú tõm thuc
d
v tip xỳc vi
D
.

ã
Tõm I
ẻ

ở

Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 9 ị
(C): xy
22
8
(9)(6)
5
++-=
hoc (C): xy
22
8
(7)(2)
5
-++=
.

Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
4340
++-=
. Tia Oy
ct (C) ti A. Lp phng trỡnh ng trũn (CÂ), bỏn kớnh RÂ = 2 v tip xỳc ngoi vi (C) ti
A.

ã

2'(3;3)
2
Â
==ị
uuruur

ị
(C
Â
): xy
22
(3)(3)4
-+-=Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyy
22
450
+=
. Hóy vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) i xng vi ng trũn (C) qua im M
42
;
55
ổử
ỗữ
ốứã

+-++=
. Vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) tõm M(5; 1) bit (CÂ) ct (C) ti hai im A, B sao cho
AB
3
= .

ã
(C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R
3
= . PT ng thng IM:
xy
34110
=
. AB
3
= .
Gi
Hxy
(;)
l trung im ca AB. Ta cú:
HIM
IHRAH
22
3
2
ỡ
ẻ
ù
ớ

;
510
ộ
=-=-
ờ
ờ
ờ
==-
ở

ị
H
129
;
510
ổử

ỗữ
ốứ
hoc H
1111
;
510
ổử
-
ỗữ
ốứ
.

ã

ỗữ
ốứ
. Ta cú RMHAH
222
13
Â
=+=

ị
PT (C
Â
): xy
22
(5)(1)13
-+-=
.

Cõu 13. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)4
-+-=
v im
K
(3;4)
. Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú tõm K, ct ng trũn (C) ti hai im A, B sao
cho din tớch tam giỏc IAB ln nht, vi I l tõm ca ng trũn (C).

ã
(C) cú tõm
I

ị
Txy
22
1
():(3)(4)4
-+-=

PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 10

+
T
2
()
cú bỏn kớnh R
22
2
(32)(2)25
=+=
ị
Txy
22
1
():(3)(4)20
-+-=
.

Cõu 14. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC
vi cỏc nh: A(2;3), BC
1

3
4
4
41631.
2
43
ổử
+-
ỗữ
-
ốứ
==ị-=-ị=
-
+-

Phng trỡnh AD:
xy
xy
23
10
33
+-
=+-=
-
; AC:
xy
xy
23
3460
43

1
35
2
ộ
-=ị=-
ờ
ờ
ờ
-=-ị=
ở

Rừ rng ch cú giỏ tr b
1
2
=
l hp lý.
Vy, phng trỡnh ca ng trũn ni tip
D
ABC l: xy
22
111
224
ổửổử
-+-=
ỗữỗữ
ốứốứCõu 15. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng (d
1

D
ABC cõn nh A
v AO l phõn giỏc trong ca gúc A. Gi I, R l tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip
D
ABC

ị
IR
44
;0,
33
ổử
=
ỗữ
ốứ
.

Cõu 16. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng thng d:
xy
10
=
v hai ng trũn cú
phng trỡnh: (C
1
): xy
22
(3)(4)8
-++=
, (C
2

1
), (C
2
) nờn
IIRR IIRRIIRIIR
11221122
,
=+=+ị=


aaaa
2222
(3)(3)22(5)(5)42
-++-=-++-

a = 0
ị
I(0; 1), R =
2ị
Phng trỡnh (C): xy
22
(1)2
++=
.

Cõu 17. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC vi A(3; 7), B(9; 5), C(5; 9),
M(2; 7). Vit phng trỡnh ng thng i qua M v tip xỳc vi ng trũn ngoi tip

D
) cần tìm là
3
±
.

Þ
PT (
D
) có dạng xyb
1
:30
D
-+=
hoặc xyb
2
:30
D
++=

+ xyb
1
:30
D
-+=
tiếp xúc (C)
dIR
1
(,)
D

2
-
Û=Û=±+ .
Kết luận: xy
2
():3230
D
+±+=
.

Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
6250
+ +=
và
đường thẳng (d):
xy
330
+-=
. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp
tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc
0
45
.

·
(C) có tâm I(3; 1), bán kính R =
5
. Giả sử (
D

ê
===-
ë

Þ

xy
xy
:2100
:2100
D
D
é
=
ê
+-=
ë
.
Câu 20. Trong hệ toạ độ
Oxy
, cho đường tròn Cxy
22
():(1)(1)10
-+-=
và đường thẳng
dxy
:220
=
. Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn
C

0
(,)45
D
= nên
ab
ab
22
2
1
2
.5
-
=
+

ab
ba
3
3
é
=
Û
ê
=-
ë·
Với
ab
·
Với
ba
3
=-
Þ

D
:
xyc
30
-+=
. Mặt khác
dIR
(;)
D
=
c2
10
10
-+
Û=
c
c
8
12
é
=-

): xyxy
22
–8–2160
++=
.

·
(C
1
) có tâm I
1
(1;1)
, bán kính R
1
= 2; (C
2
) có tâm I
2
(4;1)
, bán kính R
2
= 1.
Ta có:
IIRR
1212
3
==+

Þ
(C

22
11
22
22
1
22
2
(;)
44
(;)
41
472472
1
44
D
D
ỡ
+-
ỡỡ
=
ù
==-
ùù
ỡ
=
ùùù
+

ớớớớ
=


ã
(C) cú tõm I(2; 3) v bỏn kớnh R
2
= ; (C
Â
) cú tõm I
Â
(1; 2) v bỏn kớnh R
'22
= .
Ta cú:
IIRR
'2
Â
==-
ị
(C) v (C
Â
) tip xỳc trong
ị
Ta tip im M(3; 4).
Vỡ (C) v (C
Â
) tip xỳc trong nờn chỳng cú duy nht mt tip tuyn chung l ng thng qua
im M(3; 4), cú vộc t phỏp tuyn l II
(1;1)
Â
=
uur


C
1
()
cú tõm I
1
(0;1)
, bỏn kớnh R
1
2
=
;
C
2
()
cú tõm I
2
(4;4)
, bỏn kớnh R
2
2
=
.
Ta cú:
IIRR
1212
54
=>=+

ị

:
=+
.
Khi ú:
dId
dIddId
1
12
(,)2
(,)(,)
ỡ
=
ớ
=
ợ



b
a
bab
aa
2
22
1
2
1
144
11
ỡ

ờ
ờ
==-
ờ
ờ
=-=
ờ
ởị

dxy
:34140
-+=
hoc
dxy
:3460
=
hoc
dxy
:724740
+-=
.
Vy:
dx
:20
-=
;
dxy

()
.

ã

C
1
()
cú tõm I
1
(0;1)
, bỏn kớnh R
1
3
=
;
C
2
()
cú tõm I
2
(3;4)
-
, bỏn kớnh R
2
3
=
.
Gi s tip tuyn chung
D




bcab
abcab
22
22
23(1)
343(2)
ỡ
ù
+=+
ớ
-+=+
ù
ợ

T (1) v (2) suy ra
ab
2
=
hoc
ab
c
32
2
-+
= .
+ TH1: Vi
ab

22
0
22
4
3
ộ
=
ờ
-=+
=-
ờ
ở
.

ị

y
:20
D
+=
hoc
xy
:4390
D
=
.

Cõu 25. Trong mt phng Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
4340

(T) tip xỳc ngoi vi (C) ti A nờn AIJAtJ
1
2(3;3)
2
=ị=ị
uuruur
.
Vy: Txy
22
():(3)(3)4
-+-=
.

Cõu 26. Trong mt phng Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
1
+=
v phng trỡnh:
xymxmy
22
2(1)450
+++=
(1). Chng minh rng phng trỡnh (1) l phng trỡnh ca
ng trũn vi mi m. Gi cỏc ng trũn tng ng l (C
m
). Tỡm m (C
m
) tip xỳc vi (C).

ã

=-=
.

Cõu 27. Trong mt phng Oxy, cho cỏc ng trũn cú phng trỡnh Cxy
22
1
1
():(1)
2
-+=
v
Cxy
22
2
():(2)(2)4
-+-=
. Vit phng trỡnh ng thng d tip xỳc vi
C
1
()
v ct
C
2
()

ti hai im
MN
,
sao cho MN
22

dIdIHR
2
2
222
(,)2
2
ổử
==-=
ỗữ
ốứ

Phng trỡnh ng thng d cú dng: axbycab
22
0(0)
++=+ạ
.
Ta cú:
dId
dId
1
2
1
(,)
2
(,)2
ỡ
=
ù
ớ
ù

=Cõu 28. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
650
++=
. Tỡm im
M thuc trc tung sao cho qua M k c hai tip tuyn ca (C) m gúc gia hai tip tuyn ú
bng
0
60
.
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 14 ã
(C) cú tõm I(3;0) v bỏn kớnh R = 2. Gi M(0; m) ẻ Oy
Qua M k hai tip tuyn MA v MB ị
ã
ã
AMB
AMB
0
0
60(1)
120(2)
ộ
=


IA
MI
0
sin60
=
MI =
23
3
R m
2
43
9
3
+= Vụ nghim Vy cú
hai im M
1
(0;
7
) v M
2
(0;
7
- )

Cõu 29. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C) v ng thng
D
nh bi:
Cxyxyxy
22

2120(2)
ỡ
-+-=
ớ
+-=
ợ

Kh x gia (1) v (2) ta c:
( ) ( )
y
yyyy
y
22
2
3
210120542810
27
5
ộ
=
ờ
-++-=-+=
=
ờ
ở

Vy cú hai im tha món bi l:
(
)
M

m
m
m
m
1
5
3216
7
2
-
ộ
=-
=-=
ờ
=
ở

Cõu hi tng t:
a) Cxydxym
22
():1,:0
+=-+=
S:
m
2
=
.

Cõu 31. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22

trũn (T) cú tõm I, bỏn kớnh
r
6
=
. Do trờn d cú duy nht mt im P tho YCBT nờn d l tip
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 15

tuyn ca (T)
ị

m
m
dId
m
11
19
(,)66
41
5
+
ộ
=
==
ờ
=-
ở
.

Cõu 32. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng trũn Cxyxy

AH
12
5
= . Suy ra: OHOAAH
22
9
5
=-=
v
OA
OM
OH
2
5
==
.
Gi s
Mxy
(;)
. Ta cú:
MCxyxy
OM
xy
22
22
()186650
5
25
ỡ
ù

22
(1)(2)4
-++=
. M l im
di ng trờn ng thng
dyx
:1
=+
. Chng minh rng t M k c hai tip tuyn
MT
1
,
MT
2
ti (C) (T
1
, T
2
l tip im) v tỡm to im M, bit ng thng
TT
12
i qua im
A
(1;1)
-
.

ã
(C) cú tõm
I

11
;
22
ổử
+-
ỗữ
ốứ
. ng trũn (T) ng kớnh IM cú tõm J bỏn
kớnh
IM
R
1
2
= cú phng trỡnh
xxxx
Txy
22
22
0000
11(1)(3)
():
224
ổửổử
+ ++
-+-=
ỗữỗữ
ốứốứ

T M k c 2 tip tuyn MT
1

0000
000
22
11(1)(3)
()()
(1)(3)30(1)
224
(1)(2)4
ỡ
+ ++
ù
-+-=
ị + =
ớ
ù
-++=
ợ

To cỏc im
TT
12
,
tho món (1), m qua 2 im phõn bit xỏc nh duy nht 1 ng
thng nờn phng trỡnh
TT
12
l xxyxx
000
(1)(3)30
+ =

M(7; 3). Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M ct (C) ti hai im A, B phõn bit sao
cho MA = 3MB.

ã

MC
P
/()
270
=>ị
M nm ngoi (C). (C) cú tõm I(1;1) v R = 5.
Mt khỏc:

MC
PMAMBMBMBBH
2
/()
.333
==ị=ị=
uuuruuur
IHRBHdMd
22
4[,()]
ị=-==
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 16

Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a
2
+ b

theo một dây cung có độ dài
bằng
l
8
=
.

·
d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0
Û
ax + by – a – 2b = 0 ( a
2
+ b
2
> 0)
Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài
l
8
=
nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d
bằng 3.

( )
abab
dIdabab
ab
22
22
22
,333

- : chọn a = 3, b = – 4
Þ
d: 3x – 4 y + 5 = 0.
Câu hỏi tương tự:
a) d đi qua O, Cxyxy
22
():26150
+-+-=
,
l
8
=
. ĐS:
dxy
:340
-=
;
dy
:0
=
.
b) d đi qua
Q
(5;2)
, Cxyxy
22
():4850
+ =
, l
52

Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : xyxy
22
2880
++ =
. Viết
phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng
dxy
:320
+-=
và cắt đường tròn
(C) theo một dây cung có độ dài
l
6
=
.

·
(C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5. PT đường thẳng
D
có dạng:
xyc c
30,2
++=¹
.
Vì
D
cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên:

( )
c

22
():(3)(1)3
-+-=
,
dxy
:3420120
-+=
, l
25
= .
ĐS:
xy
:3450
D
-+=
;
xy
:34150
D
=
.

Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn Cxy
22
():(4)(3)25
++-=
và
đường thẳng
xy
:34100

Û

m
m
m
22
27
169
4
13
43
é
=
-++
=Û
ê
=-
ë
+

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 17

Vậy PT các đường thẳng cần tìm là:
xy
43270
++=
và
xy
43130

IM. Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT MI
(1;1)
=-
uuurÞ
Phương trình d:
xy
20
-+=
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với (C): xyxy
22
84160
+ =
, M(–1; 0). ĐS:
dxy
:5250
++=Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm
M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho DOAB có
diện tích lớn nhất.

·
Tam giác OAB có diện tích lớn nhất
Û

22
4748170
+-=

Û

BA
BA
24555
47
24555
47
é

=
ê
ê
-+
ê
=
ê
ë

+ Với
BA
24555
47

= : chọn A = 47
Þ


Câu hỏi tương tự:
a) Cxyxy
22
():4690
++-+=
,
M
(1;8)
-
. ĐS:
xyxy
710;177390
++=++=
.

Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
6260
+-+-=
và điểm
A
(3;3)
. Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách
giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C).

·
(C) có tâm I(3; –1), R = 4. Ta có: A(3 ;3)
Î
(C).


PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 18 bababab
2222
422
Û=+Û=Û=±
. Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1.
Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là:
xy
60
+-=
hoặc
xy
0
-=
.

Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C
1
): xy
22
13
+=
và (C
2
):
xy

A(2; 3). Giả sử d: axbyab
22
(2)(3)0(0)
-+-=+¹
. Gọi
ddOdddId
122
(,),(,)
==.
Từ giả thiết
Þ

RdRd
2222
1122
-=-

Û
dd
22
21
12
-=

Û

aabab
abab
22
2222

x
20
-=
.

·
Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3
Þ
Phương trình d:
xy
370
-+=
.

Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng D:
mxy
4 0
+=
, đường tròn (C):
xyxmym
222
22240
+ +-=
có tâm I. Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12.

·
(C) có tâm
Im
(1;)

IAB
S
12
D
=

Û

m
dIAHmm
m
2
3
(,).12325480
16
3
é
=±
ê
D=Û-+=Û
=±
ê
ëCâu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn Cxy
22
():1
+=
, đường thẳng

0
90
= .
Vậy
AOB
S lón nhất
Û

·
AOB
0
90
= . Khi đó dId
1
(;)
2
=
m
1
Û=±
.

Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng
d
()
: xmy
2120
++-=
và
đường tròn có phương trình Cxyxy

2
221232Û-+-<+

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 19

mmmmmmR
222
14418954170
Û-+<+Û++>ÛÎ

Ta có:
·
SIAIBAIBIAIB
IAB
119
.sin.
222
=£=

Vậy: S
IAB
lớn nhất là
9
2
khi
·
AIB
0
90

:–230
++=
, Cxyxy
22
():4460
++++=
. ĐS:
mm
8
0
15
=Ú=Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn Cxyxy
22
():4690
++-+=
và
điểm
M
(1;8)
-
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt (C) tại hai điểm A, B phân
biệt sao cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).

·
(C) có tâm
I
(2;3)

S
D
lớn nhất
Û

·
AIB
0
90
=
Û
dIdIA
2
(,)2
2
==

Û

ba
ab
22
113
2
-
=
+

Û
aabb


Þ

dxy
:177390
++=Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
4460
++++=
và
đường thẳng D:
xmym
–230
++=
với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C).
Tìm m để D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích DIAB lớn nhất.

·
(C) có tâm là I (–2; –2); R =
2
. Giả sử
D
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Kẻ đường cao IH của
D
IAB, ta có: S
D

=
(thỏa IH < R)

Û

m
m
2
14
1
1
-
=
+

Û
15m
2
– 8m = 0
Û
m = 0 hay m =
8
15

Câu hỏi tương tự:
a) Với Cxyxy
22
():2440
+-+-=
, xmy

2480
++ =
. Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường
thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 20

tam giỏc ABC vuụng B.

ã
Ta giao im A, B l nghim ca h phng trỡnh

yx
xyxy
yx
xy
22
0;2
2480
1;3
520
ỡ
ỡ
==
++ =

ớớ
=-=-
=
ợ

) luụn ct (
C
) ti hai im phõn bit
A, B . Tỡm to im
M
trờn ng trũn (
C
) sao cho din tớch tam giỏc
ABM
ln nht.

ã
(C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R =
13
.
dIR
9
(,)
13
D
=<

ị
ng thng (
D
) ct (C) ti
hai im A, B phõn bit. Gi M l im nm trờn (C), ta cú
ABM
SABdM
1

ỡ
++ =
ớ
+-=
ợ

xy
xy
1,1
3,5
ộ
==-
ờ
=-=
ở

ị
P(1; 1); Q(3; 5)
Ta cú dP
4
(,)
13
D
= ; dQ
22
(,)
13
D
= . Nh vy
dM
ABC
D
u
ị
I l trng tõm. Phng trỡnh (BC):
xy
3120
+-=

Vỡ B, C
ẻ
(C) nờn ta ca B, C l cỏc nghim ca h phng trỡnh:

xyxyxyxy
xyxy
2222
24502450
3120123
ỡỡ
+ =+ =

ớớ
+-==-
ợợ

Gii h PT trờn ta c: BC
7333373333
;;;

BAC
. Do ú AB v AC hp vi AI mt gúc
0
45
.
Gi d l ng thng qua A v hp vi AI mt gúc
0
45
. Khi ú B, C l giao im ca d vi
(C) v AB = AC. Vỡ IA
(2;1)
=
uur

ạ
(1; 1), (1; 1) nờn d khụng cựng phng vi cỏc trc to
ị
VTCP ca d cú hai thnh phn u khỏc 0. Gi
ua
(1;)
=
r
l VTCP ca d. Ta cú:
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 21 ( )
aa
IAu

ờ
ở

+ Vi a = 3, thỡ
u
(1;3)
=
r

ị
Phng trỡnh ng thng d:
xt
yt
5
53
ỡ
=+
ớ
=+
ợ
.
Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l:
91373139137313
;,;
2222
ổửổử
++
ỗữỗữ
ốứốứ


Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l:
7313111373131113
;,;
2222
ổửổử
+ +
ỗữỗữ
ốứốứ

+Vỡ AB = AC nờn ta cú hai cp im cn tỡm l:
731311139137313
;,;
2222
ổửổử
+-++
ỗữỗữ
ốứốứ

v
731311139137313
;,;
2222
ổửổử
-+
ỗữỗữ
ốứốứCõu 51. Trong mt phng to
Oxy

=
.
Ta cú:
xy
xy
hABh
xy
4312
120
4380
.44
43320
235

ộ
-+=
===
ờ
=
ở

+
xy
MM
xy
22
4380
1448
(2;0);;
2575

v ng
thng
dxy
:3450
-+=
. Tỡm nhng im M ẻ (C) v N ẻ d sao cho MN cú di nh nht.

ã
(C) cú tõm
I
(1;3)
-
, bỏn kớnh
R
1
=

ị

dIdR
(,)2
=>

ị

dC
()
ầ=ặ
.
Gi

211819
;,;
5555
ổửổử

ỗữỗữ
ốứốứị
MN ngn nht khi
MMNN
10
,.
Vy cỏc im cn tỡm:
MC
211
;()
55
ổử
-ẻ
ỗữ
ốứ
,
Nd
17
;
55
ổử
ẻ


ã

1
AFAFa
2
2
+=v
BFBFa
12
2
+=

ị

12
AFAFBFBFa
12
420
+++==

M
1
AFBF
2
8
+=

ị


MFMFxyxy
2222
12
10(1)(1)(5)(1)10
+=++-+-+-=


xy
22
(2)(1)
1
2516

+=Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im C(2; 0) v elip (E):
xy
22
1
41
+=
. Tỡm to
cỏc im A, B thuc (E), bit rng hai im A, B i xng vi nhau qua trc honh v tam
giỏc ABC l tam giỏc u.

ã
AB
243243
;,;

==

ị
c
53
= . Gi M(x; y)
ẻ
(E)
ị

MFxMFx
12
33
10,10
22
=-=+ .

ã
FFMFMFMFMFFMF
222
12121212
2 cos=+-



( )
xxxx
22
2
33331

. Lp phng trỡnh chớnh tc ca (E) v vi mi im M trờn elip, hóy tớnh biu
thc:
PFMFMOMFMFM
222
1212
3.=+ .

ã
(E):
xy
abab
22
2222
31
11
4
+=ị+=
, ab
22
3
=+
ị
xy
22
1
41
+=

ị
MMMMM

. Gi
MxyE
00
(;)()
ẻ
ị

x
MFaex
0
20
83
2
-
=-= ,

x
dMx
0
0
83
8
(,)
33
D
-
=-= (vỡ x
0
44
-ÊÊ

ẻị+= Ta cú:
xyxy
dMAB
0000
2323
(;)
145
-+-+
==
+

Din tớch
D
MAB: SABdMABxy
00
1
(;)23
2
==

p dng bt ng thc Bunhiacpxki cho 2 cp s
xy
00
11
;,(5;4)
2
5
ổử
-
ỗữ

xy
00
00
00
00
54
58
11
max239
26
2
5
239
ỡ
=
ù
ỡ
=-
ù
ị-+=
-
ớớ
-=
ợ
ù
ù
-+=
ợ
x
y

22
():1
94
+=
v hai im A(3;2), B(3;
2) . Tỡm trờn (E) im C cú honh v tung dng sao cho tam giỏc ABC cú din tớch
ln nht.

ã
PT ng thng AB:
xy
230
+=
. Gi C(x; y)
ẻ
(E), vi
xy
0,0
>>

ị

xy
22
1
94
+=
.

ABC

94
2
2
32
ỡ
ỡ
+=
ù
ùù
=

ớớ
ùù
=
=
ợ
ù
ợ
. Vy C
32
;2
2
ổử
ỗữ
ốứ
.
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 24

Cõu 9. Trong mt phng ta

=
khụng ct elip ti hai im tha YCBT.
Xột ng thng
D
qua M(1; 1) cú PT:
ykx
(1)1
=-+
. To cỏc giao im
AB
,
ca
D
v
E
()
l nghim ca h:
xy
ykx
22
1(1)
259
(1)1(2)
ỡ
ù
+=
ớ
ù
=-+
ợ


M
kk
xxxk
k
12
2
50(1)9
22
25
259
-
+===-
+
.
Vy PT ng thng
D
:
xy
925340
+-=
.
Cõu hi tng t:
a) Vi
xy
E
22
():1
94
+=

MxyE
00
(;)()
ẻ vi
xyxyZ
0000
,0;,
ẻ
.
Ta cú:
xy
22
00
1
82
+=

ị
y
2
0
2
Ê

ị
y
0
02
ÊÊ
ị

. Tỡm im M ẻ (E) sao cho
tng hai to ca M cú giỏ tr ln nht (nh nht).

ã
Gi s
MxyE
(;)()
ẻ

ị

xy
22
1
82
+=
. p dng BT Bunhiacpxki, ta cú:

xy
xy
22
2
()(82)10
82
ổử
+Ê++=
ỗữ
ốứ

ị

10
+- . Du "=" xy ra


xy
xy
82
10
ỡ
=
ù
ớ
ù
+=-
ợ


M
41010
;
55
ổử

ỗữ
ốứTrn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 25


93
+=+=
.
BCy
0
2
= v
BCxx
0
():
=

ị

dABCx
0
(,())3=-
Do
AOx
ẻ
, B v C i xng qua Ox nờn
D
ABC cõn tõ A
Suy ra:
D
ABC u


dABCBC
3

+-=
ờ
=
ở
.
+ Vi x
0
0
=

ị
y
0
3
=
ị
BC
(0;3),(0;3)
- . + Vi x
0
3
=

ị
y
0
0
=
(loi).
Vy: BC

mn
,
din tớch t giỏc MPNQ
t giỏ tr nh nht.

ã
PTTS ca
dd
12
,
l:
xnt
d
ymt
1
1
1
:
ỡ
=
ớ
=
ợ
,
xmt
d
ynt
2
2
2

2
v (E)

ị

mnmn
PQ
mnmnmnmn
22222222
6666
;,;
49494949
ổửổử

ỗữỗữ
ỗữỗữ
++++
ốứốứ

+ Ta cú: MN
^
PQ ti trung im O ca mi ng nờn MPNQ l hỡnh thoi.

MPNQ
SSMNPQOMOP
1
.2.
2
====
MMPP

22
72()144
13
13
()
2
+
=
+
. Du "=" xy ra


mnmnmn
2222
9449
+=+=

Vy: S
144
min
13
= khi
mn
=
.

Cõu 14. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho Hypebol (H) cú phng trỡnh:
xy
22
1