Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Như chúng ta đã biết khái niệm hàm là một trong những khái niệm cơ bản nhất của
toán học , nó giữ vị trí trung tâm của môn toán ở trường phổ thông ,toàn bộ việc
giảng dạy toán ở nhà trường phổ thông đều xoay quanh khái niệm này .
Liên hệ với khái niệm hàm là Tư duy hàm ,một loại hình tư duy được hàng loạt các
công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được phát triển mạnh mẽ trong
hoạt động giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt là môn toán .Ngày nay
trong chương trình môn toán ở trường phổ thông khái niệm hàm đã ,đang được thể
hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứng dụng và xây dựng các khái niệm
khác .Trong các kỳ thi cấp quốc gia ngoài các câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số
ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số
như là một công cụ đắc lực để giải toán như: Giải phương trình, bất phương trình
,tìm cực trị , Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn cho cả thày và trò trong
các giờ lên lớp . Trong các giờ giảng các em thường bị động trong nghe giảng và rất
lúng túng vận dụng vào việc giải toán. Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản
chất của vấn đề ,chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào
giải toán , việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua các bài toán
là một điều rất cần thiết .Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có
phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu,dẫn dắt
học sinh tìm hiểu một cách logíc bản chất của toán học.Từ đó giúp các em có sự say
mê trong việc học môn Toán-môn học được coi là ông vua của các môn tự nhiên.
Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, nhiều năm học được nhà trường phân công
dạy các lớp ban khoa học tự nhiên, ôn thi đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi khi dạy
tới chuyên đề này, tôi luôn băn khoăn làm thế nào để cho bài dạy của mình đạt kết
quả cao nhất ,các em chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức .Thầy đóng vai trò là
người điều khiến để các em tìm đến đích của lời giải.Chính vì lẽ đó Tôi đã đầu tư thời
GV: Lê Thị Hoa - Trường THPT Tĩnh Gia 1
1

[ ]
;a b
thì Min f(x) = f(b); Max f(x) = f(a).
Chú ý:
 Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị hs y = f(x)
với đồ thị hs y = g(x).
 Nếu hàm số
0y ≥
,
∀∈
(a, b) mà f(x) liên tục tại a và b thì
0y ≥

∀∈
[ ]
;a b
.
 Bất phương trình
( )f x m≥
đúng
x I∀ ∈

⇔
Min f(x)
m≥

x I∀ ∈
 Bất phương trình
( )f x m≤
đúng

0
là nghiệm duy nhất
•
Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên (a; b),u(x),v(x) là các hàm số nhận giá trị thuộc D
thì ta có :
[ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( )f u x f v x u x v x= ⇔ =

•
Nếu f(x) là hàm số đồng biến ( nghịch biến ) thì y =
( )
n
f x
đồng biến (nghịch
biến ),
1
( )f x
với f(x) >0 là nghịch biến ( đbiến), y=-f(x) nghịch biến (đồng biến )
•
Tổng các hàm đồng biến ( nghịch biến ) trên D là đồng biến (nghịch biến ) trên D
•
Tích của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến) trên D là một hàm đồng biến
(nghịch biến ) trên D
GV: Lê Thị Hoa - Trường THPT Tĩnh Gia 1
3
Sáng kiến kinh nghiệm
•
Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y =
f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường
thẳng y = m.Nếu trên tập D hàm số y=f(x) đạt GTLN là L,GTNN là n thì phương

thích hợp
( )t x= ϕ
,từ điều kiện ràng buộc của x ta tìm điều kiện của t ( với bài toán
chứa tham số ta cần đặt điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ,ta thường dùng là đánh
giá bằng bất đẳng thức,hoặc đôi khi phải khảo sát hàm
( )t x= ϕ
) để có thể tìm được
điều kiên chính xác của biến mới t)

•
Sau đó đưa phương trình đã cho về phương trình theo t và lại sử dụng phương
pháp hàm số như trên
GV: Lê Thị Hoa - Trường THPT Tĩnh Gia 1
4
Sáng kiến kinh nghiệm
B.Các giải pháp:
1. Các ví dụ:
VD1: Giải phương trình :
3
3
5 1 2 1 4x x x− + − + =
(1)
Nhận xét Quan sát vế trái của phương trình (1), ta thấy khi x tăng thì giá trị của
biểu thức trong căn cũng tăng .Từ đó ta thấy vế trái là hàm đồng biến ,vế phải bằng
4 là hàm hằng ,đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu
Lg: Đk:
3
1
5
x ≥

∈ +∞
. Mà f(1)=4 nên x=1 là nghiệm .
VD 2 : Giải phương trình :
3 2
2 3 6 16 4 2 3x x x x+ + + − − =
Nhận xét :
Bài toán này gây khó khăn cho ta từ bước đặt điều kiện
Đk:
3 2 2
2 3 6 16 0 ( 2)(2 8) 0
2 4
4 0 4 0
x x x x x x
x
x x
 
+ + + ≥ + + − ≥
⇔ ⇔ − ≤ ≤
 
− ≥ − ≥
 
Đặt f(x) =
3 2
2 3 6 16 4x x x x+ + + − −
, f
’
(x)=
2
3 2
3( 1) 1

>5
hơn nữa hàm g(x)=
2 1 3x − −
, h(x) =
2 6x x+ + +
dương đồng biến với x>5
mà f(7) =4 nên x=7 là nghiệm .
VD 4 : Giải phương trình
5 3
1 3 4 0x x x+ − − + =
( ĐH Ngoại thương 2000)
Lg: Đặt f(x) =
5 3
1 3 4x x x+ − − +
,
1
3
x ≤
.ta có
' 4 2
3 1
( ) 5 3 0
3
2 1 3
f x x x x
x
= + + > ∀ <
−
GV: Lê Thị Hoa - Trường THPT Tĩnh Gia 1
5

thì hai vế của phương trình bằng nhau .Vậy
1
5
x = −
là nghiệm của phương trình .Hơn nữa ta thấy nghiệm
1 1
;0
5 2
x
 
= − ∈ −
 ÷
 
Ta chứng minh
1
5
x
= −
là nghiệm duy nhất .
•
với
( ) ( )
2 2
1 1
3 2 1 0 3 2 1
2 5
x x x x x
− < < − ⇒ < − − < ⇒ > +
nên ta có
2 2 2 2

5
x = −
Cách giải trên sử dụng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất
GV: Lê Thị Hoa - Trường THPT Tĩnh Gia 1
6
Sáng kiến kinh nghiệm
Ta xét cách giải khác sau bằng phương pháp hàm số
Viết lại phương trình dưới dạng:
2 2
3 (2 (3 ) 3) (2 1)(2 [ (2 1) ] 3x x x x+ + = − + + − + +
Xét hàm số f(t)=
2
2 ' 2
2
(2 3), ( ) 2 3 0
3
t
t t f t t
t
+ + = + + + > ⇒
+
hàm số luôn đồng biến
Do đó (3)
⇔
f(3x)=f
[ (2 1)]x− +

⇔
3x=-2x-1
⇔

3
1
1 1, \ 0
3
t R
t
+ > ∀ ∈ ⇒
hàm số đồng biến trên
{ }
\ 0R
(*)
⇔
f(2x
3
-3x+1)=f(x
2
+2)
⇔
2x
3
-3x+1= x
2
+2
⇔
(2x+1)(x
2
-x-1)=0
1 1 5
;
2 2

)=f(x+1)
↔
2x
2
=x+1
↔
x=1 hoặc x=
1
2
−
VD8: Giải phương trình
3
3
6 1 8 4 1x x x+ = − −
GV: Lê Thị Hoa - Trường THPT Tĩnh Gia 1
7
Sáng kiến kinh nghiệm
Lg: Biến đổi phương trình tương đương với
3 3
3 3
6 1 8 4 1 6 1 6 1 (2 ) 2x x x x x x x
+ = − − ⇔ + + + = +
(*)
Xét hàm số f(t)=t
3
+t dễ thấy f(t) đồng biến nên
(*)
⇔
f(
3

2

⇔
cos3t =
1
2

2
9 3
t k
π π
⇔ = ± +
chọn các nghiệm trong khoảng
[ ]
0;t
π
∈
ta có nghiệm
5 7
, ,
9 9 9
t t t
π π π
= = =
từ đó suy ra các ngiệm của phương trình
là :
5 7
cos ; cos ; cos
9 9 9
x x x

Vì vậy
2
3
x∀ ≤
đều không là nghiệm
Nếu
'
2 2
2 1 1
, ( ) 3 0
3
8 15
x f x x
x x
 
> = + − >
 ÷
+ +
 
Vậy f(x) đồng biến khi
2
3
x >
,f(1)=0
Nên x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình
GV: Lê Thị Hoa - Trường THPT Tĩnh Gia 1
8
Sáng kiến kinh nghiệm
VD10 :Giải phương trình:
4 4

[ ]
f x f 3 2 x 2,4≥ = ∀ ∈
⇒ Phương trình
( )
4 4
f x x 2 4 x 2= − + − =
có nghiệm duy nhất x = 3
VD 11 : Giải phương trình sau:
3 3 3
2 1 2 2 2 3 0x x x+ + + + + =
(1)
Lg: Xét phương trình
3 3 3
2 1 2 2 2 3 0x x x+ + + + + =
Tập xác định: D = R. Đặt f(x) =
3 3 3
2 1 2 2 2 3 0x x x+ + + + + =
Ta có:
2
3
,1,
2
1
;0
)32(
2
)22(
2
)12(
2


−−∪






−−∪






−∞− ,
2
3
2
3
,11,
2
1
2
1
,
Ta thấy f(-1)=0 ⇒ x=-1 là một nghiệm của (1). Ta có:
3)
2
3

)
Sáng kiến kinh nghiệm
Bình luận :Nhiều phương trình vô tỷ được giải nhờ vào việc đặt ẩn phụ thích hợp
sau đó đưa về hệ phương trình ,từ đó vận dụng hàm số để giải .
VD12: Giải phương trình :
33 2 2
4 5 6 7 9 4x x x x x− − + = + −
Lg: Đặt y=
3 2
7 9 4x x+ −
Ta có
3 2 3 2
2 3 3 3
4 5 6 4 5 6
7 9 4 ( 1) 1
x x x y x x x y
x x y x x y y
 
− − + = − − + =
 
⇔
 
+ − = + + + = +
 
 
Xét hàm số f(t)=t
3
+t, f
’
(t)=3t

[ ]
0;6x ∈

3 3
4 4
'
3 3 3 3
4 4 4 4
(6 ) (2 )
1 1 1 1 6 2
( )
2 6 2 6
2 (2 ) 2 (6 ) 2 (6 ) (2 )
x x
x x
f x
x x x x
x x x x
− −
− −
= − + − = +
− −
− −
Nhận thấy hai số hạng của f
’
(x) cùng dấu với nhau nên f
’
(x) =0 khi 6-2x=2x hay x=2
Bảng biến thiên :
x 0 2 6

2
11 7
4 1
2
x
x x
 
+ + +
 ÷
 
=m
Lg: Đặt y=
2
11 7
4 1
2
x
x x
 
+ + +
 ÷
 
ta có
'
2
2 2
11 28
1
2
4 28

∞
y
’
- 0 +
y +
∞
+
∞

15
2
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm dương phân biệt m>
15
2
Bình Luận : Bài toán trên khó khăn cho học sinh không chỉ ở công đoạn tính
đạo hàm mà còn gây khó khăn cả trong việc giải phương trình y
’
=0 và xét dấu
của đạo hàm .Để giải được phương trình y
’
=0 và xét được dấu đạo hàm ở bài
GV: Lê Thị Hoa - Trường THPT Tĩnh Gia 1
11
Sáng kiến kinh nghiệm
toán trên có sự phục vụ rất lớn của đạo hàm .Ta có thể tiếp cận bài toán trên
theo cáh khác như sau :

2
0 0
11 7

3 3.1 7 9 7 1 16 1
x x x x
 
     
+ = + ≤ + + = +
 ÷
 ÷  ÷  ÷
     
 

2
2
7 1 7
4 1 3
2x x
   
⇒ + ≥ +
 ÷  ÷
   

Dấu = xảy ra khi
3 7
3
1
x
x
x
= ⇔ =
Từ
11 1 7 3 9

đạo hàm nhưng lại gặp khó khăn trong việc lựa chọn điểm rơi trong bất dẳng
thức Cô si và Bunhia .Để luyện tập học sinh có thể làm bài tập tương tự :
Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm dương
2
1 3
2 1
2
x
x x
− + +
=m
Nhận xét :Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải phương trình ,học sinh
cũng hay mắc sai lầm trong việc kết luận về tổng,tích hai hàm đồng biến Ta xét
thêm một ví dụ khác
VD15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

( )
12 2010 2009x x x m x x+ + = − + −
Lg: Đk :
0 2009x≤ ≤
Viết lại phương trình dưới dạng :(
12x x x+ +
)(
2010 2009x x− − −
) =m
GV: Lê Thị Hoa - Trường THPT Tĩnh Gia 1
12
Sáng kiến kinh nghiệm
Xét hàm số f(x) =(
12x x x+ +

khi
( )
(0) (2009) 12 2010 2009 2009 2009 2021f m f m≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ +

Bình Luận:Khi hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất của hàm số vào giải
phương trình người thầy cũng cần lưu ý học sinh:Khi xét trên tập D thì tích
của hai hàm đồng biến (Nghịch biến )chưa chắc là hàm đồng biến (nghịch biến)
chỉ có tích của hai hàm đồng biến (nghịch biến ) dương mới là hàm số đồng biến
(nghịch biến ) .
VD16 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

(4 3) 3 (3 4) 1 1 0m x m x m− + + − − + − =
(1)
Lg: Điều kiện
3 1x− ≤ ≤
Phương trình
⇔
(4 3 3 1 1) 3 3 4 1 1m x x x x+ + − + = + + − +
3 3 4 1 1
(4 3 3 1 1)
x x
m
x x
+ + − +
⇔ =
+ + − +
(2) Vì
( ) ( )
2 2
3 1 4x x+ + − =

0;1t ∈
Khi đó (2) trở thành:
( )
( )
2 2
2
2 2 2
12 8 1 1
7 12 9
( )
16 6 1 1 5 16 7
t t t
t t
m f t
t t t t t
+ − + +
− −
= = =
+ − + + − −
(3)
(1) có nghiệm
⇔
(3) có nghiệm t
∈
[ ]
0;1
có
( )
[ ]
2

1 2
1
t
x
t
t
x
t

+ =


+

−

− =

+


xuất phát từ vấn đề lượng giác hoá:
2 2 2
x y a+ =
ta đặt
asin
y=acos
x
α
α


=

+

VD 17 Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt

1 8 (1 )(8 )x x x x m+ + − + + − =
Nhận xét: Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp thông thường là đặt ẩn
phụ t =
1 8x x+ + −
sau đó chuyển về bài toán tìm điều kiện của tham số đẻ
phương trình có nghiệm thoả mãn diều kiện cho trước .Tuy nhiên cách đặt ẩn
phụ đó thường phải quy về giải bằng định lý đảo về dấu của tam thức bậc
hai.Định lý này trong chương trình sách giáo khoa mới đã giảm tải .Vì vậy
phương pháp hàm số là sự lựa chọn thích hợp nhất cho dạng toán này
Lg: Đặt f(x)=
1 8 (1 )(8 )x x x x+ + − + + −'
1 1 7 2 8 1 7 2
( )
2 1 2 8 2 1 8 2 1 8 2 1 8
1 1
(7 2 )
2 1 8 ( 8 1 ) 2 1 8
x x x x
f x
x x x x x x x x

f
’
(x) + 0 -9
3 2
2
+
f(x) 3 3
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
9
3 3 2
2
m≤ < +

Bình luận :-Qua bài toán trên ta thấy việc xét được dấu của đạo hàm là mộ t khâu
quan trọng trong ứng dụng của hàm số ,đòi hỏi người giải toán phải rất linh hoạt
trong biến đổi .
-Ngoài cách trên học sinh còn có thể đề cập đến phương pháp lượng giác hoá
như sau:Đk:
1 8x− ≤ ≤
:Nhận xét
( ) ( )
2 2
1 8 9x x+ + − = ⇒
đặt
1 3sin
, 0;
2

− =



Bài toán quy về tìm m để phương trình 9t
2
+6t -9=2m có hai nghiệm thực
Xét hàm số f(x)= 9t
2
+6t -9 trên D=
1; 2
 
 
,f
’
(t)=18t+6>0 trên
1; 2
 
 
Minf(t)=f(1)=6,Maxf(t)=f(
2
)=9+
6 2
.Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi

9
6 2 9 6 2 3 3 2
2
m m≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤ +
Một số bài toán phải sau quá trình biến đổi như đặt ẩn phụ thích hợp mới sử

−
+
>0,vì
1 2
1 1 [0;1)
1 1
x
t
x x
−
= − < ⇒ ∈
+ +
GV: Lê Thị Hoa - Trường THPT Tĩnh Gia 1
15
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài toán trở thành tìm m đẻ hệ phương trình sau có nghiệm
2
( ) 3 2
0 1
f t t t m
t

= − + =

≤ <


Ta có f
’
(t)=-6t+2, f

4
1
0
1
x
x
+
>
−
, tuy nhiên lúc đó điều kịên của ẩn phu sẽ thay đổi theo

1 2
1 1 [1; )
1 1
x
t
x x
+
= + > ⇒ ∈ +∞
− +
Từ đó ta lại được một hàm số mới vớí tập xác
định tương ứng .
-Một số phương trình sau khi đặt ẩn phụ thì việc tìm được điều kiện chuẩn
cho ẩn phụ đôi khi lại phải dùng đến việc khảo sát hàm số .Ta xét bài toán sau:
VD19 :Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 2nghiệm dương

2 2
4 5 4x x m x x− + = + −
( ĐH GTVT-2001) (1)
Lg: Đặt t=

(1)
⇔
f(t) =t
2
+t-5=m Nhận thấy với mỗi t
( )
1; 5∈
thì phương trình (1) có 2nghiệm
x>0.Bài toán quy về Tìm m để phương trình t
2
+t-5=m có nghiệm t
( )
1; 5∈
Ta có f
’
(t)=2t+1>0
∀
t
( )
1; 5∈
nên hàm số đồng biến .Ta có bảng biến thiên
t 1
5
f
’
(t) +

5
f(t) -3
Từ bảng biến thiên ta có

+ − − =

Ycầu bài toán quy về chứng minh phương trình (*) có nghiệm trong
(2; )+∞
Xét f(x)=
3 2
6 32x x+ −
với x>2, f
’
(x)=3x
2
+12x>0
(2; )x∀ ∈ +∞
Bảng biến thiên
x 2
+∞
f
’
(x) +

+∞
f(x) 0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với m>0 (1) luôn có 1 nghiệm x>2 .
GV: Lê Thị Hoa - Trường THPT Tĩnh Gia 1
17
Sáng kiến kinh nghiệm
VD21 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2
2 2( 4) 5 10 3 0x m x m x

2 1
( )
2 5
1
2 10 8
( ) 0
4
2 5
.
x x
f x
x
x
x x
f x
x
x
− +
=
−
=

− +
⇔ = = ⇔

=
−

Bảng biến thiên
x -3 4

 
Nếu x=0 thì m=0
Nếu
0x
≠ ⇒
m =
2
'
2
3 4 1 1 1 1
3 4 ( ), ( ) 3 0
2
x x
x g x g x x
x x x
+ −
= + − = = + > ∀ ≥ −
Nên g(x) luôn đồng biến .Ta có bảng biến thiên sau
x -1/2 0
+∞

g
’
(x) + +

+∞

+∞
GV: Lê Thị Hoa - Trường THPT Tĩnh Gia 1
18

Số
lượng
Tỷ lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
2011-
2012
12A2 40 8 20 % 20 50 % 12 30 %
12A3 45 5 11 % 20 44 % 20 44 %
2012-
2013
12A3 45 15 33 % 25 56 % 5 11 %
12A4 44 9 20 % 23 52% 12 28 %

GV: Lê Thị Hoa - Trường THPT Tĩnh Gia 1
19
Sáng kiến kinh nghiệm
Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối. Theo tôi khi ôn tập phần
toán giải phương trình chứa căn giáo viên cần chỉ rõ dạng toán và cách giải tương
ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn
chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho
tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3. Kiến nghị và đề xuất:
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều
hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập