Một số bài tập rèn luyện Hình Học Không Gian Beckbo1210
KHOẢNG CÁCH
GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ
ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG
Chủ Đề Hình Học Không Gian nói chung và “ Khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau và đoạn vuông góc chung ” nói riêng , là một chủ đề tương đối
khó với học sinh. Chúng tôi biên soạn tài liệu này nhằm giúp các em nhìn nhận
vấn đề trên dễ dàng hơn và có hệ thống hơn.
A-NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP :
Để xác định Khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau và đoạn vuông
góc chung, thông thường người ta dùng 2 phương pháp cơ bản sau:
Phương pháp 1:
Bước 1: Xác định mặt phẳng
a⊥)(
α
tại A và
)(
α
cắt b.
Bước 2: Chiếu vuông góc b xuống
)(
α
được hình chiếu b’.
Bước 3: Kẻ A’B’ như hình vẽ 1a,
dựng hình bình hành ABB’A’.
Dể dàng cm được AB là đoạn vuông góc
chung của 2 dt a, b.
Trong trường hợp đặt biệt :
)(
α
⊂b

b'
b
a
α
α
a
b
A
B
K
H
α
b
A
B
a
Một số bài tập rèn luyện Hình Học Không Gian Beckbo1210
B-MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HOẠ :
Bài tập 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a .Xác định và tình độ dài đoạn vuông
góc chung của AB và CD.
Gợi ý :
+ Lập mặt phẳng chứa
CDAB
⊥
cắt CD tại I
+ Kẻ
IHABIH ⇒⊥
là đoạn vuông góc chung.
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có
)(ABCDSA ⊥

tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa các đường thẳng :
a) SA và CD b) AB và SD c) AD và SC
Gợi ý:
a) AK
b) AI
c) HK
2
H
I
A
B
D
K
H
I
S
A
B
C
D
P
H
A'
K
I
B
C
D
A
S

E
H
I
I'
A'
B'
C'
C
B
A
F
H
K
I'
I
D
S
A
B
C
O
Một số bài tập rèn luyện Hình Học Không Gian Beckbo1210
Bài tập 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm AC và AD. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa
hai đường thẳng DM và D’N.
Gợi ý:
+ Gọi I là trung điểm AM.
Lập hình chữ nhật IMDJ
⇒
(D’JD)

IJ là đoạn thẳng cần tìm.
Bài tập 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Hãy xác định đoạn
vuông góc chung của hai đương thẳng A’C’ và B’C.
Gợi ý:
+ (AB’C) // A’C’.
+ Chiếu A’C’ lên (AB’C).
Kẻ OE’
⊥
O’B’
⇒
O’E
⊥
(AB’C)
+ Qua E kẻ EI: là hình chiếu của A’C’
lên (AB’C)
Dựng IJ // OE. IJ là đoạn thẳng cần tìm.
4
F
E
H
N
I
M
J
D'
A'
C'
B'
D
C

góc chung giữa hai đường thẳng SI và AB.
Gợi ý:
+ Gọi M là trung điểm của AC. Dựng AQ
⊥
dt IM.
+ Chiếu AB lên (SQI) là KJ.
+ Dựng h.b.h AKJH. JH là đoạn thẳng cần tìm.
Bài tập10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, J lần lượt là
tâm các hình vuông AĐ’A’ và BCC’B’. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc
chung giữa hai đường thẳng CI và AJ.
Gợi ý:
+CI // (AA’J)
+IM // A’D’.Kẻ IH
⊥
MJ
⇒
IH
⊥
(AA’J)
⇒
IH
⊥
AJ.
ICIH
JAIC
JAIH
⊥⇒





⊥
⊥
))'(,()','(
)'('
)'(
',
)',(
'
Dựng h.b.h BHEF.
5
J
H
K
M
Q
I
B
C
A
S
D'
F
E
H
M
I
J
A'
B'

+Tam giác BCC’ cân,
'
1
BCC
cân.
+



=∩
⊥
⊥
111
11
1
)()'(
)()'(
)('
CIICCBCC
ICCBCC
ICCBC
Kẻ CH
⊥
1
IC
)'(,(),(
11
CBCCdBCACd =⇒
Do





⊂
⊥
⇒



⊥
⊥
⇒
b) Gọi H hình chiếu của D lên (ACD’). Đặt h=DH
. ' ' . ' '
1 1
. .
3 3
D ACD AD C A DD C DD C
V h S V AD S= = =
c) Kẻ
'ACIK
⊥
.Rõ ràng
'CDIK
⊥
Bài tập 14: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’.
a) Chứng minh:
)''(' CDBABC ⊥
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AB’ và BC’.
Gợi ý:

A
1
B
1
H
I
K
D'
D
A
B
C
C'
B'
A'
P
K
H
I
A'
B'
B
C
C'
D'
D
A
Một số bài tập rèn luyện Hình Học Không Gian Beckbo1210
Bài tập 15: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong 2 mp
vuông góc nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

BCAH
⊥⇒



⊥
⊥

b)
)(),( ABCBCAHDI
AHDI
aDHAD
BCDI
≡⊥⇒
⊥⇒



==
⊥

c) HK
Bài tập 16: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
0
60
ˆ
=A
và có đường cao SO= a .Tính:
a) d(O,(SBC))
b) d(AD,SB)

M
60
0
O
C
B
A
S
D
K
H
I
O
A
D
C
B