Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BẤT KÌ
Câu 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C có BC = AC = 3a . Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy trung với điểm H sao cho HC = 2 HA , biết tam giác SAC là tam giác
vuông tại S. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC.
Lời giải:
Ta có: AC = 3a ⇒ HA = a; HC = 2a .
Lại có ∆SAC vuông tai S có đường cao SH nên ta có:
SH 2 = HA = HC = 2a 2 ⇒ SH = a 2 .
Dựng Bx / / AC , dựng HE ⊥ Bx , HF ⊥ SE
Ta có Bx ⊥ SH ⇒ BE ⊥ ( SHE ) ⇒ BE ⊥ HF .
Mặt khác HF ⊥ SE ⇒ H F ⊥ ( SBE ) .

Do Bx / / AC ⇒ d ( SB; AC ) = d ( AC ; ( SBE ) )

= d ( H ; ( SBE ) ) = HF .

1
1
1
=
+
, trong đó HE = BC = 3a suy ra
2
2

Dựng HM ⊥ BD; AN ⊥ BD ta có:
1
AB. AD
2a
HE = HM = AN =
=
.
2
5
AB 2 + AD 2
Khi đó:

1
1
1
3
3
=
+
⇒ HF = 2a
⇒ d = 4a
.
2
2
2
HF
SH
HE
19
19

suy ra AF ⊥ ( SCE ) . Ta có: AE = BC = 2a .
AE.SA

Do vậy d ( AB; SC ) = AF =

=a 2.
AE 2 + SA2
Câu 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Tam giác SAD đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AC và SB .
b) AD và SB .
Lời giải
a) Gọi H là trung điểm của AD ta có SH ⊥ AD .
Mặt khác ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .
a 3
.
2
Dựng Bx / / AC ⇒ d ( AC ; SB ) = d ( AC ; ( SBx ) ) .

Trong đó SH = S A.sin 600 =

Gọi G = AO ∩ BH ⇒ G là trọng tâm tam giác ABD.
3
Khi đó d ( AC ; ( SBx ) ) = d ( G; ( SBx ) ) = d ( H ; ( SBx ) ) .
2
 BE ⊥ HE
Dựng HE ⊥Bx; HF ⊥ SE . Do 
⇒ BE ⊥HF
 BE ⊥ SH
từ đó suy ra HF ⊥ ( SBE ) . Gọi K = AO ∩ HE ta có:

Facebook: Lyhung95

a) Ta có: BB '/ / CC ' ⇒ BB '/ / ( ACC ')

do vậy d ( BB '; AC ) = d ( BB '; ACC ') .
Dựng BE ⊥ AC , mặt khác BE ⊥ CC ' suy ra
BE ⊥ ( ACC ') ⇒ d ( BB '; ( ACC ') ) = BE .
a 3
.
2
b) Dựng Ax / / BC ⇒ d ( BC ; C ' A) = d ( BC ; ( CAx ) )

Mặt khác BE = BA sin BAE = BA sin 600 =

= d ( C ; ( C ' Ax ) ) .

 AE ⊥ CE
Dựng CE ⊥ Ax; AF ⊥ C ' E . Do 
 AE ⊥ CC '
⇒ AE ⊥CF từ đó suy ra CF ⊥ ( C ' AE ) .
Trong đó CE = d ( A; BC ) = AB sin ABC =

Do vậy CF =

CE.CC '
CE + CC '
2

2


2
Kẻ HE ⊥ BD ( E ∈ BD ) và HI ⊥ SE ( I ∈ SE )

a) Ta có: AB =

BD ⊥ ( SHE ) ⇒ BD ⊥ HI ⇒ HI ⊥ ( SBD ) ⇒ d ( H ; ( SBD ) ) = HI
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Ta có:

1
1
1
1
1
=
+
=
+
2
2
2
2
HI
SH
HE
SH
HB.sin HBE

f) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD và cắt HE tại L. Kẻ EM ⊥ SL ( M ∈ SL ) EG / / SH ( G ∈ SL )
Ta có: d ( BD; SC ) = d ( BD; ( SLC ) ) = d ( E; ( SLC ) ) = EM
EL = CD.sin CDE =

a 3
a
2
1
1
1
7
3
⇒
= 2+
= 2 ⇒ EM = a
; EG = SH =
2
2
EM
EL EG
2
3
3a
7
3

Câu 7: [ĐVH]. Cho hình chóp tam giác SABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Gọi I là trung điểm của
BC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn AI sao cho AH =

1

a
⇒ FJ ⊥ ( SAI ) → d ( F ; ( SAI ) ) = FJ = CI =
2
2
 FJ ⊥ SH

Ta có: 

b) Khoảng cách giữa hai đường SA và BC.
Từ A kẻ AD / / BC AD = BC ⇒ BC / / ( SAD )

Khi đó d ( SA;BC ) = d ( BC; ( SAD ) ) = d ( I ,( SAD ) ) = 3d ( H ; ( SAD ) )

Kẻ HK ⊥ SA ta có:

AD ⊥ ( SHA ) → AD ⊥ HK 
7
 ⇒ HK ⊥ ( SAD ) → d ( H ,( SAD ) ) = HK = a
22
HK ⊥ SA

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Vậy d ( SA; BC ) = 3a

Facebook: Lyhung95

7

. Gọi H là trung điểm của AB. Tính khoảng
6

cách

a) từ A đến (SBD).
b) giữa hai đường thẳng SH và BD.
c) giữa hai đường thẳng BC và SA.
Lời giải:

Hướng dẫn:
a)Khoảng cách từ A đến (SBD)
Tam giác SAB cân tại S, H là trung điểm AB nên SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD )

Ta có: d ( A; ( SBD ) ) = 2d ( H ; ( SBD ) )

 HE ⊥ BD
Kẻ HE ⊥ BD → 
→ BD ⊥ ( SHE ) → BD ⊥ HI
 SH ⊥ BD
 BD ⊥ HI
Lại có: 
→ HI ⊥ ( SBD ) → d ( H ; ( SBD ) ) = HI
 HI ⊥ SE
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95


a 3
3

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA.
Ta có: BC / / ( SAD ) → d ( BC;SA) = d ( BC; ( SAD ) ) = d ( B; ( SAD ) ) = 2d ( H ,( SAD ) )
Kẻ HK ⊥ SA ( K ∈ SA ) .

Khi đó:

AD ⊥ ( SHA ) → AD ⊥ HK 
 → HK ⊥ ( SAD )
HK ⊥ SA

→ d ( H ; ( SAD ) ) = HK =

a
2a
→ d ( BC; SA) =
5
5

Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!