PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HOÀNG MAI
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ GIÁP BÁT
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC
BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ
Giáo viên : Nguyễn Thị Hồng Hải
Bộ môn : Toán
NĂM HỌC 2013 – 2014
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là môn khoa học, là nền tảng cho cá môn khoa học khác, có
ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống. Toán học giữ vai trò quan
trọng trong mọi bậc học. Làm thế nào để học được toán, học giỏi toán đó là
vấn đề đặt ra mà không phải lúc nào cũng giải quyết được một cách dễ dàng.
Trong toán học, việc lựa chọn cách giải giữ vị trí quan trọng để có thể đạt
hiệu quả tốt. Đó là ta nhanh chóng định hướng được cách giải và tìm được
cách giải nhanh nhất. Muốn vậy, phải rèn luyện kỹ năng giải toán cho học
sinh.
Với cương vị là một giáo viên toán, sau nhiều năm giảng dạy môn Toán
ở bậc trung học cơ sở tôi nhận thấy mảng giải toán cực trị được đưa ra ở sách
giáo khoa lớp 8, 9 là rất khiêm tốn, nội dung sơ lược, mang tính chất giới
thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho nó là quá ít ỏi. Tuy nhiên, nội dung
bài tập ứng dụng thì rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Các bài toán cực trị
trong đại số là một nội dung thường gặp trong các kỳ thi ở bậc THCS, THPT
và đặc biệt là trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi.
Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự
trở ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với phương trình bậc cao. Cùng
với sự tích lũy kinh nghiệm có được của bản thân qua nhiều năm giảng dạy
tôi xin đề xuất một số phương pháp giải bài toán cực trị trong đại số và các
bài tập min họa trong chương trình toán THCS.
Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề

em, có học lực môn toán phần cực trị đại số thấp thông qua bài kiểm tra khảo
sát chất lượng:
Điểm
Lớp
Sĩ số Giỏi Khá t. bình Yếu kém
HS 8 10 4 = 40% 6 = 60% 0 0 0
HS 9 10 5 = 50% 5 = 50% 0 0 0
Vì vậy, nhiệm vụ của người giáo viên phải rèn cho học sinh kỹ năng giải
các loại bài toán này. Khi hướng dẫn học sinh giải loại toán này phải dựa trên
nhiều quy tắc: Yêu cầu về giải bài toán, quy tắc giải bài toán cực trị đại số,
phân loại và đưa ra các phương pháp giải.
Bằng những kinh nghiệm rut ra sau nhiều năm giảng dạy, tôi mạnh dạn
viết Sáng kiến kinh nghiệm: “Giải các dạng bài toán cực trị trong đại số”
II. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
1. Khái niệm về cực trị của một biểu thức
Cho biểu thức nhiều biến số P( x,y….z) Với x,y,….,z thuộc miền S nào
đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến (x
0,
y
0,
…z
0
)
∈
S mà ta có P (x
0,
y
0,
…z
0

max
tại (x
0
, y
0
, …z
0
). Tương tự ta có: P đạt giá trị
nhỏ nhất tại (x
0
, y
0
, …z
0
)
∈
S còn gọi là P đạt cực tiểu tại (x
0
, y
0
, …z
0
) hoặc
P
min
tại (x
0
, y
0
, …z

2
≥ 0 nên A ≥ 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0
Lời giải trên có đúng không ?
Giải: Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới chứng tỏ
A ≥ 0 nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. Dấu đẳng
thức không xảy ra, vì không thể có đồng thời:
x
2
= 0 và (x - 2)
2
= 0
Lời giải đúng là
A = x
2
+ ( x- 2)
2
= x
2
+ x
2
- 4x + 4 = 2x
2
- 4x + 4
= 2( x
2
- 2x + 1) + 2 = 2(x - 1)
2
+ 2
Ta có (x - 1)

Xảy ra dấu đẳng thức  a = 0
*
a 0≥
(Xảy ra dấu đẳng thức  a = 0)
*
a a a− ≤ ≤
(Xảy ra dấu đẳng thức  a = 0)
*
a b a b+ ≥ +
(Xảy ra dấu đẳng thức 
ab 0≥
)
*
a b a b− ≥ −
(Xảy ra dấu đẳng thức
a b 0⇔ ≥ ≥
hoặc
a b 0≤ ≤
*
1
a 2, a 0
a
+ ≥ ∀ >
và
1
a 2, a 0
a
+ ≤ − ∀ <
*
2

n
+ + +
≥
Dấu bằng xảy ra
1 2 n
a a a⇔ = = =
* Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hai dãy số a
1
, a
2
, … và b
1
, b
2
, …, b
n
khi đó ta có:
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
a b a b a b (a a a ) b b b+ + + ≤ + + + + +
Dấu bằng xảy ra
1 2 n
1 2 n
a a a

b b b
⇔ = =

Với mọi giá trị của x: ( x - 2)
2
≥ 0
Dấu “ = “ chỉ xảy ra khi x = 2
Nên ta có A(x) = ( x - 2)
2
- 3 ≥ - 3
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 3 khi x = 2
Đáp số: A(x)
nhỏ

nhất
= - 3 với x = 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B(x) = -5x
2
- 4x + 1
Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ
Hướng dẫn giải
Gợi ý: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đưa
B(x) về dạng B(x) ≤ k ( k là hằng số) với mọi giá trị của biến khi đó giá trị lớn
nhất của B(x) = k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng thức.
Lời giải
B(x) = -5x
2
-4x + 1
2
4
5 x x 1
5

5 5
 
 
= − + + +
 
 ÷
 
 
2
2 9
5. x
5 5
 
= − + +
 ÷
 
Với mọi giá trị của x:
2
2
x 0
5
 
+ ≥
 ÷
 
Dấu “=” xảy ra khi
2
x
5
= −

Đáp số: B(x)
lớn nhất
=
9
5
với
2
x
5
= −
Ví dụ 3: (Tổng quát)
Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+ bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) cua P ta cần phải biến đổi sao
cho
P = a. A
2
(x) + k. Sau đó xét với từng trường hợp a> 0 hoặc a < 0 để tìm
giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất
Lời giải
P = a. A
2
(x) + k
2
b
a x x c

Do
2
b
x 0
2a
 
+ ≥
 ÷
 
Dấu “=” xảy ra khi
b
x
2a
= −
Nên:
+ Nếu a> 0 thì
2
b
a x 0
2a
 
+ ≥
 ÷
 
do đó
P k
≥
+ Nếu a < 0 thì
2
b

Bài tập nâng cao (Chứa nhiều đại lượng)
Bài 1:
Tìm giá trị của m, p sao cho
A = m
2
- 4mp +5p
2
+ 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ
nhất đó.
Hướng dẫn: Ta có: A = m
2
- 4mp +5p
2
+ 10m - 22p + 28
= ( m - 2p)
2
+ (p - 1)
2
+ 27 + 10(m - 2p)
Đặt X = m - 2p ta có:
A = X
2
+ 10X + (p - 1)
2
+ 27
= (X + 5)
2
+ (p - 1)
2
+ 2

P = 19x
2
+ 54y
2
+ 16z
2
- 16 yz + 36 xy + 5 . Đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá
trị nhỏ nhất đó.
Dạng 2: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT CỦA ĐA THỨC BẬC CAO
Ví dụ 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = ( x
2
+ x + 1)
2
Hướng dẫn giải:
(?) Ta nhận thấy A = ( x
2
+ x + 1)
2
≥ 0, nhưng giá trị nhỏ nhất của A có
phải bằng 0 hay không? Vì sao?
Trả lời: Mặc dù A ≥ 0 nhưng giá trị nhỏ nhất của a không phải bằng 0 vì
( x
2
+ x + 1)
2
≠ 0
Do đó A
min <

3
4
với
1
x
2
= −
Trả lời: Giá trị nhỏ nhất của A bằng
2
3 9
4 16
 
=
 ÷
 
với
1
x
2
= −
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x
4
- 6x
3
+ 10x
2
- 6x + 9
Hướng dẫn giải
Gợi ý
- Hãy viết biểu thức dưới dạng A

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi
( )
2
x 0
x x 3 0
x 3x 0
x 3
x 3 0
x 3
x 3
=


− =

− =



⇔ ⇔
=
  

− =
=



=


Ví dụ 6: tìm giá trị lớn nhất của A = │x - 2│+ │x - 5│
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối, do đó chúng ta phải nghĩ
tới các khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối của một biểu thức.
A khi A 0
A
A khi A 0
≥

=

− <

Cách 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A trong các
khoảng nghiệm. So sánh các giá trị của A trong các khoảng nghiệm đó để tìm
ra giá trị nhỏ nhất của A
Lời giải
* Trong khoảng x < 2 thì│x - 2│= - (x - 2) = 2 - x
│x - 5 │= - (x - 5) = 5 - x
⇒A = 2 - x = 5 - x = 7 = 2x
Do x < 2 nên -2x > -4 do đó A = 7 - 2x > 3
* Trong khoảng 2 ≤ x ≤5 thì │x - 2│= x - 2
│x - 5 │= - (x - 5) = 5 - x
⇒A = 2 - x + 5 - x = 3
* Trong khoảng x > 5 thì│x - 2│= x - 2
│x - 5 │= - (x - 5)
⇒A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7
Do x >5 nên 2x > 10 do đó A = 2x - 7 > 3
So sánh giá trị của A trong các khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của
A bằng 3 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 5

Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Sử dụng tính chất
1 1
a b,ab 0
a b
≥ > => ≤
hoặc theo quy tắc so ánh
hai phân số cùng tử, tử và mẫu đều dương.
Lời giải: Xét
( ) ( )
2 2
2
3 3 3
M
4x 4x 5
2x 4x 1 4 2x 1 4
= = =
− +
− + + − +
Ta thấy
( )
2
2x 1 0− ≥
Dấu “=” xảy ra khi
1
x
2
=
Nên
( )

1
B
2x x 4
=
− −
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2
2 2
1 1 1
B
2x x 4 x 2x 4
x 1 3
= = − = −
− − − +
− +
Vì
( )
2
x 1 0− ≥
Dấu “=” xảy ra khi x – 1 = 0 => x = 1
=>
( )
2
x 1 3 3+ + ≥
=>
( ) ( )
2 2
1 1 1 1

= −
−
không phải là giá trị lớn nhất của phân
thức.
Chẳng hạn với x = 2 thì
2
1 1
1
x 3 3
= > −
−
Như vậy từ -3 < 1 không thể suy ra
1 1
3 1
− >
Vậy từ a < b chỉ suy ra được
1 1
a b
>
khi a và b cùng dấu.
Bài tập tương tự
Bài 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2011
A
x 2x 2011
=
− +
Dạng 5: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA

A 1
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
+ +
= − + = − +
+
+ + + +
Đặt y =
1
x 1+
khi đó biểu thức A trở thành:
2
A 1 y y= − +
Ta có:
2
2 2
1 1 3
A 1 y y y 2.y.
2 2 4
 
= − + = − + +
 ÷
 
2
1 3 3
y
2 4 4
 
= − + ≥
 ÷

( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2
x x 1 4x 4x 1 3x 6x 3 x 2x 1
A
x 1 4 x 1 4 x 1
+ + + + + + + − +
= = =
+ + +
( ) ( )
( )
2 2
2
3 x 1 x 1
A
4 x 1
+ + −
=
+
( )
( )
2
2
x 1
3
A
4
4 x 1
−
= +

=
3
4
khi x = 1
Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2x 1
M
x
+
=
Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
x
N
x 2x 1
=
+ +
Dạng 6: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA
MỘT BIỂU THỰC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ DẠN
( )
2
A x
0
k
≥
hoặc
( )
2

( )
2
2
x
2 2
3 x 2x 3 1
3x 6x 9 1
M
x 2x 3 x 2x 3
+ + +
+ + +
= =
+ + + +
(?) Ta có thể chưa cả tử thức và mẫu thức của biểu thức cho
2
x 2x 3+ +
được không? Vì sao?
Trả lời: Vì
( )
2
2 2
x 2x 3 x 2x 1 2 x 1 2 0+ + = + + + = + + >
với mọi giá trị
của x.
Nên sau khi chia cả tử và mẫu cho
2
x 2x 3+ +
ta được
( )
2

( )
2
1 1
2
x 1 2
≤
+ +
Từ đó ta có:
( )
( )
2
x
1 1 1
M 3 3 3
2 2
x 1 2
= + ≤ + =
+ +
Vậy giá trị lớn nhất của
( )
x
1
M 3
2
=
khi và chỉ khi x = -1
Đáp số: M
(x)lớn nhất
=
1

a b 2 abc+ ≥
đặt được dấu “=” khi a = b = c
đặt được dấu “=” khi a = b.
Ví dụ 11:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
x
8x 2
A
x
+
=
với x >0
Lời giải: Ta có
2
x
8x 2 2
A 8x
x x
+
= = +
. Ta thấy 8x và
2
x
là hai đại lượng
lấy giá trị dương áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương là 8x và
2
x
ta
có:

và
( )
3
x 16 x 64
3
− ≤
dấu “=” xẩy ra khi
3 3
x 16 x x 2= − => =
(thỏa mãn *)
GTLN của B
x
= 64, với x = 2
2. Bất đẳng thức Buanhiacôpski
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
a b a b a b a a a b b b+ + ≤ + + + +
Dấu bằng xẩy ra khi
1 2 n
1 2 n
a a a

b b b
= = =
Ví dụ 13: Tìm các giá trị của x, y, z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
2 2 2
P x y z= + +
Biết:

=
dấu “=” xẩy ra khi x = y = z kết hợp với giả
thiết x+ y+z=2010. Ta có x = y = z = 670.
Ví dụ 14:
Cho biểu thức
Q 2x 4y 5.z= + +
. Trong đó x, y, z là các đại lượng
thỏa mãn điều kiện
2 2 2
x y z 169+ + =
. Tìm GTLN của Q.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số: 2, 4,
5
và x, y, z ta
có:
( ) ( )
{ }
( )
2 2
2 2 2 2 2
2x 4y 5x 2 4 5 x y z+ + ≤ + + + +
Dấu “=” xẩy ra khi
x y z
2 4
5
+ =
Hay
( )
{ }

z ;
5 5
= −
Bài tập tương tự
Bài 1: Cho biểu thức:
2
x x 1
A
x 2x 1
2
+ +
=
+ +
. Với
x 1,x 0≠ − >
. Hãy tìm
GTNN của A.
Bài 2: Cho biểu thức:
2
4
x
A
1 x
=
+
. Hãy tìm GTLN của A.
Bài 3: Cho biểu thức:
( ) ( )
x 2 x 8
Y

Cuối năm học đa số các em đã quen với loại toán “Cực trị trong đại số”,
đã nắm được các dạng toán và phương pháp giải từng dạng, các em biết trình
bày đầy đủ, khoa học, lời giải chặt chẽ, rò ràng, các em bình tĩnh, tự tin và
cảm thấy thích thú khi giải loại toán này.
Do điều kiện và năng lực của bản thân tôi còn hạn chế, các tài liệu tham
khảo chưa đầy đủ nên chắc chắn còn những điều chưa chuẩn, những lời giải
chưa phải là hay và ngắn gọn nhất. Nhưng tôi mong rằng SKKN này ít nhiều
cũng giúp học sinh hiểu kỹ hơn và vận dụng giải tốt các loại toán cực trị trong
đại số.
Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường phổ
thông, nhất là những bài học rút ra sau nhiều năm dự giờ thăm lớp của các
đồng chí cùng trường cũng như dự giờ các đồng chí trường bạn. Cùng với sự
giúp đỡ tận tình của ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn trường
THCS Dũng Tiến. Tôi đã hoàn thành SKKN “Bồi dưỡng học sinh giỏi lớn 8,
9 hệ thống các dạng bài toán cực trị trong đại số” cho các em học sinh đội
tuyển học sinh giỏi Toán 8 và Toán 9.
Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng chí trong ban giám hiệu nhà trường,
cảm ơn các đồng chí trong tổ chuyên môn trường THCS Dũng Tiến đã giúp
tôi hoàn thành SKKN này. Tôi rất mong được sự chỉ bảo của các đồng chí
chuyên môn Phòng Giáo dục và Đào tạo, ý kiến đóng góp của các đồng
nghiệp để vốn kinh nghiệm giảng dạy của tôi được phong phú hơn.
2 Khuyến nghị
- Đề nghị các cấp chính quyền địa phương quan tâm hơn nữa tới phong
trào giáo dục tại địa phương, đặc biệt là phong trào mũi nhọn như các lớp bồi
dưỡng thi học sinh giỏi cấp huyện, Thành phố.
- Đề nghị Phòng Giáo dục và Đào tạo mở các chuyên đề để chúng tôi có
điều kiện trao đổi và học hỏi thêm.
- Nên nghiên cứu và tạo ra một diễn đàn về giáo dục trên mạng internet
của huyện Thường Tín đặc biệt là diễn đàn trao đổi về viết các SKKN.
Tôi xin chân thành cảm ơn!