Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………………………… 3
Chương 1
MỞ ĐẦU……………………………………………………………………….5
1.1 Phương trình truyền nhiệt………………………………………………5
1.2 Công thức Taylor……………………………………………………….7
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TUYẾN
TÍNH HỆ SỐ HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI MỘT………………… 9
2.1 Phát biểu bài toán……………………………………………………….9
2.2 Lưới sai phân và hàm
lưới…………………………………………… 10
2.3 Lược đồ sai
phân……………………………………………………….12
2.4 Bài toán sai phân đối với sai
sè……………………………………… 17
2.5 Sự xấp xỉ……………………………………………………………….18
2.6 Sự ổn định…………………………………………………………… 18
2.7 Sự hội
tụ……………………………………………………………… 25
Chương 3
PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TUYẾN
TÍNH HỆ SỐ HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI BA……………………26
3.1 Phát biểu bài toán…………………………………………………… 26
3.2 Lưới sai phân và hàm lưới…………………………………………… 27
1
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
3.3 Lược đồ sai phân………………………………………………………27
3.4 Bài toán sai phân đối với sai sè……………………………………… 32
3.5 Sự xấp xỉ……………………………………………………………….33

Lược đồ này ổn định, đồng thời nghiệm sai phân của các lược đồ này đều hội tụ
đến nghiệm của bài toán vi phân cấp hai đối với
τ
(bước đi theo thời gian) và
cấp hai đối với
h
(bước đi theo không gian). Cụ thể là đồ án gồm các chương:
Chương 1 : Mở đầu
3
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
Chương này giới thiệu phương trình truyền nhiệt và công thức Taylor để
nghiên cứu lược đồ sai phân.
Chương 2: Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt tuyến tính hệ
số hàm với điều kiện biên loại một.
Chương 3: Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt tuyến tính hệ
số hàm với điều kiện biên loại ba.
4
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
Chương 1
MỞ ĐẦU
1.1 Phương trình truyền nhiệt.
Xét một thanh vật chất không đồng chất, dài L(cm), có thiết diện thẳng
nhỏ không đổi là S(cm
2
), có khối lượng riêng là
ρ
(g/cm
3
), có nhiệt dung là
C(cal/g.

qua một đơn vị diện tích của thiết diện thẳng nhỏ S trong một đơn vị thời gian) tỉ
lệ với vận tốc biến thiên của nhiệt độ u dọc theo phương x, tức là tỉ lệ với
x
u
∂
∂
:
q = -k
ρ
C
x
u
∂
∂
(1.2)
dấu trừ (-) ở vế phải nói rằng nhiệt truyền theo chiều giảm của nhiệt độ.
Do có định luật bảo toàn nhiệt lượng nên có sự cân bằng nhiệt ở mỗi phân
tố nhỏ S
x
∆
của thanh từ x đến x+
x
∆
trong thời gian
t
∆
. Sự cân bằng này diễn
đạt bằng công thức :
Nhiệt truyền vào phân tố – Nhiệt ra khỏi phân tố = Nhiệt tích luỹ trong
phân tố.

- q(x+
x
∆
,t)S
t
∆
= S
x
∆
ρ
C
u
∆
chia cho S
x t∆ ∆
ta được :

q(x,t) q(x x,t) u
C
x t
− + ∆ ∆
= ρ
∆ ∆
chuyển qua giới hạn (bằng cách cho
x 0∆ →
,
t 0
∆ →
), ta có:


Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
để đơn giản tính toán ta coi
ρ
=const và C=const ta viết lại phương trình (1.3)

t
u
)
x
u
k(
x ∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
a < x < b, t > 0, k=k(x,t) (1.4)
Phương trình (1.4) mô tả hiện tượng truyền nhiệt trong thanh vật chất
không đồng chất, gọi là phương trình truyền nhiệt của thanh, còn gọi là phương
trình truyền nhiệt một chiều.
Khi trong thanh vật chất còn có một nguồn nhiệt(sinh hay hấp thụ nhiệt)
đặc trưng bởi hàm f(x,t) thì ta có phương trình:

u u
k(x,t,u) f (x,t)
x x t
∂ ∂ ∂
 

với một số dạng phương trình truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiện biên loại một
và phương trình truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiện biên loại ba.
1.2 Công thức Taylor
Ta nhắc lại công thức Taylor vì sau này ta phải sử dụng nó nhiều lần.
Giả sử
( )
xF
là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m+1 trong một
khoảng
( )
βα
,
chứa x và
xx
∆+
,
x
∆
có thể dương hay âm. Khi đó người ta chứng
minh được công thức Taylor sau:
( ) ( ) ( )
( )
( )
++
∆
+
∆
+=∆+

!2!1

!1!
+
+
+
∆
+
∆
+
(1.8)
trong đó c là một điểm ở trong khoảng từ
x
đến
xx
∆+
; để diễn tả điều đó ta có
thể viết c =
xx ∆+ .
θ
với
10
<<
θ
.
Ta giả thiết thêm:

( )
constMxF
m
=≤
+

( )
( )
( ) ( )
( )
1
!
+
∆+
∆
+
m
m
m
xOxF
m
x
(1.9)
8
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP CRANK – NICOLSON GIẢI BÀI TOÁN
TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN
BIÊN LOẠI MỘT
2.1 Phát biểu bài toán
Cho các số
ba,
;
ba <
và
0>T






∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
≡

( )
T
Qtx ∈,
(2.1)

( ) ( )
xgxu
=
0,
,
bxa
≤≤
(2.2)

( ) ( )
tgtau

,
( )
tg
b
là những hàm số cho trước
đủ trơn và thoả mãn điều kiện :

( )
txkc ,0
0
≤<
,
( )
txq ,0 ≤
c
0
= const
Phương trình (2.1) là phương trình loại parabol. Phương trình (2.1) là
phương trình truyền nhiệt một chiều. Biến
x
gọi là biến không gian, còn biến
t
gọi là biến thời gian.
Bài toán (2.1)-(2.3) là một bài toán vừa có điều kiện ban đầu (đó là điều
kiện (2.2)), vừa có điều kiện biên (đó là điều kiện (2.3)); Đó là bài toán biên loại
một đối với phương trình (2.1).
Giả sử bài toán (2.1)-(2.3) có nghiệm duy nhất đủ trơn trong
T
Q
.

thành các ô bởi những đường thẳng
i
xx
=
,
j
tt
=
. Mỗi
điểm
( )
ji
tx ,
gọi là một nút, nút
( )
ji
tx ,
còn được viết gọn là (i,j);
h
gọi là bước đi
theo không gian,
τ
được gọi là bước đi theo thời gian.
Tập tất cả các nút tạo thành một lưới sai phân trên
T
Q
.
Lưới trên [a, b] (lưới không gian): Tập:
Ω
h

t | j 1,2, ,M
τ
Ω = =
gọi là một lưới sai phân trên
(
]
T,0
. Tập:

{ }
{ }
0tM0,1, ,j|t
0j
=∪Ω===Ω
ττ
gọi là một lưới sai phân trên
[ ]
T,0
; nót t
o
= 0 là nút ban đầu.
Tập:

ττ
Ω∪Ω=Ω
hh
là tập các nút trong trên
T
Q
.

h h h h h h
− +
τ τ τ τ τ τ
Ω = Ω ×Ω = Ω ∪Γ ∪Γ ∪ Γ
chính là lưới sai phân trên
T
Q
.
Ta phân lưới sai phân
T
Q
thành nhiều lớp :
Lớp thứ j tạo bởi các nút ứng cùng một giá trị thời gian t
j
là:

{ }
j
h i j
(x ,t ),i 0,1, ,N
Ω = =
;
nót (x
0
, t
j
) = (a, t
j
) và (x
N

jjj
Rvvvv

Trong tập các hàm lưới này ta xét hai loại chuẩn

{ }
j
i
Ni
j
vv
≤≤
∞
=
0
max

( ) ( ) ( )
]h [
22
1
2
0
2
j
N
jjj
vvvv +++=

Mỗi hàm số u(x,t) xác định trên

( ) ( ) ( )
+
∂
∂
+=






+=
++++
2/12/12/11
,
2
,
2
,,
jijijiji
tx
t
u
txutxutxu
ττ

( )
( )
3
2/1





−=
+++
2/12/12/1
,
2
,
2
,,
jijijiji
tx
t
u
txutxutxu
ττ

( )
( )
3
2/1
2
2
2
,
2!2
1
τ

2
,
2
,,
τ
ττ
Otx
t
u
tx
t
u
txutxu
jijijiji

( )
( )
3
2/1
,
ττ
Otx
t
u
ji
+
∂
∂
=
+

(2.4)

( ) ( ) ( )
( )
2
2/12/12/11
,
2
,
2
,,
τ
ττ
Otx
t
u
txutxutxu
jijijiji
+
∂
∂
+=






+=
++++

( ) ( ) ( )
( )
2
2/11
,2,,
τ
Otxutxutxu
jijiji
+=+
++

⇒
( ) ( )
( )
( )
2
2/1
1
,
2
,,
τ
Otxu
txutxu
ji
jiji
+=
+
+
+


∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=






∂
∂
∂
∂
+++++
12
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

( )
2
2/112/1
),(),(),(),(
2
1
τ






∂
∂
∂
∂
=
+++
(2.6)
Ta chứng minh:



+






−++−+
++++++
),(),
2
(),
2
(),(),







∂
∂
∂
∂
=



−+
+++−+
Theo công thức Taylor ta có :

( ) ( ) ( )
( )
3
2/1
2
2
2
2/12/12/1
,
2!2
1
,



+
++++

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
4
1
3
3
3
1
2
2
2
1111
,
!3
1
,
!2
1
,,, hOtx
x
u
htx
x
u
htx

,
2
,
,,
hOtx
x
uh
tx
x
uh
tx
x
u
h
txutxu
jijiji
jiji
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
−
+++
+++





∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
++++
12/112/1
,,
2
,,
jijijiji
tx
x
u
txk
x
h
tx
x
u
txk
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )

tx
x
k
tx
x
u
txkh
jijijijijiji
+






∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
++++++
(2.7)







+
∂
∂
−=






−
++++

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
4
1
3
3
3
1
2
2
2

( ) ( )
=
−






−
+−+
+
h
txutxu
t
h
xk
jiji
ji
111
2/1
,,
,
2
13
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

( ) ( ) ( ) ( )
+


( )
3
12/1
2
2
1
2
2
2/11
3
3
2/1
2
,,
8
1
,,
4
1
,,
6
1
hOtx
x
u
tx
x
k
tx
x

(2.8)
LÊy (2.7)-(2.8) ta có
( ) ( ) ( ) ( )
=
−






−−
−






+
+−+
+
+++
+
h
txutxu
t
h
xk
h

txk
x
h
tx
x
u
txk
x
h
jijijiji
+






∂
∂
∂
∂
+






∂
∂

( ) ( ) ( ) ( )
=
−






−−
−






+
+−+
+
+++
+
2
111
2/1
2
111
2/1
,,
,






∂
∂
∂
∂
=
++
(2.9)
Tương tù nh vậy ta chứng minh :




+






−++−+
++++
),(),
2
(),
2

+






∂
∂
∂
∂
=



−+
+−+
Theo công thức Taylor ta có :

( ) ( ) ( )
( )
3
2/1
2
2
2
2/12/12/1
,
2!2
1




+
++++

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
4
3
3
3
2
2
2
1
,
!3
1
,
!2
1
,,, hOtx
x
u
htx
x
u
htx
x

hOtx
x
uh
tx
x
uh
tx
x
u
h
txutxu
jijiji
jiji
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
−
+
14
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

( ) ( )
=


∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
++
jijijiji
tx
x
u
txk
x
h
tx
x
u
txk ,,
2
,,
2/12/1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
2/1
2
2

u
txkh
jijijijijiji
+






∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
+++
(2.10)
Tiếp tục ta có:

( ) ( ) ( )
( )
3


+
∂
∂
−=






−
++++

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
4
3
3
3
2
2
2
1
,
!3
1
,
!2
1



−
−
+
h
txutxu
t
h
xk
jiji
ji
,,
,
2
1
2/1

( ) ( ) ( ) ( )
+






∂
∂
∂
∂

2/1
2
,,
8
1
,,
4
1
,,
6
1
hOtx
x
u
tx
x
k
tx
x
u
tx
x
k
tx
x
u
txkh
jijijijijiji
+


−−
−






+
−
+
+
+
h
txutxu
t
h
xk
h
txutxu
t
h
xk
jiji
ji
jiji
ji
,,
,
2







∂
∂
∂
∂
+






∂
∂
∂
∂
=
++

( ) ( )
( )
3
2/1
,, hOtx
x







+
−
+
+
+
2
1
2/1
2
1
2/1
,,
,
2
,,
,
2
h
txutxu
t
h
xk
h
txutxu

∂
=
+
(2.12)
thay (2.9) và (2.12) vào (2.6) ta được :
( )
[ ]
( ) ( )
+





++−
+−
+
+
++
+++
+
+
2
11
2/1
1
2/12/1
111
2/1
1

u
k
xh
txuatxuaatxua
ji
ji
j
iji
j
i
j
ii
j
i
++






∂
∂
∂
∂
=





h
xka
và






−=
+
+
2/1
2/1
,
2
ji
j
i
t
h
xka

Áp dông (2.4), (2.5) và (2.13) ta có:
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
+



j
i
j
iji
j
ijiji
τ
( )
[ ]
( ) ( )
( )
( ) ( )
=
+
+





++−
+
+
+
−
+++
++
+
+
2

2/12/12/1
,,, hOtxqutx
x
u
k
x
tx
t
u
jijiji
+++






∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
=
+++
τ
(2.14)
với


2/1
,
2
ji
j
i
t
h
xka

ĐÓ có
( )
ji
j
i
txuv ,
≈
ta viết bài toán sai phân thay thế cho bài toán vi phân

( )
+



++−
−
−
≡
+
−

j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
τ
τ

( )
( )
=
+
+



++−
+
+
+
−
+++
++

i
vv
txq
h
vavaava

( )
2/1
,
+
=
ji
txf
(2.15)

( )
ii
xgv
=
0
(2.16)

( )
ja
j
tgv
=
0

( )

j
i
vvv
11
,,
+−
ở lớp j theo sơ đồ :
sơ đồ này gọi là sơ đồ 6 điểm đối xứng hay sơ đồ Crank-Nicolson.
Đặt
2
h
τ
γ
=
phương trình (2.15) viết lại là :

=−






+
+
++−
+
−
++
+++

2
1
γ
τγ
γ

1/2j
i
j
1i
1/2j
i
j
i
1/2j
i
1/2j
i
1/2j
1i
j
1i
1/2j
1i
fva
2
1
v
2
q

,
+
+
=
ji
j
i
txqq
,
( )
2/1
2/1
,
+
+
=
ji
j
i
txff
các điều kiện (2.16), (2.17) cho
j
N
j
i
vvv ,,
0
0
Khi biết
j

do đó :
t
t
j+1
t
j
t
j-1
x
i-1
x
i
x
i+1
x
17
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

=
wL
h
τ
ϕ, ϕ = f -
uL
h
τ
đồng thời:

0uvw
0

h
L
ϕ,
0w
0
i
=
,
0w
j
0
=
,
0w
j
N
=
(2.17)
2.5 Sự xấp xỉ
Theo (2.14) ta có :

)hO(LuuL
22
h
++=
τ
τ
đó là sự xấp xỉ toán tử vi phân L bởi toán tử sai phân
τ
h

w
j-
i
j
i
j
i
t
1
−
=

( )
h
ww
w
j
i-
j
i
j
i
x
1
−
=( )
h

h
wawa
wa
j
i
x
/j
i
j
i
x
/j
i
x
j
i
x
/j
i
1
21
1
1
21
1
1
21=

1
1
21
11
1
21
12
1
1
2112121
1
1
1
21
1
h
wa)wa(awa
j
i-
/j
i
j
i
/j
i
/j
i

x
/j
i
j
i
x
/j
i
x
j
i
x
/j
i
21
1
21
1
21

=
−
−
−
=
+
+
+
+
h

h
wa)wa(awa
j
i-
/j
i
j
i
/j
i
/j
i
j
i
/j
i
+++
++
+
+
++−
=
Với hai hàm lưới bất kì v và w xác định trên
h
Ω
, ta xét các tổng :

( )
∑
−

( )
∑∑
=
+
=
−==
1
1
1
1
1
N-
i
iii
N-
i
xiix
)v(vwhvww,v

∑ ∑ ∑∑
= = =
+++++
=
+
−++−=−=
1
1
1
1
1

iiiiiii
)vwv(w)vw(w

∑
=
−+−−=
1
2
111
N-
i
NNii-i
vwvw)vw(w
19
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

∑
=
−+−=
1
2
11
N-
i
NNiix
vwvwhvw

∑
=
−++−=


(
]
,vwvwvw
xNN
−−=
10
đó là (2.19)
Từ (2.19) ta suy ra công thức Green sai phân sau:

( ) (
]
xxxNxNxx
,wvvwvw,wv
−−=
10
(2.20)
Bây giờ phương trình
=
wL
hτ
ϕ ở (2.18) có thể viết thành :

( )
1
1
21211211
22
1
+

+
++−
j
jj
j
x
x
jjjj
t
ww
qwwaw
ϕ
với
211 /j
i
j
i
aa
++
=

211 /j
i
j
i
qq
++
=
Đặt
j11

(2.21)
Nhân cả hai vế của (2.21) với
( )
i
j
t
wτh
1
2
+
rồi cộng lại theo i ta được :

( )
( )
( )
( )
( )
( )
111
1
1
1
11
2
ˆˆ
2
+++
+
+
+

( )
( )
(
]
( )
( )
( )
111
11
2
2
1
2
ˆˆ
2
+++
++
+
=++
j
t
jj
t
jj
x
t
j
x
j
t







−
++
















−
++
j
t
j
jj

=−+−+
j
t
jjjjjjjj
x
j
x
jj
x
j
x
jj
t
,wτ,wwq,wwqwwa,wwawτ
ϕ
(2.22)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

( ) ( )
2
2
1
2
2
1
2
1
2
11111
222

+≤−+−+
j
t
jjjjjjjj
x
j
x
jj
t
j
x
jj
t
wττ,wwq,wwqwwa,wwawτ
ϕ
(
]
(
]
( ) ( )
2
2
111111111
2
2
1
,,
++++++++++
≤−+−+
jjjjjjjj

τ,wwqwa,wwqwwa
ϕ
(2.23)
Mặt khác







−
∂
∂
+






−−=






+−==
++






−
∂
∂
+=
+
ji
jj
t,
h
x
t
k
τaa
2
1







−
∂
∂

∂
2
⇒
Lt,
h
x
t
k
τ
aa
ji
jj
≤






−
∂
∂
=
−
+
2
1
Tương tự với giả thiết
( )
Lt,x

j
x
jjjjj
x
j
x
j
τ,wwq,wwa,wwq,wwa
ϕ

XÐt trường hợp
0
=
j
q
:
⇒
( )
0,
1
=
+
jjj
wwq
và
( )
0,
111
=
+++

111 +
+
+++
+
















−
+≤
jj
x
j
x
j
j
jj
jj

1111
1
++++
++≤
jj
x
j
x
jj
x
j
x
j
τ,wwaL,wwa
ϕτ

Đặt
( )
(
]
j
x
j
x
j
wwajE ,
=
ta có :
( )
( )

2
2
2
1
2
2
2
2
101112
ϕτϕτττϕττ
++++≤++≤
LELELE
…
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2

2
2
2
2
max
s
s
ϕϕ
=
và vì
( )
( )
0,0
000
==
xx
wwaE

⇒
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
1
11
11

=
L
L
L
j
j
s
τ
τ
τ
22
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
⇒
( )
( ) ( )
2
2
2
2
1111
ϕ
τ
ϕ
τ
τ
τ
L
L
L
L

]
2
2
1
ϕ
L
e
,wwa
j
tL
j
x
j
x
j
−
≤
(2.24)
Xét trường hợp
0
0
>=≥
constq
j
θ

(
]
( )
+

,wwa
aτ
)aa(
τa,wwq,wwa
1
111111

2
2
1
1
+
+
+

















−
+1
⇒
(
]
( )
( )
(
]
( )
[ ]
2
2
1111111
1
+++++++
+++≤+
jjjjj
x
j
x
jjjjj
x
j
x
j
τ,wwq,wwaLτ,wwq,wwa
ϕ
đặt
( )

++≤
FLF

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
101112
ϕτϕτττϕττ
++++≤++≤
LFLFLF
… ……
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )

1
2
2
1
101
ϕ
23
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
Đặt
2
2
2
2
max
s
s
ϕϕ
=
và vì
( )
( ) ( )
0,,0
00000
=+=
wwqwwaF
j
xx
⇒
( )
( )

( )
11
11
1
1
−+
−+
=+
∑
=
L
L
L
j
j
s
τ
τ
τ

( )
( ) ( )
2
2
2
2
1111
ϕ
τ
ϕ

jF
j
tL
−
≤

(
]
( )
2
2
1
ϕ
L
e
,wwq,wwa
j
tL
jjjj
x
j
x
j
−
≤+

mà
( )
0,
≥

hwww
+=
1
ta suy ra:

∑∑
==
=⇒+=
i
i
j
ix
j
i
i
i
j
ix
jj
i
hwwhwww
11
0
vì
0
0
=
j
w
. Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có :

2
1
2
1

( ) ( ) (
]
∑∑
==
=≤≤
N
i
j
x
j
x
j
ix
N
i
j
ix
,ww(b-a)wh(b-a).Nhwh
1
2
1
2
mà
(
]

1a-b
w
ϕ
−
≤
j
tL
e
c
24
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

2
2
0
j
L
1
c
a-b
w
ϕ
−
≤
∞
j
tL
e
(2.25)
Bất đẳng thức (2.25) là bất đẳng thức nói lên sự ổn định của phương pháp

22jjj
+=−=
∞∞
τ
(2.27)
đó là sự hội tụ và đánh giá sai số của phương pháp Crank-Nicolson.
25