B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGỌC CHI

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐŨNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐAO HÀM RIÊNG
a

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGỌC CHI

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐŨNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐAO HÀM RIÊNG
a

Chuyền ngành: Toán Giải tích
Mã sổ : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI, 2015



MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU............................................................................................................1
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC c ơ BẢN.............................................................3
1.1. Sai phân................................................................................................3
1.1.1. Định nghĩa.......................................................................................3
1.1.2.

Tỉnh chất của sai phân....................................................................5

1.2. Phương trình sai phân tuyến tính..................................................... 8
1.2.1. Định nghĩa.......................................................................................8
1.2.2. Nghiệm.............................................................................................9
1.3. Tuyến tính hoá..................................................................................... 21
1.4. Sai s ố .................................................................................................... 25
1.4.1. Định nghĩa....................................................................................... 25
1.4.2. Quy tắc làm tròn............................................................................. 26
1.4.3. Sai số tỉnh toán................................................................................ 27
1.4.4. Bài toán ngược của bài toán sai sổ...............................................29
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GÀN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG...................................................... 31
2.1. Phương pháp sai phân giải phương trình Elliptic..........................31
2.1.1. Bài toán biên Dirichlet....................................................................31
2.1.2. Những bước đi chính trong việc sai phân hoả bài toán biên
Dirichlet..................................................................................................... 31
2.2. Phương pháp sai phân giải phương trình Parabolic....................46
2.2.1. Bài toán biên của phương trình Parabolic.................................. 46

các phương trình đạo hàm riêng không thể và cũng không cần trong mọi
trường họp. Bởi yậy ta dẫn đến việc tìm nghiệm gần đúng của các phương
trình đạo hàm riêng và cũng từ đó xuất hiện các phương pháp giải gần đúng
các phương trình đó. Trong số các phương pháp giải gần đúng phương trình
đạo hàm riêng thì phương pháp sai phân (còn gọi là phương pháp lưới) được
sử dụng phổ biến nhất.
Mục đích chính của phương pháp sai phân là đưa bài toán phương trình
đạo hàm riêng về bài toán rời rạc trên các điểm lưới, đặc biệt là xung quanh
các điểm kì dị hoặc các điểm biên để đưa bài toán đang xét về hệ phương
trình sai phân và việc tìm nghiệm bằng số của bài toán chuyển về việc giải hệ
phương trình đại số bằng các phương pháp đúng hoặc gần đúng.
Tuy nhiên ngày nay chúng ta ngày càng tăng cường việc ứng dụng công
nghệ thông tin vào việc dạy và học toán. Và một trong những công cụ hữu
hiệu để giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng là phần mềm Maple.
Từ nhu cầu thực tiễn như vậy với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về
phương pháp sai phân và phần mềm Maple giải gần đúng phương trình đạo
hàm riêng, được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng em đã chọn đề tài
nghiên cứu: “PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐỦNG PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình.


2

2. Mục đích nghiền cứu
Luận văn nghiên cứu phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình
đạo hàm riêng.
3. Nhiệm vụ nghiền cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:
- Các kiến thức cơ bản về sai phân.
- ứng dụng của sai phân trong việc giải gần đúng phương trình đạo hàm

Thí dụ, hàm xn cho dưới dạng bảng
71

0

3

2

3

4

4

7

6

Có sai phân hữu hạn câp 1 là
Ax0 =

X 1 — X Q=

3 —1 = 2;

Ax2 = x 3 — x 2= 7 —4 = 3;

Ax1 = x 2 — x ±= 4 —3 = 1;
Ax3 = x4 — x 3= 6 —7 = —1;

A xn
( Xn+2

2 x n + ^-ị-Xn)

~ 3xn+2 + 3xn+1 — xn.

Nói chung, sai phân cấp k của hàm xn là
Akxn = A(Ak~1xn') = Ak~1xn+1 - Ak~1xn =

= Ỵ J C - I ỹ c i x n+I, _ i
i=0

trong đó
kị
Ck ~ i \ ( k - i ) \
Từ công thức (1.1), suy ra một số tính chất của sai phân sau đây.

( 1 .1)


5

1.1.2. Tính chất của sai phân
Tính chất 1.1.1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của
hàm số.
Chứng minh. Đe chứng minh tính chất 1.1.1, ta chứng minh công thức
( 1. 1).

Thật yậy, với k = 1, ta có ầxn = xn+1 — x n =

^ ( - 1 ỳ c ị x n + k - i = ^ ( - l ) í,~1 Cfc_1Cfc_1*n+fc-i' =

i=0

i' =1
/c+1
i=l

Bởi vậy
k

Ak+Ixn = Y í
i=0

k-1
- ư

c lk x n + k + l - i + Ỵ j í ~ Ư C lk ~ 1 x n + k + l - i +

i=1

( - l ) k+1*n


6

k

k



( —l ) l C^ ^ n + k + l- i -

i=0
Theo quy luật quy nạp, công thức (1.1) đúng với mọi giá trị n nguyên
dưcmg.
Tính chất 1.1.2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính.
Chứng minh. Ta phải chứng minh
Ak (axn + byn) = aầkxn + bầkyn, k = 1,2,...
Thật vậy theo (1) ta có
k

Ak(axn + byn) = ^ ( - l ỹ c l{a x n+k_i + byn+k_i)
i=0
k

k

^ ( - l ý c lk axn+k_i + y ( - l ý c lkbyn+k_i =
i=0

i=0


7

k

k


N

^
n=a

Akxn = Ak~1xN+1 - Ak~1x a

với k e z +.


8

Chứng minh.
N

N

ầ kxn = y
n=a
= ầk

n=a

1x a+1 — ầ k

1X a + ầ k 1X a + 2 — ầ k 1X CL+1 + -

+ ầ k 1X N+1

- ầ k ~ 1X N = ầ k ~ 1X N+1 - ầ k ~ 1X a .


trong đó Lh là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm xn, xác định trên
lưới có bước lưới h; aũtal t ... ,a k với a 0 ^ 0, ak ^ 0 là các hằng số hoặc các
hàm số của 71, được gọi là các hệ số của phương trình sai phân; fn là một hàm
số của 71, được gọi là vế phải; xn là giá trị cần tìm được gọi là ẩn.
Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k, vì
để tính được tất cả các giá trị xn, ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của xn,
rồi tính các giá trị còn lại của xn theo công thức truy hồi.
Định nghĩa 1.2.3. Nếu fn = 0 thì (1.2) được gọi là phương trình sai phân
tuyến tính thuần nhất.
Nếu /n í 0 thì (1.2) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần
nhất.
Nếu fn = 0 và aũtalt ...,ak là các hằng số, a 0 & 0, ak & 0 thì phương
trình (1.2) trở thành
Lfix n ~ a 0x n+k "h a l x n + k - l + ■■■ + a k x n ~ 0

(1 '3 )

và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với các hệ số
hằng số.
1.2.2. Nghiệm
Hàm số xn biến

71,

thoả mãn (1.2) được gọi là nghiệm của phương trình

sai phân tuyến tính (1.2).
Hàm số xn phụ thuộc k tham số, thoả mãn (1.3) được gọi là nghiệm tổng
quát của (1.3); nếu với mọi tập giá trị ban đầu

^1^-nl
suy ra

c±= c2 =

••• =

ck =

c2xn2 + ■■■+ Cikxnk = 0
0, thì nghiệm tổng quát xn của (1.3) có dạng

xn = Clxnl T" C2Xn2 + ••• + Cík xnk,
trong âỏc1,c2,...,ck là các hằng số tuỳ ý.
Chứng minh. Theo tính chất tuyến tính của Lh, ta có
k

Lhxn

Lh ^ ' Cị x nị
i=1

k

^ ' Cị Lhxni
i=1

vì theo giả thiết xni là nghiệm, tức là Lhxni = 0.
Vậy xn là nghiệm của (1.3).



m eN

Qm(n) là đa thức cùng bậc m với fn.
2. Nếu có nghiệm /1 = 1 bội s, thì
xn = n sQm(n)>

a = ---2



* ; = Qm (n)/?n,
trong đó Qm (n) là đa thức cùng bậc với fn.
2. Nếu (1.4) có nghiệm Ả = (ỉ bội s, thì tìm Xn dưới dạng
Xn = n sQm(n )p n,
trong đó Qm (n) là đa thức của n cùng bậc với fn.
Vỉ dụ: Tìm các nghiệm riêng x*n của các phương trình sai phân không
thuần nhất sau đây:


18

!• %n+4

^-®^n+3 "1" 35xn+2

2. x n + 3 -

7 x n+2

S^^-n+1 "T24£n

48.5

+ 16xn+1 - 12xn = 2n (24 - 24n).
Lời giải

1. Phương trình đặc trưng Ắ4 —10Ằ3 + 35Ã2 —50/1+ 24 = 0 có các
nghiệm Âi = 1,Ã2 = 2, Ã3 = 3, Ã4 = 4 đều khác 5; Pm(n) là đa thức bậc 0,
nên tìm xỊl = a. 5n. Thay vào phương trình sai phân và giản ước 2 vế cho
5n ^ 0, ta được

+ 2xn = [2 - V2)cos — + 2sin — .
Lời giải

Tìm X* dưới dạng:
nn
ĨITĨ
x t = acos-----1- bsin —
4
4
Thay X* vào phương trình sai phân và rút gọn, ta được
[(2 - ypĩ)a — 2b]cos — + + [2a + (2 - V2)b]sin — =
ĨITĨ _
ĨITĨ
= [2 — \ 2 ) c o s — + 2s in — .
v
'
4
4
So sánh hệ số của cos

và sin

ở 2 vế, ta được

(2 - yÍ2)a - 2b = 2 - yp2
2a + (2 - V2)b = 2
Giải hệ này, ta được a = 1,b = 0 và

__ nn
= cos'^f.