B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGỌC CHI

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GÀN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO
HÀM RIÊNG
#

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGỌC CHI

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GÀN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO
HÀM RIÊNG
#
Chuyên ngành: Toán Gỉảỉ tích
Mã sổ : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng


Nguyễn Thị Ngọc Chi


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU...............................................................................................................1
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC c ơ BẢN...............................................................3
1.1. Sai phân...................................................................................................3
1.1.1.

Định nghĩa........................................................................................ 3

1.1.2.

Tỉnh chất của sai phân......................................................................5

1.2. Phương trình sai phân tuyến tính....................................................... 8
1.2.1.

Định nghĩa........................................................................................ 8

1.2.2. Nghiêm............................................................................................... 9
1.3. Tuyến tính hoá........................................................................................ 21
1.4. Sai s ổ ....................................................................................................... 25
1.4.1. Định nghĩa.......................................................................................... 25
1.4.2. Quy tắc làm fròn............................................................................... 26
1.4.3. Sai số tỉnh toán...................................................................................27
1.4.4. Bài toán ngược của bài toán sai số..................................................29
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG

Phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất hiện trong các bài toán
ứng dụng của lí thuyết thủy động học, cơ học lượng tử, điện học- từ trường.
Đa số các bài toán này rất phức tạp, không có phương pháp giải đúng. Nhiều
bài toán không có nghiệm theo nghĩa cổ điển, vấn đề tìm nghiệm đúng của
các phương trình đạo hàm riêng không thể và cũng không cần trong mọi
trường hợp. Bởi vậy ta dẫn đến việc tìm nghiệm gần đúng của các phương
trình đạo hàm riêng và cũng từ đó xuất hiện các phương pháp giải gần đúng
các phương trình đó. Trong số các phương pháp giải gần đúng phương trình
đạo hàm riêng thì phương pháp sai phân (còn gọi là phương pháp lưới) được
sử dụng phổ biến nhất.
Mục đích chính của phương pháp sai phân là đưa bài toán phương trình
đạo hàm riêng về bài toán rời rạc trên các điểm lưới, đặc biệt là xung quanh
các điểm kì dị hoặc các điểm biên để đưa bài toán đang xét về hệ phương
trình sai phân và việc tìm nghiệm bằng số của bài toán chuyển về việc giải hệ
phương trình đại số bằng các phương pháp đúng hoặc gần đúng.
Tuy nhiên ngày nay chúng ta ngày càng tăng cường việc ứng dụng công
nghệ thông tin vào việc dạy và học toán. Và một trong những công cụ hữu
hiệu để giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng là phần mềm Maple.
Từ nhu cầu thực tiễn như vậy với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về
phương pháp sai phân và phần mềm Maple giải gần đúng phương trình đạo
hàm riêng, được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng em đã chọn đề tài
nghiên cứu: “PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình.


2
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình
đạo hàm riêng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

với n e Z \ {n} = {0, +1, + 2,..., ± n , ...} (hoặc n e

z +, hoặc n e N) là hiệu:

Thí dụ, hàm x n cho dưới dạng bảng
n ồ
xn

ỉ

1

2

3

4

3

4

7

6

Có sai phân hữu hạn cấp 1 là
ầ xữ =

X1


Nói chung, sai phân cấp к của hàm xn là
ầ kxn = A(Afe_1xn) = ầ k~1xn+1 - Afe_1xn =
к

=

( 1.1)
i =0

trong đó
kì
° lk ~ i ì ự c - i y .
Từ công ứiức (1.1), suy ra một số tính chất của sai phân sau đây.


1.1.2. Tính chât của sai phân
Tính chất 1.1.1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của
hàm số.
Chứng mình. Để chứng minh tính chất 1.1.1, ta chứng minh công thức
( 1. 1).

Thật vậy, với k = 1, ta có ầxn = xn+1 — x n = c ^ x n_t — c ị x n
Giả sử (1.1) đúng với k, có nghĩa là
k
à k x n = ^ ( - 1 ý C k X n + k - i'>

i=0
ta chứng minh (1.1) đúng với k + 1 tức là
ầ k+1x n = ầ kxn+1 - ầ kxn =

Bởi vậy
k

=

£ ( - 1

i=0

k-1

y c ị x ^ ^ i + £ ( - D ‘4 - 1*
i=l


6
k

k
% n + k + l-i

= ^ ( - ì y c ỉ X n + k + l - i + Xn+k+1 +

i=l

i=l
+ ( - l ) fc+1*n =

k
=

k

= ^ ( _1 ỳ c ia x n + k -i + ' Y t í - Ư c lk byn+k_i =
i=0
i=0


7
к

к

=

clk x n + k - i + b ^ ( - l ý
i=0

C fcJn+fc-i = CLầk x n + Ь А к у п .

i=0

Tính chất 1.1.3. Sai phân cấp к của đa thức bậc m là
1. Đa thức bậc m — к nếu к < m
2. Hằng số nếu к = m
3. Bằng 0 khi к > m.
Chứng mình. Theo tính chất 1.1.2, sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính,
nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức Pm (ri) = n m là đủ.
1. Ta có, ầmn = (n + l)m

- n m = c ị + cị_n+ - + c%nm - nm =

ầ kxn = ^
71=a

A(Afc_1xn) =

71=a

= Afc_1x a + 1 - Afc_1xa + Afc_1x a + 2 - Ak~1x a+1 + - + ầ k~1xN+1
- Afc- %

= Afc_13CjV+1 - Afc- 13ca.

Đặc biệt lưu ý trường hợp k=l, ta có
1V
Axn = xn+1 - xa .
71=a
1.2. Phương trình sai phân tuyến tính
1.2.1. Định nghĩa
Dị/t/t nghĩa 1.2.1. Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến
tính giữa sai phân các cấp:
F(.xn, ầ x n, A2x n, ..., Akx n) = 0
trong đó, xn hiểu là sai phân cấp 0 của hàm xn; cấp lớn nhất của sai phân (ở
đây là bằng k), là bậc của phương trình sai phân tuyến tính.
Do tính chất 1.1.1 của sai phân, sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua
các giá trị của hàm số, nên người ta thường dùng định nghĩa 1.2.2 sau đây
tương đương với định nghĩa 1.2.1, nhưng thuận tiện hơn.
Định nghĩa 1.2.2. Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một
biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khác nhau:
Lh%n ~ Q-0%n+k "I" V l X n + k - l "I" ‘ ‘ ‘ "I" O-k^n ~ f n


sai phân tuyến tính (1.2).
Hàm số x n phụ thuộc k tham số, thoả mãn (1.3) được gọi là nghiệm tổng
quát của (1.3); nếu với mọi tập giá trị ban đầu XQ, x±l..., x k_1 , ta đều xác
định được duy nhất các tham số Cị, c2 l..., ck để nghiệm xn trở thành nghiệm
riêng của (1.3), tức là vừa thoả mãn Xq = x ữ, x ± = x l t ..., x k_± = x k_±.


10
Định lí 1.2.1. Nghiệm tổng quát xn của (1.2) bằng tổng 5cn và X*, với X*
là một nghiệm riêng bất kì của (1.2).
Chứng mình. Thật vậy, giả sử xn và X* là 2 nghiệm của (1.2), tức là
Lfix n = f m Lfix h = fn-

Do Lh tuyến tính, nên
Lhxn ~ Lhxn ~ Lhi.xn ~ xrì) ~
tức là xn — x*n thoả mãn (1.3) và do đó nghiệm tổng quát

Định lí 1.2.2. Nếu xn l,x n2, —,x nk là k nghiệm độc lập tuyến tính của
(1.3), tức là từ hệ thức
C l x n l "I" ^ 2 x n2 "I"

"I" ^*1k x n k ~ ®

suy ra ct = c2 = ••• = ck = 0, thì nghiệm tổng quát 5cn của (1.3) có dạng
xn — C^xn! + C2xn2 + ••• + Cifc^nfc»
trong đó Cị, c2, ..., c k là các hằng số tuỳ ý.
Chứng minh. Theo tính chất tuyến tính của Lh, ta có
k

k

x ữl

x 02

x ữk

*11

x 12

x lk

x k - 1,1

x k - 1,2

x k-l,k

phải khác 0. Điều này suy ra từ tính độc lập tuyến tính của các vectơ nghiệm
%n1>%n2> ■■■»%nkBây giờ ta chuyển sang tìm nghiệm xn của (1.3) và x*n của (1.2). Vì
phương trình thuần nhất (1.3) luôn có nghiệm xn = 0, nên để tìm nghiệm
tổng quát, ta tìm xn của (1.3) dưới dạng x n = CẰn, c =£ 0, Ấ =£ 0. Thay
x n = CẤn vào (1.3) và ước lược cho CĂn ± 0 ta được
LỷịẤ =

clqẰỉ* + M *

1 + ••• +

CLỵ = 0


= ý!^(a0ý!^ +
Ta lại có
1
A=

1
À2

]k-1

1

Ă[k-1
2

Vì Ẳị ^ ýly Vi,ỹ. Định thức A trong trường hợp này là định thức Văng-đécmông cấp k.
Theo định lý 1.2.2,
k
xn = ^
i=l
là nghiệm tổng quát của (1.3).


13
Nếu phương trinh đặc trưng (1.4) có nghiệm thực Ắj bội s, thì ngoài
nghiệm

ta lấy thêm các vectơ bổ sung nýlj, n 2


^2

= 3. Đối với Ằí = 2 (kép) ngoài nghiệm

Ắị = 2n, ta bổ sung thêm nghiệm nX l = n2n và được nghiệm tổng quát là
Xn = (Cỉ + c ỉn ) 2 n + c23n
trong đó c l , c ị, c2 là các hằng số tuỳ ý.
Nếu phương trình đặc trưng (1.4) có nghiệm phức
Ẳị = a + bi = r{cos(p + isiiKỘ),
trong đó r = ịẴil = Va2 + b2, (p = acgumenẲị, có nghĩa là tg ọ = — , thì
(1.4) cũng có nghiệm liên hợp phức Ấl = a — bi = r(cosự) —isin(p). Khi đó
ta có XỊ = r n (cosmp + isinnạj); Ă™ = r n(cosn(p — isinnq)) là các nghiệm
của (1.3).


14

Ta lấy

Xnj = - Ụỉj + Ẳj n) = r ncosnạ 1
x ịj = — ự j + ẮJn>) = r nsinn(p

làm các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.3), khi đó
k
xn = ^ CịXị + r n (CỊ cosncp + CỊsinnqì)
j±i=1
trong đó

Cị,



^ 2 ,..., j4si ổ i, B2, ..., 5S là các hằng số tuỳ ý.

Ví dụ: Phương trình sai phân
^-71+6 —

5 "I"

4 —6^n+3 "I" ^^n+2 —^^n+1

—0

CÓphương trình đặc trưng
Ấ6 - 3ẦS + 4Ằ4 - 6Ằ3 + 5Ằ2 - 3Ằ + 2 = 0.
Phương trình đặc trưng có các nghiệm Ải = 3, Ầ2 = 2, Ầ3 = i (kép),
Ầ3 = —i (kép), với i2 = —1.
Tí

Ta có r = 1, (Ọ = -ị, và
5cn = C1 + c2. 2n + {At + A2ri)cos^ỵ- +

+ B2ri)sin^ỵ-,

trong đó clt c2, Alt A2, B±i B2 là các hằng số tuỳ ý.
1.2.2.2. Nghiệm riêng Xn
Phương pháp chung để tìm nghiệm riêng X* của phương trình sai phân
tuyến tính không thuần nhất (1.2) là xây dựng hàm Grin.
Sau đây là một số trường hợp đặc biệt, có thể tìm X* đơn giản hơn và
nhanh hơn. Các dạng đặc biệt này của X* là chuyển tương ứng từ các dạng
đặc biệt của phương trình vi phân thường. Để xác định các tham số trong các

x n+4 —xn+3 —3xn+2 + 53Cn+1 —1xn — 1.
Lời giải
1. Phương trình đặc trưng Ắ3 —7Ẩ2 + 1ỐẮ —12 = 0cónghiệm Ằ1 = 2
(kép), Ấ2 = 3 đều khác 1. Do vậy ta tìm 3C* = an + b vì f n = n + 1 là đa
thức bậc 1.
Để xác định a và b, ta thay x*n vào phương trình sai phân rồi so sánh các
hệ số của các luỹ thừa của n ở 2 vế:
a (n + 3) + b — 7 [a(n + 2) + b] + 16 [a(n + 1) + b] — 12 (an + b)
= 71 + 1
Từ đó với hệ số n ta có
1
—2 a = 1 => a = —
2


17
với hệ số tự do ta có
7
5a — 2b = 1 => b = —
4
Vậy

2.

Phương trình đặc trưng Ầ4 — Ầ3 — 3Ầ2 + SẰ — 2 = 0, có các nghiệm

Ắị = 1 (bội 3) và Ằ2 = —2, nên do /râ = 1 là đa thức bậc 0, ta phải tìm
nghiệm x*n = n 3. a.
Thay x*n vào phương trình sai phân, ta được
a(n + 4 )3 —a(n + 3)3 —3 a(n + 2)3 + 5 a(n + l ) 3 —2 a n 3 = 1.

5n ± 0, ta được
a. 54 —10a. 53 + 35a. 52 —50a. 5 + 24a = 24a = 48 => a = 2.
V ậy * ; = 2.5n.
2. Phương trình đặc trưng Ắ3 — 7A2 + 16Ắ —12 = 0 có nghiệm Ắị = 2
(kép), Ằ2 = 3; Pm (n) = 24 —24n là đa thức bậc 1, do vậy phải tìm X* =
n 2(an + b ).2 n. Thay vào phương trình sai phân và giản ước 2 vế cho 2n
0, ta được
8[a(n + 3) + b](n + 3)2 - 28[a(n + 2) + b](n + 2)2
+ 32 [a(n + 1) + b](n + l ) 2 —12 [an + ồ]n2 = 24 —24n
so sánh các hệ số của các luỹ thừa n ở 2 vế ta được:
f -2 4 a = -2 4
l2 4 a - Sb = 24
giải hệ này ta được a = 1, b = 0 và Xn = n 2.2n.
c. Trường hợp f n = acosnx + psin n x với a, p là hằng sổ
Trong trường hợp này nghiệm riêng x*n được tìm dưới dạng
x*n = acosnx + bsinnx


19
Vỉ dụ: Tìm nghiệm riêng X* của phương trình sai phân:
xn+3 - 2xn+2 - xn+1 + 2xn = (2 - V2)c o s ™ + 2s in ™ .
Lời giải
Tìm x*n dưới dạng:
nn
nn
X* = aco s-----1- bsin —
4
4
Thay x*n vào phương trình sai phân và rút gọn, ta được
[(2


+ fns-

Trong trường hợp này ta tìm nghiệm riêng x*ni ứng với từng hàm f ni, i =
1,2,

Nghiệm riêng X* ứng với hàm f n sẽ là Xn = x*!+ x *2 + ■■■+

Xns, do tính tuyến tính của phương trình sai phân.
Ví dụ: Tìm nghiệm riêng x*n của phương trình sai phân:
xn+ 4 ~ 3xn+3 + 3xn+2 — 3xn+1 +2xn —