TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
HOÀNG THỊ THU HUYỀN
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH
PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
XUÂN HÒA, 2014
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
HOÀNG THỊ THU HUYỀN
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH
PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02
Giáo viên hướng dẫn:
TS NGUYỄN VĂN NGỌC
XUÂN HÒA, 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Ngọc. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của
thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành
hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo
dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Hoàng Thị Thu Huyền

2 Biến đổi tích phân Hankel 23
2.1 Khái niệm về hàm Gamma, hàm Beta và các hàm Bessel . . . . 23
2.1.1 Hàm Gamma và hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Hàm Bessel loại một, loại hai và loại ba . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 Hàm Bessel đối số ảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.4 Biến đổi tích phân Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Bài toán Dirichlet cho nửa không gian đối xứng trục . . . . . . . . 27
2.3 Phương trình truyền nhiệt trong mặt phẳng đối xứng trục . . . . 29
2.4 Bài toán Robin đối với phương trình Laplace trong nửa không
gian đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Poisson trong lớp vô hạn
đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6 Bài toán rung tự do của màng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7 Phương trình khuếch tán trong mặt phẳng đối xứng trục . . . . . 36
2.8 Phương trình song điều hòa trong nửa không gian đối trục . . . . 37
3 Biến đổi tích phân Mellin 39
3.1 Biến đổi Mellin thuận và ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Một số tính chất của phép biến đổi Mellin . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Một số bài toán Dirichlet đối với thế vị trong cái chêm vô hạn . . 43
3.3.1 Bài toán thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2 Bài toán thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Bài toán biên Dirichlet đối với một phương trình đạo hàm riêng
cấp hai hệ số biến thiên trong miền nửa dải . . . . . . . . . . . . . 46
Kết luận 48
Tài liệu tham khảo 49
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

một số ứng dụng giải các bài toán biên của phương trình điều hòa và song điều
hòa trong miền vô hạn trong nửa mặt phẳng và miền hình dải, giải bài toán
Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt thuần nhất và không thuần nhất trong
một thanh dài vô hạn.
Trong chương 2, luận văn trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Hankel và
xét một số ứng dụng giải bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng
trong hệ tọa độ cực và tọa độ trụ.
Trong chương 3, luận văn trình bày biến đổi Mellin và một số ứng dụng giải
các phương trình đạo hàm riêng trong các miền hình nêm.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bản luận văn này trình bày cơ sở lý thuyết của các biến đổi tích phân sau
đây: biến đổi Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin cùng một số ứng dụng
của chúng trong giải các phương trình đạo hàm riêng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận và phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Giải một số bài toán biên trong cơ học và vật lý khác mà chưa có trong các
tài liệu tham khảo.
3
Chương 1
Biến đổi Fourier
Chương này trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Fourier và một số ứng
dụng giải các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng trong miền vô hạn.
Nội dung cơ bản của chương này được hình thành từ các tài liệu [1, 2, 3].
1.1 Biến đổi Fourier trong L
1
(R)
1.1.1 Khái niệm
Định nghĩa 1.1. Cho f ∈ L
1

đặc biệt là bởi các công thức sau đây
ˆ
f (λ) = F [f](λ) =
∞

∞
f (t) e
iλt
dt, (1.3)
˘
f(λ) = F
−1
[f](λ) =
1
2π
∞

−∞
f (t) e
−iλt
dt. (1.4)
4
Định lý 1.1. (Định lý Riemann - Lebegues). Giả sử f ∈ L
1
(R) thì
ˆ
f ∈ C
0
, với
C

khi đó, g (x) = f (x) hầu hết trên R.
1.1.2 Các tính chất của biến đổi Fourier
Tính chất 1.1. f
r
(x) = f (rx). Ta có
ˆ
f (λ) =
1
r
ˆ
f

λ
r

.
Chứng minh.
ˆ
f (λ) =
1
√
2π
∞

∞
f (rx) e
iλx
dx
=
1

ˆ
f
y
(λ) =
1
√
2π
∞

∞
f (x + y) e
−iλx
dx =
1
√
2π
∞

−∞
f (t) e
iλ(t−y)
dt
= e
−iλy
ˆ
f
y
(λ) .
5
Tính chất 1.3. Cho f ∈ L


∈ L
1
(R) và f liên tục
tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn. Khi đó,

f


∧
= −iλ
ˆ
f.
Chứng minh. Vì f liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn nên
f (x) = f (0) +
∞

0
f

(t) dt.
Hơn nữa, f

∈ L
1
(R) nên vế phải của đẳng thức trên có giới hạn khi x → ±∞.
Ngoài ra, giới hạn đó phải bằng 0 vì f ∈ L
1
(R).
Như vậy,



e
iλx
f (x)|
∞
−∞
+ iλ
∞

−∞
f (x) e
iλx
dx


= iλ
ˆ
f (λ) .
Mở rộng: Nếu đạo hàm f
(m)
∈ L
1
(R) thì
F [f
(m)
](λ) = (−iλ)
m
F [f](λ). (1.7)
Tính chất 1.5. Với f, g ∈ L


∞

−∞
f (t) g (x −t) dt


e
iλx
dx
=
∞

−∞
f (t)


∞

−∞
g (x −t) e
iλx
dx


dt
=
∞

−∞




< M.
Khi đó,
ˆ
f ∈ S.
Chứng minh. Cho p, q ∈ N bất kỳ, ta có



x
p+2
f
(q)
(x)



≤ M
suy ra với x = 0, thì



x
p
f
(q)
(x)


ˆ
f (λ)


≤ M.
Hơn nữa, ta có
(iλ)
q

ˆ
f

p
(λ) = (iλ)
q

(−ix)
p
f (x)

∧
= (−i)
p
(iλ)
q
[x
p
f (x)]
∧
= (−i)

(R).
7
1.2 Biến đổi Fourier trong L
p
Định lý 1.3. (Plancherel - 1910). Với mọi f ∈ L
2
(R) , N > 0, ta đặt
F
N
{f}(λ) =
1
√
2π
N

−N
f (x) e
iλx
dx.
Khi đó
(a) F
N
{f} hội tụ trong L
2
(R) đến một hàm F {f} khi N → ∞. Hơn nữa,
F {f}
2
2
=
∞

dλ
thì φ
N
hội tụ trong L
2
(R) đến f khi N → ∞.
(d) Toán tử F là một đẳng cấu từ L
2
(R) vào L
2
(R).
Hệ quả 1.1. Nếu f ∈ L
2
(R) và
ˆ
f ∈ L
1
(R) thì
f (x) =
1
√
2π
∞

−∞
ˆ
f (λ) e
−iλx
dλ, với hầu hết x.
Định lý 1.4. (Hausdorff - Young).

dλ



1
q
≤



∞

−∞
|f (x)|
p
dx



1
q
.
Với hàm f ∈ L
p
(R) , 1 < p < 2, chúng ta còn định nghĩa
ˆ
f như là giới hạn trong
L
q
(R) của dãy hàm

∂y
2
= 0, −∞ < x < ∞, 0 < y < ∞ (1.8)
và các điều kiện
u(x, 0) = g(x), −∞ < x < ∞, (1.9)
u(±∞, y) = 0, u
x
(±∞, y) = 0, u(x, +∞) = 0. (1.10)
Lời giải hình thức. Để giải bài toán (1.8) - (1.10), ta sử dụng phương pháp
biến đổi Fourier. Với mỗi một y cố định, lấy biến đổi Fourier (thuận) theo x hai
vế của (1.8), ta có
∞

−∞
e
iξx

∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2

dx =

u
∂y
2
dx =
d
2
dy
2
∞

−∞
e
iξx
u(x, y) dx =
d
2
ˆu(ξ, y)
dy
2
.
Sử dụng điều kiện đầu tiên trong (1.10), bằng cách tích phân từng phần, ta có
∞

−∞
e
iξx
∂
2
u
∂x

−∞
A(ξ)e
−|xi|y
e
−xiξ
dξ. (1.13)
Để tìm hàm A(ξ), ta cần phải sử dụng đến điều kiện (1.9). Ta có
u(x, 0) = g(x) =
1
2π
∞

−∞
A(ξ)e
−ixξ
dξ ⇒ A(ξ) =
∞

−∞
g(t)e
itξ
dt. (1.14)
Thay (1.14) vào (1.13), sử dụng công thức
∞

−∞
e
−a|ξ|
e
iξλ

−y|ξ|
=
1
π
∞

−∞
e
iξλ
y
y
2
+ λ
2
dλ, y > 0.
Trong công thức trên cho ξ = 0, ta được
1 =
1
π
∞

−∞
y
y
2
+ λ
2
dλ =
1
π

2
+ λ
2
dλ.
Bằng cách đổi biến λ = yτ, ta biến đổi công thức trên về dạng
u(x, y) −g(x) =
1
π
∞

−∞
[g(yτ + x) −g(x)]
1 + τ
2
dτ. (1.18)
Do g(t) là hàm bị chặn nên tồn tại M > 0, sao cho
|g(yτ + x) −g(x)| ≤ |g(yτ + x)| + |g(x)| ≤ 2M.
Giả sử ε là số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý. Ta có thể tìm được số dương N = N(ε),
sao cho
2M
π
−N

−∞
dτ
τ
2
+ 1
<
ε

N

−N
dτ
τ
2
+ 1
<
2ε
3
+
ε
3
.
1
π
∞

−∞
dτ
τ
2
+ 1
= ε.
Do tính nhỏ tùy ý của ε, ta suy ra
lim
y→+0
u(x, y) = g(x).
Có thể chứng minh bài toán (1.8) - (1.10) trong lớp hàm bị chặn không thể
có nhiều hơn một nghiệm. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được định lý:

2
∂y
2
+
∂
4
Φ
1
∂y
4
= 0 (1.19)
trong miền
Π = {(x, y) : −∞ < x < ∞, 0 < y < h}.
Xét bài toán giá trị biên hỗn tạp sau đây.
Tìm nghiệm Φ
1
(x, y) của phương trình (1.19) trong miền Π thỏa mãn điều kiện
biên
Φ
1


y=h
= r
1
(x),
∂Φ
1
∂y


(R)) và biến đổi Fourier ngược được
xác định bởi các công thức

f(ξ) = F [f](ξ) =

∞
−∞
f(x)e
ixξ
dx, (1.22)
˘
f(ξ) = F
−1
[f](ξ) =
1
2π

∞
−∞
f(x)e
−ixξ
dx. (1.23)
Lấy biến đổi Fourier theo biến x cho phương trình song điều hòa (1.19), ta thu
được
d
4

Φ
1
(ξ, y)


Φ
1
(ξ, y) = A
1
(ξ) cosh(|ξ|y) + B
1
(ξ)y cosh(|ξ|y)
12
+C
1
(ξ) sinh(|ξ|y) + D
1
(ξ)y sinh(|ξ|y), (1.25)
trong đó A
1
(ξ), B
1
(ξ), C
1
(ξ), D
1
(ξ) là hàm tùy ý biến ξ. Giá trị

Φ
1
(0, y) là hàm
được hiểu theo nghĩa

Φ

(ξ) cosh(|ξ|h) + B
1
(ξ)h cosh(|ξ|h) + C
1
(ξ) sinh(|ξ|h) + D
1
(ξ)h sinh(|ξ|h) = r
1
(ξ),
A
1
(ξ)|ξ|sinh(|ξ|h) + B
1
(ξ)[cosh(|ξ|h) + |ξ|h sinh(|ξ|h)] + C
1
(ξ)|ξ|cosh(|ξ|h)
+D
1
(ξ)[sinh(|ξ|h) + |ξ|h cosh(|ξ|h)] = g
1
(ξ),
A
1
(ξ) =

f
1
(ξ),
B
1

1
(ξ) + |ξ|[|ξ|h + cosh (|ξ|h) sinh (|ξ|)h]
ˆ
f
1
(ξ)
sinh
2
(|ξ|h) − (|ξ|h)
2
,
C
1
(ξ) =
[sinh (|ξ|h) + |ξ|h cosh (|ξ|h)]ˆr
1
(ξ) −h sinh(|ξ|h)ˆg
1
(ξ)
sinh
2
(|ξ|h) − (|ξ|h)
2
−
(|ξ|h
2
)ˆu
1
(ξ) + [|ξ|h + cosh (|ξ|h) sinh (|ξ|h)]
ˆ

1
(ξ)
sinh
2
(|ξ|h) − (|ξ|h)
2
.
1.4.2 Bài toán biên thứ hai
Xét phương trình song điều hòa
∆
2
Φ
2
(x, y) =
∂
4
Φ
2
∂x
4
+ 2
∂
4
Φ
2
∂x
2
∂y
2
+

2
(x), x ∈ R, (1.28)
Φ
2


y=0
= f
2
(x), M[Φ
2
]


y=0
= u
2
(x), x ∈ R, (1.29)
trong đó M[Φ
2
] được xác định theo công thức
M[Φ
2
](x, y) =
∂
2
Φ
2
∂y
2

Φ
2
(ξ, y)
dy
2
+ ξ
4

Φ
2
(ξ, y) = 0, (1.31)
trong đó

Φ
2
(ξ, y) = F
x
[Φ
2
(x, y)](ξ) là biến đổi Fourier theo biến x của hàm Φ
2
(x, y).
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1.31) đưa về dạng

Φ
2
(ξ, y) = A
2
(ξ) cosh(|ξ|y) + B
2

u
2
(ξ) =

M[Φ
2
](ξ, 0) =
d
2

Φ
2
(ξ, 0)
dy
2
− ν|ξ|
2

Φ
2
(ξ, 0) = (1 −ν)|ξ|
2
A
2
(ξ) + 2|ξ|D
2
(ξ),
(1.33)
trong đó u
2

(ξ)h sinh(|ξ|h) = r
2
(ξ),
A
2
(ξ)|ξ|sinh(|ξ|h) + B
2
(ξ)[cosh(|ξ|h) + |ξ|h sinh(|ξ|h)] + C
2
(ξ)|ξ|cosh(|ξ|h)
+D
2
(ξ)[sinh(|ξ|h) + |ξ|h cosh(|ξ|h)] = g
2
(ξ),
A
2
(ξ) =

f
2
(ξ),
(1 −ν)|ξ|
2
A
2
(ξ) + 2|ξ|D
2
(ξ) = u
2

2
(|ξ|h)]
ˆ
f
2
(ξ)
|ξ|[2 |ξ|h −sinh 2 (|ξ|h)]
,
C
2
(ξ) =
2 |ξ|h cosh(|ξ|h)ˆg
2
(ξ) −2 |ξ|[cosh (|ξ|h) + |ξ|h sinh(|ξ|h)]ˆr
2
(ξ)
|ξ|[2 |ξ|h −sinh 2 (|ξ|h)]
−
(|ξ|h
2
)ˆu
2
(ξ) −|ξ|[(1 − v)(|ξ|h)
2
− 2cosh
2
|ξ|h]
ˆ
f
2

2
, (t > 0, −∞ < x < ∞) (1.35)
và điều kiện ban đầu
u


t=0
= ϕ(x), (−∞ < x < ∞), (1.36)
trong đó, ϕ(x) là hàm liên tục và bị chặn.
Vận dụng nguyên lý cực trị có thể chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài
toán (1.35)-(1.36).
Định lý 1.6. Bài toán Cauchy (1.35) - (1.36) không thể có nhiều hơn một
nghiệm bị chặn.
Chứng minh. Tác động biến đổi Fourier theo biến số x hai vế của phương trình
(1.35), ta được phương trình vi phân thường theo biến t
U
t
(λ, t) = −a
2
λ
2
U(λ, t), U(λ, t) = F
x
[u(x, t)](λ).
15
Từ đây, ta tìm được
U(λ, t) = A(λ)e
−a
2
λ

Từ đây, suy ra
A(λ) =
∞

−∞
ϕ(ξ)e
−iξλ
dξ. (1.39)
Thay (1.39) vào (1.38), ta được
u(x, t) =
1
2π
∞

−∞

∞

−∞
ϕ(ξ)e
−iλξ
dξ

e
−a
2
λ
2
t
e

ϕ(ξ)e
−a
2
λ
2
t
cos λ(ξ − x) dξ.
Đổi thứ tự lấy tích phân trong vế phải của biểu thức trên, ta có
u(x, t) =
1
π
∞

−∞
ϕ(ξ) dξ
∞

0
e
−a
2
λ
2
t
cos λ(ξ − x) dλ. (1.40)
Tích phân bên trong vế phải của (1.40) có thể tính được. Thật vậy, đổi biến
aλ
√
t = z, λ(ξ −x) = µz, dλ =
dz

2
cos µz dz =
1
a
√
t
J(µ).
Lấy đạo hàm J(µ) theo µ, ta được
J

(µ) = −
∞

0
e
−z
2
z sin µz dz.
Việc lấy đạo hàm là hoàn toàn được phép vì tích phân trên đây hội tụ đều. Tích
phân từng phần, ta được
J

(µ) = −
µ
2
∞

0
e
−z

e
−
µ
2
4
.
Thay giá trị này vào (1.40), ta được
u(x, t) =
1
2a
√
tπ
∞

−∞
ϕ(ξ)e
−
(ξ −x)
2
4a
2
t
dξ. (1.41)
Công thức (1.41) được gọi là công thức Poisson, còn hàm
E(x, t) =
1
2a
√
πt
e

(ξ −x)
2
4a
2
t
dξ. (1.42)
Trong (1.42) thực hiện đổi biến
α =
ξ −x
2a
√
t
, (t > 0), (1.43)
ta được
I = (2a)
m+1
t
m + 1
2
−k
∞

−∞
ϕ(x + 2aα
√
t)α
m
e
−α
2

−∞
ϕ(x + 2aα
√
t)e
−α
2
dα. (1.44)
Ta có
|u(x, t)| ≤
1
√
π
∞

−∞
|ϕ(x + 2aα
√
t)|e
−α
2
dα ≤
M
√
π
∞

−∞
e
−α
2

|ϕ(x + 2aα
√
t) −ϕ(x)| ≤ 2M, ∀(x, t).
Giả sử ε là số dương nhỏ tùy ý. Ta tìm được số N đủ lớn, sao cho
2M
√
π
−N

−∞
e
−α
2
dα ≤
ε
3
,
2M
√
π
∞

N
e
−α
2
dα ≤
ε
3
. (1.47)

với mọi t > 0 đủ nhỏ. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Vì bài toán (1.35) - (1.36) theo định lý (1.6) không thể có quá một nghiệm
bị chặn nên tích phân (1.41) cho công thức nghiệm duy nhất của bài toán. Như
vậy, chúng ta đã chứng minh được định lý sau:
Định lý 1.7. Nếu ϕ(x) là hàm liên tục bị chặn trên (−∞, ∞) thì bài toán (1.35)
- (1.36) trong lớp các hàm bị chặn có duy nhất nghiệm và nghiệm đó được cho
bởi công thức
u(x, t) =
1
2a
√
tπ
∞

−∞
ϕ(ξ)e
−
(ξ −x)
2
4a
2
t
dξ. (1.49)
Công thức (1.49) được gọi là công thức Poison của phương trình truyền nhiệt.
19
1.5.2 Nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt
Ta ký hiệu
E(x, t) =



E(x, t)dx = 1, với mọi t > 0.
Hàm E(x, t) được gọi là hàm cơ bản của phương trình tuyền nhiệt (1.35).
Ngoài nghiệm u(x, t) của bài toán Cauchy (1.35) - (1.36) được xác định theo
công thức (xem công thức (1.49))
u(x, t) =

R
E(x −y, t)ϕ(y)dy. (1.51)
1.6 Bài toán Cauchy của phương trình truyền nhiệt
không thuần nhất
Xét bài toán không thuần nhất

u
t
− a
2
u
xx
= f(x, t), x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = φ(x).
(1.52)
Trong mục trước, chúng ta đã biết rằng nghiệm của bài toán cho phương trình
thuần nhất

u
t
− a
2
u
xx