Gv: Trần Minh Hùng Chuẩn kiến thức Hình học 10
Chương I: VEC TƠ
I.CÁC ĐỊNH NGHĨA
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Vec tơ là đoạn thẳng có hướng.
2. Để xác định một vec tơ cần biết một trong hai điều kiện
* Điểm đầu và điểm cuối của vec tơ.
* Độ dài và hướng.
3. Hai vec tơ
→→
bvàa
được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Nếu hai
vec tơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
4. Độ dài của một vec tơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đó.
5.
→→→→→→
=⇔= bavàbaba ,||||
cùng hướng
6. Với mỗi điểm A ta gọi
AA
là vec tơ – không. Vec tơ – không được kí hiệu :
→
0
và quy ước rằng |
0|0 =
→
, vec tơ – không cùng phương và cùng hướng với mọi vec tơ.
B. BÀI TẬP.
1/ Hãy tính số các vec tơ (
)0
→

= 0AQ
8/ Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Có bao nhiêu vec tơ khác vec tơ – không có điểm đầu và điểm cuối là một trong các điểm A, B, C,
D, O, M, N.
b) Chỉ ra hai vec tơ có điểm đầu và điểm cuối lấy trong các điểm A, B, C, D, O, M, N mà
- Cùng phương với
AB
- Cùng hướng với
AB
- Ngược hướng với
AB
c) Chỉ ra các vec tơ bằng vec tơ
., OBMO
1
Gv: Trần Minh Hùng Chuẩn kiến thức Hình học 10

II. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VEC TƠ
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Định nghĩa tổng của hai vec tơ và quy tắc tìm tổng.
* Cho hai vec tơ tùy ý
→→
bvàa
. Lấy điểm A tùy ý , dựng
→→
== bBCaAB ,
. Khi đó:
ACba =+
→→
.
* Với ba điểm M, N, P tùy ý ta luôn có:

* Mỗi vec tơ đều có vec tơ đối. Vec tơ đối của
BAlàAB
. Vec tơ đối của vec tơ
→→
00 là
.
3. Định nghĩa hiệu của hai vec tơ và quy tắc tìm hiệu.
*
)(
→→→→
−+=− baba
* Ta có:
ABOAOB =−
với ba điểm O, A, B bất kì (quy tắc trừ).
4. Tính chất của phép cộng các vec tơ.
Với ba vec tơ bất kì ta có:
*
→→→→
+=+ abba
(tính chất giao hoán)
*
)()(
→→→→→→
++=++ cbacba
(tính chất kết hợp)
*
→→→→→
=+=+ aaa 00
( tính chất của vec tơ – không)
*

OPONOMOCOBOA ++=++
.
8/ Cho tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi D là điểm đối xứng với A qua O.
Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BDCH là hình bình hành.
b)
.AHOCOB =+
Từ đó chứng minh
OHOCOBOA =++
.
c)
HOHCHBHA 2=++
2
Gv: Trần Minh Hùng Chuẩn kiến thức Hình học 10
III. TÍCH CỦA VEC TƠ VỚI MỘT SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Định nghĩa tích của một vec tơ với một số.
Cho số thực k
0
≠
và
→→
≠ 0a
. Tích của
→
a
với số thực k là một vec tơ, kí hiệu:
→
ak
.

3. Hai vec tơ
→→
ba,
với
→→
≠ 0b
cùng phương khi và chỉ khi có số k để
→→
= bka
, số k tìm được là duy nhất.
4. Áp dụng:
*




=
=
⇔=
→→
→→
0
0
0
a
k
ak

* Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng
ACkAB =⇔

là một vec tơ tùy ý. Bao giờ cũng tìm được cặp số
thực m, n duy nhất sao cho
→→→
+= bnamx
.
B.BÀI TẬP
1/ Cho tam giác ABC có trọng tam G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,
CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt
AFvAEu ==
→→
,
. Hãy phân tích các vec tơ
DCDEAGAI ,,,
theo hai vec tơ
.,
→→
vu
2/ Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích
AM
theo hai vec tơ
ACvABu ==
→→
,
.
3/ Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao
cho AK = 1/3AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
4/ Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác đinh bởi các hệ thức:
→→
=−−=+ 03,0 ACNAABMABC
. Chứng minh MN // AC.

. Ta gọi số k đó là độ dài
đại số của
AB
đối với hệ trục đã cho, kí hiệu: k =
AB
4. Nếu A và B trên trục Ox có tọa độ lần lượt là a và b thì
.abAB −=
5. Hệ thức Sa- lơ: Hệ thức
ACBCABACBCAB =+⇔=+
6. Tọa độ của một vec tơ, của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
*
→→→→
+=⇔= jaiaaaaa
2121
);(
* M có tọa độ (x ; y)
);( yxOM =⇔
với O là gốc tọa độ.
* Nếu A có tọa độ là (x
A
; y
A
), B có tọa độ ( x
S
; y
B
) thì:
);(
ABAB
yyxxAB −−=

1
22
11
:
a
b
a
b
kab
kab
akbk =⇔



=
=
⇔=∃⇔
→→
8. * Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:
2
;
2
BA
I
BA
I
yy
y
xx
x

);
→→
ji
trong đó
ADvài
→
cùng
hướng,
ABvàj
→
cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo,
trung điểm N của BC và trung điểm M của CD.
4
Gv: Trần Minh Hùng Chuẩn kiến thức Hình học 10
3/ Cho tam giác ABC. Các điểm M(1 ; 0), N(2 ; 2), P(-1 ; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA
và AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
4/ Cho hình bình hành ABCD có A(-1 ; 3), B(2 ; 4), C(0 ; 1). Tìm tọa độ đỉnh D.
5/ Cho
)4;7(),2;3( =−=
→→
vu
. Tính tọa độ của các vec tơ
)43(,43,2,,
→→→→→→→→→
−−−−+ vuvuuvuvu
6/ Cho A(3 ; 4), B(2 ; 5). Tìm x để điểm C(-7 ; x) thuộc đường thẳng AB.
7/ Cho bồn điểm A(0 ; 1), B(1 ; 3), C(2 ; 7), D(0 ; 3). Chứng minh hai đường thẳng AB// CD.
8/ Cho tam giác ABC có A(1 ; -1), B(5 ; -3), đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm tọa độ của C.
9/ Cho A(-2 ; 1), B(4 ; 5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB và tìm tọa độ điểm C sao cho tứ
giác OACB là hình bình hành (O là gốc tọa độ).

y=
α
.
* Hoành độ x
0
của M gọi là cosin của góc
α
. Kí hiệu : cos
.
0
x=
α
* Tỉ số
0
0
x
y
với x
0
0
≠
gọi là tang của góc
α
. Kí hiệu :
0
0
tan
x
y
=

0
0
0
αα
αα
αα
αα
−−=
−−=
−−=
−=
c) Các hệ thức lượng giác cơ bản.
Từ định nghĩa giá trị lượng giác của góc
α
ta suy ra các hệ thức :

1cossin
22
=+
αα

)180;0(cot
sin
cos
;)90(tan
cos
sin
00
≠≠=≠=
ααα

tan1 =+=+
3. Góc giữa hai vec tơ.
Cho hai vec tơ
→→
ba,
đều khác
→
0
. Từ một điểm O bất kì ta vẽ
→→
== bOBvàaOA
. Khi đó góc AOB với
số đo từ 0
0
đến 180
0
được gọi là góc giữa hai vec tơ
.
→→
bvàa
Kí hiệu :






→→
ba ,
5

1
2
3
2
2
2
1
0 -1
α
tan
0
3
1
1
3
|| 0
cot
α
||
3
1
3
1
0 ||
B. BÀI TẬP.
1/ Với giá trị nào của góc
α
(
)1800
00

180cos260cos4 baba ++
b) B = (asin90
0
+ btạn45
0
)(acos0
0
+ bcos180
0
)
4/ Cho
4
1
sin =
α
với 90
0
<
0
180<
α
. Tính cos
.tan
αα
và
5/ Cho
4
2
cos −=
α

tancot
+
−
.
9/ Chứng minh rằng với
00
1800 ≤≤ x
ta có:
a) (sinx + cosx)
2
= 1 + 2sinxcosx.
b) (sinx – cosx)
2
= 1 – 2sinxcosx.
c) Sin
4
x + cos
4
x = 1 – 2sin
2
xcos
2
x.
10/ Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x.
a) A = (sinx + cosx)
2
+ (sinx – cosx)
2
.
b) B = sin

→→→
≠ 0, ba
, ta có :
→→→→
⊥⇔= baba 0.
*
20
2
||0cos||||
→→→→
== aaaa
2. Các tính chất của tích vô hướng. Với ba vec tơ
→→→
cba ,,
bất kì và mọi số k ta có :

→→→→
= abba
(tính chất giao hoán)

→→→→→→→
+=+ cabacba ).(
(tính chất phân phối)

)().().(
→→→→→→
== bkabakbak

0
2

cho hai vec tơ
);(),;(
2121
bbbaaa ==
→→
.
Khi đó tích vô hướng
2211
bababa +=
→→
4. Ứng dụng của tích vô hướng.
a) Tính độ dài của vec tơ . Cho
);(
21
aaa =
→
, khi đó :
2
2
2
1
|| aaa +=
→
.
b) Tính góc của hai vec tơ. Cho
);(),;(
2121
bbbaaa ==
→→
, khi đó :

, góc B = 60
0
và AB = a. Tính :
a)
ACAB.
b)
CBCA.
c)
CBAC.
3/ Tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = a. Tính
a)
ACAB.
b)
BCBA.
c)
BCAB.
4/ Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm.
a) Tính
ACAB.
rồi suy ra giá trị của góc A.
b) Tính
CBCA.
5/ Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với điểm M tùy ý ta có:
0 =++ ABMCCAMBBCMA
6/ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = a
2
. Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh
rằng
ACBK ⊥
.

2
– 2bccosA
b
2
= a
2
+ c
2
– 2accosB
c
2
= a
2
+ b
2
– 2abcosC
• Hệ quả:
ab
cba
C
ac
bca
B
bc
acb
A
2
cos
2
cos

2
222
2
cba
m
bca
m
acb
m
c
b
a
−
+
=
−
+
=
−
+
=
4. Các công thức tính diện tích tam giác.
Diện tích S của tam giác được tính theo các công thức:
*
AbcBacCabS sin
2
1
sin
2
1

1/ Cho tam giác ABC có b = 7cm, c = 5cm và cosA = 3/5.
a) Tính a, sinA và diện tích S của tam giác ABC.
b) Tính đường cao h
a
xuất phát từ đỉnh A và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2/ Cho tam giác ABC biết A = 60
0
, b = 8cm, c = 5cm. Tính đường cao h
a
và bán kính R.
3/ Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm. Tính:
a)
ACAB.
b) góc A
4/ Cho tam giác ABC biết a = 21cm, b = 17cm, c = 10cm.
a) Tính diện tích S và h
a
.
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường trung tuyến m
a
phát xuất từ đỉnh A của tam giác ABC.
5/ Cho tam giác ABC biết a =
cmccmbcm )31(,2,6 +==
. Tính góc A, B chiều cao h
a
và R.
6/ Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi a = BC, b = AC, c = AB. Chứng minh rằng:
GA
2

. Chứng minh rằng: AM =
αα
sincos cb
bc
+
.
10/ Giải tam giác biết:
a) b = 14, c = 10, A = 145
0
b) a = 4, b = 5, c = 7.
Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Phương rình tham số.
* Phương trình tham số của đường thẳng
∆
đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
), có vec tơ chỉ phương
);(
21
uuu =
→
là
)0(
2

);(
21
uuu =
→
với
0
1
≠u
thì hệ số góc của
1
2
u
u
klà =∆
.
* Nếu
∆
có hệ số góc là k thì nó có một VTCP là
);1( ku =
→
.
2. Phương trình tổng quát.
* Phương trình của đường thẳng
∆
đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0

a
x
9
Gv: Trần Minh Hùng Chuẩn kiến thức Hình học 10
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.n
Cho hai đường thẳng
0:
0:
2222
1111
=++∆
=++∆
cybxa
cybxa
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
21
∆∆ và
ta xét số nghiệm của hệ phương trình



=++
=++
0
0
222
111
cybxa
cybxa
(I)

1
2
1
2
1
21
2
1
2
1
21
//
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
b
b
a
a
==⇔∆≡∆
≠=⇔∆∆

nn
nn
++
+
===∆∆
→→
→→
→→
5. Khoảnh cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Khoảng cách từ một điểm M
0
(x
0
; y
0
) đến đường thẳng
∆
: ax + by + c = 0 cho bởi công thức:
d(M
0
,
∆
) =
22
00
||
ba
cbyax
+
++

sao cho AM ngắn nhất.
3/ Cho điểm M(1 ; 2). Hãy lập phương trình của đường thẳng qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai
đoạn có độ dài bằng nhau.
4/ Cho hai đường thẳng (d
1
): x + 2y + 4 = 0, (d
2
): 2x – y + 6 = 0.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng.
b) Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng .
5/ Lập phương trình ba đường trung trực của tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(-1 ; 0),
N(4 ; 1), P(2 ; 4).
10
Gv: Trần Minh Hùng Chuẩn kiến thức Hình học 10
6/ Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB: x – 3y + 11 = 0, đường cao
AH: 3x + 7y – 15 = 0, đường cao BH: 3x – 5y + 13 = 0. Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai
cạnh còn lại của tam giác.
7/ Cho tam giác ABC có A(-2 ; 3) và hai đường trung tuyến : 2x – y + 1 = 0 và x + y – 4 = 0. Hãy viết
phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.
8/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2 ; 5) và cách đều hai điểm A(-1 ; 2) và B(5 ; 4).
9/ Hai cạnh của hình bình hành có phương trình x – 3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0. Một đỉnh của hình bình
hành là A(4 ; -1). Viết phương trình hai cạnh còn lại của hình bình hành đó.
10/ Cho đường thẳng
∆
: x – y + 2 = 0 và hai điểm O(0 ; 0), A(2 ; 0)
a) Chứng tỏ rằng hai điểm O và A nằm cùng một phía đối với đường thẳng
∆
.
b) Tìm tọa độ điểm O’ là điểm đối xứng của O qua
∆

– c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phương trình: x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
* Nếu a
2
+ b
2
– c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phương trình: x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
Tiếp tuyến tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình
(x
0
– a)(x – x
0
) + (y
0
– b)(y – y
0

a) Tìm tọa độ tâm của (C)
b) Tính bán kính R của (C)
c) Viết phương trình của (C).
5/ Lập phương trình của đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1 ; 2), B(3 ; 4) và tiếp xúc với đường thẳng
∆
: 3x + y – 3 = 0.
6/ Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua điểm M(4 ; 2).
7/ Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– x - 7y = 0 và đường thẳng (d) : 3x + 4y – 3 = 0.
a) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và (d).
b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm đó.
c) Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến.
8/ Cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
– 6x + 2y + 6 = 0 và điểm A(1 ; 3)
a) Chứng tỏ điểm A nằm ngoài đường tròn (C).
b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ điểm A.
9/ Lập phương trình tiếp tuyến với (C) : x
2
+ y
2
- 6x + 2y = 0 biết tiếp tuyến :
a) Song song với đường thẳng (d) : x – 2y + 3 = 0
11
Gv: Trần Minh Hùng Chuẩn kiến thức Hình học 10


III. ELIP VÀ HYPEBOL
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
I.ELIP II. HYPEBOL
1) Định nghĩa:
(E) =
{ }
aMFMFM 2
21
=+
F
1
F
2
= 2c, a > c
2) Phương trình chính tắc:
2
2
2
2
b
y
a
x
+
= 1 với b
2
= a
2
– c

B
1
(0;-b),B
2
(0;b)
• Các tiêu điểm: F
1
(-C;0), F
2
(C;0)
• Tiêu cự: F
1
F
2
= 2c
• Bán kính qua tiêu của điểm M
)(E
∈
:





−=
+=
M
M
x
a

y
a
x
−
= 1 với b
2
= c
2
– a
2
3) Hình dạng và các yếu tố
Cho Hypebol (H):
2
2
2
2
b
y
a
x
−
= 1
a) Hình dạng:
b) Các yếu tố
• A
1
A
2
= 2a: trục thực
• B

+=
M
M
x
a
c
aMF
x
a
c
aMF
2
1
• Tâm sai: e =
1
>
a
c
• Phương trình đường chuẩn:
12
Gv: Trần Minh Hùng Chuẩn kiến thức Hình học 10
• Phương trình đường chuẩn:
(∆
1
): x = -
c
a
e
a
2

2
p
+ x
M
• Tiêu điểm F(
)0;
2
p
• Đường chuẩn
2
:
p
x −=∆
(∆
1
): x = -
c
a
e
a
2
−=
; (∆
2
): x =
c
a
e
a
2

= 1 d) x
2
+ 3y
2
= 2
13
Gv: Trần Minh Hùng Chuẩn kiến thức Hình học 10
( Vẽ elip câu a)
2/ Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết.
a) A(0 ; - 2) là một đỉnh và F(1 ; 0) là một tiêu điểm của (E).
b) F
1
(-7 ; 0) là một tiêu điểm và (E) đi qua M(-2 ; 12)
c) Tiêu cự bằng 6, tâm sai bằng 3/5.
d) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là x =
3,4 ±=± y
e) (E) đi qua hai điểm M(4 ;
3
), N(
)3;22 −
.
3/ Tìm những điểm trên elip (E) :
1
9
2
2
=+ y
x
thỏa mãn :
a) Có bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm bên phải.

2
– 25y
2
= 400 d) x
2
– y
2
= 1
6/ Lập phương trình chính tắc của hyperbol (H) biết :
a) Một tiêu điểm là (5 ; 0), một đỉnh là (- 4 ; 0).
b) Độ dài trục ảo là 12, tâm sai bằng 5/4.
c) Một đỉnh là (2 ; 0), tâm sai bằng 3/2.
d) Tâm sai bằng
2
, (H) đi qua điểm A(-5 ; 3).
e) (H) đi qua hai điểm A(6 ; -1), B(-8 ; 2
)2
.
7/ Tìm các điểm trên hyperbol (H) : 4x
2
– y
2
– 4 = 0 thỏa mãn :
a) Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
b) Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 120
0
.
c) Có tọa độ nguyên.
8/ Xác định tham số tiêu, tọa độ đỉnh, tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol (P) sau :
a) y