Chương I: VECTƠ
A. KHÁI NIỆM VECTƠ
1. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác
0

?
b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR :
→
MQ
=
→
NP
2. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác đònh các vectơ cùng phương với
→
MN
b/ Xác đònh các vectơ bằng
→
NP
3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ
→
EH
và
→
FG
bằng
→
AD
.CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.

và
→
KL
=
→
BN
a/ CMR :
→
KP
=
→
PN
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR :
→
AL
=
0

6. Cho lơc gi¸c ®Ịu ABCDEF t©m O .H·y t×m c¸c vÐc t¬
a) B»ng víi
→−
AB
b) §èi víi
→−
AC
7. Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh 4cm , t©m O , M lµ trung ®iĨm AB. TÝnh
®é lín vÐc t¬
→−
AB

→−
CB
2. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. CMR :
→
AB
+
→
CD
+
→
EA
=
→
CB
+
→
ED
3. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F.
CMR :
→
AD
+
→
BE
+
→
CF
=
→
AE

MC
=
→
MB
+
→
MD
(với M là 1 điểm tùy ý)
5. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
CMR :
→
OD
+
→
OC
=
→
AD
+
→
BC
6. Cho ∆ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý
→
'AA
,
→
'BB
,
→
'CC

u

=
→→
+
ACAB
. Tính 
u


9. Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng
v

=
→→
+
ACAB
.
b/ Tính 
v

.
10. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, O lµ t©m.
2 Phạm Thị Hồng Ánh
a) Chøng minh :
→−
OA
+
→−

+
→−
MB
+
→−
MC
+
→−
MD
nhá nhÊt.
C. PHÉP TRỪ HAI VECTƠ
1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :
→
AB
−
→
CD
=
→
AC
+
→
DB
2. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
a/
→
CD
+
→
FA

−
→
FB
c/
→
AB
−
→
DC
−
→
FE
=
→
CF
−
→
DA
+
→
EB
3. Cho ∆ABC. Hãy xác đònh điểm M sao cho :
a/
→
MA
−
→
MB
+
→

MA
−
→
MB
−
→
MC
=
0

e/
→
MC
+
→
MA
−
→
MB
+
→
BC
=
0

4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính 
→
AD
−

ACAB

D. PHÉP NHÂN VECTƠ
3
Hình h c 10ọ
1. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :
→
AM
+
→
BN
+
→
CP
=
0

b/ CMR :
→
OA
+
→
OB
+
→
OC
=
→

→
MC
= 3
→
MG
3. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD
và O là trung điểm của EF.
a/ CMR :
→
AD
+
→
BC
= 2
→
EF
b/ CMR :
→
MA
+
→
MB
+
→
MC
+
→
MD
= 4
→

MD
=
→
ME
+
→
MF
+
→
MG
+
→
MH
c/ CMR :
→
AB
+
→
AC
+
→
AD
= 4
→
AG
(với G là trung điểm FH)
5. Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H. CMR :

→
AD

→
EB
+ 2
→
EC
= 3
→
AB
c/
→
EB
+ 2
→
EA
+ 4
→
ED
=
→
EC
4 Phạm Thị Hồng Ánh
7. Cho ∆ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là
điểm trên cạnh AC sao cho
→
AN
=
2
1
→
NC

AD
= 2
→
DB
,
→
CE
= 3
→
EA
. Gọi M là trung điểm DE và I là trung
điểm BC. CMR : a/
→
AM
=
3
1
→
AB
+
8
1
→
AC
b/
→
MI
=
6
1

và
→
PA
+
→
PB
=
0

a/ Tính
→
PM
,
→
PN
theo
→
AB
và
→
AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
11. Cho ∆ABC ; I ; J nùçm trïn cẩnh BC vâ BC kếo dâi
sao cho
2CI = 3BI ; 5JB = 2JC .
a) Tđnh
→−
AI
theo
→−−

2
→−
AC
b)
→−
AJ
=
3
5
→−
AB
–
3
2
→−
AC

12. Cho ∆ABC ; G lâ trổng têm ∆ vâ I lâ àiïím àưëi
xûáng ca B qua G. M lâ trung àiïím BC Tđnh
5
Hình h c 10ọ
a)
→−
AI
theo
→−−
AB
vâ
→−−
AC

1
→−
AB
b)
→−
CI
= -
3
1
→−
AB
-

2
1
→−
AC

c)
→
MI
=
6
1
→−
AC
-
6
5
→−

;
→−
AC
theo
a

;
b

ÀS: b)
→−
AB
=
2
1
(
a

+
b

) ;
→−
AC
=
2
5
a

–

→−
MD
16. Tam giấc CAB vng cên tẩi C. CM:
→
v
= 3.
→−
MA
–
→−
MB
– 2
→−
MC
cố hûúáng vâ àưå lúán khưng àưíi ? Dûång
→
v
? Tđnh àưå lúán
→
v
? ÀS :
13a
17. Cho ∆ABC. Dûång cấc àiïím M ; N thoẫ
a)
→−
MA
+ 2.
→−
MB
= 2.

BC
;
→−
OF
=
→−
OB
+
→−
CA
a) Chûáng tỗ võ trđ ca D; E; F khưng ph thåc
vâo võ trđ O
6 Phạm Thị Hồng Ánh
b) So sấnh hai tưíng vec tú :
→−
OA
+
→−
OB
+
→−
OC
vâ
→−
OF
+
→−
OE
+
→−

→−
MC
=
0

b)
→−
MA
+
→−
MB
+
→−
MC
=
→−
BC
21. Cho ∆ABC. Dûång cac á àiïím M ; J thoẫ
a)
→−
MA
+
→−
MB
+
→−
MC
=
→−
AB


b)
→−
MA
+2
→−
MB
– k
→
MI
=
0

23. Cho hònh bònh hânh ABCD. Xấc àõnh sưë thûåc k
vâ àiïím I àïí cấc àùèng thûác sau àng vúái mổi àiïím
M :
→−
MA
+
→−
MB
+
→−
MC
= k
→
MI
– 3
→−
MD

→−
BJ
+ m
→−
CJ
=
→−
AB
àng vúái mổi J
E. TRỤC - TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC.
1. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −2 và 5.
7
Hình h c 10ọ
a/ Tìm tọa độ của
→
AB
.
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm điểm M sao cho 2
→
MA
+ 5
→
MB
=
0

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2
NA
+ 3

= 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho
NA
+ 3
NB
=
AB
4. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR :
AC
1
+
AD
1
=
AB
2
b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR :
2
IAID.IC
=
c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR :
AJ.ABAD.AC
=
F. TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG
1. Viết tọa độ của các vectơ sau :
a

=
i

i

;
e

= −4
j

2. Viết dưới dạng
u

= x
i

+ y
j

, biết rằng :
u

= (1; 3) ;
u

= (0; −1) ;
u

= (1, 0) ;
u

= (0, 0)

= 4
a

−
2
1
b

4. Trong mp Oxy cho A(1; −2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ
→
AB
,
→
AC
,
→
BC
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm điểm M sao cho :
→
CM
= 2
→
AB
− 3
→
AC
d/ Tìm, điểm N sao cho
→

10.Trong mp Oxy cho A(2; 3),B(−1; −1),C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
c/ CMR : ∆ABC vuông cân.
d/ Tính diện tích ∆ABC.
11. Cho ∆ABC A(–1,0) ; B(1, 2) ; C(5,–2). Tìm tâm I của đường tròn
ngoại tiếp, đònh bán kính? S: (2;–1)
12. Cho A(1, 1) ; B(5, 3) ; C(0, -1).Tòm toẩ àưå chên
àûúâng phên giấc trong AD vâ phên giấc ngoâi AE
ca gốc A?
ÀS: D(5/3 ; 1/3) ; E(-5, -5)
13. Tòm toẩ àưå têm àûúâng trôn ngoẩi tiïëp ∆ABC vúái
A(6, –2) ; B(–2, 4) C(5, 5)
14. Tòm àiïím M nùçm trïn chiïìu dûúng ca trc hoânh
sao cho ∆MAB vng tẩi M vúái A(–3, 2) ; B(4, 3) ?
ÀS: a)(2, 1) b)(3, 0)
10 Phạm Thị Hồng Ánh
ÔN TẬP CHƯƠNG I
1. Cho ∆ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
a/ CMR : 2
→
IA
+
→
IB
+
→
IC
=
0

+
→
DB
+
→
DC
3. Cho ∆ABC. Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho
→
BC
= 3
→
BN
.
Tính
→
AN
theo
→
AB
và
→
AC
4. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của
BC, CD.
a/ CMR :
→
AI
=
2
1


5. Cho ∆ABC và 1 điểm M tùy ý.
a/ Hãy xác đònh các điểm D, E, F sao cho
→
MD
=
→
MC
+
→
AB
,
→
ME
=
→
MA
+
→
BC
và
→
MF
=
→
MB
+
→
CA
. CMR các điểm D, E, F

→
MB
+
→
MC
=
0

c/ 
→
MA
+
→
MB
 = 
→
MA
−
→
MB

11