Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Đ1 hệ toạ độ đề các vuông góc trong
không gian. toạ độ của véc tơ và của điểm
1. Hệ toạ độ Đề các vuông góc trong không gian
Trục:ox,oy,oz
Cho ba trục Ox Oy Oz Ox Gọi các véc tơ
i , j, k
r r r
là các véc tơ đơn vị tơng ứng trên các trục đó. Hệ trục nh vậy gọi là
hệ trục toạ độ đề các vuông góc trong không gian.
Trục Ox gọi là trục hoành
Trục Oy gọi là trục tung
Trục Oz gọi là trục cao
2. Toạ độ của véc tơ đối với hệ toạ độ
- Cho hệ toạ độ Oxyz và một véc tơ
v
r
tuỳ ý . vì ba véc tơ
i , j, k
r r r
không đồng phẳng nên ! (x ; y ; z) sao cho :
v xi yj zk
= + +
r r r
r
Bộ ba số (x ; y ; z) là toạ độ của véc tơ
v
r
và kí hiệu là :
v (x;y;z) hoặc v(x;y;z)
=

d)v v' y y '
z z'
Chứng minh : ( Sgk)
4. Toạ độ của một điểm
Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M bất kỳ. Toạ độ của véc tơ
OM
uuuur
là toạ độ điểm M
Từ đó ta có :
OM (x;y;z) M(x;y;z)=
uuuur
( )
( )
( )
;0;0
0; ;0
0; 0;
M Ox M x
M Oy M y
M Oz M z
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 ; ;0
0 0; ;
0 ;0;
M xy M x y

tích có hớng của hai véc tơ và áp dụng
1. Định lí:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai véc tơ
a (x;y;z) và b (x';y';z ')= =
r
r
(*) thì :
= + +
ur r
a.b xx' yy' zz '
(1)
Công thức (1) gọi là biểu thức toạ độ tích vô hớng của hai véc tơ
Ta có :
2 2 2 2
2 2 2
a x y z
a x y z
= + +
= + +
r
r
2. Khoảng cách giữa hai điểm
Cho A( x ; y ; z) : B(x ; y ; z) ta có
2 2 2
AB (x ' x) (y ' y) (z ' z)= + +
(2)
3. Góc giữa hai véc tơ
Cho hai véc tơ (*) gọi là góc giữa hai véc tơ ta có
2 2 2 2 2 2
a.b xx' yy' zz'


r
r
y z z x x y
[a.b] ; ;
y' z' z' x' x' y '
c) Tính chất :
=

=
r r
r
r r
r r r
r r r
r r
r r
i)a, b cùng phưong khi và chỉ khi[a.b] 0
ii)[a, b] a và [a, b] b
iii) [a.b] a . b .sin
d)Diện tích hình bình hành ABCD: =
uuur uuur
ABCD
S [AB.AC]
e) Diện tích tam giác
ABC
1
S [AB.AC]
2
=

ur r r r
B i 2:
( ) ( )
2;5; 4 ; 3 2 ; 4; 3;0OA OB i j k C= = +
uuur uuur r r ur
a)CM:A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
b)Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là một hình bình hành.
c)Tìm toạ độ trong tâm của tam giác ABC.
d)Tính diện tích của hình bình hành ABCD ở trên.
B i 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A,B,C,D có toạ độ xác định bởi các hệ thức
A(2;4;-1),
( )
4 , 2;4;3 , 2 2OB i j k C OD i j k= + = = +
uuur r r ur uuur r r ur
a)CMR:
; ;AB AC AC AD AD AB
b)Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A,B,C,D có toạ độ A(-4;4;0),B(2;0;4),C(1;2;-1);D(7;-2;3)
a)CMR:A,B,C,D đồng phẳng.
b)Tính diện tích tứ giác ABDC.
Bài 5:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm A,B,C:A(2;-1;3);B(-10;5;3);C(2m-1;2;n+2)
a)Tìm m,n để A,B,C thẳng hàng
b)Tìm trên oy điểm N để tam giác NAB cân tại N.
c)Với m=3/2,n=7 CMR:tam giác ABC không vuông khi đó tính diện tích tam giác ABC và độ dài đờng phân giác trong và
phân giác ngoài góc A.
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho 4 điểm A(6;-2;3),B(0;1;6),C(2;0;-1),D(4;1;0)
a)CM:A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b)Tính thể tích của tứ diện ABCD.
c)Tính đờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
d) Tính góc giữa hai đờng thẳng (AB) và (CD).

(

).
Kí hiệu :
n ( )
r
Giả sử M
0
() M ()
0
M M n
uuuuuur
r
Vậy một nặt phẳng đợc xác định khi biết một điểm thuộc nó và một véc tơ pháp tuyến của nó
1.2.Chú ý : Cho
a(x;y;z) và b(x';y ';z')
r
r
không cùng phơng và cùng //() thế thì
n [a.b]=
r
r r
là một véc tơ pháp tuyến của
mp()
- Hai véc tơ trên gọi là cặp véc tơ chỉ phơng của mp()
- Để các định véc tơ pháp tuyến của mp đi qua A, B, C ta xác định véc tơ pháp tuyến bằng cách
n [AB.AC]=
uuur uuur
r
2. Phơng trình tổng quát của mặt phẳng

n(A;B;C)
r
3. Các trờng hợp riêng của phơng trình tổng quát
3.1) D = 0 () đi qua gốc toạ độ
3.2) Một trong ba hệ số A, B, C bằng không thì mặt phẳng chứa hoặc song song với trục tơng ứng
3.3) Nếu hai trong ba hệ số bằng không thì mặt phẳng vuông góc với trục còn lại
3.4 Phơng trình đoạn chắn
x y z
1
a b c
+ + =
4. Các ví dụ :
Ví dụ 1:
Lập phơng trình mặt phẳng đi qua M(1; -2 ; 3) và // 2x - 3y + z + 5 = 0
Đáp số : 2x - 3y + z -11 = 0
Ví dụ 2: Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1 ; -2 ; 3), B(2 ; 0 ; 1), C(-1 ; 1 ; -2)
Giải
Bớc 1. Ba điểm A, B, C không thẳng hàng
Bớc 2: Mặt phẳng (ABC) có véc tơ pháp tuyến là :
n [AB.AC] ( 4;9;7)= =
uuur uuur
r
Bớc 3: Phơng trình có dạng
:-4x + 9y + 7z + 1 = 0
Ví dụ 3: Cho A(1 ; 2 ; -5) ; B(3 ; 1 ; 1) tìm tập hợp những điểm M sao cho |MA
2
- MB
2
| = 4
Giải

2:
Đáp số x - 2y + 2z + 3 = 0
Đ4 vị trí tơng đối của hai mặt phẳng chùm mặt phẳng
1. Một số qui ớc, kí hiệu
Cho hai bộ số (A
1
,A
2
A
n
) và (A
1
,A
2
A
n
). Hai bộ số đợc gọi là tỉ lệ với nhau nếu :
A
1
= tA
1
; A
2
= tA
2
. . .A
n
= tA
n
và kí hiệu : A

Đáp số :
a) Cắt nhau
b) cắt nhau
c) Cắt nhau
d) Song song
e) Trùng nhau
Bài 2: <sgk tr87> Xác định các giá trị l và m để các cặp mặt phẳng song song
a) để hai mặt phẳng song song với nhau điều kiện cần và đủ là :
m 4
2 l 2 3
m 2 4 7 l 1
=

= =

=

b) Đáp số : l=1/2 ; m = 4
3. Chùm mặt phẳng
Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng cắt nhau lần lợt có phơng trình
() : Ax + By + Cz + D = 0 (1)
() : Ax + By + Cz + D = 0 (1)
a) Định lí: Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của (

) và (

) đều có ph ơng trình dạng
m(Ax + By + Cz + D) + n(Ax + By + Cz + D)=0 (2)
(m
2


ba

Bài 2: Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1,1,1) và
1) Song song với các trục 0x và 0y.
2) Song song với các trục 0x,0z.
3) Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 3: Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1,-1,1) và B(2,1,1) và :
1) Cùng phơng với trục 0x.
2) Cùng phơng với trục 0y.
3) Cùng phơng với trục 0z.
Bài 4: Xác định toạ độ của véc tơ
n
vuông góc với hai véc tơ
)1,2,3( );3,1,6( ba

.
Bài 5: Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là
)4,2,3( );2,7,2( ba
Bài 6: Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
1) (P) đi qua điểm A(-1,3,-2) và nhận
);4,3,2(n
làm VTPT.
2) (P) đi qua điểm M(-1,3,-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
Bài7: Lập phơng trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2,6,-3) và song song với các mặt phẳng toạ
độ.
B ài 8: (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1,2,3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q).
Bài9: Xét vị trí tơng đối của các cặp mặt phẳng sau:
1) (P

( ) ( )
Rtt
ttz
tty
ttx
P






++=
+=
++=
21
21
21
21
2
,,
43
27
321
:
Bài 10:Lập phơng trình mặt phẳng đi qua điểm M(2,1,-1) và qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P
1
) và
(P
2


+ + + =

(1)
trong đó : A : B : C A: B : C
- Hệ (1) goi là phơng trình tổng quát của đờng thẳng
Chú ý:
1)
'
,
d
u n n=

uur uur uur
2)Cách chọn điểm M(x
0
;y
0
;z
0
)
d
3)Đk để hệ (1) là pttq của mặt phẳng
4. Phơng trình tham số của đờng thẳng
Đờng thẳng hoàn toán xác định khi biết một điểm thuộc nó và một véc tơ chỉ phơng của nó
Cho điểm M(x
0

0 0 0
x x y y z z
a b c

= =
(3)
Phơng trình (3) gọi là phơng trình chính tắc của đờng thẳng
Vd:
Tìm véctơ chỉ phơng của các đờng thẳng sau
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
1)
3
1
4
2
3
1
:)(
+
=
+
=

zyx
d
2)
( )




r
uuuuuuur
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
v(a;b;c) ;M (x ;y ;z )
v'(a ';b ';c') ;M ' (x ' ;y ' ;z ' )
M M ' (x' x ;y ' y ;z' z )
Ta có các kết luận :
a) d // d
, ' 0
, ' 0
v v
v MM


=








r ur r
r uuuuur r
b) Hai đờng thẳng trung nhau
, ' 0
, ' 0


r ur r
r ur uuuuur r
d) Hai đờng thẳng chéo nhau
, ' . ' 0v v MM



r ur uuuuur r
e) Hai đờng thẳng đồng phẳng
, ' . ' 0v v MM

=

r ur uuuuur r
Chú ý:sơ đồ sét vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng.
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Vd1:Xác định vị trí tơng đối của hai đờng thẳng d
1
và d
2
trong các trờng hợp sau.
( ) ( )
( )
{
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2

c d y t d
z t
x t x u
d d y t d y u
z t z u
= +



= + = =

= +



+ =
= =
+ + =

= +

+

= = =


= +


= + = +

) : , :
2 1 3
2 3
x y x y z
a d d
x y z x y
x t
x y z
b d y t d
z t
+ + = + + =
+ = + =
= +

+

= = =


= +


Đs:a)
1 3
;0;
2 2


ữ













=





=



=

uur uur
uur uur
uur uur
uur uur r



= + =

= +


Vd4:Cho mp(P) và đờng thẳng (d) có phơng trình.
(P):2x+my+z-5=0 và
{
3 2 4 0
( ) :
2 7 0
x y z
d
x y z
+ + =
+ =
a)Tìm m để (d)//(P)
b)tìm m để (d) cắt (P)
Đs:a)m=1 b)m khác 1
4.Tìm giao điểm giữa đ ờng thẳng và mặt phẳng
Vd5: Tìm giao điểm giữa đờng thẳng và mặt phẳng
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
( )
{
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1 0

2) (d) đi qua 2 điểm A(1,0,-1) và B(2,-1,3)
Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phơng trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng
(P) : x-3y+2z-6=0 và các mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng đi qua điểm M(2,3,-5) và song song với đờng thẳng (d) có phơng trình
( )



=++
=+
0323
0723
:
zyx
zyx
d
Bài 4: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3,0,0), B(0,6,0), C(0,0,9). Viết phơng trình tham số của đờng thẳng (d) đi qua
trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó
Bài 5:Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )



=+
=++
0642
0104
:
zyx
zyx

+=
+=
=
tz
ty
tx
d

Hãy viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng đó
Bài 8:Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2,1,3) và vuông góc với mặt phẳng
(P) trong các trờng hợp sau:
(P): x+2y+3z-4=0
Bài 9:Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1,2,3) và song song với đờng thẳng
(d
1
) cho bởi :
1)
( )
1
2 2
: 3 t
3
x t
d y t R
z t
= +


=


d
,
( )



=+
=++
0642
0104
:
2
zyx
zyx
d
Bài 11: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
1)
( )
R t,
2
3
1
:






+=

05
010632
:



=+++
=++
zyx
zyx
d
(P): y+4z+17=0 4)
( )

01
03
:



=
=++
y
zyx
d
(P): x+y-2=0
Bài 12: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình
(P) :2x+y+z=0 và
( )
3

)//(P)
Bài 14: Xác định vị trí tơng đối của hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) có phơng trình :
1)
( )
R
tz
ty
tx
d






+=
+=
+=
t
46
32
23
:
1
,
( )

2
21
:
1
,
( )

13
23
2
:
2





+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
3)
( )

01
012


( )

5
1
25
:
1





=
=
+=
tz
ty
tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d




5
3
7
:
1


=


=
+
zyx
d
,
( )
2
4 18
:
3 1 4
x y z
d
+ +
= =

Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) song song với nhau .

:
2



=+
=+
zx
yx
d
Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm .
Bài 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng
1
( ) :
1 1 2
x y z
d = =

2
1 2
( ) :
1
x t
d y t
z t
=

( )
R t,
2
3
1
:






+=
=
+=
tz
ty
tx
d
(P): x-y-2z+3=0
3)Khoảng cách giữa hai mp // (P
1
) và (P
2
).
Vd3:Tính khoảng cách giữa hai mp (P
1
):3x+6y-2z+5=0 và (P
2
):3x+6y-2z+21=0

tx
d
b)
( )
{
3 3 0
:
2 1 0
x y z
d
x y
+ + =
+ =
5) Khoảng cách giữa hai đờng thẳng song song
Vd5:Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng song song
( )
4
9
1
5
3
7
:
1


=


=

1 2
1 2 2
: 2 , : 3 2
3 3 1 3
x t x u
d y t d y u
z t z u
= + = += + = +

= + = +7)Góc giữa hai đờng thẳng
Vd7: Tính góc giữa hai đờng thẳng
1
( ) :
1 1 2
x y z
d = =

2
1 2
( ) :
1
x t
d y t
z t


=

=


(P): x-y+z+3=0
9)Góc giữa hai mặt phẳng
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
1 2
1 2
.
cos
.
n n
u n

=
ur uur
ur uur
Vd9: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P
1
): x-y+z-4=0 và (P
2
) 3x-y+z-1=0
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Bài tập về nhà số 4
Bài 1:Tính khoảng cách từ điểm M(2,2,1) đến mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
1) (P): 2x+y-3z+3=0
2) (P):12x-4x+3y-15=0

( )

015z-x
019-y4x
:)(d&
46
32
23
:
21



=+
=+





+=
+=
+=
tz
ty
tx
d

2)
( )


+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
3)
( )

01
012
:
1



=+
=++
zyx
yx
d
( )

012
033
:
2


:

+
==

zyx
d
và: (P) :2x+2y+z-6=0
Tìm điểm M trên đờng thẳng (d) sao cho d(M,(P))=2.
Bài 7: Cho hai mặt phẳng
( )
1
P
,
( )
2
P
tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (P
1
)và (P
2
) biết
a) (P
1
):x+y-2z+5=0 và (P
2
):2x-y+z+2=0
b) (P
1
):2x-y+2z-2=0 và (P

c)
( )
{
3 3 0
:
2 1 0
x y z
d
x y
+ + =
+ =
Bài 9:Cho hai mặt phẳng, (P
1
):2x-2y+z-3=0 và (P
2
):2x-2y+z+5=0 .Lập phơng trình mặt phẳng (Q) song song và cách đều hai
mặt phẳng (P
1
) và (P
2
).
Bài 10:Cho mặt phẳng (P):x+2y+mz+3m-2=0 , (d):
( )
1 1 2
:
2 1 2
x y z
d
+ +
= =

( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1. :
2 4 2 3 0
2. : 4 6 3 0
3. : 1 0
S
x y z x y z
S x y z y z
S x y z x y z
+ + + + =
+ + + =
+ + + + =
Vd2:Lập phơng trình mặt cầu đờng kính AB biết A(1;2;3) ,B(3;4;-1)
c b.Phơng trình dạng khai triển.
Vd3:Cho pt:x
2
+y
2
+z
2
+2mx+4my-2(m-1)z+2m +3 =0 (*)
a)Tìm m để pt(*) là pt mặt cầu S(I;R).
b)Tìm m để mặt cầu S(I;R) có R=
2 2
Đs:

( )( )
RP,Id
=
, khi đó (P) gọi là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) và
( ) ( )
P S M =
thì M đợc gọi là tiếp điểm và IM(P)

( ) ( ) ( ) ( )
( )
'; ,S P C I r d I P R = <
, khi đó
222
'IIRr
=
(II=d(I,(P)))
Chú ý:+Cách tìm tiếp điểm M.
+Cách tìm tâm và bán kính của đờng tròn
( )
';C I r
.
Vd 6 : cho mặt cầu:
4zyx
222
=++
(S) và mặt phẳng
2zx
=+
(P)
Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S).

2
+(z-1)
2
=9
Và mp(P):2x+2y+z-m
2
-3m=0.Tìm m để (P) tiếp xúc với (S) với m tìm đợc hãy xác định tọa độ tiếp điểm.
4)Vị trí tơng đối của đờng thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (S) và đờng thẳng (d)

( ) ( ) ( )
,S d d I d R = >
( d ) tiếp xúc với (S)
( )
,d I d R =
, khi đó (d) gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S) và
( ) ( )
d S M =
thì
M gọi là tiếp điểm và IM (d)

( ) ( ) { } ( )
, ,S d A B d I d R = <
Chú ý:
+Cách tìm tiếp điểmM.
+Cách tìm toạ độ A,B(viết ptts(d)).
Vd 10 :Xét vị trí tơng đối giữacủa đờng thẳng (d) và mặt cầu (S):
2 2 2
2 4 6 67 0x y z x y z+ + =
trong các tr-

=


+ +
= =
5)vị trí tơng đối của hai mặt cầu.
Cho S
1
(I
1
;R
1
) và S
2
(I
2
;R
2
)
+(S
1
) và (S
2
) nằm ngoài nhau khi và chỉ khi I
1
I
2
>R
1
+R

1
) và (S
2
) tiếp xúc trong khi và chỉ khi I
1
I
2
=R
1
-R
2

+(S
1
) và (S
2
) lồng vào nhau khi và chỉ khi I
1
I
2
<R
1
-R
2

Vd 11 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz, cho mặt cầu (S
1
) và (S
2
) lần lợt có phơng trình nh

zyxzyxS
3)
( )
03936333:
222
=++++
zyxzyxS
4)
( )
07524:
222
=++
zyxzyxS
5)
( )
022:
222
=+++
yxzyxS
Bài 2: Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình :
( )
04624:
2222
=++++
mmzmymxzyxS
m

1) Tìm điều kiện của m để (S

=++
mymxzyxS
m

1) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
2) CMR tâm của (S
m
) luôn chạy trên một đờng tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay đổi.
Bài 5: Cho mặt cầu
( )
034:
222
=++
zyxzyxS
.xét vị trí tơng đối của điểm A đối với mặt cầu (S) trong các
trờng hợp sau:
1) điểm A(1,3,2). 2)điểm A(3,1,-4). 3)điểm A(-3,5,1).
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ đô trực chuẩn 0xyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
( )
022:
222
=++ xzyxS
,(P):x+z-1=0.
1) Tính bán kính và toạ độ tâm của mặt cầu (S).
2) Tính bán kính và toạ độ tâm của đờng tròn giao của (S) và (P).
Bài 7: Cho hai mặt cầu:
( )
0722:

CMR hai mặt cầu (S
1
) và (S
2
) cắt nhau
Bài 9: Cho mặt cầu:
( )
2 2 2
: 4 2 2 10 0S x y z x y z+ + + =
và (P) :2x+2y+z-6=0
Xét vị trí tơng đối của mp(P) và mặt cầu (S).
Bài 10: Cho mặt cầu:
( )
2 2 2
: 4 2 2 3 0S x y z x y z+ + + + =
và
( )
1 3 2
:
2 1 2
x y z
d
+ +
= =

Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt cầu (S) v tìm các giao điểm của đ ờng thẳng (d) và mặt cầu (S) nếu có.
Đs:
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Chuyên đề 1:Lập phơng trình mặt phẳng
Chú ý:

A 0
m A x+B y+C z+D +n A x+B y+C z
z
A B C
x B y C z D
x B y C z D
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
= +


r
r
r
2 2
2
+D 0 đk:m n 0
4. P // Q : Ax+By+Cz+D=0 P : Ax+By+Cz+m=0 đk:m D
5.( )//( ) thì vtcp u của đường thẳng d là một vtcp của mp(P).
6.(P) (Q) thì vtpt n của mp(Q) là một vtcp của mp(P).
7.(P)//(Q) thì vtpt n của m
P d
( )
( )
( ) ( ) ( )




x y z
+ + =

+ + =
Đs:(P):2x-3y-7z-7=0
Vd4:Viết phơng trình mặt phẳng đi qua điểm M(4;5;-2) và song song (P) :2x+3y+z-2=0
Đs:2x+3y+z-21=0
Vd5:Viết phơng trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1;2;-1) và song song với hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) biết
( ) ( )
1 2
1 3 1 5
: ; :
2 1 4 3 1 2
x y z x y z
d d

= = = =

Đs:(Q):6x+8y-5z-27=0
Vd6:Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-2;3;1) và vuông góc với hai mặt phẳng
(Q
1
):2x+y+2z-10=0 và (Q
2
):3x+2y+z+8=0
Đs:3x-4y-z+19=0

Vd9:Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B và vuông góc với mp(Q) biết A(1;0;1),B(2;1;2) và
(Q):x+2y+3z+3=0
Đs:(P):x-2y+z-2=0
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Vd10: Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B và song song với đờng thẳng (d) biết A(2;-1;3),B(1;2;4)
và
( )
{
3 0
:
2 3 0
x y z
d
x y z
+ =
+ + =
Đs:7x+2y+z-15=0
Vd11: Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
) và vuông góc với (d
2
) biết
( ) ( )
{
1 2
2 2
2 0
: 1 ; :
2 3 1 0
1 1

+ =
Chú ý:nếu (d
1
) không song song với (Q) thì không tồn tại mp(P).
Đs:x-4y-4=0
Vd13:Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d) và vuông góc với (Q) biết
( ) ( )
1 2
: ; : 2 5 0
2 1 3
x y z
d Q x y z

= = + + =
Đs:(P):5x-y-3z-3=0
Chú ý:nếu (d) không vuông góc với (Q) thì không tồn tại mp(P)
Vd14: Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d) và / / với () biết
( ) ( )
( )
{
( )
2 3 1 2
1) : ; :
1 2 3 3 5 1
2 1 2
2 5 1 0
2) : ; :
2 0
3 5 1
X Y Z x y z

1
) và (d
2
) biết
( ) ( )
{
1 2
1 2
1 0
: ; :
2 1 0
4 4 2
x y z
x y
d d
y z

+ + =
= =
+ + =

Đs:(P):3x-y-8z-1=0
Vd17: Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) biết
( ) ( ) ( )
{
1 2

Vd21:Cho hai điểm A(2;1;-1),B(3;-1;5) và mặt phẳng (Q):x-2y+2z-7=0.Lập phơng trình mặt phẳng (P) song song
và cách đều hai điểm A,B.
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
s:2x-4y+4z-13=0
Vd22: Viết phơng trình các mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến
( )
3;4; 12n =
r
và
d(A,(P))=2 biết A(2;2;1).
Đs:3x+4y-12z+24=0 v 3x+4y-12z-28=0
Vd23: Cho (Q):2x-3y-6z+12=0 và
( )
2 1 1
:
2 2 1
x y z
d
+
= =

.Viết phơng trình các mặt phẳng (P) biết (P)//(d),
(P)(Q) và d((P),d)=1.
Đs:
= =15x+14y-12z+5 17 14 0 và 15x+14y-12z-5 17 14 0
Vd24:Cho hai đờng thẳng
( ) ( )
1 2
1 1 3 1
: ; :

1 2 1
2 1 1
x y z +
= =

và có khoảng cách đến điểm
A(1;1;0) bằng 1.
Đs:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 2
: 2 2 3 2 2 9 5 2 0; : 2 2 3 2 2 9 5 2 0P x y z P x y z+ + + = + + =
Vd28:Cho hai đờng thẳng chéo nhau (d
1
) và (d
2
) có phơng trình
( ) ( )
1 2
1 2 2
: 2 , : 3 2
3 3 1 3
= + = += + = +

= + = +

d :
1 0
x y z
y z
+ + =


+ =

viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) và d(A,(P)) là lớn
nhất.
Đs:(P):x-2=0
Vd3 3 2 : Cho đờng thẳng (d):
{
2 0
2 0
x y
y z
+ =
+ =
và (P):x+2y-2z+2=0.Lập phơng trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và tạo với
(P) một góc sao cho sin
5
6
=
.
Đs:(Q
1
):x+2y+z-4=0 và (Q
2