PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tọa độ của điểm:
( )
; ;M x y z OM xi y j zk
⇔ = + +
uuuur r r r
O(0; 0; 0)
đặcbiệt:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
; ;0 ;0;0
0; ; 0; ;0
;0; 0;0;
M Oxy M x y M Ox M x
M Oyz M y z M Oy M y
M Oxz M x z M Oz M z
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
2. Toạ độ vectơ:
( )
; ;u x y z u xi y j zk
= ⇔ = + +
r r r r r
(1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)i j k= = =
r r r
3. Các công thức tính toạ độ vectơ:
( )
; ;

2 2 2
u x y z= + +
r
( )
2
2 2
) ( ) (
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
( )
2 2 2 2 2 2
. ' ' ' '
cos ; '
'
. ' ' '
u u xx yy zz
u u
u u
x y z x y z
+ +
= =
+ + + +
r ur
r ur
r ur
Bài tập: Xét các bài toán dưới đây trong hệ trục tọa độ Oxyz.
1. Cho
2 , 3 5( ), 2 3u i j v i j k w i j k= − = + − = + −
r r r ur r r r uur r r r

a)
( ) ( )
1;1;1 ; 2;1; 1u v= = −
r r
b)
3 4 , 2 3u i j v j k= + = − +
r r r ur r r
6. Tìm M trên Ox sao cho M cách đều A(1; 2; 3) và B(-3; -3; 2)
7. Cho tam giác ABC có A(1 ; -1 ; 1) , B(0 ; 1 ; 2), C(1 ; 0 ; 1)
a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC
b) Tính độ dài đường trung tuyến AM
8. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1; 0; 1), B(2; 1;2), D(1; -1; 1), C’(4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh
còn lại.
9. Cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1).Tìm toạ độ D sao cho tứ giác ABCD là hình
bình hành.
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
1
10. Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D có toạ độ xác đònh bởi các hệ thức: A(2; 4; -1),
OB i 4j k= + −
uuur r r r
, C(2; 4; 3),
OD 2i 2j k= + −
uuur r r r
. Chứng minh :AB
⊥
AC, AC
⊥
AD, AD
⊥
AB

2. Chú ý:
a) Mặt cầu có tâm I và qua A thì R = IA =
( ) ( ) ( )
2 2 2
A I A I A I
x x y y z z− + − + −
b) Mặt cầu có đường kính AB thì R =
1
2
AB
và tâm I là trung điểm AB
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
+ + +
 
⇒
 ÷
 
c) Mặt cầu qua 4 điểm A, B,C, D thì viết phương trình mặt cầu ở dạng (2) rồi thay tọa độ từng
điểm vào phương trình và giải hệ để tìm a, b, c, d.
Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu:
a) x
2
+ y
2
+ z
2

a) mặt cầu có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
b) mặt cầu đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
c) mặt cầu qua 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
d) mặt cầu qua 4 điểm A(1 ; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; 0 ; 3)
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2)Gọi A’ là hình chiếu
của A lên Oxy. Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D.
Bài 4: Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp Oxy
Bài 5 : Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
4 2 4 4 0x y z mx my z m m+ + + − + + + =
ln là phương trình
của một mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
Bài 6 : Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
2 os . 2sin . 4 4 4sin 0x y z c x y z
α α α
+ + + − + − − =
ln là
phương trình của một mặt cầu. Tìm
α
để bán kính mặt cầu là lớn nhất.
Bài 3: TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ
Cơng thức tích có hướng
Cho
( )
; ;u x y z=
r
và
( )
' '; '; 'u x y z=

1. Tính tích có hướng của các vect ơ:
TRƯỜNG THPT ĐƠNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
2
a)
( ) ( )
3;0; 6 ; 2; 4;0a b= − = −
r r
b)
( ) ( )
1; 5;2 ; 4;3; 5a b= − = −
r r
c)
( ) ( )
1;1;1 ; 2;1; 1u v= = −
r r
d)
3 4 , 2 3u i j v j k= + = − +
r r r ur r r
2. Cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0)
a) Tính
; ;AB AC BA BC∧ ∧
uuur uuur uuur uuur
b) Tính
( ); ( )AD AB AC BD BA BC∧ ∧
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
3. Cho 4 điểm A(1; 0;0) , B(0; 1; 0), C(0;0;1), D(-2; 1; -1)
a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng
b) Tìm góc giữa hai vecto
;AB CD
uuur uuur

0
) +C(z-z
0
) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D = 0
2. Chú ý:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
a. VTPT của (P)
( ; ; )n A B C=
r
b. Nếu điểm M(x
1
; y
1
; z
1
)
∈
(P) thì Ax
1
+By
1
+Cz
1
+D=0
Trong trường hợp chưa tìm được vectơ pháp tuyến thì tìm hai vectơ không cùng phương
; 'u u
r ur
có giá
song
song hoặc nằm trong mp . Khi đó VTPT của mp là:

r
c)Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB
d)Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e)Viết phương trình mp (ABC)
2. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
3
a) (
α
) vuông góc với AB tại A, biết A(1;0;−2), B(2;1;1). b) (
α
) qua ba điểm M(2;−1;3), N(4;2;1),
P(−1;2;3).
3. Trong không gian cho A(−1;2;1),
3OB j k= +
uuur r r
,
4OC i k= +
uuur r r
.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
4. Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
5. Viết phương trình mặt phẳng:
a) chứa trục Ox và điểm A(1; 2; 3) b) chứa trục Oy và điểm B(- 2 ; 3 ; 5)
c) chứa trục Oz và điểm C(2 ; -1 ; 2)
6. Cho tứ diện ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)


=
=
 
⇔ ⇔
 
≠
≠




r ur
2.
( ) ( )
( ) ( )
; ; '; '; '
'
'
'
'
A B C k A B C
n kn
P P
D kD
D kD

=
=
 

r

Bài tập:
1. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (
α
) qua A(0; −2; 1) và song song với mặt phẳng (
β
): x−3z+1=0.
b) (
α
) qua B(2 ; 3 ; -2) và song song với mặt phẳng (
β
): x−3y + 2z - 1=0.
c) (
α
) qua C( -1 ; 2 ; -1) và song song với mặt phẳng (
β
): 2x + y - 2z+4=0
d) (
α
) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (
β
): 4x + y - z+1=0.
2. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (

3 2 6 0x y+ − =
3. Viết phương trình mp qua B(4 ; -2 ; -1) và vuông góc với 2 mp (Oxy), mp (P) : x – y + 2z + 1 = 0
4. (TN 06 – 07)Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0. Viết mp(Q) qua M
và song song với (P)
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
4
5. (CĐ 08 – 09) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P
1
) : x + 2y + 3z + 4 = 0 và (P
2
)
: 3x + 2y − z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt
phẳng (P
1
) và (P
2
)
6. Xác định các giá trị của m, n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mp song song với nhau
a) 2x + my + 3z – 5 = 0 và nx – 8y – 6z +2 = 0
b) 3x – 5y + mz - 3 = 0 và 2x + nx – 3y – 3z + 1 = 0
Tóm tắt một số cách viết phương trình mặt phẳng :
Loại 1 : Biết một điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và một vectơ pháp tuyến

( )
α
uur uur
β
n =n
.
* Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm
( )
( )
A A A
m, m=- Ax +By +Cz
.
Loại 4: (α) đi qua hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng (β):
Ax+By+Cz+D= 0
,
(MN không vuông góc với (β):
* (α) có
α
∧
uur uuur uur
β
n =MN n
.
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N). Thay các kết quả vào (1).
III. Khoảng cách từ một điểm đến 1 mặt phẳng:
Định lý: Cho điểm M(x
0
; y
0
; z

1. Tính Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), biết:
a) M (1; 2; 3), (P): 2x – y + 2z – 10 = 0
b) M( 2; -2; 3), (P): 4x – 3z + 3 = 0
c) M ( 0; -1; 3), (P): 3y – 11 = 0
2.Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt có phương trình: x + 2y + 2z + 11 = 0 và x + 2y + 2z + 2 = 0
3.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) và mp (P) có phương trình: (P): 2x – 3y + 6z + 19 = 0
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P). Tìm
khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q).
4.Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng (
α
): 2x+y−2z+2=0 bằng
2
3
. ĐS: m=±1
5.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD

6.Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
7.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) .
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng minh ABCD là một tứ diện
c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC)
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
5
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
8. ( TN năm 07 – 08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) có phương
trình: 2x – 2y + z – 1 = 0.Tính khoảng cách từ A đến mp(P). Viết phương trình của mp(Q) sao cho (Q)//
(P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ A đến (P).
9. (TN năm 08 – 09) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)

Mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) thì có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến mp(P)
15.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết phương trình
mặt cầu tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD)
16.Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).Viết phương trình mặt cầu
tâm D và tiếp xúc mp (ABC).
17.( TN năm 06 – 07) Trong không gian Oxyz, cho mp(α): x + 2y – 2z +6 = 0.Viết phương trình mặt cầu
tâm là gốc toạ độ và tiếp xúc với mp(α).
18.(Khối B – năm 2005)Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ với A(0; -3; 0), B(4;
0; 0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4). Tìm toạ độ điểm A’, C’. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc mặt
phẳng (BCC’B’)
AD2: Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:


Nhắc lại một số công thức:
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mp(P)
Để xét vị trí tương đối của (S) và (P), ta tính khoảng cách từ I đến (P) và so sánh với bán kính R
a) Nếu
( )
( )
,d I P R>
thì mặt cầu (S) và mp(P) không có điểm chung
b) Nếu
( )
( )
,d I P R=
thì mặt cầu (S) và mp(P) có duy nhất 1 điểm chung.
Trường hợp này, ta nói (S) và (P) tiếp xúc
c) Nếu
( )
( )

và mặt phẳng
( )
α
x + 2y + 2z + 11 = 0. Chứng tỏ
mặt phẳng
( )
α
không cắt mặt cầu (S) .
21. Cho mặt cầu (S):
4 6 6 17
2 2 2
0
x x y z
y z
− + + +
+ + =
và mặt phẳng
( )
α
x – 2y +2z + 1 = 0. Chứng tỏ
mặt phẳng
( )
α
cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy tính bán kính của đường tròn (C).
22. Cho tứ diện ABCD có A(3; 6; -2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1).
a) Viết pt mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và tính bán kính mc (S)
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
23. (ĐH – Khối B - 07) Cho mặt cầu (S): x
2

α
tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp (P)
26.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D.
b) Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp(ABD)
Đs: a) x
2
+ y
2
+ z
2
–3x – 6y – 2z + 7 =0 b)
21
1 0
2
z ± − =
Bài 5 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Viết PTTS, PTCT của đường thẳng
B1: Tìm toạ độ vectơ chỉ phương (a; b; c) ( là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
B2: Tìm toạ độ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z

; ;
' ' ' ' ' '
P P
B C C A A B
u n n
B C C A A B
 
= ∧ =
 ÷
 
r uur uur
Muốn tìm một điểm thuộc d thì ta cho x = x
0
(thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z
b) Đường thẳng d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP là
AB
uuur
c) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng(P) thì d có VTCP là VTPT của (P)
d) đường thẳng d song song với đường thẳng
∆
thì d và
∆
có cùng VTCP
e) hai đường thẳng vuông góc thì hai vectơ chỉ phương của chúng vuông góc

BÀI TẬP:
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
7
1. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) đi qua A(1;2;3) và B(3; 5; 7)

∆ =


= − +

4. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng :
a) (P): x + 2y – 2z + 1= 0 và (Q): x – y + z – 4 = 0
b) (P): 3x - y – z + 2 = 0 và (Q): x + 2z + 1 = 0
5. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2; -1; 3) và vng
góc với hai đường thẳng:
1 2
:
2 3 1
x y z+ −
∆ = =
−
và
3 1
':
3 4 2
x y z− +
∆ = =
−
6. (TN năm 2007) Trong khơng gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0.Viết phương trình
tham số của đường thẳng d qua M và vng góc với (P). Tìm toạ độ giao điểm của d và mp(P)
7. (TN năm 2008)Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) : 2x – 2y + z – 1
= 0. Viết phương trình của đường thẳng đi qua A và vng góc với mp(P)
8. (TN năm 2009) Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = 0. Viết phương trình
tham số của d đi qua T và vng góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)
9. (ĐH- Khối A- 2005)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:

' '; '; 'u a b c=
ur

có PTTS là:
0 0
0 0
0 0
' ' '
; ' ' ' '
' ' '
x x at x x a t
y y bt y y b t
z z ct z z c t
= + = +
 
 
∆ = + ∆ = +
 
 
= + = +
 
*) Nếu thấy
'u ku=
r ur
thì lấy tọa độ điểm
M ∈∆
thế vào phương trình đường thẳng
∆
’. Xảy ra 2
khả năng:

TRƯỜNG THPT ĐƠNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
8
10. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
a)
'
2 4 ; ' 1 4 '
3 3 3 3 '
x t x t
y t y t
z t z t
= = −
 
 
∆ = − ∆ = +
 
 
= − − = − +
 
b)
9
3
5 ; ':
18 10 2
3
x t
x y z
y t
z t
=



= = = − +


= +

11. Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình:
1 1 3 1 3
: ; ':
3 2 2 1 1 2
x y z x y z
d d
+ − − − +
= = = =
−
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và d’
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng đó.
12. Cho 2 đường thẳng
1 3 '
4 2 ; ' 3 2 '
3 2
x x t
d y t d y t
z t z
= = −
 
 
= − + = +
 
 

2
3
0 4
x x at
y y bt
z z ct
Ax By Cz D
= +


= +


= +


+ + + =

Thay (1), (2), (3) vào (4), ta có phương trình : A(x
0
+ at) + B(y
0
+ bt) + C(z
0
+ ct) + D = 0 (*)
TH1: (*) vô nghiệm thì d và (P) không có giao điểm hay d và (P) song song
TH2: (*) có 1 nghiệm t duy nhất thì d và (P0 có 1 giao điểm hay d và (P) cắt nhau tại 1 điểm
TH3: (*) có vô số nghiệm thì d và (P) có vô số giao điểm hay d nằm trong mặt phẳng (P)
Chú ý:
1. Trong trường hợp d // (P) hoặc

d y t P x y z
z t
= +


= − + + + =


= +

c)
( )
1
: 1 2 ; : 4 0
2 3
x t
d y t P x y z
z t
= +


= + + + − =


= −

d)
( )
1 3
: 1 2 ; : 6 2 3 1 0

0
) và có VTPT của (P)
( ; ; )n A B C=
r
A(x –x
0
) + B(y-y
0
) +C(z-z
0
) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D = 0
3. Mặt phẳng (P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình dạng:
1
x y z
a b c
+ + =
, với
a, b, c khác 0
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua 1 điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0

) + B(y-y
0
) +C(z-z
0
) = 0,
Cách 2:
1. Giả sử mặt phẳng
( )
β
có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0
2. Mặt phẳng
( )
α
//
( )
β
nên phương trình
( )
α
có dạng: Ax + By + Cz + D’ = 0 (*)
3. Vì
( )
α
qua 1 điểm M
0
(x
0
; y
0
; z

;
uuur uuur
MN MP
* Vectơ pháp tuyến:
∧
r uuur uuur
n=MN MP
.
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N hoặc P).
* Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT
r
n
2.1 Viết phương trình mặt phẳng
a) qua 3 điểm A(-2; 0; 1), B(0; 10; 3), C(2; 0; -1)
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
10
b) qua 3 điểm M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)
2.2 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có B(-1; 0; 3), D(1; 2; 1), A’(2; -1; 1), C’(-2; 5; -3)
a) Viết phương trình mặt phẳng (A’BD) và (CB’D’), chứng minh 2 mặt phẳng này song song.
b) Viết phương trình 2 mặt phẳng (AA’C’C) và (BB’D’D).
2.3 Cho 4 điểm A(-1; 2; 0); B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; -2). Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
và suy ra 4 điểm A, B, C, D tạo thành 1 tứ diện.
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng
∆
Phương pháp giải
1. Tìm VTCP của
∆


= +

3.2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua N(0; 2; 3) và vuông góc với đường thẳng
∆
2 2 1
3 1 1
x y z− + −
= =
−
3.3. Cho đường thẳng d:
1 2
2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

và mặt phẳng (P): 2x + y + z = 0
a) Tìm tọa độ giao điểm A của d và
( )
α
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với d.

β
là
n
β
uur
2. Tìm VTCP của
∆
là
u
∆
uur
3. VTPT của mặt phẳng
( )
α
là:
n n u
α β
∆
= ∧
uur uur uur
4. Lấy một điểm M trên
∆
5. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 đi ểm và có 1 VTPT
4.1 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
1 1 1
:
1 2 3
x y z
d
− + −

uur
và
'
u
∆
uur
2. VTPT của mặt phẳng
( )
α
là:
'
n u u
α
∆ ∆
= ∧
uur uur uur
3. Lấy một điểm M trên
∆
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
5.1 Cho hai đường thẳng
1 2
1
1
: ;
2 1 1
x t
x y z
d d y t
z t
= −

2
2
x t
y t
z t
=



= − +


=


và song song đường thẳng d
2
:
1 3 5
2 2 1
x y z− − +
= =
−
5.3 Cho phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d:
2
2 3 4
x y z+
= =
và song song với d’:
1

5.5 Cho 4 điểm A(-1; 2; 0); B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; -2). Viết phương trình mặt phẳng chứa AD
và song song với BC.
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa đường thẳng
∆
và 1 điểm M
Phương pháp giải
1. Tìm VTCP của
∆
là
u
∆
uur
, lấy 1 điể m N trên
∆
. Tính tọa độ
MN
uuuur
2. VTPT của mặt phẳng
( )
α
là:
n u MN
α
∆
= ∧
uur uur uuuur
3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

u
∆
uur
và
'
u
∆
uur
2. VTPT của mặt phẳng
( )
α
là:
'
n u u
α
∆ ∆
= ∧
uur uur uur
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
12
3. Lấy một điểm M trên
∆
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
7.1 Cho 2 đường thẳng
1 2
1 4
: 1 2 ; :
1 2 5
3
x t

− + − − −
= = = =
− −
a) Chứng minh d
1
, d
2
cắt nhau
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng đó.
7.3 Cho 2 đường thẳng d
1
:
2
1 3 '
1 2 ; : 1 '
3 2 3 2 '
x t x t
y t d y t
z t z t
= − + =
 
 
= + = +
 
 
= − = − +
 
a) Chứng minh d
1
, d

là:
n u MN
α
∆
= ∧
uur uur uuuur
3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
8.1 Cho 2 đường thẳng
5 2 3 2 '
: 1 , ': 3 '
5 1 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = +
 
 
= − = − −
 
 
= − = −
 
. Chứng tỏ d // d’ và viết phương trình mặt phẳng
chứa 2 đường thẳng đó.
8.2 Cho hai đường thẳng
1 2
1 2 1 4 2
: ; :
3 1 2 3 1 2
x y z x y z

− + +

= − − = =

− −

= − −

a) Chứng minh d
1
, d
2
song song
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
, d
2
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S)
Phương pháp giải
1. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S)
2. Nếu mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M
∈
(S) thì mặt phẳng
( )

+2x – y - 6z + 1 = 0 tại M(-1; 0; 0)
9.3 Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7)
a) Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S)
b) Viết phương trình mặt cầu (S)
c) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) tại A
9.4 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 4y – 6z – 2 = 0 và song
song mặt phẳng (P): 4x + 3y – 12z + 1 = 0
9.5 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x – y - 6z + 1 = 0 và song
song mặt phẳng (P): 2x + 2y +z – 1 = 0
9.6 Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 2y + 4z - 3 = 0 và 2 đường thẳng
( ) ( )
1 2

+ y
2
+ z
2
– 10x + 2y +26z - 113= 0 và
song song với 2 đường thẳng
( ) ( )
1 2
7 3
5 1 13
: 1 2 ; :
2 3 2
8
x t
x y z
y t
z
= − +

+ − +

∆ = − − ∆ = =

−

=

9.8 Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc đường thẳng
2 5 4 5
:

làm VTCP có phương trình
tham số là:
0
0
0
;
x x at
y y bt t
z z ct
= +


= + ∈


= +

¡
Khi a, b, c khác 0 thì ta có phương trình chính tắc của d là:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
2. Nếu đường thẳng d là giao tuyến của hai mp (P) và (P’) lần lượt có phương trình :
Ax + By +Cz + D = 0 A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Thì đường thẳng d có VTCP:
'
; ;
' ' ' ' ' '

Chú ý: Cách tìm VTCP
- Nếu đường thẳng d qua A, B thì VTCP
u AB=
r uuur
- Nếu đường thẳng
( )
d P⊥
thì d có VTCP
P
u n=
r uur
(
P
n
uur
là VTPT của (P))
- Nếu
//d ∆
thì d và
∆
có cùng VTCP
- Nếu
;d a d b⊥ ⊥
thì d có VTCP
u u u
a
b
= ∧
r uur r
- Nếu

8 4 1 1 1 2
x y z x y z+ + + −
∆ = = ∆ = =
−
b) d qua A(1; -2; 3) và vuông góc đường thẳng
1 3
: 3 2
2
x t
y t
z t
= − +


∆ = − +


= −

và song song với mặt phẳng
(P): 2x + y + 3z – 5 = 0
3. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d qua A(0; 1; 1) và vuông góc với 2 đường thẳng
1 2
1
1 2
: ; : 2
8 1
3
x

qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d
Phương pháp giải:
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và
vuông góc với d
2. Tìm giao điểm B của d và mặt phẳng (P)
3. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua A, B.
5. Viết phương trình đường thẳng
∆
, biết:
a)
∆
qua điểm A(3; 2; 1), cắt và vuông góc với đường thẳng
3
:
2 4 1
x y z
d
+
= =
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
15
d
A
B
d
d'
B
A
b)
∆

Phương pháp giải:
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và
vuông góc với d
2. Tìm giao điểm B của d’ và mặt phẳng (P)
3. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua A, B.
6. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(0; 1; 1), vuông góc với đường thẳng
1
:
1
x t
d y t
z
= −


=


= −

và
cắt đường thẳng
1 1
':
2 7 9
x y z
d
− −
= =
−

d y t
z t
=


= − +


= −

và cắt đường thẳng
2
1 3 '
: 3 2 '
2 '
x t
d y t
z t
= −


= − +


= −

Dạng 3.1: Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt 2 đường thẳng a,
b
Phương pháp giải:
Lý luận: Gọi (P) là mặt phẳng chứa a, M và (Q) là mặt phẳng chứa b, M


=


= −

và
2 3
:
1 2 1
x y z
b
+ −
= =
−
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
16
Q
d
P
M
B
A
10. Viết phương trình đường thẳng qua M(2; 3; 1) và cắt 2 đường thẳng
1
: 1
4
x t
a y t
z

= =
− −

và
2 1 1
':
2 3 5
x y z
d
− + −
= =
−
Dạng 3.2: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với
mặt phẳng (
α
), cắt 2 đường thẳng a, b
Phương pháp giải:
Lý luận: Gọi (P) là mặt phẳng chứa a, vuông góc với(
α
),
(Q) là mặt phẳng chứa b, vuông góc với(
α
)
Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q)
1. Tìm VTCP của a, b là
;
a b
u u
uur uur
. Lấy

α
uur
và qua M
12. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Oxz) và cắt 2 đường thẳng :
: 4
3
x t
a y t
z t
=


= − +


= −

và
2 3 4
:
2 1 5
x y z
b
− + −
= =
− −
13. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z +2 = 0 và cắt hai
đường thẳng
2 1 2 '
: 1 ; 3


−

= −



15. Viết phương trình đường thẳng d song song với
3
: 1
5
x t
y t
z t
=


∆ = −


= +

và cắt hai đường thẳng
1
1 2 2
:
1 4 3
x y z
d
− + −

x y z
d
− + −
= =
,
2
7 3 9
:
1 2 1
x y z
d
− − −
= =
−
17. A 2007 Cho 2 đường thẳng
1 2
1 2
1 2
: ; : 1
2 1 1
3
x t
x y z
d d y t
z
= − +

− +

= = = +

n
uur
2. Đường thẳng
∆
có VTCP là
d P
u u n
∆
= ∧
uur uur uur
3. Viết phương trình đường thẳng
∆
qua A và có
VTCP vừa tìm được ở trên.
18. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm A(1;1;0), nằm trong mặt phẳng (P): 3x – 2y –
1 = 0 và vuông góc với đường thẳng
11 16
:
1 2 1
x y z
d
+ −
= =
−
19. Cho mặt phẳng (P): 2x + 5y + z + 17 = 0 và đường thẳng
1
11
5

d
+ + +
= =
−
a) Tìm giao điểm A của (P) và d.
b) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc với d và nằm trong mặt phẳng (P)
21. Cho mặt phẳng (P):2x + y -2z + 9 = 0 và đường thẳng
1 3 3
:
1 2 1
x y z
d
− + −
= =
−
a) Tìm giao điểm A của (P) và d.
b) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc với d và nằm trong mặt phẳng (P)
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
18
P
d
A
a
(P)
M
(P)
(Q)
M
N
Dạng 5: Viết phương trình hình chiếu vuông góc

25. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
2 2 1
3 4 1
x y z− + −
= =

lên mặt phẳng (P): x + 2y +3 z + 4 = 0.
26. Cho mặt phẳng (P): 2x + 5y + z + 17 = 0 và đường thẳng
1
11
5
2
: 27
5
7 15
x t
y t
z t

= − −



∆ = +


= +




3.Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song, ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
, , , ( )
, , ( )
d P Q d M P M Q
d N Q N P
= ∀ ∈
= ∀ ∈
B. CÁC DẠNG TOÁN:
Dạng 1: HÌNH CHIẾU - ĐỐI XỨNG
Dạng 1.1: Tìm điểm H là hình chiếu của A lên 1 mặt phẳng (P), tìm A’ đối xứng với A qua (P)
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
19
P
d
Q
d'
Phương pháp:
Bước 1: Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng((P). Suy ra
( )
AH P⊥
Do đó đường thẳng AH qua A và có VTCP là VTPT của (P)
=> Viết phương trình AH

3.Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng (P): x + 3y – z – 27 = 0. Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M
qua (P)
4.Cho mặt phẳng (P): x + 3y – z + 2 = 0 và điểm A(2; -3; 1). Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua
(P)
5.Cho mặt phẳng (P): 4x + y +2z + 1 = 0 và điểm M(4; 2; 1). Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M
qua (P)
6.Cho 2 điểm A(1; 2; 1), B(2; 1; 3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 6 = 0
a) Tìm tọa độ điểm K đối xứng với A qua mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)
7.Cho điểm A(1; 2; -1) và đường thẳng
1 2
:
1 3 3
x y z
d
− +
= =
, mặt phẳng (P): 2x + y – z + 1 = 0
a) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua (P)
Dạng 1.2: Tìm điểm H là hình chiếu của A lên 1 đường thẳng d, tìm A’ đối xứng với A qua d
Phương pháp
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc
đường thẳng d
Bước 2: Tìm tọa độ
( )
H P d= ∩
, H chính là hình chiếu của A lên d
Bước 3: A’ đối xứng với A qua d thì H là trung điểm AA’ nên
'


=

a) Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng
∆
b) Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua
∆
9. Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng
1 1
:
2 1 2
x y z− +
∆ = =
−
a) Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng
∆
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
20
P
A
A'
H
P
d
A
A'
H
b) Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua
∆
10. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A(1; -2; -5) qua đường thẳng

x t
d y t
z t
= +


= −


=

a) Tìm tọa độ M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 1
b) Tìm tọa độ K đối xứng với điểm I(2; -1; 3) qua đường thẳng d
Dạng 2: KHOẢNG CÁCH
Dạng 2.1: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, từ đường thẳng song song mặt phẳng, giữa
hai mặt phẳng song song.
Phương pháp: Áp dụng công thức cơ bản ở trên
14. Tính khoảng cách từ đường thẳng
3 2
: 1 3
1 2
x t
y t
z t
= − +


∆ = − +



Tìm khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q).
17. Cho mp
( )
α
:2x – 2y + z + 3 = 0 và đường thẳng
3 2
3 1 1
:
2
x y z+ + +
∆ = =
a) Chứng tỏ
( )
/ /
α
∆
b) Tính khoảng cách giữa
∆
và
( )
α
18. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng : x + 2y + 2z + 11 = 0 và x + 2y + 2z + 2 = 0 Đs: 3
19. (Khối A – năm 2005)Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:
1 3 3
1 2 1
x y z− + −
= =
−
và
mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 9 = 0. Tìm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P)

= +


Bước 1:Viết phương trình mp(P) chứa A và vuông góc với d
Bước 2: Tìm giao điểm H của d và (P)
Bước 3: Tính d(A,d) = AH
Chú ý: nếu có 2 đường thẳng d, d’ song song thì khoảng cách
của 2 đường thẳng chính là khoảng cách từ một điểm
tùy ý trên d đến d’.
22. Tính khoảng cách từ A (1; 0; 1) đến đường thẳng
2 2 1
1
:
x y z−
∆ = =
23. Cho điểm M(2;0;1) và đường thẳng
1
: 2
2
x t
d y t
z t





= +
=
= +

=
và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 8 = 0
a) Tìm điểm H trên
∆
sao cho MH có độ dài nhỏ nhất. Tính MH
b) Tìm điểm I trên (P) sao cho MI có độ dài nhỏ nhất. Tính độ dài đó.
27. Cho 2 đường thẳng
1 3 4 2 1 1
: ; ':
2 1 2 4 2 4
x y z x y z− + − + − +
∆ = = ∆ = =
− − −
a) Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng
; '∆ ∆
b) Tính khoảng cách của 2 đường thẳng
; '∆ ∆
Dạng 2.3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b chéo
nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng a với
mp(P) đi qua b và song song với a ( đã học ở
chương trình 11).
Phương pháp:
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua b và
song song với a.
Bước 2: lấy M trên a, và ta tính
( ) ( )
( , ) ,( ) ,( )d a b d a P d M P= =
28. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 0; -3), B(2; 0: -4), C(2; 1; 0) và D(4; 5 ;
-4). Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và CD

TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
22
d
A
H
b
A
H
M
Dạng 2: Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt
phẳng (P)
Phương pháp giải:
- Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
- Gọi H là tâm đường tròn (C), suy ra H là hình chiếu của I lên (P)
( đã có cách giải)
- Bán kính của đường tròn (C) là
2 2
r R IH= −
( ta có thể tính IH = d(I, (P))
30. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
2 2 2 '
: 1 ; ': '
1 1 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
= − = +
 
 
= − + =

+y
2
+z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0 là phương trình mặt cầu
⇔
a
2
+ b
2
+ c
2
– d >0. Lúc
đó, mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R=
2 2 2
a b c d+ + −
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu
Phương pháp giải:
Cách 1: Xác định tọa độ tâm I(a; b; c) và tính bán kính R
Thế vào phương trình :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R
− + − + − =
Chú ý:
d) Mặt cầu có tâm I và qua A thì R = IA =
( ) ( ) ( )
2 2 2

+ 4x – 2y – 21 = 0
2. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d
2 1 1
3 2 2
x y z− − −
= =
−
và tiếp xúc với hai
mặt phẳng (P): x + 2y -2z – 2 = 0, (Q): x + 2y – 2z + 4 = 0
Đs:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 3 3 1x y z+ + − + − =
3. (Khối D- 04)Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A(2; 0; 1), B(1; 0;0), C(1; 1; 1) và có
tâm thuộc mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0 Đs:
( ) ( )
2 2
2
1 1 1x y z− + + − =
4. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, A(3; 2; 6), B(3; -1; 0), C(0; -7; 3), D(-2; 1;
-1) . Đs: x
2
+y
2
+z
2
+ 2x +3y – 8z – 28 = 0
5. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng d:
2
11

1 4 7 289x y z− + − + − =

7. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d:
1 2
2
x t
y t
z t
= −


= − +


= +

và cách mặt phẳng (P): 2x
– y – 2z – 2 = 0 một khoảng bằng 2. Mặt cầu (S) cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán
kính bằng 3.
Đs:
2 2 2
1 2 13
13
6 3 6
x y z
     
+ + + + − =
 ÷  ÷  ÷
     
;

2
+z
2
- 2x – 4z – 4 = 0 và 3 điểm A(3; 1; 0), B(2;2;4), C(-1; 2; 1) nằm trên mặt
cầu.
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 2 điểm A, B, C.
b) Tìm tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
11. Cho tứ diện ABCD, A(3; 6; -2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và tính bán kính mặt
cầu (S).
b) Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
12. ( Khối D- 2008) Cho 4 điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3)
a) Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm A, B, C, D.
b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
13. ( Khối B – 2007)
Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = 0
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính
bằng 3
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.
14. Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2


' ' . ' 0
d d d d
d d u u u u⊥ ⇔ ⊥ ⇔ =
uur uur uur uur
- Đường thẳng vuông góc mặt phẳng :
( )
0
d
d u n
α
α
⊥ ⇔ ∧ =
uur uur r
- Mặt phẳng vuông góc mặt phẳng :
( ) ( )
. 0n n n n
α β α β
α β
⊥ ⇔ ⊥ ⇔ =
uur uur uur uur
2. Chứng minh tính song song
3. Tính khoảng cách
4. Tính góc, diện tích, thể tích
Bài tập:
1. Giải bài toán sau bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.
a) Chứng minh (AB’D’) // (BC’D)
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trên.
2. Giải bài toán sau bằng phương pháp tọa độ
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng