Hình không gian GV: Phạm Văn Sơn
Phơng pháp toạ độ trong không gian
I. Tọa độ của vectơ và của điểm
A. Ví dụ:
VD1: Viết tọa độ của các vectơ say đây:
2a i j

= +
;
7 8b i k

=
;
9c k

=
;
3 4 5d i j k

= +

VD2: Cho ba vectơ

a
= ( 2;1 ; 0 ),

b
= ( 1; -1; 2) ,

c
= (2 ; 2; -1 ).

b
,

c
.
VD3: Cho 3 vectơ

a
= (1; m; 2),

b
= (m+1; 2;1 ) ,

c
= (0 ; m-2 ; 2 ) .Định m để 3 vectơ đó đồng phẳng .
VD4: Cho:
( ) ( ) ( )
2; 5;3 , 0; 2; 1 , 1;7; 2a b c

= = =
. Tìm tọa độ của vectơ: a)
1
4 3
2
d a b c

= +
b)
4 2e a b c


5;4; 1a

=
,
( )
2; 5;3 .b

=
VD6: Cho ba điểm không thẳng hàng:
(1;3;7), ( 5;2;0), (0; 1; 1).A B C

Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tam
giác ABC.
VD7: Cho bốn diểm không đồng phẳng :
(2;5; 3), (1;0;0), (3; 0; 2), ( 3; 1;2).A B C D

Hãy tìm tọa độ trọng tâm
G của tứ diện ABCD.
VD8: Cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz.
VD9: Cho điểm M(1 ; 2 ; 3). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:
a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy.
VD10: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm tọa độ của các đỉnh
còn lại.
VD11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đờng thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.
a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? b) Tìm tọa độ điểm M.
B. Bài tập
Bài 1. Viết dới dạng
x i y j z k


d



=
ữ

( )
0; 3;0 .u

=
Bài 2. Cho hai bộ ba điểm: A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1) và A' = (1; 1; 1), B' = (-4; 3; 1),
C' = (-9; 5; 1). Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng.
Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(x
1
; y
1
; z
1
), C(x
3
; y
3
; z
3
), B'(x'
2
;y'
2
;z'


2 2 2
) 3 2 . ; ) 4 . 5d a a b b c b e a c b c


+ +
ữ

.
Bài 2. Tính góc giữa hai vectơ
a

và
b

:
( ) ( )
) 4;3;1 , 1;2;3a a b

= =

( ) ( )
) 2;5; 4 , 6;0; 3 .b a b

= =
Bài 3. a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).
b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).
Bài 4. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
, ,a b c


c) Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
Bài 7. Cho ABC biết A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). Hãy tìm độ dài đờng phân giác trong của góc B.
Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D tạo thành tứ diện. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
b) Tính độ dài đờng cao hạ từ đỉnh C của tứ diện đó.
c) Tính độ dài đờng cao của tam giác ABD hạ từ đỉnh B.
d) Tính góc ABC và góc giữa hai đờng thẳng AB, CD.
Bài 9. Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đờng chéo.
c) Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đó đờng cao tam giác ABC vẽ từ A.
Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC .
Bài 10. Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD
b) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD .
c) Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D.
d) Tìm tọa độ chân đờng cao của tứ diện vẽ từ D .
Bài 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC. b) Tính cosin các góc A,B,C .
c) Tính diện tích tam giác ABC
Bài tập:
Bài 1. Cho tam giác ABC, A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2).
a) Tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC b) Tìm toạ độ trung điểm I của cạnh BC
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC d) Tính diện tích tam giác ABC.
e) Tính đờng cao của tam giác hạ từ A. f) Tính các góc của tam giác ABC
g) Tìm điểm M thuộc Ox sao cho MA = MB h) Tìm giao (ABC) và Ox
Bài 2. Cho
( )
2 2
2 2 2

; ; , ; ; , ; ;
2 2 2
a b c b a c c a b
p a a q b b r c c



= = =
ữ ữ ữ

Với a, b, c không đồng thời bằng không thì
, ,p q r

có đồng phẳng không
Bài 4 . Cho ABC biết A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). Hãy tìm độ dài đờng phân giác trong của góc B.
Bài 5. Cho ABC biết A(-11; 8; 4), B(-1; -7; -1), C(9; -2; 4).
a) Chứng minh tam giác ABC vuông b) Tính diện tích tam giác ABC
Bài 6. Cho sáu điểm A(3; 5; -4), B(-1; 1; 2), C(-5; -5; -2), A(5; 1; 5), B(4; 3; 2), C(-3; -2; 1).
a) Chứng minh tam giác ABC cân, tam giác ABC vuông
b) Gọi G, G, G là trọng tâm tam giác ABC, ABCvà của tứ diện AABC. Tính
ã
tan G'GG''
Bài 7. Chứng minh 4 điểm A(3; 3; 3), B(1; 2; -1), C(4; 1; 1), D(6; 2; 5) là các đỉnh của hình bình hành
Bài 8. Chứng minh 4 điểm A(5; 2; -3), B(6; 1; 4), C(-3; -2; -1), D(-1; -4; 13) là các đỉnh của hình thang. Tính
diện tích
Bài 9. Cho hai điểm A(-2; 0; 4), B(5; -2; -14).
Tìm điểm E trong mặt phẳng Oyx sao cho:
1OE
=
,

biết
a,
( ) ( )
M 3;1;1 , n 1;1;2=
r
b,
( ) ( )
M 2;7;0 , n 3;0;1 =
r
c,
( ) ( )
M 4; 1; 2 , n 0;1;3 =
r
d,
( ) ( )
M 2;1; 2 , n 1;0;0 =
r
e,
( ) ( )
M 3;4;5 , n 1; 3; 7=
r
f,
( ) ( )
M 10;1;9 , n 7;10;1=
r
Bài 2: Lập phơng trình mặt phẳng trung trực của AB biết:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)
c,
1 1
A ; 1;0 , B 1; ;5

( ) ( )
M 3;6; 5 , : x z 1 0 + =
Bài 4 Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và cặp VTCP là
(2;1; 2); (3; 2; 1)a b
r r

Bài 5 : Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và
a) Song song với các trục 0x và 0y. b) Song song với các trục 0x,0z.
c) Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 6 : Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và :
a) Cùng phơng với trục 0x. b) Cùng phơng với trục 0y.
c) Cùng phơng với trục 0z.
Bài 7 : Xác định toạ độ của véc tơ
n
vuông góc với hai véc tơ
(6; 1;3); (3; 2;1)a b
r r
.
Bài 8 : Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là
)4,2,3( );2,7,2( ba
Bài 9 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận
);4,3,2(n
làm VTPT.
b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
Bài 10 : Lập phơng trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ.
B ài 11 : (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q).
Bài 12 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
a) Đi qua hai điểm A(0;-1;4) và có cặp VTCP là

): 2x+4y-8z+9=0
( )
2
: 2 4 1 0P x y z+ + =
c) (P
1
): x+y-z-4=0và
( )
2
: 2 2 2 8 0P x y z+ =
- 3 -
Hình không gian GV: Phạm Văn Sơn
Bài toán 3: Chùm mặt phẳng
Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng qua M(2;1;3) và đi qua đờng thẳng (d):
a)
( )



=+
=+
012
0532
:
zyx
zyx
d
b)
( )


02
0323
:
zx
zyx
d
và song song với mặt phẳng (Q) có ph-
ơng trình: 11x - 2y - 15z 6 = 0.
Bài 4: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P
1
): y + 2z 4 = 0 và (P
2
) : x + y z 3 = 0 và song
song với mặt phẳng (Q):
- 2 0x y z+ + =
.
Bài 5: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng
( )



=
=+
02
0323
:
zx
zyx
d
và vuông góc với (Q) có phơng trình:

và song song với đờng thẳng (d) có ph-
ơng trình :
a)
( )



=++
=+
0323
0723
:
zyx
zyx
d
b)
( )
5
5
4
3
2
2
:
+
=

=



b)
( )
5
5
4
3
2
2
:
+
=

=


zyx
d
Bài 9: Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng thẳng và với mặt phẳng (Q) một góc 60 độ biết:

( )



=
=+
02
0323
:
zx
zyx

zx
d
và (P
1
): 5x+5y-3z-2=0 và (P
2
):2x-y+z-6=0. Lập ph-
ơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d) sao cho:
( ) ( )
1
PP

và
( ) ( )
2
PP

là hai đờng vuông góc.
Bài 12: (ĐHKT-93): cho hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) có phơng trình :

( )
,
014
0238
:
1

P
song song với nhau và lần lợt chứa
( )
1
d

( )
2
d

b) Tính khoảng cách giữa
( )
1
d
,
( )
2
d

c) Lập phơng trình đờng thẳng (D) song song với trục Oz và cắt cả 2 đờng thẳng
( )
1
d
,
( )
2
d

B ài toán 4. Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng
Bài 1:Tính khoảng cách từ điểm M(2;2;1) đến mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:


+ + =

Bài 4: Cho đờng thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phơng trình là :
( )



=+++
=++
0732
0143
:
zyx
zyx
d
và (P): x+y+z+1=0
Tìm phơng trình chính tắc của đờng thẳng (t) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đ-
ờng thẳng (D)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phơng trình tham số của đờng thẳng
(d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó
B ài toán 2. Chuyển dạng phơng trình đờng thẳng
Bài 1:Tìm véc tơ chỉ phơng của các đờng thẳng sau
- 5 -
Hình không gian GV: Phạm Văn Sơn
a)
3
1
4
2

0642
0104
:
zyx
zyx
d
. Hãy viết phơng trình tham số của đờng thẳng
đó
Bài 3: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )



=+
=++
0642
0104
:
zyx
zyx
d
. Hãy viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng
đó
Bài4: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R t,
21
22:



x t
y t R
z t
= +


=


= +

. b)
( )
1 0
:
4 1 0
x y
x z
+ =



+ + =

Bài 7:Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc
với 2 đờng thẳng :
( )




=++
=+

014
01
:)(
zy
yx
B ài toán 3. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và mặt phẳng
Bài1: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
a)
( )
R t,
2
3
1
:






+=
=
+=
tz
ty
tx
d



=+++
=++
zyx
zyx
d
(P): y+4z+17=0 d)
( )

01
03
:



=
=++
y
zyx
d
(P): x+y-2=0
Bài 2: Hãy tính sin của góc tạo bởi đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) cho bởi :
a)
( )
)(t
1
39
412
: R

và
( )
: 2 3 1 0P x z y + =
c)
( )
R t,
22
2
21
:






+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
và
( ) : - 2 2 3 0.P x y z+ + =
Bài 3: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình (P): 2x+y+z=0 và
( )
3
2
12

d
m
xác định m để (d
m
)//(P)
B ài toán 4. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Bài 1: sử dụng tích hỗn tạp xác định vị trí tơng đối của hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) có phơng trình cho bởi:
a)
( )
R
tz
ty
tx
d






+=
+=
+=
t
46
32

+=
+=
+=
t
33
2
21
:
1
,
( )

13
23
2
:
2





+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
c)

1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )

5
1
25
:
1





=
=
+=
tz
ty
tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d

),(d
2
) .
Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi:
- 7 -
Hình không gian GV: Phạm Văn Sơn
( )
4
9
1
5
3
7
:
1


=


=
+
zyx
d
,
( )

),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
R t
46
2
23
:
1






+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
,
( )

015
0194
:
2

:
1

=
+
=


zyx
d

( ) ( )
t
32
1
:
2
R
tz
ty
tx
d






+=
=

z
ty
tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d






=
+=
=
1
1
1
1
2
tt, 1
2
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1




=++
=
zy
zx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trìnhmặt phẳng(P) song song, cách đều (d
1
),(d
2
) .
Bài8: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
3
3
2
2
1
1

),(d
2
) .
B ài toán 5. Hai đờng thẳng đồng phẳng và bài tập liên quan
Bài 1: (ĐHBK-TPHCM-93): Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
) ,biết:

( )
2
3
2
1
3
1
:
1


=

=
+
zyx
d

( )
2


( ) ( )
t
3
21:
2
R
tz
ty
tx
d






=
=
=
CMR (d
1
),(d
2
) và điểm A cùng thuộc mặt phẳng.
Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :

).
c) Viết phơng trình đờng phân giác của(d
1
), (d
2
)
Bài 4: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
1
1
2
1
1
2
:
1

=

=

zyx
d

( ) ( )
t

)
Bài5: cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
3
2
4
1
1
3
:
1

=
+
=

zyx
d
,
( )

03
024
:
2


34
24
37
:
1





+=
=
+=
tz
ty
tx
d

( ) ( )
R
tz
ty
tx
d







= + =
,
2
( ) : - 1 -1d x y z+ = =
. Tìm toạ độ điểm A
1
thuộc (d
1
) và toạ độ điểm A
2
thuộc (d
2
) để
đờng thẳng A
1
A
2
vuông góc với (d
1
) và vuông góc với (d
2
) .
Bài 3: (ĐH L 1996) Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
- 9 -