Sự thành đạt của con là niềm hạnh phúc lớn nhất của cha mẹ
Chun đề
LƯỢNG GIÁC
Phần 1: CƠNG THỨC
1. Hệ thức LG cơ bản
2 2
2
2
sin cos 1
sin
tan
cos 2
1
tan 1
2
cos
k
k
α α
α π
α α π
α
π
α α π
α
+ =
 
= ≠ +
 ÷
 
 

sin sinacosb sinbcosa
cos cosa cos b sinasinb
tan tan
tan b
1 tan tan
a b
a b
a b
a
a b
± = ±
± =
±
± =
m
m
Cơng thức nhân:
2 2 2 2
3
3
3
2
sin 2 2sin .cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
3tan tan
tan3 =
1 3tan
a a a

+ =
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
±
± =
Cơng thức hạ bậc: cos
2
a =

u v k
u v k
π
π π
= +

⇔

= − +

* cosu=cosv⇔u=±v+k2
π
* tanu=tanv ⇔ u=v+k
π
* cotu=cotv ⇔ u=v+k
π

( )
Zk ∈
.
4. Một số phương trình LG thường gặp
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các
cơng thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng
a.sin
2
x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos
2
x+b.cosx+c=0, a.tan

cosx=
cos
c
a
α
⇔
sin(x+
α
)=
cos
c
a
α
sin
ϕ
=
đặt
.
C ách 2: Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b+
, ta được:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Đặt:

2
x
t =
.
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin
2
x+bsinxcosx+ccos
2
x=0 (*).
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với
2
x k
π
π
= +
.
+ Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta được: atan
2
x+btanx+c=0.
Chú ý:
2
2
1
tan 1
2
cos
x x k

Lưu y ùcác công thức:
MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Có 3 phương pháp thường được sử dụng, cần chú ý:
1. BIẾN ĐỔI CUNG: Khi cung khác nhau, ta biến đổi về cung giống nhau.
Ta dùng cung nhân đơi, nhân ba, . . . Cụ thể:
- 2 - /storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/msm1430235430-1143734-14302354305387/msm1430235430.doc
Sự thành đạt của con là niềm hạnh phúc lớn nhất của cha mẹ
Cung nhân đơi, cung nhân ba
2 2 2 2
3
3
2 2
2 2 1 1 2
2
2
3 4 3
3 3 4
2
3
2
sin sin .cos
cos cos sin cos sin
t an
t an =
1 tan
cos cos cos
sin sin sin
3 tan t an
t an 3 =
1 3 t an

t t t
x x x
t t t
= = =
+ + −
2. HẠ BẬC: Gặp bậc cao, ta hạ bậc.
Ta dùng cơng thức hạ bậc hai, bậc ba. . .
Hạ bậc hai
cos
2
x =
1
2
(1+cos2x)
sin
2
x =
1
2
(1−cos2x)
1
2
2
sin .cos sinx x x=
2
1 2
1 2
cos
t an
cos

+ = − = = +
+ = − = = +
3. BIẾN ĐỔI VỀ TÍCH SỐ : Sau khi biến đổi cung , hạ bậc ta chuyển phương trình đã cho về
dạng tích số.
Sau khi hạ bậc, biến đổi về cung giống nhau. Ta nghĩ đến việc đem phương trình đã cho
về dạng tích số
• MỘT SỐ VÍ DỤ :
1. Tìm
0 14x ∈[ , ]
của phương trình :
3 4 2 3 4 0cos cos cosx x x− + − =
Giải : Biến đổi cung
3 2;x x x x→ →
.Đem về tích số.
Đs:
3 5 7
2 2 2 2
; ; ;x
π π π π
=
2. Giải phương trình:
2 1 2 2( cos )( s in cos ) s in sinx x x x x− + = −
- 3 - /storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/msm1430235430-1143734-14302354305387/msm1430235430.doc
Sự thành đạt của con là niềm hạnh phúc lớn nhất của cha mẹ
Giải : Biến đổi cung
2x x→
.Hai vế có thừa số giống nhau.Đem về tích số.
Đs:
2
3 4

π π π
= + = − +
5. Giải phương trình:
2
5 2 3 1sin ( sin ) t anx x x− = −
Giải : Có hàm
t an x
xem như có mẫu là
cos x
cần đặt ĐK. Dùng cơng thức biến
đổi
2
2
2
1
sin
t an
sin
x
x
x
=
−
Đs:
5
2 2
6 6
;x m x n
π π
π π

1 2
cos
cot sin sin
t an
x
x x x
x
− = + −
+

Giải : Có bốn hàm số lượng giác khác nhau đem về hàm sin và cos là:
sin cos
t an ; cot
cos sin
x x
x x
x x
= =
chứa ẩn x ở mẫu đặt ĐK mẫu khác 0.
Đs:
4
x k
π
π
= +
8. Giải phương trình:
2
4 2
2
cot tan sin

+ −
=
−

Giải :
6 6 2
3
1
4
cos sin sinx x x+ = −
.Có chứa ẩn x ở mẫu đặt ĐK mẫu khác 0.
Đs:
5
2
4
x n
π
π
= +
- 4 - /storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/msm1430235430-1143734-14302354305387/msm1430235430.doc
Sự thành đạt của con là niềm hạnh phúc lớn nhất của cha mẹ
10. Giải phương trình:
3
5 4
6 2
2 2
sin cos
sin cos
cos
x x

⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0
⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0
5
10 5
2
cos5 0
cos2 0 2 , ( , , )
2 4 2
cos 0
2 2

π kπ
π
x
x kπ
x
π π lπ
x x kπ x k l n
x
π π
x kπ x nπ


= +
= +


=


x) (2).
Giải
Ta có (2) ⇔ cos
6
x(2cos
2
x−1) = sin
6
x(1−2sin
2
x)
⇔ cos2x(sin
6
x–cos
6
x) = 0
⇔ cos2x(sin
2
x–cos
2
x)(1+sin
2
x.cos
2
x) = 0
⇔ cos2x = 0
⇔
2 ,( )
2 4 2
π π kπ

2
cos2 ,( )
2 8
⇔ =
⇔ = ⇔ = ± + ∈¢
x x
π
x x kπ k
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
- 5 - /storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/msm1430235430-1143734-14302354305387/msm1430235430.doc
Sự thành đạt của con là niềm hạnh phúc lớn nhất của cha mẹ
Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác:
8 8
17
sin cos
32
x x+ =
(4).
Giải
Ta có (4)
4 4
4 2
1 cos 2 1 cos 2 17 1 17
(cos 2 6cos 2 1)
2 2 32 8 32
x x
x x
− +
   
⇔ + = ⇔ + + =

x
t x
+
= ⇔ = ⇔ =
⇔cos4x = 0 ⇔
4 ,( )
2 8 4
π π π
x kπ x k k= + ⇔ = + ∈¢
Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin
3
x – cos2x + cosx = 0 (5)
Giải
Ta có (5) ⇔ 2(1− cos
2
x)sinx + 2 – 2 cos
2
x + cosx – 1 = 0
⇔ (1− cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0
⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos 1 2 ,( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)
x x kπ k
x x x x
= ⇔ = ∈

⇔

+ + + =


;
2 , ( , ) x kπ n k= ∈¢
Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách
đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.
Ví dụ 6. Giải phương trình:
|sin |
cos
x
π x=
(6).
Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Do
| sin | 0,x ≥
nên
|sin | 0
1
x
π π≥ =
, mà |cosx| ≤ 1.
Do đó
2 2 2
0
| sin | 0 ,( )
(6)
0
| cos | 1 ,( )
k n
x kπ k π n
x x kπ k

.
Giải
Đặt
2
( )=cos
2
x
f x x +
. Dễ thấy f(x) = f(−x),
x
∀ ∈
¡
, do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét
với x ≥ 0.
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = −cosx+1, ∀x≥0 ⇒ f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 ⇒ f(x)
đồng biến với x≥0 .
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
- 6 - /storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/msm1430235430-1143734-14302354305387/msm1430235430.doc
Sự thành đạt của con là niềm hạnh phúc lớn nhất của cha mẹ
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
thoả mãn
phương trình:
2
2

4
π
 
 ÷
 
=
2
2
2
n−

Vậy x =
4
π
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Bài tập:
1.
1
sinx =
2
2.
2
sinx = -
2
3.
sinx = 3
4.
1
sinx =
4

Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.
2sin 3 0x + =
b.
2 2cos 0x− =
c.
1
tan 0
3
x + =
d. cotx -3 = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a.
2
2sin 3sin 1 0x x+ + =
c.
2
tan 3 0x − =
b.
2
cos 2 4cos2 4 0x x− + =
d.
2
2cot 5cot 3 0x x− + =
e.
2
2sin 1 0+ =x
f.
2
2sin 4sin 1 0+ + =x x

Bài 6: Giải các phương trình sau:
a.
2
2cos 7sin 5 0x x+ − =
c.
3 tan cot 1 3 0x x+ − − =
b. cos2x – 2cosx – 3 = 0 d.
2 4
2 cos sinx x− =
Bài 7: Giải các phương trình sau:
a. 3sinx + 4cosx = 4 b.
4 3sin .cos .cos 2 sin8x x x x=
c.
2
4cos 2 2( 3 1)cos2 3 0x x− + + =
d. cosx – sinx = cos2x
e.
2 2
4sin 3 3 sin 2 2cos 4x x x+ − =
f.
2
cos 3sin .cos 1x x x− =
k. tan5x – tanx = 0 l. 2tanx -3cotx -2 = 0
- 7 - /storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/msm1430235430-1143734-14302354305387/msm1430235430.doc
Sự thành đạt của con là niềm hạnh phúc lớn nhất của cha mẹ
m.
2
1
sin 2 sin
2

.
2. Giải phương trình:
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+
(Khối A_2003)
Giải ĐS:
( )
4
x k k
π
π
= + ∈Z
3. Giải phương trình:
2 2
cos 3 cos 2 cos 0x x x− =
(Khối A_2005)
Giải ĐS:
( )
2
k
x k
π
= ∈Z

x k x k x k k
π π
π π π
= − + = + = ∈Z
6.
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
 
+ = −
 ÷
 
 
−
 ÷
 
(Khối A_2008)
Giải ĐS:
( )
5
, , ,
4 8 8

x x
x x
x
+ +
=
+
(Khối A_2011)
Giải ĐS:
2
2 4
hoặc
π π
= + π = + πx k x k
9.
( )
1 sin cos 2 sin
1
4
cos
1 tan
2
x x x
x
x
π
 
+ + +
 ÷
 
=

12.
KHỐI B
13. Giải phương trình
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −
(Khối B_2002)
Giải
ĐS:
( )
; ,
9 2
x k x k k
π π
= = ∈Z
14. Giải phương trình
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + =
(Khối B_2003)
Giải ĐS:
( )
,
3
x k k
π
π
= ± + ∈Z

x x x
 
+ + =
 ÷
 
(Khối B_2006)
Giải ĐS:
( )
5
; ,
12 12
x k x k k
π π
π π
= + = + ∈Z
18. Giải phương trình:
2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − =
(Khối B_2007)
Giải ĐS:
( )
2 5 2
; ,
18 3 18 3 8 4
x k x k x k k
π π π π π π
= + = + = + ∈Z
19. Giải phương trình
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x− = −

x k
π π
= +
22.
sin 2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x
+ = + +
(Khối B_2011)
Giải ĐS:
2
2
2 3 3
hoặc x k x k
π π π
= + π = +
23.
2 3 3 1(cos sin ) cos cos sinx x x x x+ = − +
(Khối B_2012)
Giải ĐS:
2 2
2
3 3
hoặc x k x k
π π
= + π =
24.
2
sin 5 2cos 1x x+ =
( B-2013) (Khối B_2013)
25.
KHỐI D

28. Giải phương trình
( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = −
(Khối D_2004)
Giải ĐS:
( )
2 , ,
3 4
x k x k k
π π
π π
= ± + = − + ∈Z
29. Giải phương trình:
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π
   
+ + − − − =
 ÷  ÷
   
(Khối D_2005)
Giải ĐS:
( )
,
4
x k k
π

= + = − + ∈Z
32. Giải phương trình
sin 3 3 cos3 2sin 2x x x− =
(CĐ_A_B_D_2008)
Giải ĐS:
( )
4 2
2 , ,
3 15 5
x k x k k
π π π
π
= + = + ∈Z
33. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008)
Giải ĐS:
( )
2
2 , ,
3 4
x k x k k
π π
π π
= ± + = + ∈Z
34. Giải phương trình (1+2sinx)
2
cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009)
Giải ĐS:
( )
5
, , 2

x x x
x
+ − −
=
+
(Khối D_2011)
Giải ĐS:
2
3
π
= + πx k
38. sin3x + cos3x – sinx + cosx =
2
cos2x (Khối D_2012)
Giải ĐS:
7
2 2
4 2 12 12
x k ; x k ; x k
π π π π
= + = + π = − + π
39.
sin 3 cos 2 sin 0
+ − =
x x x
(Khối D_2013)
MỢT SỚ ĐỀ THI THỬ CỦA CÁC TRƯỜNG NĂM 2013
40. Giải phương trình :
2sin2 2 sin 2 5sin 3cos 3
4

Đáp sớ
3
; 2 ; 2
4 2
π π
π π π
= + = + =x k x k x k
42. Giải phương trình
2 1 2 2 3 6 1
2 3 0
2 3
( sin )(cos ) sin sin
cos
cos
x x sinx x x
x
x
+ + − + +
+ + =
−
43.
7
2
6
x k
π
π
= +
44. Giải phương trình
2