KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
2
PHẦN A - ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí luận
- Luật giáo dục 2005 (Điều 5) quy định: ‘‘Phương pháp giáo dục phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho nguời học năng lực
tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên’’.
- Mục đích của việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông là thay đổi lối
dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo ‘‘Phương pháp dạy học tích cực’’ nhằm giúp
học sinh :
 Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả
năng tự học, tinh thần hợp tác, kĩ năng vận dụng kiến thức vào trong thực tiễn;
 Tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập; làm cho ‘‘việc học’’ là quá trình
kiến tạo, tìm tòi, khám phá, luyện tập, khai thác và xử lí thông tin Học sinh tự
hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất.
 Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm ra chân lí. Chú
trọng hình thành các năng lực (tự học, sáng tạo, hợp tác, ) dạy phương pháp và
kĩ thuật lao động khoa học, dạy cách học.
- Làm thế nào để đạt được các mục đích trên ?
Để trả lời được câu hỏi này, trước tiên giáo viên trước vấn đề đó người giáo viên cần
phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối
hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối
tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo.
Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải quyết
được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và phương
pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức
các môn học.
II. Cơ sở thực tế
- Trong các môn học trong trường THCS thì môn Toán là một trong những môn
quan trọng nhất nhưng có thể nói là khó nhất. Ở trường THCS, học sinh được học ba phân

“Vẽ đường phụ để giải một số bài toán Hình học 7” nhằm giải quyết các vấn đề đặt ra.
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
4
PHẦN B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. THỰC TRẠNG
- Trong quá trình dạy học sinh giải một bài toán Hình học lớp 7, tôi thấy học sinh
thường gặp một số khó khăn sau đây :
 Khó khăn trong việc giải bài tập đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ.
 Chưa biết suy luận để thấy được sự cần thiết phải vẽ thêm đường phụ.
 Vẽ đường phụ còn tuỳ tiện làm hình vẽ trở nên rối, gây khó khăn cho việc giải
bài toán.
 Sau khi đã vẽ đường phụ, học sinh thường quan tâm đến việc tìm lời giải của bài
toán mà không tìm hiểu xem tại sao người ta lại kẻ thêm đường phụ như vậy.
- Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng
nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác
bằng nhau. Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta
thường làm theo một cách gồm các bước sau:
 Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc)
thuộc hai tam giác nào?
 Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
 Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh (hay cặp góc) tương ứng
bằng nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng được
cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được các tam giác
cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể
nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học
7 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và
thiết thực, khi hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán rất hiệu quả.
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ

điểm của hai đường thẳng này. Kéo dài
DA cắt BC và EC theo thứ tự tại H và K
(H. 1b). Ta phải chứng minh

0
HKC 90=
.
- Ta dễ dàng chứng minh được ∆ABD = ∆EBC (c.g.c), suy ra


1
1
D C=
nên để chứng
minh

0
HKC 90=
ta chứng minh
 
HKC HBD=
(vì

0
HBD 90 )=
.
- Để chứng minh
 
HKC HBD=
ta có thể so sánh các cặp góc của hai tam giác là

(cmt),
 
1 2
H H=
(đối đỉnh) nên
 
HBD HKC=
.
Suy ra

0
HKC 90=
(vì

0
HBD 90=
) hay HK ⊥ EC.
Vậy DA ⊥ EC (đpcm).
Nhận xét :
x
x
y
y
b)
a)
2
1
1
1
3

y
x
y
x
y
c)
a)
b)
2
1
2
1
Hình 2
I
D
O
D
O
E
D
O
B
A
A
B
B
A
C
C
C

đoạn thẳng bằng nhau. Hơn nữa, sự xuất hiện một đoạn thẳng trung gian là DE làm cho việc
chứng minh trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
2. Kẻ thêm đoạn thẳng
a) Mục đích
Kẻ thêm đoạn thẳng nhằm làm xuất hiện hai tam giác bằng nhau, tam giác cân, tam
giác đều.
b) Một số cách kẻ thêm đoạn thẳng
 Kẻ thêm đoạn thẳng bằng cách nối hai điểm đã có trong hình vẽ
Ví dụ 3. Cho hình vẽ 1, trong đó AB // CD, AD // BC. Chứng minh rằng : AB = CD,
AD = BC.
Phân tích :
- Để chứng minh AB = CD,
AC = BD ta cần tìm ra hai tam giác
chứa các cạnh này bằng nhau. Nhưng
trên hình vẽ lại không có hai tam giác
(H. 3a). Như vậy, ta cần tạo ra hai tam
giác chứa các cặp cạnh trên.
- Đường phụ cần vẽ là đoạn thẳng nối A với C hoặc nối B với D (H. 3b).
Giải : (H. 3b)
Nối A với C.
Xét ∆ADC và ∆CBA có :


1
1
A C=
(so le trong, AB // CD),
AC chung,



1
1
A C=
,


2
2
A C=
) và một cạnh chung AC. Từ đó ta có hai tam giác bằng nhau và suy
ra các cạnh tương ứng bằng nhau.
- Đây là một bài toán không khó nhưng nếu học sinh suy luận không tốt thì cũng khó
tìm ra đường phụ để giải bài toán.
 Kẻ thêm đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác
Chúng ta thường dùng một trong các cách như sau :
- Lấy trung điểm của một đoạn thẳng ;
- Dựng một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã có trên hình vẽ.
Ví dụ 4. Cho ∆ABC. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. CMR :
a) DE // BC ; b)
1
DE BC
2
=
Phân tích :
- Để chứng minh DE // BC ta cần chứng minh một cặp góc đồng vị hoặc một cặp góc
so le trong bằng nhau. Ta có thể nghĩ đến việc chứng minh


1
D B=

=
⇔ BC = 2DE. Ta có thể tạo ra một đoạn thẳng bằng nửa BC hoặc
bằng 2DE.
- Để tạo ra một đoạn thẳng bằng nửa BC, ta có thể lấy trung điểm I của BC (H. 4b).
Nhưng khi đó các tam giác trong hình vẽ ít có mối liên hệ về cạnh và góc.
- Kết hợp với việc chứng minh


1
D B=
và
1
DE BC
2
=
, ta nghĩ tới việc chứng minh
hai tam giác bằng nhau. Nhưng không thể tìm ra hai tam giác bằng nhau trong hình 9. Do đó
ta có thể nghĩ đến việc vẽ thêm đường phụ bằng cách tạo ra một đoạn thẳng bằng DE.
- Để tạo ra một đoạn thẳng bằng DE, ta có thể lấy điểm F trên tia đối của tia ED sao
cho DE = EF (H. 4c). Kết hợp giả thiết EA = EC, ta thấy ngay hai tam giác EAF và ECD
bằng nhau (c.g.c). Từ đó ta có thể tìm ra lời giải của bài toán.
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
9
Giải : (H. 4c)
Trên tia đối của tia của tia ED lấy điểm F sao cho ED = EF.
Xét ∆EAF và ∆ECD có :
EA = EC (gt)



D B=
.
a) Hai góc

1
D
và

B
ở vị trí đồng vị bằng nhau nên DE // BC.
b) Ta có DF = 2DE (cách dựng), BC = DF (chứng minh trên) nên
1
DE BC
2
=
.
Nhận xét :
- Ta có thể lấy điểm F trên tia đối của tia DE sao cho DE = DF. Khi đó việc chứng
minh hoàn toàn tương tư như trên.
- Ta vẽ thêm đoạn thẳng EF bằng DE trên tia đối của tia ED (hoặc DE). Câu hỏi đặt
ra là tại sao lại phải vẽ như vậy mà không vẽ theo kiểu khác. Vì vẽ như vậy thì chúng ta mới
sử dụng được giả thiết là DA = DB và EA = EC. Rõ ràng việc làm này rất có lợi hơn khi vẽ
theo kiểu khác.
Ví dụ 5. Giải lại Ví dụ 2 bằng cách tại ra hai đoạn thẳng bằng nhau.
Giải : (H. 5)
Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC.
Xét ∆OAC và ∆OBE có :
OA = OB (gt)



D
O
A
B
C
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
10
Xét ∆OCD và ∆OED có :
OC = OE (chứng minh trên),


0
DOE DOC 90= =
, OD là cạnh chung
Nên ∆OCD = ∆OED (c.g.c), suy ra CD = DE. Mà DE = BD + BE và BE = AC.
Vậy CD = AC + BD.
3. Kẻ thêm đường phân giác
a) Mục đích
Kẻ thêm đường phân giác nhằm làm xuất hiện hai góc bằng nhau, hai tam giác bằng
nhau, tam giác cân, tam giác đều, …
b) Sử dụng khi nào?
Ta thường dùng cách vẽ này khi muốn gắn hai đối tượng liên quan (đoạn thẳng, đường
thẳng, tam giác, … ) vào hai tam giác có mối liên hệ về góc, về cạnh.
Ví dụ 6. Cho ∆ABC có
 
B C.=
Chứng minh AB = AC.
Phân tích :
- Để chứng minh AB = AC, ta phải

(chứng minh trên)
nên ∆AMB = ∆AMC (g.c.g) ⇒ AB = AC.
Nhận xét :
- Vẽ tia phân giác AM là ta đã tạo ra một cặp góc bằng nhau (
 
1 2
A A=
) và một cạnh
chung (AM) của hai tam giác (∆AMB và ∆AMC). Kết hợp với giả thiết ta dễ dàng tìm ra lời
giải của bài toán.
- Có hai cách vẽ khác : dựng AM ⊥ BC hoặc dựng M là trung điểm của BC.
a)
b)
Hình 6
2
1
M
B
C
C
B
A
A
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
11
Ví dụ 7. Cho ∆ABC có

0
A 60=


CIM CID.=
Từ đó ta dễ dàng
tìm ra lời giải.
Ở đây, tôi chỉ trình bày cách thứ hai.
a)
b)
c)
1
2
1
2
2
1
4
3
Hình 7
3
4
1
2
2
1
1
2
I
M
I
E
D

2
2
BIC 180 (B C ) 60= − + =
và
0
1 4
I I 60= =
 
(tính chất của góc ngoài tam giác).
Kẻ tia phân giác của góc BIC, cắt BC ở D. Suy ra
0
2 3
I I 60= =
 
.
Xét ∆BIE và ∆BID có :
 
1 2
B B=
(gt), BI là cạnh chung,
0
1 2
I I 60= =
 
Do đó ∆BIE = ∆BIM (g.c.g), suy ra BE = BM. (1)
Chứng minh tương tự, ∆CID = ∆CIM (g.c.g). Suy ra CD = CM. (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC = BM + CM = BE + CD.
Nhận xét :
Vì


, ta có thể kẻ Cz // Ax (H. 8b). Từ đó tìm ra lời giải của
bài toán.
x
y
x
y
x
y
z
z
x
z
y
c)
d)
a)
b)
Hình 8
2
1
A
C
B
B
C
A
A
C
B
B

và

2
C
ở vị trí so le trong bằng nhau nên By // Cz (4)
Từ (1) và (4) suy ra Ax // By (đpcm)
Nhận xét :
- Việc kẻ tia Cz // Ax, ta đã làm xuất hiện các cặp góc so le trong bằng nhau.
- Ta có thể kẻ tia Cz cùng hướng với tia Ax (và By) (H. 8c), nhưng lời giải phức tạp
hơn.
- Ta cũng có thể kéo dài AC cắt tia By tại D (H. 8d) rồi áp dụng định lí tổng ba góc
và góc ngoài của tam giác.
Ví dụ 9. Cho ∆ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Kẻ DE // BC (E ∈ AC). Chứng
minh rằng EA = EC.
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
13
Phân tích :
- Để chứng minh EA = EC, ta phải tìm ra hai tam giác có chứa hai cạnh đó bằng
nhau. Nhìn trên hình vẽ ta thấy không thể tìm ra hai tam giác như vậy (H. 9a). Ta có thể nghĩ
đến việc kẻ thêm đường phụ. Nhưng kẻ thêm đường như thế nào cho hợp lí ?
a)
b)
c)
1
1
1
2
3
2



1
A D=
(đồng vị, DF // AC)
AD = BD (gt)


1
D B=
(đồng vị, DE // BC)
nên ∆ADE = ∆DBF (g.c.g) ⇒ EA = DF (1)
Xét ∆DEF và ∆CFE có :


1 2
E F=
(so le trong, DE // BC)
EF chung,


1 2
F E=
(so le trong, DE // BC)
nên ∆DEF = ∆CFE (c.g.c) ⇒ DF = EC (2)
Từ (1) và (2) suy ra EA = EC (đpcm).
Nhận xét :
- Vì DE // BC nên ta nghĩ đến việc tạo ra các cặp góc so le trong và cặp góc đồng vị
bằng nhau. Từ đó xuất hiện việc kẻ DF // AC.
- Có thể kẻ EF // AB hoặc kẻ đường thẳng đi qua B và song song với AC, cắt DE tại

(hoặc 60
0
), ta kẻ đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông có
một góc bằng 30
0
hoặc 60
0
.
- Nếu cho góc 120
0
(hoặc góc 150
0
), ta thường tính góc kề bù với góc đó rồi kẻ
đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông có chứa góc kề bù.
Ví dụ 10. Cho ∆ABC có

0
A 120 ,=
AB = 10 cm, AC = 15 cm. Tính BC.
Phân tích:
- Dễ thấy:

0 0 0
BAx 180 120 60= − =
(H. 10a) nên ta nghĩ đến việc kẻ
đường vuông góc với AC nhằm
tạo ra “nửa tam giác đều”.
- Kẻ BH ⊥ Ax (H. 10b),
∆ABH vuông tại H có


2
= 10
2
– 5
2
= 75
BC
2
= BH
2
+ HC
2
= 75 + 20
2
= 475 ⇒ BC =
475
(cm)
b) Kẻ thêm đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông cân
Ta thường dùng cách này khi bài toán cho một góc có số đo là 45
0
, 135
0
.
x
120
0
a)
b)
Hình 10
10

nghĩ đến việc tạo ra tam giác vuông cân có AB là cạnh huyền.
- Kẻ AH ⊥ BC, ta thấy ∆AHB vuông cân tại H. Từ đó ta
dễ dàng tìm ra lời giải.
Giải : (H. 11)
Kẻ AH ⊥ BC. ∆AHB vuông tại H có

0
B 45=
nên là tam
giác vuông cân tại H ⇒ HA = HB.
Áp dụng định lí Pitago cho các tam giác vuông AHB và AHC, ta có :
HA
2
+ HB
2
= AB
2
hay 2HA
2
= 2HB
2
= (
16 2
)
2
= 2.16
2
⇒ HA = HB = 16 (cm)
Vì BH < BC (16 < 20) nên H nằm giữa B và C.
Suy ra HC = BC – HB = 20 – 16 = 4 (cm).

Kẻ BH ⊥ CD (H ∈ CD). Ta có : AB // DH (cùng ⊥ AD).
Xét ∆ABD và ∆HAD có :


0
A BHD 90= =
, BD chung,


ABD BDH=
(so le trong, AB // DH)
nên ∆ABD = ∆HAD (cạnh huyền – góc nhọn)
45
0
Hình 11
H
B
C
A
a)
b)
Hình 12
8
5
11
11
5
8
B
B

Chứng minh rằng I là trung điểm của BC.
Phân tích: (H. 13a)
- Ta nhận thấy trên
hình vẽ có các cặp góc bằng
nhau :


HDA BAI=
(cùng phụ
với

DAH)


HEA CAI=
(cùng phụ
với

EAH)
Hơn nữa, lại có
AD = AB (gt), AE = AC (gt)
- Điều ta nghĩ đến ở
đây là làm sao tạo ra các tam giác vuông bằng với các tam giác vuông AHD và AHE? Kết
hợp với kết quả ở trên, ta thấy từ B và C kẻ đường vuông góc đến đường thẳng AI là hợp lí
nhất.
Giải : (Hình 13b)
Gọi F và G lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B và C tới d.
Ta có :
+) ∆AHD vuông tại H nên


F
I
H
D
E
I
H
D
E
B
A
C
C
A
B
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
17
⇒ AH = BF (3)
Chứng minh tương tự, ta có ∆HAE = ∆GBA (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ AH = CG (4)
Từ (3) và (4) suy ra : BF = CG.
Xét ∆IFB và ∆IGC có :


0
IFB IGC 90= =
BF = CG (chứng minh trên)



- Tam giác vuông cân.
- Tam giác vuông có một góc nhọn đã biết hay cạnh góc vuông bằng nửa cạnh
huyền
Sau đó ta nghĩ đến việc tính số đo của góc cần tìm thông qua mối liên hệ với các góc
của một trong các hình chứa góc có số đo hoàn toàn xác định nêu trên (Thường là đi với mối
liên hệ bằng nhau của một tam giác rồi rút ra góc tương ứng của chúng bằng nhau).
Ví dụ 14. Cho ∆ABC cân tại A,

0
A 20 .=
Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD =
BC. Tính

ACD.
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
18
Phân tích: (H. 14a)
c)
a)
b)
Hình 14
1
1
1
20
0
D
K
D

EAB EAC=
.
Từ đó :




0
BAC
ACD EAC EAB 10
2
= = = =
Giải :
Cách 1. (h. 14a) ∆ABC cân tại A nên
 

0 0 0
0
180 A 180 20
ABC ACB 80
2 2
− −
= = = =
Dựng điểm E thuộc miền trong ∆ABC sao cho ∆BEC đều. Hiển nhiên BC = BE = EC
và



0
BCE CDE BEC 60= = =

BAC
EAB EAC 10
2
= = =
(2)
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
19
Từ (1) và (2) suy ra

0
ACD 10=
Cách 2.
Dựng điểm K nằm khác phía với B đối với AC sao cho ∆AKC đều. Khi đó AK = KC =
AC và



0
1
1
A C AKC 60= = =
;

0 0 0
DAK 20 60 80= + =
Xét ∆AKD và ∆BAC có :
AK = AB ( = AC),



Vậy



0 0 0
ACD KCD KCA 70 60 10= − = − =
Nhận xét :
- So với cách 1, cách 2 dài hơn và phức tạp hơn.
- Có thể dựng

AED đều (E và C nằm khác phía đối với AB) (Hình 15a); hoặc dựng

ABE đều (E và C nằm cùng phía đối với AB) (Hình 15b)
Hình 15
b)
a)
E
D
A
E
D
A
C
B
B
C
Ví dụ 15. Cho ∆ABC vuông cân tại A. Điểm E nằm trong tam giác ấy sao cho


0

B
C
A
Giải :
Ta có :



0 0 0
BAE BAC EAC 90 15 75= − = − =
∆ABC vuông cân tại A nên
 
0
ABC ACB 45= =
Cách 1. (H. 16b)
Vì điểm E nằm trong góc ABC nên

0
ABE 45<
Suy ra

  
0 0 0
AEB 180 BAE ABE 105 ABE 60= − − = − >
Dựng điểm D nằm trong ∆ABE sao cho ∆ADE đều. Khi đó AD = AE = DE và



0
ADE AED DAE 60= = =

BDE 360 (BDA BDE) 360 (150 60 ) 150= − + = − + =
Ta có ∆DBA = ∆DAE (c.g.c) vì :
DA = DE (vì ∆ADE đều),


0
BDA BDE 150= =
, BD chung
nên


0
BAD BED 15= =
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
21
Vậy



0 0 0
AEB AED BED 60 15 75= + = + =
Cách 2. (H. 16c)
Dựng điểm D sao cho ∆ABE đều (D và C nằm cùng phía đối với đường thẳng AB. Suy
ra

0
ABD 60=
và AB = AD = BD.
Ta có

Nhận xét :
- Cách 1 dài và khó hiểu hơn cách 2.
- Việc tạo ra những tam giác đều như vậy nhằm tạo ra những góc bằng nhau và
những cạnh bằng nhau.
BÀI TẬP
Kẻ thêm đường vuông góc
1. Tính độ dài x trong các hình vẽ sau :
2. Tính độ dài x trong hình 18 :
A
B
C
120
0
6
x
15
A
B
C
30
0
6
8
x
60
0
x
6
63
A

A
6 2
Hình 18
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
22
3. Tính độ dài x trong hình 17.
4. Cho ∆ABC có AB = 16 cm, AC = 14 cm,

0
B 60 .=
Tính BC.
5. Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC). Lấy các điểm M thuộc cạnh AC, H thuộc cạnh
BC sao cho MH vuông góc với BC và MH = HB. Chứng minh rằng AH là tia phân
giác của góc A.
6. Cho

ABC có

0
C 30=
, đường cao AH bằng nửa cạnh BC. Gọi D là trung điểm của
AB. Tính

BCD.
7. Cho

ABC có

0

13. Cho ∆ABC. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB (D và C nằm khác phía đối với
AB). Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC (E và B nằm khác phía đối với AC).
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM ⊥ DE.
Kẻ thêm đường song song
14. Trên cạnh BC của ∆ABC lấy các điểm E và F sao cho BE = CF. Qua E và F, vẽ các
đường thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự ở G và H. Chứng minh
rằng EG + FH = AB.
15. Cho ∆ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ đường vuông góc với
tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng
minh rằng :
a) AE = AF ; b) BE = CF ; c)
AB AC
AE
2
+
=
.
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
23
Kẻ thêm đường phân giác
16. Cho ∆ABC có

0
A 60 ,=
tia phân giác BE và CD. Gọi I là giao điểm của BE và CD.
Chứng minh rằng :
a) BD + CE = BC ; b) ID = IE.
17. Cho ∆ABC có



0
B 75 .=
Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho BH =
2AC. Tính

BHC.
21. Cho ∆ABC cân tại A,

0
A 40 .=
Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao
cho

0
CBx 10 .=
CBx = 10
0
. Trên Bx lấy điểm E sao cho BE = BA. Tính

BEC.
22. Cho∆ABC cân tại A,

0
A 20 .=
Các điểm M, N theo thứ tự trên AB, AC sao
cho

0
BCM 50 ,=

Gọi K là điểm trong tam giác sao cho

0
KBC 10 ,=

0
KCB 120 .=
Chứng minh rằng ∆ABK là tam giác cân và tính

BAK.
26. Cho ∆ABC có các góc nhỏ hơn 120
0
. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các tam giác đều ABD,
ACE. Gọi M là giao điểm của DC và BE. Chứng minh rằng :
a)

0
BMC 120=
; b)

0
AMB 120=
.
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
24
PHẦN C – KẾT LUẬN
Trên đây chỉ mới là một số bài toán minh hoạ ở một số dạng thường gặp khi vẽ hình
phụ, tuy chưa được đầy đủ và phong phú nhưng đó là những ví dụ tiêu biểu thể hiện cách dẫn
dắt hướng dẫn học sinh vẽ hình phụ trong chứng minh hình học.