ĐẠI
HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2011
KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KHỐI A
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề ) A. PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH

C
âu I (2 điểm).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x
4
– 4x
2
+ 3
2. Tìm m để phương trình
4 2
2
4
3 log
x x m
− + = c
ó đúng 4 nghiệm.
Câu II (2 điểm).
1. Giải bất phương trình:
( ) ( )
3
2
5 1 5 1 2 0
x x

. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi , BAD
α
∠ =
. Hai mặt
bên (SAB) và (SAD) cùng vuông
góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại hợp với đáy một góc
β
. Cạn
h SA = a. Tính diện tích xung quanh
và thể tích khối chóp S.ABCD.

Câu IV (1 điểm). Cho tam giác ABC với các cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng:

3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 ( ) ( ) ( )
a b c abc a b c b c a c a b
+ + + ≥ + + + + +

B
. PHẦN TỰ CHỌN
: Mỗ
i thí sinh chỉ chọn câu Va hoặc Vb
Câu Va (3 điểm). Chương trình cơ bản
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
: 2 3 0
x y
∆ + − =
và hai điểm
A(1; 0), B(3; - 4).
Hãy tìm trên đường thẳng

x
t
d y t
z t
=


= +


= −

.

Lập phương trình đường thẳng đi qua M(1; 0; 1) và cắt cả d
1
và d
2
.
3. Tìm số phức z thỏa mãn:
2
2 0
z z
+ =

C
âu Vb. (3 điểm). Chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường tròn (C
1
): x


v
à
2
: 1 3
1
x
t
d y t
z t
=


= +


= −

.

Lập phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d
1
và d
2
.
3. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
1 2 1
z i
+ + =
, tìm số p
TXĐ D =
»

Giới hạn : lim
x
y
→±∞
= +∞Sự biến thiên : y’ = 4x
3
- 8x
y’ = 0
0, 2
x x⇔ = = ±

Bảng biến thiên x
−∞

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y
CD
= 3. Hàm số đạt cực tiểu tại x =
2
± , y
CT
= -1 Đồ thị
025
025

4 2
4 3
y x x
= − +
và đường thẳng y = log
2
m.
Vậy phương trình có 4 nghiệm khi và chỉ khi log
2
m = 0 hoặc
2
1 log m 3
< <hay m = 1 hoặc 2<m<9

2

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952

2
x
t
 
−
=
 
 
 

Bất phương trình có dạng
t +
1
2 2 0
t
− ≤

2
2 2 1 0
t t
⇔ − + ≤2 1 2 1
t
⇔ − ≤ ≤ +5 1 5 1
2 2
5 1

Điều kiện :
1
x
≥

Phương trình tương đương với
2
( 1 1) 2 1 2( 1) 0
x x x x x
− − − − − − − =
(*)
Đặt
1, 0
y x y
= − ≥
. Khi đó (*) có dạng : x
2
– x(y - 1) – 2y – 2y
2
= 0

( 2 )( 1) 0
2 0( 1 0)
x y x y
x y do x y
⇔ − + + =
⇔ − = + + ≠2

3 3
2
1 1
3 2 3 2
3 3
1 1
tan( 1) 1 1 tan( 1)
lim lim .( 1)
1
1
1 tan( 1)
lim .( 1) lim .( 1)( 1)
1 1
lim( 1) lim( 1)( 1) 9
x x
x x
x
x x
x x
e x e x
x x
x
x
e x
x x x x x
x x
x x x x x
− −
→ →
− Kẻ đường cao SI của tam giác SBC. Khi đó AI
⊥
BC



3

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952

3

(Định lí 3 đường vuông góc) do đó SIA
β
∠ =
S AI = a.cot
β
, AB = AD =
cot
sin

α
=

S
xq
= S
SAB
+ S
SAD
S
SBC
+ S
SCD
B

I

C
=
2
cot 1
.(1 )
sin sin
a
β
α β
+

a b c b c a c a b
ab bc ca
A B C
+ − + − + −
⇔ + + ≤
⇔ + + ≤

Mặt khác

2 2 2 2
cos cos cos (cos cos ).1 (cos cos sin sin )
1 1 3
[(cos cos ) 1 ]+ [sin A+sin B]-cos cos
2 2 2
A B C A B A B A B
A B A sB
+ + = + − −
≤ + + =

Do đó
3
cos cos cos
2
A B C
+ + ≤

025

Đường thẳng JM qua J và vuông góc với
∆
có phương trình : 2x – y – 8 = 0.
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
2
2 3 0
5
2 8 0 19
5
x
x y
x y
y
−

=

+ − =


⇔
 
− − =


=


vậy M(
19 2

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952

4Đường thẳng d
1
đi qua A(1; 0; -2) và có vecto chỉ phương là
1
( 1;2;1)
u = −

, đường thẳng d
2

đi qua B(0; 1; 1) và có vecto chỉ phương là
2
(1;3; 1)
u
= −

.
Gọi
( ),( )
α β
là các mặt phẳng đi qua M và lần lượt chứa d
1

α β
có vectơ chỉ phương
1 2
; (4; 8;1)
u n n
 
= = −
 
  
và đi qua
M(1;0;1) nên có phương trình x= 1 + 4t, y = 8t, z = 1 + t
025 025

025

025
3 1

Gọi z = x + y.i. Khi đó z
2
= x
2
– y
2

025

025
3
1 1
Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng cần tìm với (C
1
) và (C
2
) lần lượt là M và N
Gọi M(x; y)
2 2
1
( ) 13
C x y
∈ ⇒ + =

(1)
Vì A là trung điểm của MN nên N(4 – x; 6 – y).
Do N
2 2
2
( ) (2 ) (6 ) 25C x y∈ ⇒ + + − = (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ
2 2
2 2
13
(2 ) (6 ) 25
x y
x y

025

025

025
2 1
Vb
.
( ' 1;3 ' 2 1; ' 3)
MN t t t t t t
= + − − + − − +


MN là đoạn vuông góc chung của d
1
và d
2

1
2
. 0
2 ' 3 3 0
11 ' 4 1 0
. 0
MN u
t t
t t
MN u

=
− + =


⇔
 
− − =


025
025
I


5

Đ
ẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952

5

=======
=======================

D
o đó M(
2 14 3
025
025
3 1


1 1
1 1
2
5 5
,
2 2
( 1) ( 2) 1
2
2
5 5
x x
y
x
x y
y y
 
= − − = − +
 
=

 
⇔
  
+ + + =

 
= − − = − +
 
 



ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2011
KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KHỐI A
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề ) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm).
Câu I ( 2 điểm)
Cho hàm số 2)2()21(
23
++−+−+= mxmxmxy (1) m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m=2.
2. Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: 07
=
+
+
yx góc
α
,
biết
26
1
cos =
α
.
Câu II (2 điểm)
1. Giải bất phương trình:
54
4
2

dx
x
x
.
Câu IV(1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB
2a= . Gọi I là trung điểm của BC, hình
chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn:
IH
IA
2
−
=
, góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng
0
60 .
Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB tới (SAH).
Câu V(1 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: xyzzyx ≤++
222
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

xyz
z
zxy
y
yzx
x
P
+

121 xaxaxaaxxx ++++=+++ . Hãy tìm giá trị của
6
a .
B. Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích bằng
11
2
và trọng tâm G
thuộc đường thẳng d: 043
=
−
+
yx . Tìm tọa độ đỉnh C.
2.Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) 01
=
+
−
+
zyx ,đường thẳng d:
3
1
1
1
1
2
−
−
=
−
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.9521
ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011
MÔN:TOÁN, Khối A
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH.
Câu ý Nội dung Điểm
1(1đ)

Khảo sát hàm số khi m = 2

Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x
3
− 3x
2
+ 4

a) TXĐ: R

b) SBT
•Giới hạn: lim ; lim
x x
y y

0,25
•Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y
CĐ
= y(0) = 4;
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y
CT
= y(2) = 0.
0,25

c) Đồ thị:
Qua (-1 ;0)
Tâm đối xứng:I(1 ; 2)
0,25
2(1đ)


26
1
.
cos
2
1
2
2
21
21
k
k
kk
k
k
nn
nn
α0,5
I(2đ)

Yêu cầu của bài toán thỏa mãn ⇔ ít nhất một trong hai phương trình:
1
/
ky = (1)
và
2
/
ky = (2) có nghiệm x
⇔






=−+−+
=−+−+
3
2
2)21(23
2
3
2)21(23
2
2
mxmx

y

có nghiệm


8

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.9522

⇔




≥−−
≥−−
034
0128
2
2
mm
mm
⇔


Giải bất phương trình

Bpt






≤
−
≤
−≤
−
≤−
⇔







≤
−
≥−
−
⇔
)2(3
4

x
x
0,25
. Giải (1): (1)
5
16
3
8
0
4
165
0
4
83
8
4
2
4 ≤≤⇔







≤
−

4
2
8
1
≤≤⇔







≤
−
−
≥
−
−
⇔≤
−
≤⇔ x
x
x
x
x
x
x

1)
6
2sin(22cos2sin301sin22sin3
2
−=−⇔−=−⇔=++
π
xxxxx

π
π
kx +−=⇔
6
0,25 • )(
2
3
2
2
3
2
01cos2 Zk
kx
kx
x ∈


0,25
III(1đ)

1(1đ)

Tính tích phân.



9

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.9523

I
( )
∫
++
+

0,25
•Ta có I =
dt
t
t
tdt
t
ttt
dt
t
ttt
∫∫ ∫






−+−=
−+−
=
−+−
4
2
2
4
2

1
2

0,5

=
4
1
2ln2 − 0,25
(1đ) Tính thể tích và khoảng cách •Ta có ⇒−= IHIA 2 H thuộc tia đối của tia IA và IA = 2IH

BC = AB 2 a2
=
; AI=
a
; IH=
2
IA
=
2
a

60tan
0
a
HCSH == 0,25 IV
K
I
B A
S
C


10

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.9524• )(SAHBI
SHBI
AHBI
⊥⇒



⊥
⊥Ta có

xyx
x
P
+
+
+
+
+
=
222
.
Vì 0;;
>
zyx , Áp dụng BĐT Côsi ta có:
xyz
z
zxy
y
yzx
x
P
222
222
++≤ =









++
=








+++++≤
xyz
zyx
xyz
xyzxyz
yxxzzy
222
2
1
2
1111111
4
1

2

1

0,25
PHẦN TỰ CHỌN:
Câu ý Nội dung Điểm
VIa(2đ)
1(1đ)

Viết phương trình đường tròn…

KH: 022:;01:
21
=−−=++ yxdyxd

1
d có véctơ pháp tuyến )1;1(
1
=n và
2
d có véctơ pháp tuyến )1;1(
2
=n
• AC qua điểm A( 3;0) và có véctơ chỉ phương )1;1(
1
=n
⇒
phương trình
AC: 03
=
−

M
+
( M là trung điểm AB)
T
a có B thuộc
1
d và M thuộc
2
d nên ta có:
)0;1(
02
2
3
01
−⇒





=−−+
=++
B
y
x
yx
B
B
BB





−=
=
−=
⇔





−=+−−
−=+−
−=+
3
2
1
1782
12
96
c
b
a
cba
ca
ca
⇒
Pt đường tròn qua A, B, C là:
0342

⇔ caca
ccaa
ca



=
=
⇔
ca
ca
7
0,5

•TH1:
c
a
=
ta chọn 1
=
=
ca ⇒ Pt của (P): x-y+z+2=0

TH2: ca 7

)21(
16
1
)1(21 xxxxxx +++++=+++ 0,25 • Trong khai triển
(
)
14
21 x+ hệ số của
6
x là:
6
14
6
2 C

Trong khai triển
(
)
12
21 x+ hệ số của
6
x là:
6
12

1
6
10
66
12
66
14
6
6
=++= CCCa
0,25
Tìm tọa độ của điểm C
VI.b(2đ)

1(1đ)• Gọi tọa độ của điểm )
3
;
3
1();(
CC
CC
yx
GyxC +⇒ . Vì G thuộc d
)33;(3304
33
13 +−⇒+−=⇒=−+


=
−
−
⇒
yxptAB

•
5
11
5
3332
5
11
);(
2
11
);(.
2
1
=
−−+
⇔=⇔==
∆
CC
ABC
xx
ABCdABCdABS




(
5
17
−⇒= Cx
C
.

0,25
2(1đ)

Viết phương trình của đường thẳng • (P) có véc tơ pháp tuyến )1;1;1(
)(
−=
P
n và d có véc tơ chỉ phương
)
3;1;1(. −−=u
)4;2;1()( IPdI
⇒
∩
=

• vì
∆
⇒
⊥
∆

=
+
−
+
−
⇔
=
−
−
−
+
−
−
zyxzyx
Gọi
11
)()( dQPd ⇒∩= có vécto chỉ phương
[
]
)1;1;0(3)3;3;0(;
)()(
==
QP
nn và
1
d qua I





2
t
t
tIH 0,5

• TH1:
1
7
1
5
2
1
:)7;5;1(3
−
−
=
−
=


ĐK:
i
z
≠• Đặt
z
i
iz
w
−
+
= ta có phương trình: 0)1)(1(1
23
=++−⇔= wwww 0,5


13

ĐẠI
HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI







−
−
=
+−
=
=
⇔



=++
=
⇔
2
31
2
31
1
01
1
2
i
w
i
w

+
⇒
+−
= zizi
i
z
i
izi
w

• Với

33
3)31(
2
31
2
31
=
⇔−=−⇔
−−
=
−
+
⇒
−−
= zizi
i
z
i

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
2. Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về
2 phía của trục hoành.
Câu II (2,0 điểm):
1. Giải phương trình lượng giác. 2. Giải hệ phương trình.

Câu III(1,0 điểm): Tính tích phân sau.

∫
=
3
4
42
cos.sin
π
π
xx
dx
I

Câu IV(1,0 điểm): Cho ba số thực thỏa mãn ,Chứng minh rằng:

Câu V(1,0 điểm): Cho tứ diện ABCD có AC = AD = , BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(ACD) bằng . Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng .
II. PHẦN RIÊNG (Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần A hoặc B)
A. Theo chương trình chuẩn.
Câu VIa(2,0 điểm):



15

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952

ĐÁP ÁN
CÂU

NỘI DUNG ĐIỂM

I 2,0
1

1,0

• TXĐ: D= R\{1}
• y’=
Hàm số luông nghịch biến trên D và không có cực trị
0,25

• Giới hạn:

• PT đường TCĐ: x=1; PT đường TCN: y=1
0,25

• Bảng biên thiên:
t
-
1 +

y
f x( ) =
x+2
x-1
1
4
-2
-2
O
1
2
3
5/2



16

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952
• d là tiếp tuyến với ( C ) ⇔ hệ PT
có nghiệm
<=>Pt (1-a)x
2
+2(a+2)x-(a+2)=0 (1) có nghiệm x ≠ 1

• Theo bài ra qua A có 2 tiếp tuyến thì pt (1) có 2 nghiệm x
1
; x
2
phân biệt

0,25
II

2,0
1

1,0

• ĐK:
0,25

• Với ĐK trên PT đã cho tương đương với
0,5

• Đối chiếu ĐK ta được nghiệm của pt đã cho là
0,25
2

1,0

• Đặt : t = x + y ; ĐK: t
• Giải PT:
0.25 0,5


3
4
22
cos.2sin
.4
π
π
xx
dx

Đặt : t = tanx
Đổi cận: x =
x =

0,5

Khi đó
3
438
)
3
2
1
()2
1
(
)1(
3
1
3

• Xét : A = với x,y > 0
• Chia tử và mẫu cho và đặt t = ta được A = với t > 0
• Xét hàm số f(t) =
trên (0;+ )
• Ta có : f
’
(t) =
• Bảng biên thiên:
t
0 1 +
f
’
(t) - 0 +
f(t)
1 1
0,5


18

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952
• Dựa vao bảng biến thiên ta có f(t)
với mọi t > 0
• Từ đó A = với x,y > 0; dấu bằng xảy ra khi t = 1 nên x = y. • Do vai trò là như nhau nên BĐT cần chứng minh tương đương

trường hợp vì DE<a

0,25

Xét BED vuông tại E nên BE =
Xét BHE vuông tại H nên sin =
Vậy góc giữa hai mp(ACD) và (BCD) là

0,25

H
D
E
C
B
A


19

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952
VIa

2,0
1

1,0


d(I; ∆ )=
vậy có 2 đt thỏa mãn bài toán: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0
0,5
VIIa

1,0

Ta có (2+x+3x
2
)
15
=
Mà =
Vậy (2+x+3x
2
)
15
=
0,5

Theo gt với x
5
ta có các cặp số : (k=3; i=2) ( k=4; i=1) (k=5; i=0)
Vậy hệ số của x
5
trong khai triển trên là :
a=

0,5

phương trình đã cho có một nghiệm :

0,25


21


Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN – TIN

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG 2010
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số:
(
)
3 2
3 1 9 2
y x m x x m
= − + + + −
(1) có đồ
thị là (C
m
)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1.
2) Xác định m để (C

x x
x
 
+ − >
 
+
 
.
3
) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x.sin2x, y = 2x, x =
2
π
.
C
âu III: (2 điểm)
1) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một
góc là 45
0
. Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho
1
2
AP AH
=
 
. gọ
i K là trung điểm AA’,
(
)
α
là mặt

C
âu IV: (2,5 điểm)
1) Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy
được 5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung? Biết m, n là nghiệm của hệ sau:
2 2 1
3
1
9 19
2 2
7
20
m
m n m
n
C C A
P
−
+
−

+
+ <



=


2 ) Cho Elip có phương trình chính tắc
2 2

1 2 1
:
2 1 5
x y z
d
− − −
= =



22


Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952
Câu V: (1 điểm) Cho a, b, c
0
≥
và
2 2
2
3
a b c
+ + =
. Tìm giá trị n
hỏ nhất của biểu thức

3 3 3


23


Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC

Bài
1 1
đ
2
9
)1(63'
2
++−= xmxy
Để hàm số có cực đậi, cực tiểu:
09.3)1(9'
2
>−+=∆ m
);31()31;( +
∞+−∪−−−∞∈⇔ m
Ta có
( )
14)22(29)1(63
3
1
3
1
22
++−+−++−




−=
=
⇔=−+⇔
3
1
032
2
m
m
mm
Khi m = 1
⇒
ptđ
t đi qua hai điểm CĐ và CT là:y = - 2x + 5. Tọa độ trung điểm CĐ và
CT là:







=
+
+−
=
+
==
+
1

hông thỏa mãn.
Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đề bài.

1đ
Bài
2 1
p
hương trình đưa về:






=


=
+
=
⇔ k
kx
kx
,
2
3
π
π
π 1 đ
2

24