NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trang 1 Giảng viên hướng dẫn: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU
Lớp : Toán – VB2 – K2.
Nhóm: 9
Sinh viên thực hiện:
1. Đặng Văn Cường.
2. Trần Ninh Gia Bảo.
3. Đỗ Văn Bắc.
4. Lê Minh Đoàn.

TP. HỒ CHÍ MINH, 2014.
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trang 3 I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong quá trình tính toán trong toán học cũng như các môn khoa học kỹ thuật khác. Tích
phân xác định
()
b
a
I f x dx

có nhiều ứng dụng trong lý thuyết và thực hành để tính diện tích
các vật thể trong kỹ thuật như tính diện tích một con tàu, diện tích ngôi nhà…, nhưng việc
tính nó không phải lúc nào cũng dễ dàng. Ta đã biết nếu
()fx
là hàm mà nguyên hàm
()Fx

của nó biểu diễn được dưới dạng các biểu thức sơ cấp thì ta có thể tính tích phân xác định
bằng công thức Newton – Lepniz. Nhưng trong thực tế, thường thì
()Fx
không biểu diễn
được bởi các hàm sơ cấp hoặc
()fx
chưa xác định được biểu thức, chỉ biết được giá trị của

()fx
đã biết biểu thức nhưng
()Fx
không biểu diễn được bởi các biểu thức
sơ cấp thì làm cách nào để tính gần đúng
()
b
a
I f x dx

với một sai số cho trước ?
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
1. Một số định nghĩa:
a) Hàm nội suy:
Giả sử
()fx
xác định trên đoạn
 
;ab
và biết
 
( ), 0, , ;
i i i
y f x i n x a b   

Hàm nội suy của
f
trong đoạn
 
;ab

2. Định lý Rolle:
Cho hàm số
()fx
liên tục trên
 
;ab
và khả vi trên
 
;ab
. Giả sử
( ) ( )f a f b
thì
( , ): '( ) 0c a b f c  
.
Nếu hàm
f
khả vi liên tục trên
 
 
,,ab


và có 2 nghiệm phân biệt trên
 
;ab
thì
'( )fx
có ít nhất một nghiệm trên
 
;ab

là hai hàm xác định trên
 
;ab
thỏa:
 
( ) ( ), ; ( ) ( ) ( ) ( )
b b b b
a a a a
f x g x x a b f x dx g x dx f x dx g x dx      
   

4. Định lý 1 (định lý về sự tồn tại đa thức nội suy):
Cho các cặp
 
, , 0,1, ,
ii
x y i n
với
ij
xx
nếu
ij
. Khi đó tồn tại duy nhất
()Px
là đa
thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng
n
sao cho
( ), 0,1, ,
ii

Ta có:
00
0
11
0
0
( ) , 0,1, , (*)

n
i
i
i
n
i
i
i
ii
n
i
i n n
i
a x y
a x y
P x y i n
a x y






nn
nn
ay
xx
ay
xx
ay
xx

   

   

   


   

   

   


Đây là hệ phương trình tuyến tính
( 1)n
ẩn và
( 1)n
phương trình.
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH




   
1
1 0 1 0
0
1
11
1
1
2 0 2 0
22
0
00
11
1
1
00
0
1
1
0
0 0
0
n
n i i








   






       
 
0 1 1 0
1 2 0

0, ,
n n n
i i i n i i j
i i i n i j n
x x x x x x x x x x i j

     

         
   


0
()
; , ( ) ( ) ( )
( 1)!
n
n
x
xi
i
f
a b f x F x x x
n




   



Với
F
là đa thức nội suy của
f
trong đoạn
 
;ab

Chứng minh:
Xét hàm số phụ

01
, , , ,
n
x x x x
trên đoạn
 
;ab
.
Theo định lý Rolle thì
()Gx
có ít nhất
( 1)n
nghiệm phân biệt trong khoảng
( 1)
( 1), ( )
n
n G x


có ít nhất 1 nghiệm
 
;
x
ab


nghĩa là:
   
 
 

( 1)
0
1!
n
n
x
i
i
f
f x F x x x
n



  



Gọi
 
 
( 1)
;
sup
n
x a b
M f x








gọi
mi
a

là chữ số hàng thứ
mi
trong biểu diễn
thập phân của
A
.
01
10 , 10
k
m i m i
m i m i
i i k
a a a




  



Thì

























  


Ta gọi
a
là giá trị làm tròn của

b
a
J P x dx

thay cho
()
b
a
I f x dx
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trang 7

III. Giải quyết vấn đề
1. Giải quyết vấn đề 1
a. Cách giải quyết trong trường hợp tổng quát
Áp dụng các định lý trên, khi biết giá trị của
()fx
tại một số điểm, ta tìm hàm đa thức
nội suy
()Px
của
()fx
. Theo định lý 1,
()Px
tồn tại duy nhất. Ta dùng

i
f
x a b a b f x P x x x
n




      



Đặt
 
 
( 1)
;
n
t a b
M Max f t




Ta có:
 
 
   
( 1)
00

đến hàng thứ
k
thì:
1
J J .10
2
k




Nếu lấy
J
thay cho
I
thì sai số định bởi:
0
M1
I J I J J J x-x .10
( 1)! 2
b
n
k
i
i
a
dx
n



J P x dx, x x dx .10
n 1 ! 2


  



gặp nhiều khó khăn. Khi đó, ta thường biểu
diễn như sau:
   
i1
i
n 1 n 1
bx
ii
ax
i 0 i 0
J f x dx f x dx I



  



Trong đó,
 
i
x i 0,n




i
i
x
i
x
f x dx
. Khi đó tính làm tròn
J
thành
J
rồi lấy
J
thay cho
I
.
Sai số :
Trên mỗi đoạn
 
1
,
ii
xx
, đặt
 
 
1
''

x
3
ii
i i i i 1 i 1 i
x
MM
I J x x x x dx x x
2! 12


     


Như vậy, vì có n đoạn nên :
 
n 1 n 1 n 1 n 1
3
i
i i i i i 1 i
i 0 i 0 i 0 i 0
M
I J I J I J x x
12
   

   
      
   

Gọi


n 1 n 1 n 1 n 1
kk
ii
ii
i 0 i 0 i 0 i 0
1n
J J J J J J .10 .10
22
   

   
      
   

NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trang 9

c. Công thức hình thang:
Giả sử cần tính
()
b
a
f x dx

. Ta đã biết về mặt hình học, giá trị của tích phân này chính là
diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
( ), 0, ,y f x y x a x b   

Px
trên
 
1
,
ii
xx
là :
   
   
i 1 i 1
ii
1
hi
i i i
xx
1
hi
i i i
xx
y
P x y x x
h
y
P x dx y x x dx
h


  


22





      





Khi đó :
 
   
i1
n1
i
i0
i
0n
0 1 n 1 n 1 n 1
J P x dx
h b a y y
J y 2y 2y y y y 1
2 n 2






O 







x
y
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trang 10

Sai số:
Đặt
 
 
''
,
M M M , i=0, 1 .
i

là kết quả làm tròn của
J
đến chữ số hàng thứ
k
thì:

1
I J .10
2
k




Nếu lấy
J
thay cho
I
thì sai số định bởi:
Ví dụ 1: Tính tích phân sau với
4n 
và đánh giá sai số làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2.

5
1
dx
I





 
3
1;5
2
"( ) "( ) 2
x
f x M Max f x
x

   

Sai số :
33
2
22
( ) 1 2(5 1) 1
. .10 .1 .10 0,67
12 2 12.4 2
k
M b a
h
n



    

0;1
thành n = 10 đoạn con bằng nhau, tức là
0,1
ba
h
n


, ta tính được bảng sau :

n
x
y
0
0,0
1,0000000
1
0,1
0,9900990
2
0,2
0,9615385
3
0,3
0,9174312
4
0,4
0,8620690
5
0,5


Thay giá trị từ bảng trên vào ta được :

0,7849815I 
với sai số tương đối là
0,053%
.
d. Công thức parabol (Simpson)
Một công thức khác cho kết quả xấp xỉ tích phân bằng việc thay các đoạn thẳng bởi parabol để
xấp xỉ đường cong. Ta chia đoạn
 
;ab
thành
2n
đọan con với độ dài
2
ba
hx
n

  
.Nhưng
trong trường hợp các mốc nội suy cách đều nhau và các khoảng chia là số chẵn, ta có thể tính
gần đúng I bằng công thức Parabol.
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trang 12

Nếu

, 0 và x h x x h   
. Ta biết
rằng phương trình của parabol đi qua
0 1 2
,,P P P
có dạng
2
y Ax Bx C  
và do diện tích phía
dưới parabol từ
xh
đến
xh
là:
 
 
32
2
3 2 3 2
2
32
26
3 2 3 2 3
h
h
h
xx
Ax Bx C dx A B Cx
h
h h h h h

4 2 6y y y Ah C   
.
Vậy ta có thể viết lại diện tích phía dưới parabol như sau :
 
0 1 2
4
3
h
y y y

Hình 2

Hình 3
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trang 13

Bây giờ bằng cách di chuyển parabol này theo chiều nằm ngang mà không thay đổi miền diện
tích phía dưới của nó. Điều này có nghĩa là diện tích dưới parabol đi qua
0 1 2
, và P P P
từ
0
xx

đến
2
xx
(Hình 2) vẫn là

3 3 3
= 4 2 4 2 2 4
3
b
n n n
a
n n n
h h h
f x dx y y y y y y y y y
h
y y y y y y y y


         
       


Ta nhận được kết quả xấp xỉ cho trường hợp mà
( ) 0fx
, tuy nhiên nó vẫn đúng cho bất kỳ
hàm liên tục
f
và được gọi là quy tắc Simpson do nhà toán học người Anh, Thomas Simpson
(1710 – 1761) đề xuất. Chú ý rằng số hạng các hệ số là : 1,4,2, 4,2,4,2, …,4,2,4,1.
     
0 2 1 2 1 2 2 2
( ) 4 2 (2)
6
b
n n n
1
0
1
dx
I
x




Giải :
Ta có :
1 1 0
0, 1, ( ) 1, ( ) , 0,1; . , 0,1, ,10.
2 2 5
i
a b f a f b h x a i h i

        


NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trang 14

 
 


Giải :
Ta đã biết giá trị đúng của tích phân trên là
4

. Như vậy
0,78539816I 

Ta sẽ tính gần đúng I bằng công thức Simpson rồi so sánh kết quả .
Chia đoạn
 
0;1
thành 2n = 4 đoạn con bằng nhau, tức là
0,25
2
ba
h
n


, ta tính được bảng
sau : i
i
x

()
ii

I      

So với kết quả đúng, dùng công thức Simpson tính ta có sai số tương đối là
0,00011%

 Nhận xét : Phương pháp tính gần đúng giá trị tích phân xác định dùng công thức
Simpson cho kết quả độ chính xác cao hơn dùng công thức hình thang.
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trang 15

2. Giải quyết vấn đề 2:
Khi biết biểu thức của f (x) , giả sử ta tính được số mốc nội suy là n+1, ta tiến hành tính giá trị
gần đúng của f (x) tại các điểm
i
x , i=0,n
và được các giá trị
i
y , i=0,n
, giả sử các giá trị này
làm tròn đến hàng thứ
()l
,
l
là số nguyên không âm. Nghĩa là
1
.10 , 0,
2
l

  
   
.Ta có thể làm bằng công thức hình
thang hoặc parabol.

Cách 1 : Công thức hình thang:
Ta tính
 
 
''
,t a b
M Max f t

 
i1
i
n 1 n 1
x
i
x
i 0 i 0
I f x dx I











   
   
i1
i
n1
x
i 0 1 n 1 n
x
i0
0 1 n 1 n
h
J P x dx y 2y 2y y
2
ba
y 2y 2y y 3
2n





     

    


Sai số tính toán:
Do
1
.10 , 0,
2
l
ii
y y i n

  
. Suy ra :
 
 
0 1 n 1 n 0 1 n 1 n
0 1 n 1 n
1
y 2y 2y y y 2y 2y y 2n. .10
2
y 2y 2y y n.10
l
l




         
     

Và :
 

J J 10
2
l

  

Gọi
J
là kết quả làm tròn của
'
J
đến hàng thứ
 
k
thì:
'k
1
J J 10 .
2



Nếu lấy
J
thay cho
I
thì sai số xác định bởi :
 
3
' ' 1 k

   

Do các biểu thức
 
3
2
M b a
ba
, .10
12n 2
l


là các biểu thức có giá trị giảm về 0 khi
,nl
tiến ra vô
cùng nên phải tồn tại cặp
 
00
,nl
 
00
n ,l
thỏa
 
4
. Khi đó
 
3
k

=I I I


   
  
  

i0
ba
h
n
x x ih, i=0,n




   
i2
i
x
i i i 1 i 2
x
h
P x dx y 4y y
3


  






NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trang 18

Sai số tính toán:
Do
ii
1
y y .10 , i 0,n.
2
l
  

Suy ra
   
   
0 n 1 3 n 1 2 4 n 2
0 n 1 3 n 1 2 4 n 2
y y 4 y y y 2 y y y
1
y y 4 y y y 2 y y y 3n. .10
2
l





          



'
ba
J J 10 .
2
l



Gọi
J
là kết quả làm tròn của
'
J
đến hàng thứ
 
k
thì:
'k
1
J J 10 .
2



Nếu lấy



   

Do các biểu thức là các biểu thức có giá trị giảm về 0 khi
,nl
tiến ra vô cùng nên phải tồn tại
cặp
 
,nl
thỏa
 
2
. Khi đó:
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trang 19

 
4
k
3
M b a
b a 1
.10 .10
24n 2 2
l




1
x
…
n
x 
fx

 
0
fx

 
1
fx
…
 
n
fx Bước 1: Ta xác định
 
Px
là hàm đa thức nội suy của
 
fx

 
1
Px
…
 
n
PxÁp dụng định lí 1,
 
Px
tồn tại và duy nhất, ta tìm
 
Px
rồi đưa về dạng chính tắc ( được
trình bày trong vấn đề 3 ) :
 
n
i
i
i0
P x c x




Bước 2: Tính
 
b


Bước 3: Làm tròn
J
đến chữ số hàng thứ
 
k
( mặc định
k6
do chưa xác định được
chính xác hàm
 
fx
, có thể điều chỉnh k nếu biết được
 
fx
, gọi kết quả làm tròn của J là
J
. Ta dùng
J
thay cho
I
với sai số:
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trang 20

 
n
b


o
x

1
x

……

n
x

 
fx

 
0
fx

 
1
fx

……

 
n
fx
thay cho I với sai số:
 
3
2
1
.10
12 2
k
M b a
n


c. Dùng công thức Parabol:
Trường hợp các mốc nội suy cách đều nhau và n chẵn, ta có thể sử dụng công thức Parabol:
Tính
 
b
a
I f x dx

, với
 
fx
là hàm liên tục, xác định trên
 
,ab
và biết:


Bước 1: Kiểm tra rằng các mốc nội suy là cách đều và n chẵn.
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trang 21

Bước 2:
Tính
   
 
0 1 3 1 2 4 2
4 2
3
n n n
h
J y y y y y y y y

         
, làm tròn đến chữ số hàng
thứ
 
k
thành
J
, dùng
J
thay cho I với sai số:
 
4

và biết biểu
thức của
 
fx
:
Cách 1: Dùng công thức hình thang:
Bước 1: Với

cho trước, ta tìm k là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa
10
k



.
Bước 2: Tính
 
 
"
;t a b
M Max f t


. Với k tìm được, tìm cặp
 
,nl
thỏa:
 
3
1

ii. Với n tìm được, tìm 1 nguyên dương nhỏ nhất sao cho:
 
3
1
3
1
.10 .10
12 2 2
k
M b a
ba
n




  
.
Bước 3: Xác định các mốc nội suy:
0
,
ba
x a h
n



 
0
0,

J y y y y y

     
, làm tròn
'
J
đến hàng thứ
 
k
, thu được
'
J
. Như
vậy ta có
'
J
là giá trị gần đúng của I với sai số không quá

.
Cách 2: Dùng công thức Parabol:
Bước 1: Với

cho trước, ta tìm k là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa
10
k



.
Bước 2: Tính

4
3
1
.10
24 2
k
M b a
n




.
ii. Với n tìm được, tìm 1 nguyên dương nhỏ nhất sao cho:
 
4
3
1
.10 .10
24 2 2
lk
M b a
ba
n




  
.

Tính
   
 
0 1 3 1 2 4 2
' 4 2
3
n n n
h
J y y y y y y y y

         
, làm tròn
'
J
đến hàng thứ
 
k
, thu được
'
J
. Như vậy ta có
'
J
là giá trị gần đúng của I với sai số không quá

.
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2


Hãy tính gần đúng giá trị của tích phân
 
3
1
I f x dx




Giải:
Gọi
 
Px
là đa thức nội suy của
 
fx
trong
 
1;3
. Khi đó
 
Px
có bậc không lớn hơn 3 và:
i
x

-1
0
1

J P x dx



và làm tròn đến chữ số hàng thứ
6
, ta được:
6,666667J 

Vậy giá trị gần đúng của I là
6,666667J 
với sai số:
    
3
6
1
1
1 1 3 .10
24 2
M
x x x x dx

   

(giả sử
 
fx
khả vi liên tục đến cấp 4 và
 
 

i
fx

0
1
3
-2

Hãy tính gần đúng giá trị của tích phân
 
3
1
I f x dx




Giải:
Nhận thấy các mốc nội suy là cách đều nhau. Ta dùng công thức hình thang:
 
21
1
3
ba
h
n


  


M Max f t



Ví dụ 3: (Công thức Parabol) Cho hàm
 
fx
xác định và liên tục trên đoạn
 
1;3
,
 
fx
nhận
các giá trị như bảng sau:
i
x

-1
0
1
2
3
 
i
fx

0
1
3

x x x h x x h x x h x x h             

NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trang 25

 
 
0 4 1 3 2
2
42
33
h
J y y y y y     

làm tròn đến chữ số hàng thứ
6
, ta được:
6,666667J 

Vậy giá trị gần đúng của I là
6,666667J 
với sai số:
 
4
66
3
11
.10 .10

Giải:
 
 
1
, 1;1,23f x x
x


   
 
 
 
"'
"
23
1;1,23
12
' ,f 2
t
f x x M Max f t
xx

     

Với
0,01


chọn
2k 

, tìm
l
là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa
 
3
1
2
1
10 .10 2
12 2 2
k
M b a
ba
l
n




    

Ta có:
   
 
01
0 0 1 1 0 1
'
01
ba
x a 1;h 0,23;x b 1,23