1
S GIO DC V O TO THANH HểA
TRNG THPT NG THAI MAI
SNG KIN KINH NGHIM
TI: GIảI BàI TOáN ĐạI Số BằNG PHƯƠNG PHáP HìNH
HọC
Ngi thc hin: Li Duy Tỏm
Phần A: Đặt vấn đề
I.Lý do chọn đề tài
Trong chương trình toán phổ thông để giải quyết một bài toán chứng minh bất
đẳng thức,tìm GTLN-GTNN của hàm số,giải hệ phương trình vv chúng ta có
thể vận dụng nhiều phương pháp giải khác nhau.Mà mục đích của việc dạy học
toán ở trường phổ thông là làm sao bồi dưỡng cho học sinh cách suy nghĩ,tìm tòi
làm phát triển tư duy nhận thức,tư duy sáng tạo và năng lực vận dụng của học
sinh và cần khuyến khích học sinh tư duy bài toán bằng nhiều phương pháp khác
nhau.Một trong những phương pháp đó là: Vận dụng phương pháp hình học để
giải bài toán đại số,giải tích
Để vận dụng được phương pháp hình học thì giáo viên giúp học sinh nhận biết
những bài toán nào thì nên dùng phương pháp hình học và vận dụng như thế nào
để linh hoạt biến tri thức đó thành tri thức của học sinh
Xuất phát từ những lý do trên tôi lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm''GIẢI
BÀI TOÁN ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC''
II.Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy ứng
dụng phương pháp hình học để giải bài toán CM bất đẳng thức,tìm GTLN-
GTNN của hàm số,giải hệ phương trình Cho học sinh thấy mối quan hệ giữa
hình học và đại số giải tích theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của học
sinh nhằm rèn luyện tư duy,khả năng sáng tạo
Phần B: Giải quyết vấn đề
I.Thực trạng
Trong chương trình toán đại số phổ thông khi dạy học giáo viên ít khi sử dụng

1
+ R
2
2.Cho đường tròn tâm I bán kính R và đường thẳng
∆
.Điều kiện để
∆

tiếp xúc với đường tròn là d(
∆
,I)=R
Ví dụ 1:
Cho hệ phương trình
2 2
1x y
x y a

+ =

− =

Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy
nhất
3
Định hướng tư duy cho học sinh:
+Hãy xem phương trình (1) là phương trình đường tròn.Xác định tâm ,bán kính
+Hãy xem phương trình (2) là phương trình đường thẳng
+ĐK để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn
Giải
Phương trình (1) là PT đường tròn đơn vị (C) có tâm O(0;0) bán kính R=1


Định hướng tư duy cho học sinh:
+ Tìm tập hợp các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (1)
+ Tìm tập hợp các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (2)
+Điều kiện để 2 đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau?
Từ đó suy ra điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất
Giải
Các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (1) nằm trong hình tròn tâm I(-1;0) bán kính =
a
4
(1)
(2)
Các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (2) nằm trong hình tròn tâm J(0;-1) bán kính =
a
Để hệ có nghiệm duy nhất thì 2 đường tròn phải tiếp xúc nhau
⇔
IJ=
a
+
a
⇔
2
=2
a
⇔
a=
1
2
Ví dụ 3:
Cho hệ

=0 thì A(0;a), B
∈
∆
sao cho x
B
=2 thì B(2;2+a)
Để hệ có nghiệm với mọi x
∈
[0,2] thì đoạn thẳng AB nằm trong đường tròn
(I;R).Lúc đó
2 2
2 2
(0 1) ( 1) 2
0
(2 1) (2 1) 2
IA R a
a
IB R
a

≤ − + − ≤


⇔ ⇔ =
 
≤
− + + − ≤




19 6 2c a d b− + − ≥ −
⇔
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
2
3 2 1 ( ) 3 2 1c a d b c a d b− + − ≥ − ⇔ − + − ≥ −
2 2
( ) ( ) 3 2 1c a d b⇔ − + − ≥ −
Trên hệ toạ độ nếu M(c,d) thì M nằm trên đường thẳng.N(a,b) thì N nằm trên
đường tròn
M

N K
Từ O kẻ đường thẳng OKI vuông góc
với đường thẳng.Trên đường tròn lấy điểm N,
Trên đường thẳng lấy điểm M bất kỳ thì
MN
≥
IK=OI-OK=
3 2 1−
(OI là khoảng cách từ O tới đường thẳng. OK là bán
kính dường tròn tâm O.Dấu = xảy ra khi M
≡
I,N

M di động trên Ox
Ta có MA=
2 2
( )x a a− +
; MB=
2 2
( )x b b− +
Do đó
2 2 2 2
( ) ( )y x a a x b b= − + + − +
=MA+MB
≥
AB=
2
2( ) 2( )a b b a− = −
Vậy Miny=
2( )b a−
đạt được khi M trùng O
7
A M(x,0)b
a
b
a
B
Nhận xét: Ta biến đổi 2 biểu thức tronh dấu căn để sử dụng được công thức tính
khoảng cách giữa 2 điểm.Chúng ta phải khéo léo chọn các điểm A,B,M để thoã
mãn công thức tính khoảng cách MA,MB,khi đó ta chuyển bài toán về bài toán
hình học với mô tả trực quan trên hình vẽ
Ví dụ 6:
Cho x;y thõa mãn x+2y-3=0.Tìm GTNN của x

=5t
2
-2t+2
≥
9
5
Vậy Min(x
2
+y
2
)=
9
5
đạt được khi t=
1
5
⇒
M(
3 6
;
5 5
)
Ví dụ 7: Cho a,b,c
∈
[0;1] CM a+b+c
≤
1+ab+bc+c
Hướng dẫn
+ Từ giả thiết a,b,c
∈

⇔
3 3
( (1 ) (1 ) (1 ))
2 2
a c b a c b− + − + − ≤
⇔
a(1-c)+b(1-a)+c(1-b)
≤
1
⇔
a+b+c
≤
1+ab+bc+ca
Dấu = xảy ra
⇔
1 trong các tam giác AMP,BMN,CNP trùng với tam giác ABC
Chẳng hạn nếu
∆
AMP
≡
∆
ABC thì M
≡
B và P
≡
C nên a=1,c=0,b tuỳ ý
Ví dụ 8:Cho các số thực a,b,c thuộc khoảng (0;1) chứng minh
a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)<1
Hướng dẫn
+ Từ giả thiết a,b,c

BMN
+ S
CNP
< S
ABC

⇔
2S
AMP
+ 2S
BMN
+ 2S
CNP
< 2S
ABC
⇔

a(1-b)Sin60
0
+ c(1-a) Sin60
0
+

b(1-c) Sin60
0
<1.1 Sin60
0
⇔
a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)<1
Nhận xét : Ta thấy nếu học sinh làm được ví dụ 7 thì ví dụ 8 với phương pháp

BC=
2 2
a b+
.Do b>c nên BC>AB , HC>AH
a
c b
Bài toán đưa về CM : BC-AB<HC-HA
10
B
A
H
M
C
N
Trên HC,BC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho HM=AH,BN=AB
Ta có AB=BM=BN suy ra tam giác BMN cân tại B nên
1 1
ˆ ˆ
M N=
Mặt khác
0
1 2 1 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
180N N M M M+ = + + =
nên
2 3
ˆ ˆ
N M> ⇔
BC-AB<HC-HA đpcm
Ví dụ 10:Cho các số thực dương a,b,c Chứng minh

2 2
2 1
0
x y x
x y m

+ + ≤


− + =



2.Cho 3 số duơng t/m x.y.z(x+y+z)=4.Tìm GTNN của P=(x+y)(x+z)
Phần C: Kết luận
I. Kết quả
11
C
K
B
H
Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy ôn thi đại học
cho học sinh lớp 12. Trong quá trình học đề tài này bước đầu học sinh thấy khó
khăn nhưng qua vài ví dụ các em thấy một bài toán có thể áp dụng nhiều phương
pháp khác nhau trong đó có phương pháp hình học, tạo cho học sinh niềm đam
mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt,
sáng tạo kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học, tự nghiên cứu.
Để đánh giá kết quả vận dụng phương pháp này tôi đã thử nghiệm với cùng một
nhóm học sinh để làm 2 ví dụ
VD1. Tìm a để hệ sau có nghiệm

3 20 7 44 5 36 0 0 0 0
12
II.Kết luận
- Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú
hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn
nhận, vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức đã học.Trang bị cho học sinh thêm
một phương pháp để giải toán,đa số học sinh sau khi học chuyên đề này khi làm
toán đều có định hướng bài toán theo phương pháp này (Tất nhiên tuỳ từng bài
toán có thể áp dụng) vì đưa bài toán phức tạp về bài toán hình học đơn giản
hơn.Tạo niềm đam mê nghiên cứu và học tập cho các em

13
Mục Lục
A.Đặt vấn đề
I.Lý do chọn đề tài
II.Mục đích nghiên cứu
B. Giải quyết vấn đề
I.Thực trạng
II.Phương pháp nghiên cứu
III.Các biện pháp thực hiện
1.Điều kiện tiếp xúc của hai đường tròn
2.Điều kiện đường thẳng tiếp xúc với đường tròn
C. Kết luận
I. Kết quả
II.Kết luận
14
Tài liệu tham khảo
1.Đại số sơ cấp - Tác giả: Trần Phương-Lê Hồng Đức (NXB Hà Nội)
2.Toán nâng cao cho học sinh THPT -Tác giả: Phan Huy Khải (NXB Hà
Nội)