LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 1
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Vấn đề 1: ÔN TẬP – CÔNG THỨC
I. Tam thức bậc hai:
x
,
2
ax bx c 0
a b 0
c0
a0
0
2
+ bx + c = 0
Gi s g trình có 2 nghim
12
x ;x
thì:
12
b
S x x ;
a
12
c
P x .x
a
Pt có 2 nghim phân bit
a0
Pt có 2 nghim trái du
P0
Pt có 2 nghim cùng du
0
P0
Pt có 2 nghim phân bi
0
P0
S0
1 2 2 3 3 1
c
x .x x .x x .x ;
a
1 2 3
d
P x .x .x
a
III. Đạo hàm:
BẢNG ĐẠO HÀM
(kx)' k
(ku)' k.u'
1
(x )' .x
1
(u )' .u'.u .
(sinu)' u'.cosu
(cosx)' sinx
(cosu)' u'.sinu
2
1
(tan x)'
cos x
2
u'
(tanu)'
cos u
2
1
(cot x)'
sin x
2
u'
(cotu)'
sin u
xx
(a )' a .lna
uu
(a )' u'.a .lna
Quy tắc tính đạo hàm
(u v) = u v
(uv) = uv + vu
2
u u v v u
vv
(v 0)
x u x
y y .u
Đạo hàm của một số hàm thông dụng
1.
2
ax b ad bc
y y'
o Tính y.
o m to hàm y bng 0
hoc không xnh.
o Tìm các gii hn ti vô cc, gii hn
vô cc và tìm tim cn (nu có).
o Lp bng bin thiên ghi rõ du co
hàm, chiu bin thiên, cc tr ca hàm s.
V th ca hàm s:
o m un c th i vi hàm
s bc ba và hàm s ).
Tính y.
m t = 0 và xét du y.
o V ng tim cn (nu có) c
th.
o nh mt s c bit c
th m c th vi các trc to
ng h th không ct các trc to
hoc vic tìm to m phc tp thì có th
b qua). Có th tìm thêm mt s m thu
th có th v
o Nhn xét v th: Ch ra tr i
xi xng (nu có) c th.
2. Hàm số bậc ba
32
y ax bx cx d (a 0)
:
Tnh D = R.
th luôn có mm un và nhm un
i xng.
Các d th:
a > 0
a < 0 1 nghim phân bit ab > 0
a > 0
a < 0 4. Hàm số nhất biến
ax b
y (c 0,ad bc 0)
cx d
:
Tnh D =
d
R\
c
.
y
x
0
I
y
x
2. Cho hai s thi và tho mãn
h thc x
2
+ y
2
= 1. Tìm giá tr ln nht và giá tr
nh nht ca biu thc
2
2
2(x 6xy)
P
1 2xy 2y
Câu V (A): (Chƣơng trình không phân ban)
1. Chng minh rng:
k k 1 k
n 1 n 1 n
n 1 1 1 1
n 2 C C C
2.
hình vuông cnh 2a, SA=a, SB =
a3
và mt
phng (SAB) vuông góc vi mt phi
M, N lm ca các cnh AB, BC.
Tính theo a th tích ca khi chóp S.BMDN và
tính cosin ca góc ging thng SM, DN.
KHỐI D – 2008
Câu I:
Cho hàm s y = x
3
- 3x
2
+ 4 (1)
1. Kho sát s bin thiên và v th ca
hàm s (1).
2. Chng minh rng mng th
m I (1;2) vi h s góc k
(k 3)
u c
th ca hàm s (1) tm phân bit I, A, B
ng thm cn thng AB.
Câu II:
1. Gi
2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx
2. Gii h
2. Cho x, y là hai s thi.
Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu
thc:
22
(x y)(1 xy)
P
(1 x) (1 y)
Câu V (A): (Chƣơng trình không phân ban)
1. Tìm s ho mãn h thc
1 3 2n 1 k
2n 2n 2n n
C C C 2048 (C
là s t hp
chp k ca n phn t)
2. Trong mt phng vi h to Oxy, cho
parabol (P) : y
2
m
phân bing trên (P)
sao cho góc
BAC
và mt phng
(P): x + 2y 3z + 4 = 0. Ving
thng d nm trong (P) sao cho d ct và vuông góc
vng thng .
Câu VII (B):
Tìm các giá tr ca tham s ng thng
y 2x m
c th hàm s
2
x x 1
y
x
ti
m phân bim ca
n thng AB thuc trc tung.
KHỐI A – 2008
Câu I:
Cho hàm s
22
mx + 3m -2 x -2
y = 1
x +3m
42
5
x y x y xy xy
4
5
x y xy 1 2x
4
Câu III:
Trong không gian vi to m
ng thng
x 1 y z 2
d:
2 1 2
1. Tìm to hình chiu vuông góc ca
ng thng d.
2. Vit phng () cha d
sao cho khong cách t n () ln nht.
0 1 n
1 2x a a x . . . a x
N* và các h s
0 1 n
a , a , . . . , a
tha
mãn h thc
1n
0
n
aa
a . . . 4096
22
. Tìm s
ln nht trong các s
0 1 n
a , a , . . . , a
.
Câu V (B): (Chƣơng trình phân ban)
1. Gi
22
2x 1 x 1
log (2x x 1) log (2x 1) 4
2
x 2x y x y 2x 9
(x,y )
x 2xy 6x 6
Câu III:
Trong không gian vi h to Oxyz, cho ba
m A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1)
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 3
th có mt tim cng là
d
x
c
và mt
tim cn ngang là
a
y
c
a'
và mt
tim cm ca hai tim cn là tâm
i xng c th hàm s.
Các d th:
y = 0 có 2 nghim phân bit
a0
a0
y = 0 vô nghim
a0
a0
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Vấn đề 1. SỰ TIẾP XÚC GIỮA HAI
ĐƢỜNG, TIẾP TUYẾN CỦA
ĐƢỜNG CONG
Ý nghĩa hình học của đạo hàm o hàm ca
hàm s y = f(x) tm x
0
Nu cho x
0
thì tìm y
0
= f(x
0
).
Nu cho y
0
thì tìm x
0
là nghim c
trình f(x) = y
0
.
Tính y = f (x). Suy ra y(x
0
) = f (x
0
).
p tuyn là:
y y
0
= f (x
0
).(x x
0
)
Bài toán 2: Vip tuyn ca
(C): y =f(x), bit có h s c.
(*)
Gii h c m. T
trình ca .
0
x
y
0
x
y
Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 4
Chỳ ý: H s gúc k ca tip tuyn cú th
c cho giỏn ti
to vi chic honh gúc thỡ
k = tan
song song vng thng
d: y = ax + b thỡ k = a
vuụng gúc vng thng
d: y = ax + b (a 0) thỡ k =
1
a
to vng thng d: y = ax + b mt
gúc thỡ
ka
tan
1 ka
0
)
AA
A(x ;y )
nờn:
y
A
y
0
= f (x
0
).(x
A
x
0
) (1)
Gi1c x
0
. T
via .
Cỏch 2: Dựng u kin tip xỳc.
ng thng
AA
A(x ;y )
v cú h s gúc k: y y
A
= k(x x
A
)
Nghim ca h (*) l ca ti m
c
Dng 3: Tỡm nhng im trờn ng thng d
m t ú cú th v c 1, 2, 3, tip
tuyn vi th (C): y = f(x)
Gi s d: ax + by +c = 0. M(x
M
; y
M
) d.
ng thng qua M cú h s
gúc k: y = k(x x
M
) + y
M
tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim:
MM
f(x) k(x x ) y (1)
f '(x) k (2)
Th k t c:
f(x) = (x x
Th k t (2) vc:
f(x) = (x x
M
).f (x) + y
M
(3)
Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) (3)
cú 2 nghim phõn bit x
1
, x
2
.
Hai tip tuyi nhau
f (x
1
).f (x
2
) = 1
T c M.
Chỳ ý: Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) sao
cho 2 tim nm v hai phớa vi trc honh
thỡ
12
(3)coự2nghieọmphaõnbieọt
f(x ).f(x ) < 0
y
2
) 2(x
2
+ y
2
) + 1
Cõu VI (A): (Chng trỡnh chun)
1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho
ng trũn (C) :
22
4
(x 2) y
5
ng
thng
1
: x y = 0,
2
: x nh to
tõm K v tớnh bỏn kớnh cng trũn (C
1
);
bing trũn (C
1
) tip xỳc vng thng
1
,
x
ti 2
m phõn bit A, B sao cho AB = 4.
KHI D 2009
Cõu I:
Cho hm s y = x
4
(3m + 2)x
2
th l (C
m
), m l tham s.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca
hm s
2. ng thng y = -1 c th
(C
m
) t m phõn bi nh
Cõu II:
1. Gi
3cos5x 2sin3xcos2x sinx 0
2. Gii h
2
2
n mt phng (IBC).
Cõu V:
Cho cỏc s th i v
tha món x + y = 1. Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr
nh nht ca biu thc S = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) +
25xy.
Cõu VI (A): (Chng trỡnh chun)
1. Trong mt phng vi h t Oxy, cho
m ca cnh
ng trung tuynh A
l 2y 3 = 0 v 6x
y 4 = 0. Ving thng AC.
2. Trong khụng gian vi h t Oxyz, cho
m A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) v mt
phng (P): x + y + z nh t
m D thung thng
thng CD song song vi mt phng (P).
Cõu VII (A):
Trong mt phng t Oxy, tỡm tp hp
m biu din cỏc s phc z tha mu kin:
z (3 4i)= 2.
Cõu VI (B): (Chng trỡnh nõng cao)
1. Trong mt phng vi h t Oxy, cho
ng trũn (C) : (x 1)
2
+ y
hỡnh thang vuụng ti A v D; AB = AD = 2a, CD
= a; gúc gia hai mt phng (SBC) v (ABCD)
bng 60
0
. Gm ca cnh AD. Bit
hai mt phng (SBI) v (SCI) cựng vuụng gúc vi
mt phng (ABCD), tớnh th tớch khi chúp
S.ABCD theo a.
Cõu V:
Chng minh rng vi mi s th
z tho món x(x + y + z) = 3yz, ta cú:
33
3
x y x z 3 x y x z y z
5 y z
.
Cõu VI (A): (Chng trỡnh chun)
1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho
hỡnh ch nhm
c m M(1; 5)
thung thm E ca cnh
CD thu ng thng
:x y 5 0
. Vit
ng thng AB.
2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho
1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho
ng trũn
22
C :x y 4x 4y 6 0
v
ng thng
:x my 2m 3 0
, vi m l
tham s thc. Gi I l tõm c ng trũn (C).
ct (C) tm phõn bit A v B
sao cho din tớch tam giỏc IAB ln nht.
2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho
mt phng
P : x 2y 2z 1 0
ng
thng
1
x 1 y z 9
:;
1 1 6
2
x 1 y 3 z 1
:
2 1 2
KHI B 2009
Cõu I:
Cho hm s y = 2x
4
4x
2
(1)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm
s (1).
2. Vi cỏc giỏ tr no c
22
x x 2 m
m thc phõn bit?
Cõu II:
1. Gi
3
sinx cosxsin2x 3cos3x 2(cos4x sin x)
2. Gii h
2 2 2
xy x 1 7y
(x,y )
x y xy 1 13y
. Hỡnh chiu vuụng gúc c
lờn mt phng (ABC) trựng vi trng tõm ca tam
giỏc ABC. Tớnh th tớch khi t di
a.
Cõu V:
Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 5
m c th.
2. th hm s bc ba
32
y ax bx cx d (a 0)
ct trc honh ti 3
m phõn bit
32
ax bx cx d 0
cú 3
nghim phõn bit.
Hm s
32
y ax bx cx d
cú ci, cc
tiu v
Cẹ CT
y .y 0
.
Vn 3. BIN LUN S NGHIM
Dng 2: F(x, m) = 0 f(x) = g(m) (2)
Thc hi, cú th t g(m) = k.
Bin lun lun theo m.
c bit: Bin lun s nghim ca phng
trỡnh bc ba bng th
c
c ba:
32
ax bx cx d 0
(a 0) (1) th (C)
S nghim ca (1) = S m ca (C)
vi trc honh
Bi toỏn 1: Bin lun s nghim ca phng
trỡnh bc 3
Trng hp 1: (1) ch cú 1 nghim (C) v
m chung
Cẹ CT
f khoõng coự cửùc trũ (h.1a)
Bi toỏn 2: Phng trỡnh bc ba cú 3 nghim
cựng du
Trng hp 1: (1) cú 3 nghi
bit (C) ct Ox tm phõn bit cú honh
Cẹ CT
Cẹ CT
f coự 2 cửùc trũ
y .y <0
x >0, x >0
a.f(0) <0 (hay ad <0)
Trng hp 2: (1) cú 3 nghim cú õm phõn
y
c.
x
m
c.
A
f coù 2 cöïc trò
y .y < 0
x < 0, x < 0
a.f(0) > 0 (hay ad > 0)
Vấn đề 4. HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Đồ thị hàm số
y = f x
(hàm số chẵn)
Gi
(C): y f(x)
và
1
(C ): y f x
ta thc hin
c sau:
Bƣớc 1. V th (C) và ch gi li ph
th nm phía bên phi trc tung.
Bƣớc 2. Li xng ph th c 1
qua tr th (C
1
).
và
3
(C ): y f x
. D th v (C
3
) ta thc hin
c v (C
1
) ri (C
2
) (hoc (C
2
) ri (C
1
)). Vấn đề 5. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tìm cặp điểm trên đồ thị
(C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng
d: y = ax + b
Cơ sở của phƣơng phápi xng nhau
qua d d là trung trc cn AB
ng thng vuông góc
A, B.
Chú ý:
i xng nhau qua trc hoành
AB
AB
xx
yy
i xng nhau qua trc tung
AB
AB
xx
yy
i xng thng y = b
AB
nh t m M
trên trc hoành sao cho khong cách t n
bng OM.
Câu VII (B):
Gii h
2
x x 2
log (3y 1) x
4 2 3y
(x, y R)
KHỐI D – 2010
Câu I:
42
y x x 6
1. (C)
.
2.
Câu III:
e
1
3
I 2x ln xdx
x
Câu IV:
.ABCD
, = a;
(ABCD)
,
AC
(3;-1),
tâm
(-2;0).
,
.
2.
, cho hai
,
A(0;2)
.
.
,
.
2.
, cho hai
1
:
2
1.
Câu VII (B):
2
2
2
x 4x y 2 0
(x,y )
2log (x 2) log y 0
KHỐI A – 2009
Câu I:
Cho hàm s
x2
y1
2x 3
thng
x 1 y z 2
:
2 1 1
và mt phng (P):
x 2y z 0
. Gm ca vi (P),
m thuc . Tính khong cách t n
(P), bit MC =
6
.
Câu VII (A):
Tìm phn o ca s phc z, bit:
2
z ( 2 i) (1 2i)
Câu VI (B): (Chƣơng trình nâng cao)
1. Trong mt phng t Oxy, cho tam
giác ABC cân tng thng
m ca các cnh AB và AC có
x y 4 0
. Tìm t nh B
và C, bim E(1; 3) n
nh C c
2. Trong không gian t m
0 0 2A( ; ; )
(C)
1. Kho sát s bin thiên và v th (C) ca
hàm s
2. ng thng
y 2x m
c
th (C) t m phân bit A, B sao cho tam
giác OAB có din tích bng
3
(O là gc ta
).
Câu II:
1. Gi
sin2x cos2x cosx 2cos2x sinx 0
2. Gi
2
3x 1 6 x 3x 14x 8 0
(x R).
Câu III:
Tính tích phân I =
e
2
1
lnx
dx
x(2 ln x)
2. Trong không gian t Oxyz, cho các
t phng (P): y z + 1 = 0. Xác
nh b và c, bit mt phng (ABC) vuông góc vi
mt phng (P) và khong cách t n mt
phng (ABC) bng
1
3
.
Câu VII (A):
Trong mt phng t Oxy, tìm tp hp
m biu din các s phc z tha mãn:
z i (1 i)z
.
Câu VI (B): (Chƣơng trình nâng cao)
1. Trong mt phng t m
A(2;
3
) và elip (E):
22
xy
1
32
. Gi F
1
và F
2
là
A
, x
B
là 2 nghim ca (1).
T u kii xng qua I I là
m cc k x
A
, x
B
.
Chú ý:
i xng qua gc to O
AB
AB
xx
yy
Dạng 3: Khoảng cách
Kiến thức cơ bản:
1. Khong cách gim A, B:
AB =
22
B A B A
gii tíchnh lý Vi-et nên cn chú ý xem li các
tính cht hình hc, các công c gii toán trong
hình hc gii tích, áp dng thành thnh lý
Vi-et trong tam thc bc hai. LƢỢNG GIÁC
Vấn đề 1: ÔN TẬP
I. Góc và cung lƣợng giác:
1. Giá trị lượng giác của một số góc:
Α
0
6
4
3
2
1
3
Cotα
3
1
3
3
0
2. Cung liên kết: (cos đối, sin bù, phụ chéo)
x
x
2
x
+ x
2
+ x
Sin
sinx
2
2
1
1 tan a
cos a
2
2
1
1 cot a
sin a
2. Công thức cộng:
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sins .cos cos .sin
sin( ) sins .cos cos .sin
tan tan
tan( )
1 tan .tan
tan tan
tan( )
1 tan .tan
22
1 cos2x
sin x 1 cos x
2
(1 cosx)(1 sin x)
5. Công thức biến đổi tổng thành tích:
x y x y
cosx cos y 2cos cos
22
x y x y
cosx cos y 2sin sin
22
x y x y
sin x sin y 2sin cos
22
x y x y
sin x sin y 2cos sin
22
42
sin x cos x (sin x cos x) 2sin x.cos x
(1 2sin x.cos x) 2sin x.cosx
1
sin 2x sin 2x 1
8
Trong một số phương trình lượng giác, đôi
khi ta phải sử dụng cách đặt như sau:
Đặt
t tanx
:
2
22
2t 1 t
sin2x ; cos2x
1 t 1 t
Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG
GIÁC
I. Phƣơng trình cơ bản:
x k2
sinx 0 x k ,k
sinx 1 x k2 k
2
sinx 1 x k2 k
2
cosx 0 x k k
2
cosx 1 x k2 k
II. Phƣơng trình bậc hai hay bậc n của một
hàm lƣợng giác:
2
asin x bsinx c 0
(1)
2 2 2 2 2 2
a b c
sinx cosx
a b a b a b
22
c
cos .sin x sin .cosx
ab
22
c
sin(x )
ab
Lƣu ý:
2 2 2 2
ba
sin ;cos
a b a b
Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
n
).
So sánh các giá tr va tính và kt lun.
1
[ ; ]
max ( ) max ( ), ( ), ( ), , ( )
n
ab
M f x f a f b f x f x
1
[ ; ]
min ( ) min ( ), ( ), ( ), , ( )
n
ab
m f x f a f b f x f x
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Kho sát hàm s Tr
2. , h i s Tr
3. Và tài liu ca các Thy Cô trên trang web:
hàm s khi m = 1.
2. th ca hàm s (1) ct trc
hoành tm phân bi x
1
, x
2
, x
3
thu kin :
222
1 2 3
x x x 4
Câu II:
1. Gi
(1 sin x cos2x)sin x
1
4
cosx
1 tan x
2
.
1. Tính th tích khi chóp S.CDNM.
2. Tính khong cách gi ng thng
DM và SC theo a.
Câu V:
Gii h
2
22
(4x 1)x (y 3) 5 2y 0
4x y 2 3 4x 7
(x, y R).
Câu VI (A): (Chƣơng trình chuẩn)
1. Trong mt phng t Oxy , cho hai
ng thng d
1
:
3x y 0
và d
2
:
3x y 0
.
Gng tròn tip xúc vi d
1 1 2 2 3 3
a .b a .b a b
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
(a a a )(b b b )
3
12
1 2 3
a
aa
b b b
0)
:
2 2 2 2
1 1 n n 1 n 1 n
a .b a b (a a )(b b )
1 2 n
1 2 n
a a a
b b b
H qu B.C.S cho phép chúng ta gp mu.
t thêm bt.
Vấn đề 4: Bất đẳng thức Vectơ
I. Phát biểu:
a . b a.b
a,b
cùng
a b a b
a,b
II. Một số lƣu ý:
Chm có t thích hp.
c bc hai
v mc bc hai.
Vấn đề 5: Dùng điều kiện có nghiệm
của hệ tìm max, min
Bài toán:
G(x,y) 0
G(x,y) 0;G(x,y) 0
). Tìm
P F(x,y)
Cách giải:
G(x, y) 0
F(x,y) m
G(x, y) 0
F(x,y) m
1. ng hc du ca
f t h(x) = f (x) và quay li tip tc xét
du h n khi nào xét dc thì thôi.
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 9
Biến thể:
a.sinx b.cosx csiny dcosy
2 2 2 2
a b c d
a.sinx b.cosx csiny
c.cosy
)
2 2 2
a b c
IV. Phƣơng trình
22
a.sin x b.sinx.cosx c.cos x d
Cách giải:
Cách 1:
- Xét
cosx 0 x k2 ,k
2
a(sinx cosx) b.sinx.cosx c 0
Cách giải:
t sinx cosx
t 2 Do t 2sin x
4
Ta có:
2 2 2
t sin x cos x 2sinx.cosx
2
t1
sin x.cosx
2
2
A.B 0
B0
Vấn đề 3: KĨ THUẬT NHẬN BIẾT
Xut hin
3
Xut hin
3
và góc ng giác ln
dng bin th c
Xut hin góc ln thì dùng công thc tng
các góc nh.
Xut hin các góc có cng thêm
k ,k ,k
42
thì có th dùng công thc tng thành
tích, tích thành tng hoc cung liên kt, hoc
công thc c làm mt các
k ,k ,k
42
hoc cosx,
2
cos x
.
Vấn đề 4: GIẢI TAM GIÁC
I. Công thức sin, cos trong tam giác:
Do
A B C
nên:
a.
sin(A B) sinC
b.
cos(A B) cosC
Do
A B C
2 2 2 2
nên:
a.
A B C
sin( ) cos
2 2 2
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 10
2bc.cos
2
l
bc
VI. Các công thức tính diện tích tam giác:
a
1 1 abc
S ah bcsinA pr
2 2 4R
p(p a)(p b)(p c)
0
: có nghim kép
b
x
2a
.
0
: (3) có hai nghim phân bit
2
1,2
b b b 4ac
x
2a 2a
II. Định lý Vi–et (thuận và đảo)
2
ax bx c 0
có hai
nghim
12
x , x
thì
12
12
b
III. Bảng xét dấu của tam thức bậc hai
f(x) = ax
2
+ bx + c
(a 0)
0:
x
y
Cùng du a
0:
x
0
x
y
A
, c gi là bin c đối
ca A.
2. Nhận xét:
Gi là không gian mu
Gi
A
là tp kt qu thun li cho A
p kt qu thun li cho
A
là :
A
= \
A
IV. Quy tắc cộng xác suất:
1. Biến cố hợp:
Cho hai bin c A và B. Bin c c
B xi là bin c hp ca hai bin c A và
B, và kí hiu là
AB
.
2. Biến cố xung khắc:
Cho hai bin c A và B. Hai bin c A và
c gi là xung khc nu bin c này xy ra
thì bin c kia không xy ra.
3. Quy tắc cộng xác suất:
Nu A và B là hai bin c xung khc, thì:
; A
2
; A
3
là ba bin c c lp
vi nhau thì :
P(A
1
A
2
A
3
) = P(A
1
).P(A
2
).P(A
3
)
Chú ý: Hc kt h
m phi s t hp.
BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ
Dạng toán này là một dạng toán khó
thường nằm câu V trong đề thi đại học. Ở đây xin
chỉ nêu ngắn gọn các phương pháp. Bạn có thể
xem kĩ hơn trong “Chuyên đề bất đẳng thức – cực
trị”.
Vấn đề 1: Các tính chất.
a b
n n
0
.
8.
2
0A Vấn đề 2: Bất đẳng thức Cauchy
I. Phát biểu:
a + b
2
ab
hay a
2
+ b
2
2ab.
a + b + c
3
3
abc
II. Một số lƣu ý:
Khi áp dng các a
m bo.
N bài yêu cu: Cho a, b, c > 0. Chng
xét trên min
1a b c
, (do bng thi
(a,b,c)
i (ta, tb, tc)). C gng
chn min h n.
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 46
Gi
0
f(k) m k
, s hng
cn tìm là
0 0 0
k n k k
n
C a b
và h s ca s hng cha
x
m
là M(k
0
.
S hng cn tìm là
0 0 0
k n k k
n
C a b
.
d. Dạng tìm hệ số lớn nhất trong khai
triển Newton:
Xét khai trin
n
(a bx)
có s hng tng
quát là
k n k k k
n
C a b x
.
t
k n k k
n
C a b
.
Vấn đề 3: XÁC XUẤT
I. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
1. Phép thử ngẫu nhiên:
a. Khái niệm: Phép th ngu nhiên (phép
th ) là mt thí nghing mà:
- Kt qu ca c .
- Có th c tp hp các kt qu có th
sy ra ca phép th
b. Kí hiệu:
Phép th ngu nhiên hay kí hiu là : T
2. Không gian mẫu của phép thử:
a. Khái niệm : Tp hp tt c các kt qu có
th xy ra ca phép phép th gi là không gian
mu ca phép th
b. Kí hiệu
Không gian mc kí hiu là :
3. Biến cố của phép thử:
a. Khái niệm: Cho phép th T
- Bin c n phép th T là mt s
kin mà vic xy ra hay không xy ra ca A ph
thuc vào kt qu ca phép th T .
- Mi kt qu ca phép th T làm cho A xy ra
gi là mt kt qu thun li cho A . Tp hp các
kt qu thun li cho A kí hiu là :
A
nh bi công thc :
A
()
PA
+
A
là s phn t ca
A
.
+ là s phn t ca
.
Vậy để tính xác suất của biến cố A của phép
thử T ta làm theo các bƣớc sau :
- nh không gian mu m s phn t
ca nó (s kt qu có th xy ra ca phép th T ).
- nh s kt qu thun li cho A ( là s phn
t ca
A
).
- Áp dng công thc.
2. Chú ý:
0 P(A) 1
P() = 1 , P() = 0
Xác sut là mt s n 1, xác
II. Phƣơng trình bậc 4 đặc biệt:
1. Phƣơng trình trùng phƣơng:
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (
a0
)
t t = x
2
,
t0
. (5)
at
2
+ bt + c = 0.
2. Phƣơng trình đối xứng:
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
bx + a = 0 (
a0
)
4. Phƣơng trình cân bằng hệ số theo phép
cộng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e vi a + c = b + d
trình bc 2 theo t
5. Phƣơng trình cân bằng hệ số theo phép
nhân:
2
x a x b x c x d mx
với ab=cd=p
t
ad
tx
2
hoc
t (x a)(x d)
6. Phƣơng pháp hệ số bất định:
Gi s c 4:
x
4
+ ax
3
+ bx
Tip theo tin hành nhm tìm các h s a
1
; b
1
;
a
2
; b
2
. Bu t b
1
b
2
= d và ch th vi các giá
tr nguyên.
Chú ý s bnh này còn
áp dng rt nhiu các di nhóm
t tha s chung hay phân chia phân s.
III. Phƣơng pháp tham số, hằng số biến thiên:
: Coi các giá tr tham s, hng s là
bin. Còn bic coi làm hng s.
IV. Phƣơng trình
2
2
22
B 3B
A AB B A
24
3 3 3
(A B) A B 3AB A B
2
2
b
ax bx c a x
2a 4a
AB
B A B
AB
B0
B0
A B A B
3. Phƣơng trình – bất phƣơng trình vô tỷ:
A 0 B 0
AB
AB
2
B0
B0
AB
A0
AB
33
A B A B
2n 1
2n 1
A B A B
a. Dạng cơ bản:
f x g x f x g(x) 0
f x g x
2
g x 0
f x g x
f x g x h x
. u kin
Chú ý: có th không u kin,
c m
m qu c
i tìm nghim ta phi th li.
3
A B 3 A.B.C C
Th li nghim.
b. Đặt ẩn phụ:
Dạng 1: Đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình 1 ẩn
mới:
22
ax bx c px qx r
ab
pq
Cách giit
2
t px qx r
u kin
t0
Dạng 2: Phƣơng trình dạng:
22
P x Q x P x Q x
2 P x .Q x 0 0
* Nu
P x 0
chia hai v cho
Px
t
Qx
t
Px
vi
t0
Dạng 4: Phƣơng trình đối xứng với hai căn
thức:
a cx b cx d a cx b cx n
Cách gii: t
t a cx b cx
a b C a C a b C a b
C a b C b C a b
S hng th k+1 là
k n k k
k 1 n
T C a b
c gi là s hng tng quát.
Các h s
k
n
C
c tính theo công thc t
hp chp hoc da vào tam giác Pascal sau:
Tính chất
1)
k n k
nn
C C (0 k n)
Xét khai trin (1):
n
0 1 2 2 k k n n
n n n n n
1 x C C x C x C x C x
o hàm 2 v ca (1).
Thay s thích hp vào (1) sau khi o hàm.
b. Đạo hàm cấp 2:
Dấu hiệu nhận biết: Các h s ng
c t hm) dn
t n (n1).n hom) dn t
1
2
n n
2
.
Xét khai trin (1):
n
0 1 2 2 n 1 n 1 n n
n n n n n
1 x C C x C x C x C x
o hàm 2 v cc (2):
n1
n2
1 C 2 C x 3 C x n C x
n(1 nx)(1 x)
3. Dạng tích phân:
Dấu hiệu nhận biết: Các h s ng
c t ha) là phân s gim
dn t n
1
n1
hon t
1
n1
n 1.
Xét khai trin (1):
n
0 1 2 2 n 1 n 1 n n
n n n n n
1 x C C x C x C x C x
Ly tích phân 2 v ca (1) t n b ta
c:
2 2 n 1 n 1
0 1 n
n n n
b a b a b a
C C C
1 2 n 1
n 1 n 1
(1 b) (1 a)
n1
.
Chú ý: Trong thc hành, ta d dàng nhn bit
giá tr c nhn bit 2 cn a và b ta nhìn vào
s hng
n 1 n 1
n
n
ba
C
n1
1) Nu mt quc thc hin
c) liên tip nhau sao cho
có m cách thc hin th nhng thi
ng vi m thc hin giai
n th c hin quá
trình trên.
2) Nu mt quá tr c thc hin
c) liên tip nhau sao cho có
m
1
cách thc hi n th nht, vi mi
2
thc hi n th
k
cách thc hin th k. Khi
quá trình có m
1
.m
2
k
cách thc
hin.
VI. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp:
1. Hoán vị:
Định nghĩa. Cho tp hp X gm n phn t phân
bit
(n k)!
3. Tổ hợp:
Định nghĩa. Cho tp hp X gm n phn t phân
bit
n0
. Mi cách chn ra k
0 k n
phn
t cc gi là mt t hp chp k ca n
phn t. S các t hp chp k ca n phn t c
ký hiu là
k
n
C
.
k
n
n!
C
k!(n k)!
Nhận xét:
1) u ki xy ra hoán v, chnh hp và t
1) Cách phân loi 1 và loi,
ph thuc vào ch quan ci gii.
2) Gii bm là
ngng sai sót khi
tính s ng tng loi.
3*) ng thì ta x u kic, hoc
u kin ri gii quyt bài toán.
VIII. Phƣơng pháp phƣơng trình, bất
phƣơng trình, hệ đại số tổ hợp:
Bƣớc 1u kin cho bài toán.
-
x
P
u kin là
x
-
k
n
A
,
k
n
C
u kin là
k,n
và
0 kn
Bƣớc 2: Áp dng công th
Cách gii: t
n
y bx a
:
n
n
x by a 0
y bx a 0
Dạng 2: Phƣơng trình dạng:
2
ax b r ux v dx e
a,u,r 0
và
u ar d,v br e
Cách gii: t
uy v ax b
:
d. Nhân lượng liên hiệp:
Dạng 1nh có dng:
f x a f x b
Cách gii: ng liên hp ca v
ta có h:
f x a f x b
a
f x a f x
b
Dạng 2ng:
f x g x a f x g x
hng y = C thì kt lun trên v
Dạng 2: Biện luận tham số m
t n ph
Chuyn m theo n ph m
Dùng công c nh m tha bài
toán.
f. Phương pháp đánh giá:
yu da vào các bt
ng th dánh giá so sánh v trái và
v phi. Nghii quyt
du bng xy ra khi nào cng thc trái và
phi.
2. Bất phƣơng trình vô tỷ:
pháp gii b
c chia thành các dng gi gii
trình.
Chú ý:
u ki
Mt s công thc b sung:
a.
f(x) 0
f(x)
0
g(x) 0
g(x)
c.
2
B0
A
1
B
AB
d.
B0
A
1
A0
B
hoặc
2
t
11
22
ab
D
ab
,
11
x
22
cb
D
cb
,
11
y
22
ac
D
ac
1.
D0
: H m duy
nht
x
y
2
y = c
2
.
II. Hệ chứa một phƣơng trình bậc nhất:
1
y c ax
ax by c
b
1
f(x, y) d
f x, c ax d
b
u 4v
IV. Hệ đối xứng loại 2:
Dạng 1:
f(x, y) 0
g(x,y) 0
vi
f(x,y) g(y,x)
g(x, y) f(y,x)
Cách gii:
f(x;y) g(x;y) 0 (x y)h(x;y) 0
f(x;y) 0 f(x;y) 0
Cách gii:
Cách 1i xng v dng
tích gii y theo x ri th i.
Cách 2: i xng v dng
f(x) f(y) x y
v u.
V. Hệ đẳng cấp bậc 2:
22
1 1 1 1
22
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d
Cách gii:
Xét y = 0.
Xét
y0
t
x ty
và gii
c hai n t
LÝ THUY Cao Hồng Nam
Trang 43
- Chú ý: ln ca mt s phc ch
khơng phi là tr tuyi. (tr tuyng
hp riêng c la trên trc s
thc).
III. Tập hợp điểm.
ĐẠI SỐ TỔ HỢP – XÁC SUẤT
Vấn đề 1: HỐN VỊ – CHỈNH HỢP –
TỔ HỢP
V. Quy tắc đếm, cộng và nhân:
1. Quy tắc đếm:
a. Quy tắc:
V u kin là khong cách gia các s bng
u), ta có:
1
số lớn nhất số nhỏ nhấ
số các số
khoảng cách giữa 2 số liền ke
t
à
.
kt qu, cách th hai cho m
2
kt
qu k cho m
k
kt quc
thc hin q trình trên cho m
1
+ m
2
k
kt qu.
3. Quy tắc nhân:
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 42
11
22
zz
z.z' z.z';
zz
1
2
1
zz
z
(z 0)
1
2
z' z'.z z'.z
z'z
z z.z
z
z'
w z' wz
z
8. Căn bậc hai của số phức:
z x yi
c hai ca s phc
w a bi
2
B 4AC
0
: (*) có hai nghim phân bit
1,2
B
z
2A
, (
c hai ca )
0
: (*) có 1 nghim kép:
12
B
zz
2A
Chú ý: Nu z
0
C là mt nghim ca (*)
thì
0
z
z 1 z cos isin ( R)
11. Nhân, chia số phức dƣới dạng lƣợng giác:
z r(cos isin ), z' r'(cos ' isin ')
z.z' rr'. cos( ') isin( ')
zr
cos( ') isin( ')
z' r'
12. Công thức Moa–vrơ:
n
n
r(cos isin ) r (cosn isinn )
,
(
*
nN
)
Mở rộng: S phc
z r(cos isin )
c n là:
n
k2 k2
r cos isin , k 0,1, ,n 1
nn
Vấn đề 2: CÁC DẠNG TOÁN
I. Thực hiện các phép toán cộng trừ, nhân
chia số phức.
Áp dng các quy tc cng, tr, nhân, chia
hai s phc hai ca s phc.
Chú ý các tính cht giao hoán, kt hi
vi các phép toán cng và nhân.
II. Giải phƣơng trình - hệ phƣơng trình số
phức:
- Gi s z = x + yi. Gi
n
n
1
a
a
m n m n
a .a a
m n m n
a :a a
n
m m.n
aa
m m m
(ab) a .b
1. Tập xác định:
D (0; )
2. Tập giá trị:
G
3. Tính đơn điệu:
0 < a < 1: Hàm nghch bin trên D
a > 1: Hàm s ng bin trên D
4. Một số công thức cơ bản:
a
log x
ax
lnx
ex
bb
log c log a
ac
2n
aa
log x 2nlog x
a a a
log (bc) log b log c
a a a
b
log log b log c
c
III. Phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ cơ
bản:
1.
f (x)
a
b0
ab
f(x) log b
0 a 1
3.
f (x)
a
b0
f(x) log b
ab
0 a 1
b0
x :f(x)
5.
f (x) g(x)
aa
f(x) g(x)
0 a 1
6.
f (x) g(x)
aa
f(x) g(x)
a1
3.
a
b
log f(x) b
0 f(x) a
0 a 1
4.
a
b
log f(x) b
f(x) a
a1
5.
aa
a a (a 1)(M N) 0
b. Logarit hoá:
f (x) g(x)
a
a b f(x) log b .g(x)
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 16
c. Đặt ẩn phụ:
Dạng 1:
f (x)
P(a ) 0
f (x)
t a , t 0
P(t) 0
,
c theo t.
Dạng 2:
2f (x) f (x) 2f (x)
a (ab) b 0
n x
0
là mt nghim ca (1).
Dng bin, nghch bin ca f(x)
kt lun x
0
là nghim duy nht.
Nng bin (hoc nghch bin) thì
f(u) f(v) u v
e. Đưa về phương trình các phương trình
đặc biệt:
: A.B = 0
A0
B0
22
A0
A B 0
B0
3. Phƣơng trình logarit:
a. Đưa về cùng cơ số
Vi a > 0, a 1:
aa
f(x) g(x)
log f(x) log g(x)
f(x) 0 (g(x) 0)
b. Mũ hóa
Vi a > 0, a 1:
a
log f (x)
b
a
log f(x) b a a
c. Đặt ẩn phụ
d. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e. Đưa về phương trình đặc biệt
f. Phương pháp đối lập
Chú ý:
t kê không nêu cách
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 41
Một cách tổng quát: Chc h trc Oxy
nm trong mt phda trên các tính cht
= 1)
z là s thc phn o ca z bng 0
(b = 0)
z là thun o phn thc ca z bng 0
(a = 0)
S 0 va là s thc va là s o.
Hai s phc bng
nhau:
a a'
a bi a ' b'i (a,b,a',b' R)
b b'
2. Biểu diễn hình học: S phc z = a + bi (a,
b
R)
c biu din bm M(a; b) hay bi
u (a; b)
trong mp(Oxy) (mp phc)
3. Cộng và trừ số phức:
a bi a' b'i a a' b b' i
z z ; z z' z z';
Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 40
Dng 5: Lp phng trỡnh mt cu i qua ba
im A, B, C cú tõm nm trờn mt phng Oxy
Gi I(x
I
; y
I
; 0) l tõm ca mt cu,
I Oxy
Ta cú AI
2
= BI
2
= CI
2
Ta cú h
22
22
AI BI
AI CI
v
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
x x a t
d : y y b t
z z c t
Hóy tỡm t ng
hp :
12
d ,d
l hai ng cao ca tam giỏc .
12
Phng phỏp
hc phng.
Chỳ ý: Hỡnh hc gi thi
i hng tp trung vo cỏc dng toỏn
ng gp cng thng, cỏc
dng toỏn khong cỏchi xng nờn hc
sinh cn nm (vỡ hỡnh hc gii tớch trong Oxy
u t tam giỏc)
Vn 6: ng dng hỡnh hc gii tớch
gii cỏc bi hỡnh hc thun.
C s lý lun:
t trong vi cụng c gii tớch
ta cú th c din tớch m tớch
mt khn, khong cỏch gia hai mt
phng, ging thng, gúc gia hai mt
phng, ging thng v mt phng, gia hai
ng th
Vỡ vy gii bi toỏn thun tỳy hỡnh hc cú
th mt bi toỏn hỡnh hc gii tớch nu ta
xõy dng mt h trc Oxyz hp lý.
Nhn xột:
- u: Gii bi toỏn ch n l tớnh toỏn,
u.
- Khuyt: Khụng thc cỏi hay ca hỡnh hc
thun tỳy, tớnh toỏn phi ht sc cn thn.
Mt s cỏch chn h trc Oxyz thng dựng:
1. Vi hỡnh lc hỡnh hp ch
nht
ABCD.A'B'C'D'
ABC vuụng ti C
10. Vi hỡnh chúp S.ABC cú (SAB)
(ABC),
SAB cõn ti S v
ABC vuụng ti A
11. Vi hỡnh chúp S.ABC cú (SAB)
(ABC),
SAB cõn ti S v
ABC vuụng cõn ti C Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 17
NGUYấN HM TCH PHN
BNG NGUYấN HM
Haứm
soỏ f(x)
Hoù nguyeõn
haứm F(x)
Haứm soỏ
1
x
ln x C
1
ax b
1
ln ax b C
a
x
a
x
a
C
lna
x
e
x
eC
1
cos x
tgx + C
2
1
cos (ax b)
1
tg(ax b) C
a
2
1
sin x
-cotgx + C
2
1
sin (ax b)
1
cotg(ax b) C
a
'
u (x)
u(x)
Vn 1: NGUYấN HM
I. nh ngha:
Hm s
Fx
gi l nguyờn hm ca hm s
fx
trờn
a,b
nu
F x f x , x a,b
.
Chỳ ý: Nu
Fx
l nguyờn hm ca
fx
thỡ
mi hm s cú dng
F x C
(
C
l hng s
kf x dx k f x dx; k 0
2.
f x g x dx f x dx g x dx
3.
f x dx F x C
thỡ
f u du F u C
Vn 2: TCH PHN
I. nh ngha:
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
5. Nu f x 0, x a;b
thỡ
b
a
f x dx 0
6. Nu
f x g x
thỡ
bb
aa
f x dx g x dx ,
x a;b
7. Nu m f x M, x a;b
II. Những phép đổi biến phổ thơng:
Hàm s có cha
n
(x)
t
t (x)
Hàm s có mu s
t t là mu s
Hàm s có cha
(x)
t
t (x)
hay
t (x)
Tích phân cha
dx
x
Tích phân cha
cosxdx
t
t sinx
Tích phân cha
2
dx
cos x
t
t tgx
Tích phân cha
2
dx
sin x
t
t cotgx
.
Tích phân cha
22
ax
t x = asint,
t
;
22
uv dx uv vu dx
hay
bb
b
a
aa
udv uv vdu
c thc hin:
c 1:
u u(x) du u (x)dx (Đạohàm)
Đặt
dv v (x)dx v v(x) (nguyên hàm)
c 2: Th vào cơng thc (1).
c 3: Tính
P(x)
sinxdx
P(x).lnxdx
lnx
P(x)
Chú ý :
Tích phân hàm hữu tỉ:
- Nu mu là bc nht thì ly t chia mu
- Nu mu là bc hai có nghi
hng thc
- Nu mu là bc hai có hai nghing
nht thc
- Nu mu là bc hai vơ nghim ti bin s.
Tích phân hàm lƣơng giác:
- Nu sinx,cosx có s n thì h bc
22
1 cos2x 1 cos2x
sin x ;cos x
22
0
H
0
H
0
H
x x'
x
2
y y'
y
2
z z'
z
2
u,u' .M M'
d , '
u,u'
Vấn đề 3: MẶT CẦU
I. Phƣơng trình mặt cầu:
1. Phƣơng trình mặt cầu tâm
I(a;b;c)
bán
kính R
2 2 2
2
x a x b x c R
.
2. Phƣơng trình mặt cầu tâm
I(a;b;c)
, bán
kính
2 2 2
R a b c d
:
2 2 2
2
x a y b z c R
Ax By Cz D 0
ng tròn
22
r R d(I,(P))
và tâm H cng tròn là
hình chiu ca tâm I mt cu (S) lên mt phng
(P).
III. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt
cầu:
Cho mt cu (S):(x a)
2
+(y b)
2
+(z c)
2
=
2
thì (d) ct (S) tm phân bit.
IV. Dạng tốn thƣờng gặp:
Dạng 1: Viết phƣơng trình mặt cầu
nh tâm I(a ; b ; c) ca mt cu
Bán kính R
Vit cu
2 2 2
2
x a x b x c R
Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt cầu đƣờng
kính AB
Gm ca AB. Tính to I
I là tâm mt cu
Bán kính
1
R AB
2
Vit cu
Dạng 3: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm
I (a; b; c) và tiếp xúc với
+ 2Ax + 2By +2Cz + D = 0
A, B, C, D thuc (S). Ta có h
Gii h A, B, C, D
Kt lun
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 38
Gi (P) là mt phm A và cha
1
Gi (Q) là mt phm A và cha
2
P ng thng d:
P
Q
Chuyn v c (tham s)
Dạng 7: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d
P
và (P) // d
1
Gi (Q) là mt phng cha
2
và (Q) // d
1
d P Q
ng thng d
P:
Q:
Dạng 9: Viết phƣơng trình đƣờng vuông góc
chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau
1
và
v
. Nên có VTPT là
P1
n u ,v
t phng (P)
Gi (Q) là mt phng cha
2
và có mt
VTCP là
v
. Nên có VTPT là
Q2
n u ,v
t phng (Q)
ng vuông góc chung ca
2
N
i dng tham
s). Tính
MN
.
Gii h:
1
2
MN.u 0
MN.u 0
c tham s
c t m M, N
vi
trình MN.
Dạng 10: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d
vuông góc (P) và cắt hai đƣờng thẳng
ng thng
d
Dạng 11: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi
qua điểm M
0
vuông góc với đƣờng thẳng
1
và
cắt đƣờng thẳng
2
Gi
là mt ph
0
và vuông
góc
1
Gi
là mt phm M
0
. Nên
có VTPT là VTCP ca
ng thng
d
Dạng 13: Tìm tọa độ điểm M' đối xứng của M
0
qua đƣờng thẳng d
Gi M (x ; y ; z )
Gi (P) là mt phm M
0
và
Pd
. Nên (P) nhn VTCP ca d làm
VTPT
Gi
H d P
M i xng ca M
0
ng thng
d. Nên H m cn M
0
0
+
Bƣớc 2. Tính
12
12
xx
bb
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx
.
Chú ý: Nu trong kho
f(x) = 0 không có nghim thì:
bb
aa
f(x) dx f(x)dx
Vấn đề 6: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH
PHÂN
I. Tính diện tích hình phẳng:
1. Trƣờng hợp 1:
Din tích hình phng S gii hn bi các
ng
y f(x), y g(x), x a, x b
là:
Nu tích S gii hn bi x = f(y) và x = g(y) thì
i vai trò x cho y trong công thc trên. II. Tính thể tích khối tròn xoay:
1. Trƣờng hợp 1.
Th tích khi tròn xoay V do hình phng gii
hn bng
y f(x) 0
x a; b
, y = 0, x = a và x = b
(a < b) quay quanh trục Ox là:
b
2
a
V f (x)dx
2. Trƣờng hợp 2.
Th tích khi tròn xoay V do hình phng gii
hn bi các ng
x g(y) 0
c d, f(y) 0, g(y) 0 y c; d
quay
quanh trục Oy là:
d
22
c
V f (y) g (y) dy
Chú ý: Cách gii tích phân có du giá tr
tuy trên.
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 20
Chuyên đề: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. Kiến thức cơ bản:
1. Kiến thức hình học 9 – 10:
1.1 Hệ thức lƣợng trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tng trung tuyn AM. Ta có:
M là trung điểm BC nên MA = MB = MC và M là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
1.2 Hệ thức lƣợng trong tam giác thƣờng:
Cho tam giác ABC có các cnh lng trung tuyn AM.
Định lý hàm cos:
a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc.cosA
2 2 2
b c a
cosA
2bc
Định lý hàm sin:
a b c
2R
sinA sinB sinC
Định lý đƣờng trung tuyến:
2 2 2
Hình vuông ABCD cạnh a:
ABCD
2
S AB.AC
1
AC.BD a
2
Hình chữ nhật ABCD:
ABCD
S AB.AD
Diện tích hình thoi ABCD:
ABCD
1
S AC.BD
2
Diện tích hình tròn:
2
(O;R)
S .R
Diện tích hình bình hành:
S = cx chiu cao
Diện tích tam giác đều:
III. Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng () đi
qua M
0
có VTCP
a
.
0
[M M,a]
d(M, )
a
2. Khoảng cách giữa hai đƣờng chéo nhau :
0 0 0 0
quaM (x ;y ;z )
:
VTCPa
;
0 0 0 0
VTCPa
;
0 0 0 0
quaM' (x' ;y' ;z' )
':
VTCPa'
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a.a '
cos cos(a,a ')
a . a '
a .a' a .a ' a .a '
a a a . a ' a ' a'
V. Dạng toán thƣờng gặp:
Dạng 1: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng
:
Cn bit VTCP
1 2 3
a a ;a ;a
và m
0 0 0 0
M x ;y ;z
Vi theo công thc.
Vic theo công thc.
Dạng 2: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng
khi:
:
1 1 1 1
2 2 2 2
A x B y C z D 0
A x B y C z D 0
:Ax By Cz D 0
Mp
có VTPT là
n A;B;C
ng thng
m M
0
và có VTCP
là
n
Ving thng.
Dạng 4: Viết phƣơng trình hình chiếu của d
trên mặt phẳng
Gi d là hình chiu ca d trên mp
Gi
m
M
0
d
Ving quát ca Mp
ng thng d:
:
:
Chuyn v c (tham s).
Dạng 5: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua
điểm
2
. Nên d có VTCP là
d 1 2
u u ,u
Dạng 6: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi
qua điểm A và cắt cả hai đƣờng
1
và
2
.
Thay to
1
và
2
12
A ,A
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 36
Mt phng (P) có VTPT là
0
;0;0),
M
2
(0;y
0
;0), M
3
(0;0;x
0
)
t phng
là:
00
x y z
1
x y z
Dạng 8: Viết phƣơng trình mp
đi qua
điểm M
0
và vuông góc với hai mặt phẳng (P)
và (Q).
(P) có VTPT là
(x; y; z i xng ca M
qua
Gng th
d
.
Nên d có VTCP là
n
Vi ca d
Gi
Hd
T m H là nghim ca h
d:
:
và
1 2 3
a (a ;a ;a )
là VTCP cng
thng
cng thng
:
01
02
03
x x a t
y y a t (t R)
z z a t
2. Phƣơng trình chính tắc của đuờng thẳng:
m
0 0 0 0
M (x ;y ;z )
m thung
a,a' .MM' 0
() ct (
a,a' .MM' 0
vi
a,a ' 0
() // (
[a,a']=0
M'
hoc
'
a;a = 0
a;MM' = 0
2. Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và mặt
phẳng:
ng thng (
0 0 0 0
M (x ;y ;z )
có VTCP
1 2 3
a (a ;a ;a )
và mt
ph
Ax By Cz D 0
có VTPT
n (A;B;C)
.
() c
a.n 0
ng:
Hai cnh góc vuông bng nhau (t l ).
Mt góc nhng bng nhau và 1 cnh góc vuông bng nhau (t l).
Mt cnh góc vuông và cnh huyn bng nhau (t l).
1.5 Định lý Thalet:
Nhng thnh ra trên 2 cát tuyn nhn thng t l.
ng thng song song vi c nh ra trên 2
cnh kia nhn thng t l.
ng thng song song vi mt cnh thì to vi 2 cnh kia 1 tam giác
ng dng vu.
1.6 Các yếu tố cơ bản trong tam giác:
Ba ng trung tuyng quy tm: trnh bng
2
3
mng.
Mng trung tuyn chia tam giác thành hai phn có din tích bng nhau.
Ba ng quy ti mt m: trc tâm H.
Ba ng trung trng quy ti mt m gng tròn ngoi tip, còn gi là
tâm ca tam giác.
Ba ng quy ti mt m gi là tâm ng tròn ni tip.
Mng phân giác chia ci din thành hai phn t l vi hai cng.
1.7 Các tính chất đặc biệt:
Cho tam giác nhn ABC, ni ting kính
m BC, H là tri xng vi H qua BC.
Ta có:
- BH là i xng
ca H qua M
- ng tròn tâm O.
- m gm 3 cm AH, BH, CH,
ng cao nm trên mm
d
a
(P)
ĐL2: Nu mng thng song
song vi mt phng thì nó song
song vi giao tuyn ca mt phng
t phng bt k cha nó.
a / /(P)
a (Q) d / /a
(P) (Q) d
d
a
Q
P
Định lý:
ĐL1: Điều kiện cần và đủ để 2 mặt
phẳng song song là trong mặt
phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt
nhau cùng song song với mặt
phẳng kia.
a,b (P)
a b I (P) / /(Q)
a / /(Q),b / /(Q)
I
b
a
Q
P
ĐL2: Nếu 2 mặt phẳng song song
với nhau thì mọi đường thẳng nằm
trong mặt phẳng này đều song song
là mn ca nó.
2. Mt phm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và
nh
n (A;B;C)
áp tuyn có
dng :
A(x x
0
) + B(y y
0
) + C(z z
0
) = 0
3. Mt ph
0
(x
0
;y
0
;z
(P) ct (Q)
(P) // (Q)
2. Cho hai mt phng ct nhau :
P :Ax By Cz D 0
.
t phnh bi
(P) và (Q) là:
= 0 (vi m
2
+ n
2
III. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
Khong cách t M
0
(x
0
PQ
PQ
PQ
n .n
cos cos(n ,n )
n . n
00
2 2 2 2 2 2
A.A' B.B' C.C'
0 90
A B C . A' B' C'
0
PQ
90 n n
hai mt phng vuông góc
nhau.
V. Các dạng bài tập:
Dạng 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng:
Tìm VTPT
Dạng 3: Viết phƣơng trình mặt phẳng
đi
qua điểm A và vuông góc BC
Mt phng
BC nên có VTPT là BC qua A
Chú ý:
Trc Ox cha
i 1;0;0
Trc Oy cha
j 0;1;0
Trc Oz cha
k 0;0;1
Dạng 4: Viết phƣơng tình mp
là mặt
0
M D'
Kt lun.
Dạng 6: Viết phƣơng trình mp (P) đi qua hai
điểm A, B và vuông góc với mp (Q)
Mt phng (P) có cp VTCP là:
AB
và VTPT
ca (Q) là
Q
n
LÝ THUY Cao Hồng Nam
Trang 34
HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ
Vấn đề 1: TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ
VECTƠ
I. Tọa độ của véctơ:
Trong khơng gian vi h t Oyz
1.
1 2 3 1 2 3
a (a ;a ;a ) a a i a j a k
1 1 2 2 3 3
a b (a b ;a b ;a b )
1 2 3
k.a (ka ;ka ;ka )
222
1 2 3
a a a a
1 1 2 2 3 3
a.b a . b cos(a;b) a b a b a b
II. Tọa độ điểm :
Trong khơng gian vi h t Oxyz
1.
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x ; y ; z
1 k 1 k 1 k
(V –1)
c bim AB (k = 1 ) thì
ta có:
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x ;y ;z
2 2 2
III. Tích có hƣớng của hai vectơ và ứng
dụng:
1. Nu
1 2 3
a (a ;a ;a )
và
1 2 3
b (b ;b ;b )
3.
a,b a b sin(a,b)
.
4.
ABC
1
S [AB,AC]
2
.
5. V
HộpABCDA’B’C’D’
=
[AB,AD].AA'
.
6. V
Tứdiện ABCD =
1
[AB,AC].AD
6
.
IV. Điều kiện khác:
1.
vng góc:
1 1 2 2 3 3
a.b 0 a .b a .b a .b 0
3.
a, b, c
ng phng
a,b .c 0
4. A,B,C,D là b nh ca t din
AB, AC, AD
ng phng.
5. G là trng tâm ca tam giác ABC:
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y
G
A B C D
G
A B C D
G
x x x X
x
4
y y y y
y
4
z z z z
z
4
b
a
R
Q
PQuan hệ vng góc:
Bài 1: ĐƢỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
Định nghĩa:
ng thng vng góc vi mt
phng khi và ch khi nó vng góc
vi mng thng nm trong
mt ph
a (P) a c, c (P)
P
c
a
Định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d vng
góc với hai đường thẳng cắt nhau a
và b cùng nằm trong mp(P) thì
đường thẳng d vng góc với
mp(P).
d a, d b
a,b (P) d (P)
a'
a
b
PBài 2: HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC
Định nghĩa:
Hai mt phc gi là vng
góc vi nhau nu góc gia chúng
bng 90
0
.
0
(P) (Q) ((P),(Q)) 90 Định lý:
ĐL1: Nếu một mặt phẳng chứa một
đường thẳng vng góc với một
mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng
đó vng góc với nhau.
a (P)
(Q) (P)
a (Q)
a
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 24
ĐL3: Nu hai mt phng (P) và (Q)
vuông góc vi nhau và A là mt
ng th
m A và vuông góc vi (Q)
s nm trong (P)
(P) (Q)
A (P)
a (P)
Aa
a (Q)
A
Q
a / /b
bP
aP
2.
aP
a / /b
bP
3.
ab
a / / P haya P
Pb
Bài 4: KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đƣờng thẳng, đến 1
mặt phẳng:
Khong cách t ng thng a (hon
mt phng (P)) là khong cách gim O và H,
u cng thng a
(hoc trên mt phng (P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
a
H
O
H
O
P
2. Khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng
d
2
nên có h theo t
1
và t
2
. Gii h có t
1
suy ra t m B
:
Nd
2
suy ra t N theo t
2
m CA suy ra t A theo t
2
A
d
1
nên có h theo t
1
và t
2
. Gii h có t
2
d
t B
Dạng 3:
12
d ,d
là hai đƣờng phân giác trong
của góc A và góc B.
Tìm t m C
1
i xng ca C
qua d
1
;
1
C AB
Tìm t m C
2
i xng ca C
qua d
2
;
2
C AB
Vi C
Gi s d
1
: ng cao AM; d
2
: trung tuyn BN
Vi
Gii h
2
CB
d
tìm t m B
Dùng tính chm N thuc BN ,
c AM suy ra t
m A
Dạng 5:
1
d
là đƣờng cao ,
2
d
là phân giác
trong.
Gi s d
t m A .
Dạng 6:
1
d
là trung tuyến ,
2
d
là phân giác
trong
Gi s d
1
: ng trung tuyn AM; d
2
: phân giác
trong BN
2
1
Md
MA MC
Ad
Nu bài toán có yu t ng phân giác trong
ci xng ct
.
Chú ý i hng s dng các
tính chi xi xng trc
ng) n Phép bin hình 11. Ngoài
ra s kt hp gia các tính cht cng tròn và
ng toán rng gp. LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 32
III. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 2 tiếp
điểm:
Cho
MM
M(x ;y )
nng tròn tâm
I(a;b)
bán kính R. T M dng 2 tip tuyn tip
ng tròn t
ng thng AB có dng:
1
) và (C
2
) ct nhau: có 2 tip tuyn
chung.
Nu (C
1
) và (C
2
) tip xúc trong: có 1 tip
tuyn chung.
Nu (C
1
) và (C
2
) lng nhau: không có tip
tuyn chung.
Vấn đề 4: ELÍP
I. Định nghĩa:
Cho
1 2 1 2
F ,F coá ñònh vaø FF = 2c (c> 0)
12
M (E) MF MF 2a (a c 0)
II. Phƣơng trình chính tắc:
22
22
7. Tâm sai :
c
e1
a
.
8. m :
1M
2M
MF a e.x
MF a e.x
9. nh hình ch nh:
xa
yb
10. ng chun
2
a
x
2 2 2 2 2
A a B b C Vấn đề 5: Các dạng toán tam giác
Trong mt phng Oxy cho tam giác ABC bit
ng thng ct nhau
12
d ,d
:
1 1 1
1
1 1 1
x x a t
d:
y y b t
và
2 2 2
2
2 2 2
x x a t
d:
y y b t
ViAC (AC có VTCP là
VTPT ca d
2
)
Gii h
1
AC
d
có t m A
Dạng 2:
12
d ,d
là hai đƣờng trung tuyến.
Gi s d
1
: là trung tuyn AM ; d
2
là trung tuyn
BN
Md
1
suy ra t M theo t
1
m CB suy ra t B theo t
1
Dng OH b ti H.
T H, dng thng song song vi a, ct b ti
B.
T B, dng thng song song vi OH, ct a
ti A.
n vuông góc chung ca a và b.
Chú ý: d(a,b) = AB = OH.
a
b'
b
O
H
B
ABài 5: GÓC
1. Góc giữa 2 đƣờng thẳng trong không gian:
Góc ging thng trong không gian là góc hp
bng thi chúng, xut phát
t cùng mm.
Lƣu ý:
00
0 a,b 90
b'
b
Copyright: Tài liệu đại học ©