MATH-EDUCARE

E

AR

UC

ED

TH

MA
Lưu hành nội bộ

Điều chỉnh, bổ sung năm 2011

www.matheducare.com


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

MỤC LỤC

MA

Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM............................................................ 3
Bài 1: Sự đồng biến – nghịch biến của hàm số ................................... 3

Bài 2: Phương trình mặt cầu ............................................................ 45
Bài 3: Phương trình mặt phẳng ........................................................ 49
Bài 4: Phương trình đường thẳng ..................................................... 54
Bài 5: Vị trí tương đối ..................................................................... 61
Bài 6: Tìm một số điểm đặc biệt ...................................................... 64

E

MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN ÔN LẠI ...................................................... 67
Bài 1: Tam thức bậc hai, phương trình, bất phương trình bậc 2 ........ 67
Bài 2: Công thức lượng giác và phương trình lượng giác.................. 71
Bài 3: Hệ thức lượng trong tam giác ................................................ 79
Bài 4: Đạo hàm ............................................................................... 81
Phụ lục ........................................................................................................ 83

2
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
www.matheducare.com
www.matheducare.com

[email protected]


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12

Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

MA

Chú ý: f '  x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên khoảng  a; b  thì hàm số
cũng đồng biến (nghịch biến) trên khoảng đó.
Bài toán 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh f  x   g  x  , x   a; b  ta qua các bước sau:

E

1. Biến đổi: f  x   g  x  , x   a, b   f  x   g  x   0, x   a, b 
2. Đặt h  x   f  x   g  x 

3. Tính h '  x  và lập bảng biến thiên của h  x  . Từ đó suy ra kết quả.
3
: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

Bài toán 3: Tìm điều kiện để hàm số y  f  x  luôn luôn tăng (hoặc luôn
luôn giảm) trên miền xác định
ax 2  bx  c
 a  0
Ax  B

Bài toán 1: Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
1. Tìm miền xác định
2. Tìm f '  x 

UC

3. Tìm các điểm tại đó f '  x   0 hoặc f '  x  không xác định (gọi chung là

x
f'(x)

b

-

+
CĐ

E

f(x)

xo

a

AR

điểm tới hạn).
4. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu đạo hàm.


CT

Bài toán 2: Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
1. Tính f '  x  . Giải phương trình f '  x   0 .
Gọi xi  i  1,2,... là các nghiệm của phương trình.

TH

2. Tính f "  x  và f "  xi 

3. Dựa vào dấu của f "  xi  suy ra kết luận về cực trị của điểm xi theo định
lí sau:
Định lí:

ED

Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai trên khoảng  a; b  chứa điểm
xo và f '  xo   0 . Khi đó:

a) Nếu f "  xo   0 thì xo là điểm cực tiểu.

UC

b) Nếu f "  xo   0 thì xo là điểm cực đại.

Bài toán 3: Tìm điều kiện của m để hàm số đạt cực trị tại một điểm cho
trước
Cách 1: Áp dụng định lí Fec-ma:
Giả sử y  f  x  có đạo hàm tại điểm x  xo .


 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

(khi đó hiển nhiên y’ đổi dấu hai lần khi qua các nghiệm). Nếu hàm hữu tỉ
thì phải khác nghiệm mẫu.
Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
ax 2  bx  c
C 
Ax  B
- Nếu (C) có hai điểm cực trị
- Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là

1. Cho hàm số y 

MA
 ax
y

2



 bx  c '

 Ax  B  '

hay y 

2a
b

MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
* TXĐ: D=R





* Tính y '  4ax 3  2bx  2 x 2ax 2  b ,

MA

x  0
x  0
y'  0   2
 2
 x   b  a  0 (1)
2
ax

b

0


2a
* Ycbt tương đương phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Khi đó 


 AB   x; y 


 AC   x '; y ' 
Bài toán 16: Tìm m để hàm trùng phương có 3 điểm cực trị lập thành một
tam giác đều:
* TXĐ: D=R

khác 0. Khi đó: 

b
 0  *
2a

E

x  0
x  0
* Tính y '  4ax  2bx; y '  0  
 2
2
 x   b  a  0  (1)
2
ax

b

0


b
 y  ? C 
x   
2a


TH

 AB 2  AC 2
Tìm được 3 điểm cực trị A, B, C. Do tam giác ABC đều nên  2
,
2
 AB  BC
từ đó tìm được m và chỉ nhận những m thỏa điều kiện (*).



Bài 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
CỦA HÀM SỐ

ED

* Định nghĩa:

 f  x   m, x  K
- min y  m  
K
x0  K : m  f  x 0 

UC

MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

3. Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó:
M  max f  x  , m  min f  x 
 a; b

 a; b

Bài toán 3: Tìm m để phương trình f  x   m có nghiệm trên D:

MA

Xét hàm số y  f  x  trên D, tìm maxy, miny hoặc tìm tập giá trị của y từ
đó kết luận được m.



Bài 4: TIỆM CẬN

TH

1. Cách tìm tiệm cận:
* Nếu lim y  ( ) thì đường thẳng x  x0 là tiệm cận đứng.
x  x0

* Nếu lim y  y0 thì đường thẳng y  y0 là tiệm cận ngang.
x 

AR


d
 TCÑ : x   c

 TCN : y  a

c
3. Cho M thuộc (C). Tính tích các khoảng cách từ 1 điểm trên (C) đến 2
tiệm cận:

ax  b
2. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
là :
cx  d



E



* Gọi M x0 ; f  x0   C  . Tìm TCĐ, TCX (hoặc TCN)
* d=d(M,TCĐ).d(M,TCN) là một hằng số.

10
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
www.matheducare.com
www.matheducare.com

- Cần lưu ý các tính chất đối xứng trục, đối xứng tâm.
2. Các dạng đồ thị:
a0
x

nghiệm
phân biệt

O

y

a0
x

AR

Phương
trình
y '  0 có hai

UC

a) Hàm số bậc ba: y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0 

O

y

E


TH

MA

có nghiệm
kép

Phương
trình y '  0
vô nghiệm

O

y

O

y

ED

Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

b) Hàm số trùng phương: y  ax 4  bx 2  c  a  0 
a0

Phương
trình y '  0
có 3 nghiệm

x

y

O

12
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
www.matheducare.com
www.matheducare.com

[email protected]


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.
c) Đồ thị hàm số y 

ax  b
 c  0 ; ad  bc  0
cx  d

D  ad  bc  0  y '  0 

D  ad  bc  0  y '  0 

MA


điểm)
Cho hai đường cong  C1  : y  f  x  ,  C2  : y  g  x  .

điểm f  x   g  x  (1)

AR

Để xét sự tương giao giữa  C1  ,  C2  ta lập phương trình hoành độ giao

1.  C1  không có điểm chung với  C2   pt (1) vô nghiệm.

E

2.  C1  cắt  C2  tại n điểm phân biệt  pt (1) có n nghiệm phân biệt.
Đồng thời nghiệm của pt (1) là hoành độ giao điểm của  C1  và  C2  .
Chú ý:
* Nếu phương trình hoành độ giao điểm có dạng Ax 2  Bx  C  0 .Ta biện
luận theo A và  . Tức là:
13
: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012


1. Biến đổi F  x , m   0 về dạng f  x   g  m  .
2. Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số
y  f  x  và đường thẳng y  g  m 

3. Dựa vào đồ thị để biện luận các trường hợp.
điểm có tung độ bẳng g  m 

UC

Chú ý: y  g  m  là đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại

y

1

g(m)

x

y=g(m)

E

y=f(x)

AR

O


k  tan 

- Nếu tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y  ax  b thì k  

TH

1. Giải phương trình f '  x   k tìm x0 là hoành độ tiếp điểm.
2. Tính y0  f  x 0  .

3. Phương trình tiếp tuyến là y  k  x  x0   y0

ED

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết tiếp tuyến tạo với đường
thẳng (  ): y=ax+b một góc bằng  ( 0    90 ):
1. Gọi  ,  lần lượt là góc hợp bởi tiếp tuyến (d), đường thẳng (  )
với chiều dương trục hoành. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, khi đó

UC

ta có:      suy ra:

tan   tan     tan     

tan   tan 
k a

(1)
1  tan  tan 
1  ak


15
: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác
1  0

 . Khi đó 
 g    0

Bài toán 5: Điều kiện để hàm trùng phương y  ax 4  bx 2  c cắt Ox tại 4

MA

điểm phân biệt:
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:

TH

2

 at  bt  c  0(1)
* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân

* Với điều kiện (*) được thỏa ta có 4 điểm có hoành độ lập thành CSC
nên (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt thỏa t2  9t1 (2).

E


b
t1  t2   a (3)
Theo định lí Viét 
t .t  c (4)
 1 2 a
* Từ (2), (3), (4) ta giải ra tham số, chỉ nhận tham số khi m thỏa điều
kiện (*).

16
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
www.matheducare.com
www.matheducare.com

[email protected]


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Bài toán 7: Tìm m để d: y  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB=l:

 x1  | x1  x 2 || x2  x1 |

ED

AB có độ dài ngắn nhất:
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương
trình này về dạng Ax 2  Bx  C  0 (1)

 A  0
* Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là 
(*)
 (1)  0

của (1). Ta có AB 

x

UC

* Gọi A  x1 ; m  , B  x2 ; m  là hai giao điểm của (C) và d; x1 , x2 là nghiệm
2

2

 x1   x1  x2  x2  x1 

 2 '

. Từ
a


* Gọi A  x1 ; m  , B  x2 ; m  là hai giao điểm của (C) và d; x1 , x2 là nghiệm
 
của (1). Ta có OA  OB nên ta có OA.OB  0 . Từ đây tìm được m, chỉ
nhận những m thỏa (*).
Bài toán 10: Tìm m để d: y  ax  b cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng

MA

một nhánh của (C):
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương
trình này về dạng Ax 2  Bx  C  0 (1).

TH


A  0

* Điều kiện ycbt được thỏa là 1  0
với  là nghiệm

 x1     x2     0

của mẫu số và x1 , x2 là 2 nghiệm của (1).
Bài toán 11: Tìm m để d: y  ax  b cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng

ED

hai nhánh khác nhau của (C)
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương

www.matheducare.com

[email protected]


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12
Tiệm cận đứng

Tiệm cận xiên (hay TCN)
* Lập phương trình tiếp tuyến qua I, kết quả là khơng có tiếp tuyến. Từ
đó ta có điều phải chứng minh.

MA

Bài tốn 14: Cho M   C  , tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại A,
B, gọi I là giao điểm hai tiệm cận. CMR M là trung điểm của AB. Tính diện
tích tam giác IAB:





* Gọi M x0 ; f  x0   C  . Phương trình tiếp tuyến tại M là

TH

y  y0  f '  x 0  x  x0   y  f '  x0  x  x 0   y0 .


* Điều kiện để d là tiếp tuyến của (C) 
(1) . Muốn
 f '  x   k
từ M vẽ được 2,3 tiếp tuyến thì (1) có 2,3 nghiệm.

19
: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

Bài toán 17: CMR mọi tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận 1 tam giác có
diện tích không đổi:





* Gọi M x0 ; f  x0   C  . Phương trình tiếp tuyến tại M là
y  y0  f '  x 0  x  x0   y  f '  x0  x  x 0   y0 .

MA


 y   x
 y  x
Bài toán 20: Tìm những điểm trên (C) đối xứng nhau qua gốc tọa độ:

* Gọi A  x 0 ; y0  , B   x 0 ;  y0  là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.



AR

* Thay tọa độ A, B vào phương trình của hàm số ta được hệ phương
trình. Giải hệ này ta được tọa độ điểm cần tìm.
Bài toán 21: Tìm những điểm trên đồ thị hàm nhất biến sao cho tổng
khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận đạt GTNN:



* Gọi M x0 ; f  x0   C  . Tìm TCĐ, TCN.

E

* Tính d  d M,TCÑ  d M,TCN   2 dM,TCÑ .d M,TCN   A . Vậy mind=A.









1
* Gọi   d . Vậy phương trình  : y   x  m . Tìm tọa độ giao điểm
a
I của d và 
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và  . Biến đổi phương

trình này về dạng Ax 2  Bx  C  0 (1).

MA

* Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  là hai giao điểm của  và (C). ta có I là trung
điểm AB. Vậy x1  x2  2 x I . Từ đây tìm được m. Thay vào (1) tìm A

TH

và B.
Bài toán 23: Tìm những điểm trên (C) mà khoảng cách từ đó đến Ox bằng k
lần khoảng cách từ đó đến Oy:





* Gọi M x0 ; f  x0   C  . Tính d M ,Ox  , d M ,Oy








Bài toán 25: CMR đồ thị (C) nhận đường thẳng x  x0 làm trục đối xứng:

* Bằng phép tịnh tiến theo vectơ OI với I  x0 ;0  , hệ trục Oxy thành hệ
 X  x  x 0
 x  X  x 0
trục IXY. Ta có công thức đổi trục: 
(1)

Y  y  0
 y  Y

* Thay (1) vào hàm đã cho ta có Y  F  X  . Kiểm chứng F  X  là hàm

E

chẵn.
Bài toán 26: Tìm tập hợp điểm (quỹ tích)

 x  g  m 
* Tìm tọa độ điểm M  x; y  theo một tham số 
 y  h  m 

21
: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN


Giả sử bài toán tìm giao điểm của đường cong qui về tìm nghiệm của
A  0
(hay

B  0

ED

phương trình f  x   g  x  (1)

Trong đó (1) không nhẩm được nghiệm và tham số m trong (1) có dạng bậc

UC

nhất (tức là trong (1) không chứa m 2 , m 3 ,... ), khi đó:

* Biến đổi (1) về dạng F  x   m (2), ở đây F(x) có thể là hàm phân
thức.

AR

* Lập bảng biến thiên của hàm số y  F  x 

Bài toán 29: Các phép biến đổi đồ thị:

E

* Dựa vào bảng biến thiên ta biện luận số nghiệm của (2), và từ đó suy
ra kết luận đối với (1).
Nhận xét: Phương pháp này cũng đặc biệt có ích cho bài toán tìm m để

Đồ thị hàm số y  f  x  (phần nét liền, nét đứt là phần được xóa)

 

ED

* Từ đồ thị hàm số y  f  x  C  suy ra đồ thị hàm số y  f x

UC

1. Vẽ (C)
2. Xóa phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy và chừa lại phần đồ thị
nằm bên phải.
3. Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở bên phải trục Oy qua Oy, ta có
được đồ thị (C’).
y

AR

1

x

E
  (phần nét liền, nét đứt là phần được xóa)

Đồ thị hàm số y  f x


23

1
an

TH

b) Tớnh cht:
Vi a, b *; m, n ta cú:
* am a n a m n
n

* ab a n b n
n

a mn

am
a m n
an
n

a an
* n
b b

ED



* am



a mn a
m

n

n

a
b



n

a
b

a,khi n leỷ
an
| a |,khi n chaỹn

E

*

n

AR


* log a 1  0
* a

log a b

* log a a k  k  k   

b

c) So sánh logarit:
Cho a,b,c>0, c  1 . Ta có:

TH

*log c a  logc b  a  b
*Neáu c  1thì: logc a  log c b  a  b
*Neáu 0  c  1thì: logc a  logc b  a  b

d) Các quy tắc tính logarit:
* Logarit của một tích:

ED

Cho a, x1 , x2  0, a  1. Ta có: log a  x1 x2   loga x1  log a x2
* Logarit của một thương:

Cho a, x1 , x2  0, a  1. Ta có: log a

UC


- Logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân
25
: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN