Bài tập về Mặt cầu
I. Phng trình ca mt cu:
•

Một số bài toán cơ bản.
1. Lập phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(2, 2, - 3) và bán kính R =3.
2. Lập phương trình mặt cầu (S) biết đường kính là AB với A(6, 2, - 5); B( -4; 0; 7)
3. Lập phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(1, 2, - 1); đi qua điểm A(3; 1; -1)
4. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1, 1, 2); tiếp xúc với mp (P): x + 2y + 2z - 3 = 0.
5. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm: A(1, 4, 0); B( - 4; 0; 0); C( - 2; -2; 0); D( 1; 1; 6)
6. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua 2 điểm A(3; 1; 0), B(5, 5, 0) và tâm thuộc 0x.
7. * Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(6, 3, -4) và tiếp xúc với 0y.
8. * Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2, 3, -1) và cắt đường thẳng (d):



=−+−
=
+
+
−
0843
020345
zyx
zyx
tại 2 điểm A; B sao cho AB = 16.
9. *[ ĐHAN - A- 98]: Cho đường thẳng (d):



=++−

b. (S
1
) có tâm thuộc mặt phẳng (Q): x + y + 2z + 2 = 0
c. Tiếp xúc với mặt phẳng (Q): x + 1 = 0.
11. *( Chùm mặt cầu ): Cho 2 mặt cầu:
(S
1
):
0142
222
=+−−++ zxzyx
và (S
2
):
032
222
=−−++ xzyx

Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua giao tuyến của (S
1
); (S
2
) và đi qua điểm A(2, 1, -1)
• Luyện tập.
12. [ĐHBK- 96]: Cho tứ diện ABCD với A(3, 2, 6); B( 3; -1; 0); C( 0; -7; 3); D( -2; 1; -1)
a. CM tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc nhau.
b. Tính góc giữa đường thẳng AD và mp (ACD)
c. Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
13. [ĐHQG- 96]: Cho điểm I(2, 3, -1) và đường thẳng (d):


16. [ĐHGTVT – 99]: Cho mặt phẳng (P): 16x - 15y - 12z + 75 = 0
a. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ và tiếp xúc với mp (P).
b. Tìm toạ độ tiếp điểm H của (P) và mặt cầu (S).
c. Tìm điểm đối xứng của 0 qua (P).
17. Cho 2 đường thẳng (d
1
):





=
−=
+
=
4
3
4
z
ty
tx
; (d
2
):






0442
222
=−−−++ zyxzyx
, xét v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a
đ
i
ể
m M
đố
i v
ớ
i
m
ặ
t c
ầ
u (S) trong các tr
ườ
ng h
ợ
p:
a. M(1, 1, 0) b. M(1, 1, 2) c. M(3, 5, 0)

=
−
=
tz
ty
tx
21
2
1
và (S):
012
222
=−−++ yzyx
,
b. (d):



=−−
=
+
−
093
0334
zx
yx
và (S):
05242
222
=+−−−++ zyxzyx

ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a 2 m
ặ
t c
ầ
u:
(S
1
):
015462
222
=−+−+++ zyxzyx
(S
2
):
032
222
=−−++ xzyx

• Luyện tập.

22.
[
Đ

ế
t ph
ươ
ng trình (C
1
) là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a (C) trên m
ặ
t ph
ẳ
ng 0xy.
23.
[
Đ
HQG – 1999]: Trong không gian v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c to
ạ

độ
vuông góc 0xyz cho
đườ
ng

ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) ch
ứ
a (C) và có tâm thu
ộ
c mp(Q): x + y + z +3 = 0.
24.
[
Đ
HSPV – 1999]: Cho
đ
i
ể
m I(1; 2; -2) và mp (P): 2x + 2y + z + 5 = 0
a.

L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm I sao cho giao c
ủ

ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (d) và ti
ế
p xúc v
ớ
i (S).
25.
[
Đ
HBK- A- 2000]: Cho chóp S.ABC v
ớ
i S(3,1,-2); A(5; 3; -1); B(2; 3;-4); C(1; 2; 0)
a. CMR SABC có
đ
áy ABC là tam giác
đề
u và 3 m
ặ
t bên là các tam giác vuông cân. các c
ặ
p
c

t k
ỳ
thu
ộ
c m
ặ
t c
ầ
u
tâm D bán kính R =
18
(
đ
i
ể
m M không thu
ộ
c m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC). Xét tam giác có
độ
dài các
c
ạ
nh b
ằ
ng
độ

. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
(S) t
ạ
i
đ
i
ể
m A(0; 0; 5) và bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n:
a.

Có vtcp
→
a
(1; 2; 2)


T
ạ
i
đ
i
ể
m A( 0; 0; 1)
b.
Đ
i qua
đ
i
ể
m M( 1; 1; 1)
c. Ch
ứ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (d):



=−
=
−
−
01

t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng ti
ế
p xúc m
ặ
t c
ầ
u (S) có ph
ươ
ng trình:

02642
222
=−−−+++ zyxzyx
và song song v
ớ
i (P): 4x + 3y -12 z + 1 = 0.
• Luyện tập.
29.
[
Đề
69]: Vi
ế
t ph.tr m.p ti
ế

zyx
và
(d
2
):
0
8
2
1
3
7
−
=
−
+
=
+
zyx

30.
[
Đề
99-
Đ
HNT – 99]: L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ

u (S):
015462
222
=−+−+++ zyxzyx

31.
[
Đ
Hm
ỏ

đị
a ch
ấ
t – 99]: Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
tr
ự
c chu
ẩ
n 0xyz, cho m
ặ
t c
ầ

yx
zyx
(Q): 5x + 2y + 2z -
7 = 0.
a.

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình t
ấ
t c
ả
các m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a (d) và ti
ế
p xúc m
ặ
t c
ầ
u (S)
b*. Vi
ế
t ph

/
c
ạ
nh
đ
áy b
ằ
ng a, chi
ề
u cao b
ằ
ng 2a.
a. Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng AC và m
ặ
t ph
ẳ
ng ( BA
/
C
/
).
b. Xác

A
/
).
2.
Trong hai m
ặ
t ph
ẳ
ng vuông góc (P) và (Q) cho hai tam giác cân ACD và BCD có chung
đ
áy CD =
2x, và các c
ạ
nh khác có
độ
dài b
ằ
ng a. G
ọ
i M và N l
ầ
n l
ượ
t là trung

đ
i
ể
m c
ủ

ườ
ng h
ợ
p
đ
ó tính
độ
dài
đ
o
ạ
n
AB.
3.
Tìm t
ậ
p h
ợ
p nh
ữ
ng
đ
i
ể
m M trong không gian mà t
ổ
ng các bình ph
ươ
ng c
ủ

C
/
D
/
có
đ
áy là hình thoi.Bi
ế
t AC = 2; BD = 4;AA
/
= 4
a.Xác
đị
nh góc và kho
ả
ng cách gi
ữ
a AD
/
và BD.
b.
Đ
i
ể
m M thu
ộ
c c
ạ
nh AA
/

ạ
nh AB = 2; M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a SC
a. Xác
đị
nh góc gi
ữ
a SC và m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABM).
b. Xác
đị
nh giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a SA và BC v

ng 60
0
,

kho
ả
ng cách t
ừ
S
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng ( AMC) b
ằ
ng 2. Tính di
ệ
n tích c
ủ
a tam giác AMC.
7.
Cho hình chóp t
ứ
giác S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thoi có hai
đườ
ng chéo AC = 2, BD = 4; hình
chi

ng tâm c
ủ
a hai m
ặ
t bên (SAB) và
(SAD).
a. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (MNO) // v
ớ
i SC
b. G
ọ
i d là
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua trung
đ
i
ể
m I c

t ABCD. A’B’C’D’ có c
ạ
nh A
/
D
/
= 4; A’B’=AA
/
= 3.
a.
Đ
i
ể
m M
∈
AA
/
, m
ặ
t ph
ẳ
ng (BMD
/
) c
ắ
t hình h
ộ
p ch
ữ
nh

ấ
t.
9.
(
Bài 5 trang 60 SGK HH 12
): Cho hình l
ậ
p ph
ươ
ng ABCD. A
/
B
/
C
/
D
/
có c
ạ
nh b
ằ
ng a. Trên B
/
C
/
và
CD l
ấ
y các
đ

ằ
ng a. G
ọ
i
M và N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a CD và DD
/
; G,

G
/
l
ầ
n l
ượ
t là tr
ọ
ng tâm c
ủ
a các t
ứ

11
. (
Bài 7 trang 60 SGK HH 12
): Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD; P và Q l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m
c
ủ
a AB và CD; Hai
đ
i
ể
m M; N l
ầ
n l
ượ
t chia 2
đ
o
ạ

ệ
n OABC có các tam giác OAB;OBC; OAC là các tam
giác vuông t
ạ
i
đỉ
nh 0; G
ọ
i
α
,
β
,
γ
là các góc l
ầ
n l
ượ
t h
ợ
p b
ở
i các m
ặ
t
ph
ẳ
ng (OBC); (OCA); (OAB) v
ớ
i m

B
/
C
/
D
/
có c
ạ
nh b
ằ
ng a.
a. CMR
đườ
ng chéo A
/
C vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng ( AB
/
D
/
).
b. CMR giao
đ
i
ể

t ph
ẳ
ng ( AB
/
C
/
) và ( C
/
BD )
d. Tìm cosin c
ủ
a góc t
ạ
o b
ở
i hai m
ặ
t ph
ẳ
ng ( DA
/
C
/
) và ( ABB
/
A ).
14
:(
Bài 7 trang 112 SGK HH 12
): Cho hình l

ắ
n nh
ấ
t.
b. CMR MN luôn song song v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng ( A
/
D
/
CB ) khi k bi
ế
n thiên.
c. Khi MN ng
ắ
n nh
ấ
t, CMR MN là
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a AD
/
và DB, và MN
song song v
ớ

đ
i
ể
m M và N sao cho MN
⊥
AB và MN =
3
a
. Tìm t
ỉ
s
ố
M chia
đ
o
ạ
n
th
ẳ
ng AB
1
và t
ỉ
s
ố
N chia
đ
o
ạ
n th

đ
i qua D
1
song
v
ớ
i DA
1
và AB
1
, c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng BC
1
t
ạ
i M. Tính
độ
dài D
1
M.
18
: Cho hình l
ậ
p ph
ươ

đổ
i M và N, sao cho DM = AN = x ( 0
≤
x
≤
a
2 ). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng MN
luôn song song v
ớ
i m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng c
ố

đị
nh.
19
: Cho l
ă
ng tr
ụ


ả
ng cách t
ừ
A
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (AMN) là 2. Tính th
ể
tích c
ủ
a l
ă
ng tr
ụ
.
20:
Cho hình h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t ABCD.A’B’C’D’ c
ạ
nh AB = AD = 2 ; AA’ = 3.
G
ọ

ng (A’DP) .
b. Hình chi
ế
u c
ủ
a D’P trên m
ặ
t ph
ẳ
ng (MNK) c
ắ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) t
ạ
i I, tính
kho
ả
ng cách t
ừ
I
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (A’DP) .
21

m M , N , C , E cùng thu
ộ
c m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng.
22
: Cho hình chóp tam giác S.ABC có
đ
áy ABC là tam giác
đề
u c
ạ
nh a g
ọ
i O là tâm

đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABC, H là tr
ự
c tâm tam giác SBC. Ch
ứ
ng minh OH

ủ
a SB, O là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC, (d) là
đườ
ng
th
ẳ
ng
đ
i qua O và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC). D
ự
ng giao di
ệ
n
đ
i
ể
m K c
ủ

a AB và SC.
25
:(
Đ
HC
Đ
- A- 2002): Cho hình chóp tam giác
đề
u S.ABC
đỉ
nh S, có
độ
dài c
ạ
nh b
ằ
ng a.
G
ọ
i M và N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m các c
ạ
nh SB và SC. Tính theo a di

C
1
D
1
có c
ạ
nh b
ằ
ng a.
a. Tính theo a kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng A
1
B và B
1
D.
b. G
ọ
i M, N, P l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ

ng tr
ụ

đứ
ng ABCD. A
/
B
/
C
/
D
/
có
đ
áy ABCD là m
ộ
t hình
thoi c
ạ
nh a, góc BAD = 60
0
. G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a c

t ph
ẳ
ng. Hãy tính
độ

dài c
ạ
nh AA
/
theo a
để
t
ứ
giác B
/
MDN là hình vuông.
……………………