Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page1
I.Bất đẳng thức Bunhiacơpxki ( BCS ) :

Cho 2 bộ số thực
()
12
; ; ;
n
aa a và
()
12
; ; ;
n
bb b , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có:

()
()
(
)
2
22 222 2
11 2 2 1 2 1 2

nn n n
ab a b a b a a a b b b+++ ≤+++ +++
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

xx
aa
++ =
+
+

đạt được khi
1
1

n
n
x
x
aa
==Hệ quả 2:

Nếu
222
1

n
x
xC++ = (khơng đổi) thì
()
22
11 1

x
aa
⇔==≤III.Bất đẳng thức Bunhiacơpxki mở rộng:
• Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacơpxki cho 3 dãy số thực khơng âm
()
12
; ; ;
n
aa a ;
()
12
; ; ;
n
bb b ;
()
12
; ; ;
n
cc c ta ln có :
()
()
(
)
(

iii
abc
xyz
ABC
===
với 1;2;3i =
Khi đó ta có:
333
123
333
123
333
123
1
1
1
xxx
yyy
zzz
⎧
++=
⎪
++=
⎨
⎪
++=
⎩
và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
111 2 22 3 33
1xyz xyz xyz++≤

++
≤
⎪
⎪
⎪
+
+
≤
⎨
⎪
⎪
++
≤
⎪
⎩ Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được:
111 2 22 3 33
1xyz xyz xyz
+
+≤(đpcm)
Đẳng thức xảy ra
111
111
222
222
333
333
abc

111 2 2 2 3 33
:: :: ::abc abc abc
=
=
• Tổng qt : bất đẳng thức Bunhiacơpxki mở rộng cho rộng cho m dãy số thực khơng âm:

Cho
m dãy số thực khơng âm:
()
12
; ; ;
n
aa a ,
()
12
; ; ;
n
bb b , … ,
()
12
; ; ;
n
KK K
Ta có:
()
(
)
(
)( )
11 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2


Đẳng thức xảy ra khi nào?
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho sáu số 2;3;4
x
yzvà
158
;;
x
yz
ta được:
()
()()()
2
2
2
222
12584 1 5 8
49. 4 9 16 2 3 4Txyz x y z
xy z
xyz
⎡
⎤
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎡⎤
⎢
⎥

xy z
⇒=+ + ≥
Đẳng thức xảy ra khi
1
2
158
5
234
3
4 9 16 49
2
x
xyz
y
xy z
z
⎧
=
⎪
⎧
⎪
==
⎪⎪
⇔=
⎨⎨
⎪⎪
++ =
⎩
=
⎪

⎝⎠
ta có:
2
22
11 11
1. 1 3. 10 5
22 22
yxy
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
−+−≤ −+−≤
⎢⎥
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦

()
2
32 5xy⇒+− ≤
32 5xy⇒+ −≤
325xy⇒+ ≤+
Đẳng thức xảy ra khi
15
210
135
210

Hướng dẫn giải
Gọi
222
1111
A
ab bc ac
abc
=+++
++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
(
)
222
222
1111
;;;
;3 ;3 ;3
ab bc ca
abc
abc ab bc ca
⎛⎞
⎜⎟
++
⎝⎠
++

Ta có:
()
()

82xyz
xyz
++ ++ +≥

Hướng dẫn giải
Gọi
222
222
111
Sx y z
x
yz
=+++++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
()
1
1; 9 ; ;x
x
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Ta có:
22
22
911
181. 82.xxx
x
x


Hay
() ()
111
.82 81 9 80Sxyz xyz
xyz
⎛⎞
≥+++++−++
⎜⎟
⎝⎠

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page5()
111
2.9.3. 80 162 80 82xyz
xyz
⎛⎞
≥++++−≥−=
⎜⎟
⎝⎠

Vậy
222
222

111
;;xyz
abc
===
thì
giả thiết
,, 0 ;; 0
1
abc xyz
ab bc ca abc x y z
>>
⎧⎧
⇔
⎨⎨
++= ++=
⎩⎩

và (đpcm)
22 22 22
2223xy yz zx⇔+++++≥
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
(
)
()
2
22 222
323
x
yxyyxyy+=++≥++

Đẳng thức xảy ra khi
1
3
xyz===
Với
1
3
xyz=== thì
3abc===Bài 6 : Chứng minh:
()
111 1abccab−+ −+ −≤ + với mọi số thực dương
;; 1abc≥

Hướng dẫn giải
Đặt
222
1;1;1axbycz−= −= −=
Với ; ; 0.xyz> Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
()()()
222
1111xyz z x y
⎡
⎤
++≤ + + ++
⎣
⎦



Bài 7 : Cho ; ; 0abc> và thoả
1abc =
.Chứng minh:

()()()
333
1113
2
abc bca cab
++≥
+++

Hướng dẫn giải
Đặt
111
;;xyz
abc
===
1; 0; 0; 0xyz x y z⇒=>>>
Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau : A=
222
3
2
xyz
yz zx xy
+
+≥
+++


Đẳng thức xảy ra khi 1
x
yz===
Với 1
x
yz===thì 1.abc=== Bài 8 : Cho ; ; 0abc> .Chứng minh:
()() ()() ()()
1
abc
a abac b bcba c cacb
++≤
++ + ++ + ++ +

Hướng dẫn giải

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
(
)
(
)
;;;ab ca
Ta có:
()
()() ()()
2
ac ab a b c a ac ab a b c a+≤++⇒+≤++
()()

++
++ +
(3)
Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được:
()() ()() ()()
1
abc
a abac b bcba c cacb
++≤
++ + ++ + ++ +

Đẳng thức xảy ra khi
abc==.

Bài 9 : Cho ; 0ab> và thoả
22
9ab+=.Chứng minh :
32 3
32
ab
ab
−
≤
++

Hướng dẫn giải
Ta có:
22
9ab+=


32 3
32
ab
ab
−
≤
++

Đẳng thức xảy ra khi
22
;0
3
9
2
ab
ab ab
ab
>
⎧
⎪
⎪
+=⇔==
⎨
⎪
⎪
=
⎩

Bài 10: Cho ; ; ;abcddương tuỳ ý.Chứng minh :
111

;
pq pq
p
qpbqcpqpcqa
bc ca
⎛⎞ ⎛⎞
+≤+ + +≤+ +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức ta có :
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page8

() ()
2
111 111
pq pq
p
aqb pbqc pcqa abc
⎡⎤
⎛⎞
+++≤+++
⎜⎟
⎢⎥
+++
⎝⎠

+++
+++≥
++ ++ + + ++

Hướng dẫn giải
Đặt
3333
abcd
P
bcd cd a bda abc
=+++
++ ++ ++ ++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
()()()()
()
3333
;;;; ;;;
abcd
ab c d bc d a cd b a d a b c
bcd cd a bd a abc
⎛⎞
++ ++ ++ ++
⎜⎟
⎜⎟
++ ++ ++ ++
⎝⎠

Ta có:
()

()
(
)
2
222 2 222 2
222 2
3
3
abcd Pabcd
abcd P
+++ ≤ +++
⇔+++≤

Vậy
33332222
3
a b c d abcd
bcd cda bda abc
+++
+++≥
++ ++ ++ ++Bài 12 :
Cho các số dương ;;abc thỏa a + b + c = 1 . Chứng minh : 1
111
abc
ba cb ac
+
+≥

⎣⎦
⎡⎤
≤++ +++++
⎡⎤
⎣⎦
⎢⎥
+++
⎣⎦

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page9

()
()
2
3
abc
A
ab bc ca
++
⇔≥
++

Ta lại có:
()( )
2
3abc abbcca++ ≥ + +

+= += +
⎧
⎪
== ⇔===
⎨
⎪
++=
⎩

Bài 13 : Giả sử các số thực ;;;
x
yztthoả mãn điều kiện:
(
)
(
)
22 22
1ax y bz t
+
++= với ;ablà hai số dương cho
trước. Chứng minh:
()()
ab
xzyt
ab
+
++≤
Hướng dẫn giải
Do ; 0ab> nên từ giả thiết ta có:
()()

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
(1)
Tương tự :
()()
22
2
y
t
yt ba
ba
⎛⎞
+≤+ +
⎜⎟
⎝⎠
(2)
Cộng từng vế (1) và (2) ta được:

()()()
22 22
22
x
zyt ab
xz yt ba
baba ab
⎛⎞
+
+++≤+ +++ =

=
⎪
⎧
⎪⎪
⇔= ⇔
⎨⎨
==
⎪⎪
⎩
+=+
⎪
⎪
⎩www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page10

Bài 14 : Cho các số thực dương ;;;
x
yztthoả mãn 1.xyzt
=
Chứng minh:
()()()()
3333
11114
3

⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
++ ++ ++ ++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

3333
4
3
abcd
bcd cda dab abc
bcd adc abd abc
⇔+++≥
++ + + ++ ++

()()()()
333 3
4
3
abcd
abcd bcda cd ab dabc
⇔+++≥
++ + + ++ ++
(vì
1abcd =
)
2222
4
3
abcd
bcd cd a d ab abc

+++
(1)
Áp dụng BĐT Cauchy với 2 số dương:
2 ; 2ab ab cd cd+≥ +≥
Suy ra
()
2abcd ab cd+++ ≥ +
Lại áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương
;ab cd ta có:
4
222ab cd abcd abcd+≥ = =
(vì
1abcd
=
) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
4
3
S ≥
Vậy
333 3
11114
11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1
3
bc cd bd ac cd ad ad bd ab ab bc ac
abc d
+++≥
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
++ ++ ++ ++
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟

++=.Chứng minh :

Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
(
)
2
2222
1234 1 2 3 4
14
x
xxx xxxx= +++ ≤ +++
2222
1234
1
4
xxxx⇒+++≥
(1)
•
()
(
)
2
2222 3 3 3 3
1234 11 22 33 44


+++
(2)
•
()
2
3333
1234
x
xxx+++

()
2222
11 2 2 33 4 4

x
xxxxxxx=+++

()()
22224444
12341234
x
xxxxxxx≤ +++ +++

4444 3333
1234 1234
3333 2222
1234 1234
x
xxx xxxx
x

()
()()
()
(
)
(
)
22
22 22 22 22
224ab ab abab ab ab+≤ +⇔+ +≤ +≤ + (1)

()
()
()
44
22
1
4
ab
ab
aba b
+
⇔≥+
++

Mặt khác:
()
()
44
22

xxxx
xxxx
+++
≥
+++
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page12

Ta có:
()()
()
()
()()
()
()
(
)
(
)
()
()
(
)( )
()
()
44 44 44 44 4 4 4 4 44 44
22 22 2 2 22


(Trích đề thi Olympic Tốn Quốc Tế lần thứ 42, năm 2001)
Hướng dẫn giải
Đặt
222
888
abc
A
abcbaccab
=++
+++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki hai lần ta được:
()
2
2
222
444
222
444
222
222
333
8 8 8
888
. 8 8 8
888
. . 8 . 8 . 8
abc
abc aa bc bb ac cc ab

3
333
3abc a b c abbcac++ = + + + + + +
Áp dụng BĐT Cauchy với hai số dương ta có:
2 ; 2 ; 2a b ab b c bc a c ac+≥ +≥ +≥
Suy ra:
()()()
8a b b c a c abc+++≥

() ()()()
3
333 333
324abc a b c abbcac a b c abc⇒++ =+++ + + +≥+++ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
()()()()
232
abc A abcabc Aabc++ ≤ ++ ++ = ++
Do đó
1
A
≥
, nghĩa là
222
1
888
abc
abcbaccab
++≥
+++


2222
1
x
yzt⇔≤ + + + (1)
Đặt: ; ; ;
X
y z tY x z tZ x y tT x y z=++ =++ =++ =++
Khơng mất tính tổng qt giả sử:
x
yzt≥≥≥
2222
x
yzt⇒≥≥≥và
3333
x
yzt≥≥≥
và
y
zt xzt x yt x yz X Y Z T++≤++≤++≤++⇔ ≤ ≤ ≤
1111
X
YZT
⇒≥≥≥
Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy số sau:
3333
1111
x
yzt
X
YZT

⎨
≥≥≥
⎩()
()
()
3333 2222
1
4
x
yzt xyztxyzt+++ ≥ +++ +++
Mặt khác:
()()
11
33
x
yzt xyzxytxztyzt XYZT+++= +++++++++++ = +++

()()
()
3333 2222
11
.
43
x
yzt xyzt XYZT⇒+++≥ +++ +++ (3)
Từ (2) và (3) rút ra:
()

XYZT XYZT
XYZT XYZT
XYZT
XYZT
+++≥
+++≥
⎛⎞
⇒+++ +++≥
⎜⎟
⎝⎠

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page14

Vậy
3333
11
.1.16
48 3
xyzt
XY ZT
+++≥ =
Thay
;;;
X
YZTta được kết quả:
3333

aCaCaCbb b== = ====
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
(
)
()
()
2
12 12
1 1 1
nn
nn n nn n
CC C CC C+++ ≤+++ +++ (1)
Theo nhị thức Newton ta có:
()
1
n
n
kknk
n
k
ab Cab
−
=
+=
∑

Cho
1ab==.Ta có:
01 1
2 2 1

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
2
11 1
nn n
i
ii i
ii i
i
x
x
yx
y
== =
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
≥
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
∑∑ ∑

với
()()( )
(
)
1234 1234
4; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 3 ; 2 3 ; 2 3 ; 2 3n x x x x abcd y y y y b c dc d ad a ba b c== =++++++++

⇒VT


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page15

Hướng dẫn giải
Đặt
444
222
123
;;
abc
xxx
bc ca ab
===
++ +
và
() () ()
2
22 22 2
123
;;abc ybca ycab y
+
=+=+=
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có cho các số
123
;;
x

22
abc
abc
bc ca ab
abc bca cab
++
++≥
++ +
++ ++ +

Để chứng minh được bài tốn ta cần chứng minh:
()
()()()
2
333 2 2
2 abc abcbcacab++ ≥ ++ ++ + (**)
(**)
332 2 332 2332 2
0ababbabcbcbccacaca⇔+−−++−−++−−≥

()()()()()()
222
0ab ab bc bc ca ca⇔− ++− ++− +≥
(***)
Bất đẳng thức (***) là đúng ⇔ (**) là đúng – Bài tốn đúng.
Vậy
444333
2
abcabc
bc ca ab

1
1
k
n
k
k
i
n
x
xn
=
⎛⎞
+
+≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑

Hướng dẫn giải
Theo Bunhiacơpxki:
2
22
11 11
11 1
.
kk k
nn nn
kkk
kk kk

11
k
kk
k
nn n
i
n
kk k
ii
i
k
n
x
nn
xx
x
== =
=
⎛⎞
⎛⎞
≥⇒ ≥ =
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∑∑ ∑
∑

Vậy


Bài 1:
Cho
;;; 0abcd>
và thỏa
()
3
22 22
cd ab+= + .Chứng minh:
33
1
ab
cd
+
≥
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page16

Bài 2: Cho ;;; 0abcd> .Chứng minh:
11416 64
abc d abcd
+++ ≥
+
++

Bài 3: Cho ;;abclà 3 số dương và
222

111
3
xx yy zz−+ −+ −≤.Chứng minh: 4xyz
+
+≤
Bài 6: Cho ; ;abclà 3 số khơng âm.Chứng minh:
222
333
ab bc ca
abc
+++
++≥++

Bài 7: Cho 3 số dương ; ;abccó
1abc =
.Chứng minh:
22 22 22
3
2
bc ca ab
ab ac bc ba ca cb
+
+≥
+
++

Bài 8: Cho 3 số dương ;;
x
yzcó 1
x

zxy
++≥++

Bài 11: Cho 1; 1ab≥≥.Chứng minh:
22 2
log log 2 log
2
ab
ab
+
⎛⎞
+≤
⎜⎟
⎝⎠

Bài 12: Cho ; ; 0abc> .Chứng minh:
()
()
2
333
111
abc abc
abc
⎛⎞
++ ++ ≥++
⎜⎟
⎝⎠

Bài 13: Cho ; ;abc∈  .Chứng minh:
() () ()

++−−+
. Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài 16: Cho
12
; ; ;
n
aa alà các số thực thoả mãn
22 2
12
3
n
aa a
+
++ =.Chứng minh:
12
2
23 1
n
a
aa
n
+++ <
+

Bài 17: Cho ; ; ; ; 0abc pq> .Chứng minh:
3abc
p
bqc pcqa paqb pq
++≥
+

A
BCΔ
thoả mãn hệ thức:
333 2
2( )
9
a b c abc
br cR cr aR ar bR R
++
++=
++ +
(1).CM
A
BCΔ
đều
Hướng dẫn giải
Để đơn giản ta đặt:
0
0
0
xbrcR
ycraR
zarbR
=+ >
=+ >
=+ >
(2)
vậy (1)
333 2
2( )

()
()
abc abc
x
y z ab bc ca r R
++
++ ≥
++ +
(theo 3) (4)
mặt khác ta ln có (Cauchy):
222
a b c ab bc ca++≥ ++

nên (4):
333 2222 222
222
()
()()
a b c abc abc
x y z a b c rR rR
++ ++
++≥ =
++ + +2
()
3( )
abc
rR

www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page18

dấu “=” xảy ra khi
222222
,,
abc
Rr
y
yz yx z
abbcca
x
zy zy x
⎧
⎪
==
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪
===
⎪
⎩

⇔
A


từ (1)và(2):
22 22 22
4
143
22 22 223 222
AB BC C A ABC
tg tg tg tg tg tg tg tg tg+++≥≥
222 222
111 111 83
222 222 222
ABC ABC ABC
tg tg tg tg tg tg tg tg tg
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⇔+ + + +− − − ≥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

222
222 222
111 222
222 222
1 3
111 111
222 222
ABC ABC
tg tg tg tg tg tg
ABC ABC
tg tg tg tg tg tg
−−−

cbacbacbacba
cba
c
bac
b
acb
a
−+−+−+
−+−+−+
22;22;22;
22
;
22
;
22

Ta có:
()()()
[]
(
)
2
222222. cbacbacbacbacbaT ++≥−++−++−+
Sau đó dùng biến đổi tương đương chứng minh:
(a + b+ c)
2
≥ 4ab +4bc +4ca –a
2
–b
2

Hướng dẫn giải
Giả sử S
1
= S
AMN
Ta có: AMNΔ đồng dạng ABCΔ với tỉ số đồng dạng là:
ha
rha 2
−
với r là bán kính đường tròn nội tiếp và h
a
là
đường cao kẻ từ đỉnh A.
Ta có:
2
2
1
1
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠


Tương tự:
p
b
S
S
−=1
2
;
p
c
S
S
−=1
3

Do đó:
13
321
=
++
−=
++
p
cba
S
SSS

Áp dụng BĐT Bun ta có:
S =

()
2
123
SSSS=++ b)
123
1
3
SSS S++≥

Hướng dẫn giải
a) Ta có: QMPΔ đồng dạng
B
ACΔ (tỉ số
M
P
AC
).
Suy ra
2
1
1
S
S
M
PMP
SAC AC
S
⎛⎞
=⇒=
⎜⎟

2
123 123
SSSSSSSS=++⇒= ++
b) Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
()
()
2
222
123 123
123
1. 1. 1. 1 1 1
1
Suy ra
3
SSSS SSS
SSS S
=++ ≤++++
++≥

Dấu “=” xảy ra khi
123
SSS== ⇔ Q là trọng tâm ABC
ΔBài 6 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác.Chứng minh:
abc
abc
bca cab abc

++≥ + +
⇔+++++≥ +++++

Dễ thấy
()
(1) 2VT xy yz zx≥++ (2)
Theo BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
()
()
()
2
6
6
(2) 2 3 (3)
xy yz zx xyz
xy yz zx xyz
VT xyz x y z
++ ++ + ≤ ++
⇒+++++≤ ++
≤++

Rõ ràng ta có
()
()()
()
22 22 22
2
3
3 (4)

''
''
''
AB AC x a y z
B
ABCY bzx
CA CB Z c x y
== =+
⎧⎧
⎪⎪
===>=+
⎨⎨
⎪⎪
== =+
⎩⎩

vậy: a
2
b(a – b) + b
2
c(b – c) + c
2
a(c – a) ≥0
<=> (y + z )
2
(z + x) (y – x) + (z + x)
2
(x + y) (x – y) + (x + y)
2
(y + z) (x - z) ≥ 0

++
++≥ =++
++

vậy (*) đúng ( đpcm ) .
Bài 8 : Với a; b; c là độ dài 3 cạnh của ∆. CMR :
4916
26
ab
bca acb abc
+
+≥
+− +− +−

Hướng dẫn giải
Đặt:
4916ab c
P
bca acb abc
=++
+− +− +−

Ta có:
22 2
24. 9 16
ab c
P
bca acb abc
=++
+− +− +−

⎣⎦

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki, ta có:
()
2
2
234
81 2 3 4 . .bca acb abc
bca acb abc
⎡⎤
=++ = +−+ +−+ +−
⎢⎥
+− +− +−
⎣⎦

()()()
4916
bca acb abc
bca acb abc
⎡⎤
≤+−++−++− + +⎡⎤
⎣⎦
⎢⎥
+− +− +−
⎣⎦

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn


=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Theo ĐBT Bunhiacơpxki. Ta có
2
222 22
22
16 9 4 3
MN ( ) . . 49mn mn m n
mn m n
⎛⎞⎛ ⎞
=+= + + ≥ + =
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠

=> MN ≥ 7
Dấu “=” xảy ra <=>
22
43
::
16 9
127;21
0; 0
mn
mn
mn
mn
mn
⎧

16
;0
M
x
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
và
0
9
0;
N
y
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

()
22
22 2
2
2
00
22 22
00 00
16 9 16 9
43 49
16 9
xy
MN

Trong ∆ABC ta có:
222 2 2 2
43( ) ( ) ( )abc s ab bc ca++≥ +− +− +−

Thật vậy:
(2)
22222 2
() () ()43abc bca cab s
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⇔−− +−− +−− ≥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦4( )( ) 4( )( ) 4( )( ) 4 3
p
apb pbpc pcpa s⇔− −+− −+− −≥

3
x
yyzzxs⇔++≥ với
0
0
0
xpa
ypb
zpc
=−>
⎧
⎪
=−>

abc
p
qr
pr r p pq
⎛⎞
≤++ ++
⎜⎟
++ +
⎝⎠

222222
22()
pq r
a b c abc
qr r p pq
⎛⎞
≤+++++
⎜⎟
++ +
⎝⎠

222 22222
2()2()
pq r
a b c abc a b c
qr r p pq
⎛⎞
⇒++≥++−++
⎜⎟
++ +


Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page24

Chú ý:

+ Qua phép chứng minh trên, ta có kết quả “đẹp” trong ∆ABC
222 2 2 2
43( ) ( ) ( ) 43abc s ab bc ca s++≥ +− +− +− ≥

+ Lấy p = q = r > 0 ta có BĐT quen thuộc
222
43abc s++≥ (Đề thi Olympic tốn quốc tế lần 3)
+ Lấy a = b = c. ta có BĐT Nesbit:
3
2
pq r
qr r p pq
++≥
++ +
(3)
Dấu “=” xảy ra khi p = q = r > 0
+ Nếu nhân 2 vế của (3) cho p + q + r > 0 ta được
22 2
2
p
q r pqr
qr r p pq
++
++≥
++ +

CDΔ . Ta có:
()
2
22
991
.
16 16 9
a
GA AG AB AC AD== ++
uuur uuur uuur(
)
()
(
)
(
)
()()
222
222
222 222
3
16
3
16
AB AC AD AC AD AD AB AB AC
AB AC AD CD DB BC
++ −− −− −−


22 2 22222 2
4OA OB OC OD GA GB GC GD OG+++ =++++
Suy ra:
22 2 2
22
4
GA GB GC GD
ROG
+++
−= (1)
Từ bổ đề 1 suy ra
22 2 2 2 2 2222
44
GA GB GC GD AB AC AD CD DB BC+++ +++++
= (2)
Từ (1)(2) suy ra điều phải chứng minh
Trở lại việc giải bài tốn trên
Ta có
22 2 22 2

22
OA GA OG GA R OG
RGA OAGA OAGA
+− +−
=≥= =
uuuruuur

Từ đó theo các bổ đề 1 và 2, ta có


R
GC CD CA CB
R
GD DA DB DC
⎧
+≥++
⎪
⎪
+≥++
⎨
⎪
+ ≥++
⎪
⎩

Suy ra
()
2
4
6
GA GB GC GD R AB AC AD BC CD DB++++≥ +++++
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tứ diện
ABCD là đều


AMB+ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2 : Cho ABCΔ nội tiếp đường tròn bán kính R; ; ;
B
CaCAbABc
=
==.Gọi x;y;z lần lượt là khoảng cách từ
M thuộc miền trong của
ABCΔ đến các cạnh BC;CA;AB.Chứng minh:
222
2
abc
xyz
R
++
++≤
Bài 3 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
222
222
abc
bca
P
abc
bca
++
=
++

Bài 4 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác và
2
abc