Nguyễn Trường Sơn Bài tập giới hạn
1-Tìm giới hạn dạng xác định
Bài 28: Tính các giới hạn sau:
1)
2
1
lim( 2 1)
x
x x
→−
+ +
2)
1
lim( 2 1)
x
x x
→
+ +
3)
( )
2
3
lim 3 4
→
−
x
x
4)
1
1
lim

1
x (2x 1)(x 3) 2x 1
1
x
→ → → →
→
−
− + +
 
− −
 ÷
− − −
 
+
2-Tìm giới hạn dạng
0
0
của hàm phân thức đại số
Bài 29: Tính các giới hạn sau
( )
( ) ( )
2 2 4
2
2 2
x 1 x 3 x 2 x 1
3 3
3
2
3
x 1 x 1 x 0 h 0

− − + −
3 2 3
2 2
1
x 3
x
2
x 4x 4x 3 8x 1
; 11)lim ; 12)lim ;
3x 2 x 3x 6x 5x 1
→
→
− + − −
+ − − +
( ) ( ) ( )
4 3 2 2 3
4 3 2 2 4
x 1 x 3 x 1
3 100
3 50
x 2 x 0 x 1
2 n
x 1 x 1
2x 5x 3x x 1 x 5x 6 x 3x 2
13)lim ; 14)lim ; 15)lim ;
3x 8x 6x 1 x 8x 15 x 4x 3
1 x 1 2x 1 3x 1
x 3x 9x 2 x 2x 1
16)lim ; 17) lim ; 18)lim ;
x x 6 x x 2x 1

22)lim ; 23)lim ; 24)lim ;
x a x
x a
3 x 1
1 sin 2x cos2x 2
25)lim ; 26)lim ; 28)lim cotx .
x 2 2 1 sin 2x cos2x sin 2x
→
−
→ → →
→ → →
−
 
−
 ÷
− − −
 
− − −
− + − +
−
−
− −
− −
 
−
 ÷
− − + −
 
3-Tìm giới hạn dạng
0

→ → → →
→ → →− →
→ →
− − − − − −
− −
− +
− − − + + + + + + −
+
− + − + −
+ − − −
−
7
4
x 1 x 1
3
n m n
n 1
n
x 0 x 1
4x 3 1 2 x 1
m ; 12)lim ;
x 1 x 1
1 x 1 x 1 (1 x)(1 x) (1 x)
13)lim ; 14)lim ; 15)lim .
x (1 x)
x 1
→ →
−
→ →
− − − −

n
2
3
4
x 7 x 0 x 1
x 2009 1 2x 2009
2 5 x x 7 1 2x 1 3x 1 4x 1
5)lim ; 6)lim ; 7)lim ;
x 1 x x
1 x 1 x 1
x 2 x 20 2x 1 x 3x 1
8)lim ; 9)lim ; 10)lim .
x
x 9 2 x 2 x x 1
→ → →
→ → →
+ − −
− − + + + + −
−
+ α +β −
+ − + − + − +
+ − − + − +
→
− − +
−
3
1
2 2 1. 5 3
11) lim
1

Bài 33: Tính các giới hạn sau
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
→+∞ →−∞ →−∞
→+∞ →+∞ →−∞
 
− + +
− + − + + +
 
−
− + − +
 
+ +
 
+ + + + + + − +
+ +
+ +
+ +
2
5 3 2 2
5 4 2 2
2
100 100 100 2 3
2
100 10
2 2
2 1 3 1
6 7 4 3 3 2

− + − + − + + + +
−
+ − − + +
2
2 2
5
2
2 2
2 2 2
;
1 2
1 2 3 4 5
1
7) lim ; 8) lim ; 9) lim ;
2 1
5 1
3 1
4 1 2 1 5 3 1 4 5 2 1
10) lim ; 11) lim ; 12) lim ; 13) lim ;
1
4 3 1 3 2 7
x x x
x x x x
x
x x x x x
x x x x x
x x
x
x x
x x x x x x x x

+
4 2 2 2
x x x
2x x 1 x x 5 x x 1
; 23) lim ; 24) lim ; 25) lim .
1 2x 2x 1 x
→+∞ →−∞ →−∞
+ − − + + +
− −
7-Tính giới hạn dạng
∞ − ∞
của hàm số
2
Nguyễn Trường Sơn Bài tập giới hạn
Bài 34: Tính các giới hạn sau
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

)
( ) ( )
( )
(
)
(
)
(
)
n n
2 2
2 2
n
x x
n
1 2 n
x x x
2 2 2
x x x
2
x
x x 1 x x 1
11) lim x( x 2x 2 x x x); 12) lim ;
x
13) lim (x a )(x a ) (x a ) x ; 14) lim x x x ; 15) lim x a x b x ;
16) lim 2x 5 4x 4x 1 ; 17) lim x 4x 9 2x ; 18) lim x x 1 x ;
19) lim x 3
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞ →−∞
→−∞ →−∞ →+∞

x 1
x x x 1 2x 1
1) lim x 2 ; 2) lim x 1 ; 3) lim x 2 ; 4) lim x 1 ;
x 4 x 1 x x x x 2
+ +
→+∞ →−∞
→
→ −
− +
− + + +
− − + + +
( )
( )
3
2
3 5 2
x x x 2
3x 1 2x x 3 x 4
5) lim 1 2x ; 6) lim x ; 7)lim .
x 1 x x 3 4 x
x 2
→+∞ →−∞ →
+ + +
−
+ − + −
−
VIII. Giới hạn một bên
Bài 36: Dựa vào định nghĩa giới hạn một bên, tìm các giới hạn sau
( )
x 1 x 5 x 3 x 1

x 4 x 1
9) lim ; 10)lim ; 11)
x 1
x 1 2 x
+ − − +
+ − − +
− +
→ → →
→ −
→ − → − → − → −
→ →
+ − − + + +
− −
− +
+ +
+ + + +
+ + + +
− −
−
+ −
2
2
2 3
x 3
x 1
1 x x 1 9 x
lim ; 12) lim
2x 7x 3
x x
−


=

− ≥ −


3
2
x víi x<-1
f x
2x 3 víi x 1
. Tìm
( ) ( ) ( )
− +
→
→ →
x 1
x 1 x 1
lim f x , lim f x vµ limf x
(nếu có).
Bài 40: Cho hàm số
( )

− ≤

=

+ > −



. Tìm
( ) ( ) ( )
− +
→
→ →
x 2
x 2 x 2
lim f x , lim f x vµ lim f x
(nếu có).
Bài 42: Cho hàm số
( )

− ≤


= =


− >


2
2
9 x víi -3 x<3
f x 1 víi x 3
x 9 víi x 3
. Tìm
( ) ( ) ( )
− +
→

khi
± ±
→ →x 1 vµ x 3 .
Bài 44: Ta gọi phần nguyênn của số thực x là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x và kí hiệu nó là [x]. Chẳng hạn
[5]=5; [3,12]=3; [-2,587]=-3. Vẽ đồ thị hàm số y=[x] và tìm
[ ] [ ] [ ]
− +
→
→ →
x 3
x 3 x 3
lim x , lim x vµ lim x
(nếu có).
IX. Một vài qui tắc tìm giới hạn
Bài 45: Tìm các giới hạn sau
( )
33 2 2 3
x x x
3
2 2 3
3 2
x x x
1) lim 3x 5x 7 ; 2) lim 2x 3x 12; 3) lim 1000 x ;
1
4) lim ; 5) lim 3x 5x; 6) lim x 3x ;
2x x 3x 5
→−∞ →+∞ →−∞
→−∞ →+∞ →+∞
− + − + −
− −

→ →
−
− − −
+ − −
−

Bài 47: Tìm các giới hạn sau
3 4 4 2
2 2
x x x x
x 5 x x 2x x 1 x 5x 2
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim .
x 1 1 2x x x 1 2 | x | 1
→+∞ →−∞ →−∞ →−∞
− − − − − +
+ − + + +
Bài 48: Tìm các giới hạn sau
( )
( )
( )
( )
( )
4
2 3
2
2
x 1 x 1 x 1
x 2
1 2x 3 5 1 1 1 4x 3
1)lim . ; 2)lim ; 3)lim . ; 4) lim .

∈¡
0
x .
( ) ( )
( ) ( )
 
− + −
≠ ≠
 
= =
− −
 
 
 

≠

= =



2 3
x 3x 2 x 1
víi x 2 víi x 1
2)f x t¹i ®iÓm x=2; 3)f x t¹i ®iÓm x=1;
x 2 x 1
1 víi x=2 2 víi x=1
1
víi x 0
4)f x t¹i ®iÓm x=0; 5)f x | x | t¹i ®iÓm x=0;

( )

−
≠

=
+


−

2
x 4
víi x -2
8)f x t¹i ®iÓm x=-2.
x 2
4 víi x=-2
Bài 50: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=1
( ) ( )
+
 
− + −
≠
 
= =
−
 
−
≠
 

f x víi x 3x 0 .
x 3x
b víi x=3
Bài 52: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước
( ) ( )
( ) ( )
 
+ ≤ + <
= =
 
− + ≥
 


− ≤
 
= =
 
− ≥




2 2
2
2
3
x 1víi x 1 x 4 víi x 2
1)f x t¹i ®iÓm x=1; 2)f x t¹i ®iÓm x=2;
x 1 víi x>1 2x 1 víi x 2

−
=


=

.
a)Tìm a để hàm số liên tục trái tại x=1; b)Tìm a để hàm số liên tục phải tại x=1;
c)Tìm a để hàm số liên tục trên
.R
Bài 55: Tổng của hai hàm f(x)+g(x) có nhất thiết phải gián đoạn tại điểm x
0
đã cho hay không nếu:
a)Hàm f(x) liên tục, còn hàm g(x) gián đoạn tại điểm x
0
. b)Cả hai hàm f(x) và g(x) gián đoạn tại điểm x
0
.
Nêu ví dụ tương ứng.
XI. Hàm số liên tục trên một khoảng
Bài 56: Chứng minh rằng:
a)Hàm số f(x)=
4 2
x x 2− +
liên tục trên
.R
b)Hàm số
( )
2
1

liên tục trên
.R
b)Hàm số
( )
+
=
3
x xcosx+sinx
g x liªn tôc trªn .
2s inx+3
R
c)Hàm số
( )
( )
+
= ≠ π ∈
2x 1 s inx-cosx
h x liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x k , k .
xs inx
R
Bài 59: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+
= = − = + + = +
+ +
2
2
x 1
a)f x ; b)f x 3x 2; c)f x x 2 x 3; d)f x x 1 sinx.
x 7x 10

  
−
≥ ≥

 


− +
+ ≤
 
≤ ≤

= = =
−
 
≤ + ≤ ≤


≥

2 2
2 2
2
2
2
2
a x víi x 2
x x khi x 1 x víi x<1
1)f x ; 2)f x ; 3)f x ;
1 a x víi x>2

mx nÕu x 1
2
trên
¡
.
XII. Ứng dụng hàm số liên tục
Bài 63: Cho hàm số f liên tục trên [0; 1]. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực c thuộc [0; 1] sao cho
f(c)=c.
Bài 64: Chứng minh rằng:
1)Phương trình
+ − =
5
x x 1 0
có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1).
2)Phương trình sinx-x+1=0 có nghiệm.
3)Phương trình
+ + =
3 2
x 1000x 0,1 0
có ít nhất một nghiệm âm.
4)Phương trình
− − =
3 2
1
x 1000x 0
100
có ít nhất một nghiệm dương.
5)Phương trình
− + − =
4 2

luôn có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c.
12)Nếu 2a+3b+6c=0 thì phương trình
2
atan x+btanx+c=0
có ít nhất một nghiệm trên khoảng
k ; k , k .
4
π
 
π + π ∈
 ÷
 
R
Bài 65: Cho hàm số
( )

≠

=


−

1
víi x 0
f x .
x
1 víi x=0
6
Nguyễn Trường Sơn Bài tập giới hạn

=
+
= ∈
∑
¥
Tính
n
lims .
Bài 68: Tính các giới hạn
p p p
p 1
n! 1 2 n
a)lim ; b)lim ,p *.
(2n 1)!! n
+
+ + +
∈
+
¥
7