Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 1
Bài 2. Giới hạn của hàm số
Phương pháp giải bài tập:
Bài tập mẫu:
Bài 1. Cho hàm số
2
2
1
x x
y
x
 


. Dùng định nghĩa chứng minh rằng
1
lim ( ) 3
x
f x


.
Giải:
Hàm số y=f(x) xác định trên
 
\ 1 .R
Giả sử (x
n
) là dãy số bất kì
1

2 nếu 0
x x
y f x
x x


 

 

Dùng định nghĩa chứng minh hàm số
y=f(x) khơng có giới hạn khi
0x 
Giải :
 
 
1 1
Xét dãy 0 0
1
lim ( ) lim 0 (1)
1
Xét dãy khi ; 0
1
lim ( ) lim 2 2 (2)
Vậy với (1) và (2) hàm số không có giới hạn khi 0
n
n
n n
n n
n

1.
 
0
0 0
lim ( ) ( ), \ , lim lim ( )
n n n n
x x n n
f x L x x K x x x f x L
  
      
2. Để chứng minh hàm số f(x) khơng có giới hạn khi
0
x x
ta thực hiện:
 Chọn hai dãy số khác nhau (x
n
) và (y
n
) thỗ mãn: x
n
, y
n
thuộc tập xác
định của hàm số và khác x
0

0 0
lim , lim
n n
n n

x x
x x
x
a b
x
x
x x
c d
x
x
 
 

   


 
   


Bài 2.
1. Cho hàm số
2
2
neáu 0
( )
1 neáu 0
x x
f x
x x

định nghĩa chứng minh rằng, nếu
lim ( ) vaø lim ( ) thì lim ( ) ( ) .
x x x
f x L g x M f x g x L M
  
  
Bài tập mẫu:
Bài 1. Tính các giới hạn của các hàm số sau:
 
2
1
3
2
2
4 1
2
2
1
)lim 2 1 ) lim
3
3 1
) lim ) lim
1
4
4
)lim
2 2
x
x
x x

 
0
0
lim ( )
x x
f x f x


2. Áp dụng định lý 1 và các quy tắc về giới hạn

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 3
   
 
2
1
3
2
2
4 4
4
2
1
)lim 2 1 2 1 1 3 1
1 3 1 1
) lim
3 3 3 3
3
)Ta coù: lim 3 1 0 vaø lim 4 0 neân lim
4


 

2
2
4 0
)lim 0
2 2 4
x
x
e
x


 

Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tìm giới hạn hàm số sau:
 
 
2 2
2
2 3
3 2
3 3
) lim 2 4 ) lim 4 1
2 2 15
)lim )lim
2
2

 
 
    
 
 
Bài 2. Tìm giới hạn hàm số sau:
2
2
2
3 6
) ( ) khi x 3
1
) ( ) 4 2 5 khi x
) ( ) 3 6 1 khi x
15
) ( ) khi x 2
2
15
) ( ) khi x 2
2
x x
a y f x
x
b y f x x x
c y f x x x
x
d y f x
x
x
d y f x

Giải :
 
2
1 1
1
1
lim lim lim 1
1 1
x x
x
x x
x x
x
x x
 



  
 
Bài 2. Tính giới hạn sau:
2
2
4
lim
7 3
x
x
x


 
 
        
 
 
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tìm các giới hạn của hàm số sau:
 
3
2 3 2
2
1 0 1
3 2 3
4 2 2
1 1
1 1
2 3 1
) lim ) lim ) lim
1
2 1
5 3 1 2 4
) lim )lim
8 9 2
x x x
x x
x
x x x x x
a b c
x x
x x

u x
u x u x
v x
  
 
2. Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước
0
0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
lim lim lim vaø tính lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
o o o o
x x x x x x x x
x x A x
u x A x A x
v x x x B x B x B x
   

 

3. Nếu u(x) và v(x) có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu
với biểu thức liên hiệp, sau đó phân tích chúng thành tích để
giản ước.
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 5
2
2 5 2
2
3

a b c d e f 
Bài 3. Tính giới hạn của hàm số sau:
3
0 1
2 2
2
0 0
2
3 3
1 0
3
2
2
3
0 1
3 3 1
) lim ) lim
1
1 1 9 16 7
) lim ) lim
7 5 2 1 8
) lim )lim
1
5 7 1 2
)lim ) lim
1
1
x x
x x
x x

1 7 7 11 5 3
) ) 3 ) 1 ) ) ) ) )
24 12 12 12
2 3 2 2
a b c d e f g h  
Bài 1. Tính các giới hạn của hàm số sau:
2
3
0 0
0
2
0 0 0
tan sin 1 sin2 cos2 1 cos 2
)lim ) lim ) lim
1 sin2 cos2 sin
sin3 1 cos5 cos7 cos12 cos10
)lim )lim )lim
1 2cos cos8 cos6
sin 11
x x
x
x x x
x x x x x
a b c
x x x x
x
x x x x x
d e f
x x x
x

Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 6
 
 
0 1
2
0 0
4 4
0 0
2
3
2
1 0
2 3 2
)lim cot )lim
sin2
tan 1
98 1 cos3 cos5 cos7
)lim tan2 tan )lim
4 83
sin 7
sin sin
cos sin 1
) lim )lim
1 1
2 1 1 cos
)lim )lim
sin
x x
x x
x x


   
   
   
   
 
 
  
3
2
cos
sin
x x
x

Đáp số:
7 1 1
)0 ) ) )1 ) 4 )1 )1 )
12 2 12
a b c d e f g h 
Bài tập mẫu:
Bài 1. Tính giới hạn sau:
3
3 2
3 5
lim
6
x
x x
x x

Phương Pháp:
1. Nhận biết dạng vô định


0 0 0
0 0
( )
lim khi lim ( ) , lim ( )
( )
( )
lim khi lim ( ) , lim ( )
( )
x x x x x x
x x x x x
u x
u x v x
v x
u x
u x v x
v x
  
  
   
   
2. Chia tử và mẫu cho
n
x
với n là số mũ cao nhất của biến x ( Hoặc
phân tích thành tích chứa nhân tử
n

x x x x x x
x
x x x
x x x x x x
x
  

   
   
   
  
  
Bài tập áp dụng :
Bài 1. Tìm các giới hạn của các hàm số sau:
 
 
 
 
2
3
3 2
3
4 2 2 2
2
1
2
2
3 1 5 3
2 3 4
) lim ) lim

x x
x x
 
 
 
 
 
  
 
     


 

 
  

 

  
 
 
 
 
Đáp số:
2
2
2
2
1


  

  

 

  


Bài 2. Tính các giới hạn sau:
 
 
5
2
3
3 7
2 2
2
4 2 2
3
3
1 1 2
1 2 3
) lim ) lim
9 3
2 3 4 1 9 1 4 2 1
) lim ) lim
1
4 1 2

 
Đáp số:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 8
)3 ) 32 )5 khi ; 1 khi
)1 khi ; 1 khi
1 1
) khi ; khi
3 3
)1 khi ; 1 khi
a b c x x
d x x
e x x
f x x
     
    
    
    
Bài tập 1: Tìm các giớí hạn của hàm số sau:




 




2
0

 
 
    
 
 

 
       
Đáp số:
1
) 1 ) )khi : : 4 ;khi : : )0
4
5 5
)khi : : ;khi : : ) 0
2 2
a b c x ÑS x ÑS d
e x ÑS x ÑS f
      
    
Bài tập 2. Tìm các giớí hạn của hàm số sau:






2 2 2 2
3
3 2 2
) lim 1 ) lim 8 3 4 3

Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 9




 
3 3
3 2 2 3 2 2
2
2 2
3
3 2 3 2 2
3
1 1
) khi ; khi ; )2 khi ; 2khi
2 2
) lim lim
1 1 5
lim
3 2 6
1
1
) lim lim lim
x x
x
x x x
a x x b x x
c x x x x x x x x x x
x x
x x x

x x
  
 

Bài tập mẫu:
Bài 1. Tính giới hạn :
2
2
sin2 3cos2
lim
3 6
x
x x x
x

 

Giài:
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
2
2
2
Ta nhaän thaáy: -2 sin2 3cos2 2
2 sin2 3cos2 2
Vaäy
3 6 3 6 3 6

 
  
 

 


Bài 2. Tìm
2
0
1
lim sin
x
x
x

Giải:
Dạng 7: Giới hạn kẹp
Phương pháp:
 
0 0
( ) ( ) ( ), \ ,h x f x g x x K x x K    
và
0 0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
h x g x L f x L
  
   
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

0
2 sin 5 os2 1
) lim )lim os
3
1
) lim os 1
x x
x
x x c x
a b x c
x
x
x x
c c x x
x
 

 

 
 
Đáp số:
) 0 ) 0 ) 0a b c
Bài tập 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
2
3 2
2
5cos sin
) lim ) lim
1 2 1


  






Tính
3
3 3
lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( )
x
x x
f x f x f x
 

 
b) Cho hàm số
3
3 3
( ) 1 2 6 . Tính lim ( ); lim ( ); lim ( )
x
x x
f x x f x f x f x
 

 
  
Giải:

 


 
       
   
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 11
 
 
2 2
3 3
2 3
3 3
3 3
) * lim ( ) lim 3 2 3 2.3 15
* lim ( ) lim 2 3 3 2.3 3 6
* lim ( ) lim ( ) nên hàm số không có giới hạn khi 3
2 6 nếu 3 2
) Ta có: 2 6 nên ( )
2 6 nếu 3
x x
x x
x x
a f x x
f x x x
f x f x x
x x
b x f x
x x

x x
x x
f x x
f x x
f x f x f x
 
 
 
 
 

 

 

  

    
     
   
Bài 2. Cho hàm số:
3
1 3
nếu 13
( )
1
1
2 nếu 3
x
f x

1
1 1
1 2
2
lim lim 1
1
1 1
*lim ( ) lim 2 2
Hàm số f(x) có giới hạn thì lim ( ) lim ( ) 1 2 1
* khi đó
x x x
x x
x x
x x
x x
f x
x
x x
x x
x
x x
x x x
f x mx m
f x f x m m
  
 
 
 
  
 

1
1 nếu 1
x x
x
f x
x
x x x

 






  

Tính
1
1 1
lim ( ); lim ( ); lim ( )
x
x x
f x f x f x
 

 
b) Cho hàm số
5
5 5

5
lim ( ) 1
x
f x
Bài tập 2. Cho hàm số
3
1
nếu 1
( ) .
1
2 nếu x 1
x
x
f x
x
mx








 

Với giá trị nào của m thì hàm số
f(x) có giới hạn
1x 
Đáp số: m=1

x a x




 

Đáp số: a = 0
Bài tập 5. Cho khoảng K,
0
x K
và hàm số f(x) xác định trên
 
0
\K x
Chứng minh rằng nếu
0
lim ( )
x x
f x

 
thì ln tồn tại ít nhât một số c thuộc
 
0
\K x
sao cho f(c)>0.
Hướng dẫn:
   


x K x f x
c x f c
Bài tập 6. Cho hàm số y=f(x) xác định trên
 
;a 
. Chứng minh rằng nếu
lim ( )
x
f x

 
thì ln tồn tại ít nhất một số c thuộc
 
;a 
sao cho f(c)<0.
Hướng dẫn:
 
Vì lim ( ) nên với dãy số bất lỳ, và ta
luôn có lim ( ) .
Dó lim ( )
Tư đònh nghóa suy ra ( ) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ mo
n n n
x
n
n
n
n
n
f x x x a x
f x

 